Как определить напряженность поля и падение потенциала…

Определение напряженности электрического поля с помощью потенциала

Как определить напряженность поля и падение потенциала...

Публикации по материалам Д. Джанколи. «Физика в двух томах» 1984 г. Том 2.

Формулу можно использовать для определения разности потенциалов между двумя точками электрического поля, если напряженность поля в области между этими точками известна.

Обращая эту формулу мы можем выразить напряженность электрического поля через его потенциал, т. е., зная V, мы сможем определить Е. Посмотрим, как это делается.

Уравнение можно переписать в дифференциальной форме:

dV = -E·dl = -Eldl,

где dV — бесконечно малая разность потенциалов между точками на расстоянии dl друг от друга, а El — составляющая напряженности электрического поля в направлении этого бесконечно малого перемещения dl.
Тогда:

Таким образом, составляющая напряженности электрического поля по любому направлению равна градиенту потенциала в этом направлении, взятому с обратным знаком. Градиентом величины V называется ее производная по определенному направлению dV/dl.

Если направление не указывается, то градиент соответствует направлению наиболее быстрого изменения V; это соответствует направлению вектора Е в данной точке, поскольку именно в таком направлении составляющая вектора Е совпадает с полной величиной напряженности поля:

Если расписать составляющие вектора Е по координатам х, у, z и в качестве l взять направления вдоль осей х у, z, то уравнение (24.8) можно записать в виде:

Здесь dV/dx — частная производная V по направлению х при условии, что у и z фиксированы.

В последнем примере мы вычислили напряженность электрического поля Е диполя в произвольной точке пространства. Складывая векторы напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, получить этот результат было бы гораздо сложнее.

Вообще говоря, для многих распределений зарядов гораздо проще рассчитать потенциал, а затем по формуле (24.

9) — напряженность электрического поля Е, чем вычислять по закону Кулона по отдельности Е для каждого заряда: скалярные величины складывать намного проще, чем векторы.

Электростатическая потенциальная энергия

Предположим, что точечный заряд q перемещают в пространстве из точки а в точку b, электрические потенциалы в которых, обусловленные другими зарядами, равны соответственно Va и Vb. Изменение электростатической потенциальной энергии заряда q в поле других зарядов составляет:

ΔU = Ub — Ua = q(Vb — Va) = qVba

Пусть теперь имеется система нескольких точечных зарядов. Чему равна электростатическая потенциальная энергия системы?
Удобнее всего выбрать за нуль потенциальную энергию зарядов на очень больших (в идеале бесконечно больших) расстояниях друг от друга.

Потенциальная энергия уединенного точечного заряда Q1 равна нулю, поскольку в отсутствие других зарядов на него не действует никакая сила.

Если к нему поднести второй точечный заряд, Q2, потенциал в точке, где находится второй заряд, будет равен:

Здесь r1 2 — расстояние между зарядами. Потенциальная энергия двух зарядов равна:

Она характеризует работу, необходимую для перемещения заряда Q2 из бесконечности (V = 0) на расстояние r1 2 до заряда Qi (или со знаком минус работу, необходимую для разнесения зарядов на бесконечно большое расстояние).

Если система состоит из трех зарядов, то ее полная потенциальная энергия будет равна работе по перемещению всех трех зарядов из бесконечности в место их расположения.

Работа по сближению зарядов Q2 и Q1 определяется выражением (24.

10);
чтобы перенести заряд Q3 из бесконечности в точку на расстоянии r1 3 от Q1 и на расстоянии r2 3 от Q2, требуется совершить работу:

В этом случае потенциальная энергия системы трех точечных зарядов будет равна:

Для системы четырех зарядов выражение для потенциальной энергии будет содержать шесть таких членов и т.п. (При составлении подобных сумм необходимо следить за тем, чтобы не учитывать одну и ту же пару дважды). Часто нас интересует не полная электростатическая потенциальная энергия, а лишь часть ее.

Например, может возникнуть необходимость найти потенциальную энергию одного диполя в присутствии другого диполя. Во взаимодействии участвуют четыре заряда: Q1 и -Q1 первого диполя и Q2 и -Q2 второго диполя.

Потенциальная энергия одного диполя и в присутствии другого (иногда ее называют энергией взаимодействия) представляет собой работу по сближению диполей с бесконечно большого расстояния.

В этом случае нас не интересует взаимная потенциальная энергия зарядов Q1 и -Q1 или Q2 и -Q2; выражение для потенциальной энергии двух диполей будет содержать лишь четыре члена, соответствующие энергиям взаимодействия между зарядами: Q1 и Q2 ; Q1 и -Q2 ; -Q1 и Q2 ; -Q1 и -Q2.

Заключение

Электрический потенциал в любой точке пространства определяется как электростатическая потенциальная энергия единицы заряда. Разность потенциалов между двумя точками определяется взятой с обратным знаком работой, которая совершается полем при перемещении единичного электрического заряда между этими точками.

Разность потенциалов измеряется в вольтах (1 В = 1 Дж/Кл) и иногда называется напряжением. Изменение потенциальной энергии заряда q при прохождении им разности потенциалов Vbа равно ΔU = qVba.

Разность потенциалов Vbа между точками b и a в однородном электрическом поле напряженностью Е определяется формулой V = — Ed, где d — расстояние вдоль силовой линии поля между этими точками.
В неоднородном электрическом поле Е соответствующее выражение имеет вид .

Таким образом, зная Е, всегда можно определить Vbа. Если значение V известно, то составляющие напряженности поля Е можно найти, обращая приведенное соотношение:

Еx = -dV/dх , Еy = -dV/dу , Ez = -dV/dz .

Эквипотенциальные линии или поверхности представляют собой геометрическое место точек одного потенциала; они всюду перпендикулярны силовым линиям поля. Электрический потенциал уединенного точечного заряда Q относительно нулевого потенциала (на бесконечности) равен:

Потенциал произвольного распределения зарядов можно определить, суммируя (интегрируя) потенциалы отдельных зарядов.

где r — расстояние от элемента заряда dq до точки, в которой определяется V.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Электрическая емкость, диэлектрики, накопление электрической энергии.

Конденсатор — устройство для накопления электрического заряда, который состоит из двух проводников (обкладок), расположенных близко друг к другу, но не соприкасающихся.

Альтернативные статьи:
Постоянный ток, Переменный ток.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник: https://tel-spb.ru/statika/pole-potencial.php

Основные законы и формулы

Как определить напряженность поля и падение потенциала...

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

ЗаконКулона:

,

гдеF– сила взаимодействия двух точечныхзарядов q1 и q2;r– расстояние между зарядами; - диэлектрическаяпроницаемость среды; 0- электрическая постоянная

.

Закон сохранения заряда:

,

где– алгебраическая сумма зарядов, входящихв изолированную систему;n– число зарядов.

Напряженность и потенциал электростатического поля:

; , или,

где– сила, действующая на точечныйположительный зарядq0,помещенный в данную точку поля; П –потенциальная энергия заряда; А∞- работа,затраченная на перемещение заряда q0из данной точки поля в бесконечность.

Потоквектора напряженности электрического поля:

а)через произвольную поверхность S,помещенную в неоднородное поле:

, или,

где– угол между вектором напряженности и нормальюк элементу поверхности;dS– площадь элемента поверхности; En– проекция вектора напряженности нанормаль;

б)через плоскую поверхность, помещеннуюв однородное электрическое поле:

.

Потоквектора напряженности через замкнутую поверхность –

(интегрированиеведется по всей поверхности).

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженностичерез любую замкнутую поверхность, охватывающую зарядыq1,q2, …,qn, –

,

где– алгебраическаясумма зарядов, заключенных внутризамкнутой поверхности; n– число зарядов.

Напряженностьэлектростатического поля, создаваемоготочечным зарядом qна расстоянии rот заряда, –

.

Напряженностьэлектрического поля, создаваемогосферой, имеющей радиус Rи несущей заряд q,на расстоянии rот центра сферы такова:

внутрисферы (rR) Е=0;

наповерхности сферы (r=R) ;

внесферы (rR) .

Принцип суперпозиции (наложения)электростатических полей, согласнокоторому напряженность результирующего поля, созданного двумя(и более) точечными зарядами, равнавекторной (геометрической) сумменапряженностей складываемых полей,выражается формулой

.

Вслучае двух электрических полей снапряженностями иабсолютное значение вектора напряженностисоставляет

,

где- угол между векторами и.

Напряженностьполя, создаваемого бесконечно длиннойи равномерно заряженной нитью (илицилиндром) на расстоянии rот ее оси, –

,

где- линейная плотность заряда.

Линейнаяплотность заряда есть величина, равнаяего отношению к длине нити (цилиндра):

.

Напряженностьполя, создаваемого бесконечной равномернозаряженной плоскостью, –

,

где- поверхностная плотность заряда.

Поверхностнаяплотность заряда есть величина, равнаяотношению заряда, распределенного поповерхности, к ее площади:

.

Напряженностьполя, создаваемого двумя бесконечнымии параллельными плоскостями, заряженнымиравномерно и разноименно, с одинаковойпо абсолютному значению поверхностнойплотностью заряда(поле плоского конденсатора) –

.

Приведеннаяформула справедлива при вычислениинапряженности поля между пластинамиплоского конденсатора (в его среднейчасти) только в том случае, если расстояниемежду пластинами намного меньше линейныхразмеров пластин конденсатора.

Электрическоесмещение связано с напряженностьюэлектрического поля соотношением

,

котороесправедливо только для изотропныхдиэлектриков.

Потенциалэлектрического поля есть величина,равная отношению потенциальной энергиии точечного положительного заряда,помещенного в данную точку поля:

.

Иначеговоря, потенциал электрического поляесть величина, равная отношению работысил поля по перемещению точечногоположительного заряда из данной точкиполя в бесконечность к величине этогозаряда:

.

Потенциалэлектрического поля в бесконечностиусловно принят равным нулю.

Потенциалэлектрического поля, создаваемыйточечным зарядом qна

расстоянииrот заряда, –

.

Потенциалэлектрического поля, создаваемыйметаллической сферой, имеющей радиусRи несущей заряд q,на расстоянии rот центра сферы таков:

внутрисферы (rR);

наповерхности сферы (r= R);

внесферы (rR).

Вовсех формулах, приведенных для потенциалазаряженной сферы, есть диэлектрическая проницаемостьоднородного безграничного диэлектрика,окружающего сферу.

Потенциалэлектрического поля, образуемогосистемой nточечных зарядов в данной точке всоответствии с принципом суперпозицииэлектрических полей, равен алгебраическойсумме потенциалов ,создаваемых отдельными точечнымизарядами:

.

ЭнергияWвзаимодействия системы точечных зарядовопределяется работой, которую этасистема может совершить при удаленииих относительно друг друга в бесконечность,и выражается формулой

,

где- потенциал поля, создаваемый всеми(n-1)зарядами (за исключением i-го) в точке, где находится заряд .

Потенциалсвязан с напряженностью электрическогополя соотношением

.

В случае электрическогополя, обладающего сферической симметрией,эта связь выражается формулой

,

или в скалярнойформе

.

Вслучае однородного поля, т.е. поля,напряженность которого в каждой еготочке одинакова как по абсолютномузначению, так и по направлению, –

,

где1и 2– потенциалы точек двух эквипотенциальныхповерхностей; d- расстояние между этими поверхностямивдоль электрической силовой линии.

Работа,совершаемая электрическим полем приперемещении точечного заряда qиз одной точки поля, имеющей потенциал1,в другую, имеющую потенциал 2,равна

,или ,

гдеE– проекция вектора на направление перемещения;- перемещение.

В случае однородногополя последняя формула принимает вид

,

где– перемещение;- угол между направлениями вектора и перемеще-ния.

Диполь есть системадвух точечных (равных по абсолютномузначению и противоположных по знаку)зарядов, находящихся на некоторомрасстоянии друг от друга.

Электрическиймомент диполя есть вектор, направленный ототрицательного заряда к положительному,равный произведению зарядана вектор,проведенный от отрицательного зарядак положительному, и называемый плечомдиполя, т.е.

.

Дипольназывается точечным, если его плечо намного меньше расстоянияrот центра диполя до точки, в которой насинтересует действие диполя (r),см. рис. 1.

Рис. 1

Напряженностьполя точечного диполя:

,

гдер – электрический момент диполя; r– абсолютное значение радиус-вектора,проведенного от центра диполя к точке,напряженность поля в которой насинтересует; - угол между радиус-вектором и плечомдиполя.

Напряженностьполя точечного диполя в точке, лежащейна оси диполя

(=0),находится по формуле

;

вточке, лежащей на перпендикуляре к плечудиполя, восстановленном из его середины,– по формуле

.

Потенциалполя точечного диполя в точке, лежащейна оси диполя (=0),составляет

,

ав точке, лежащей на перпендикуляре кплечу диполя, восстановленном из егосередины ,–

=0.

Напряженность и потенциал неточечного диполяопределяются так же как и для системызарядов.

Механическиймомент, действующий на диполь сэлектрическим моментом р, помещенныйв однородное электрическое поле снапряженностью Е, –

,или ,

где- угол между направлениями векторов и.

Электроемкостьуединенного проводника или конденсатора–

,

гдеq– заряд, сообщенный проводнику; -изменение потенциала,вызванное этим зарядом.

Электроемкостьуединенной проводящей сферы радиусомR,находящейся в бесконечной среде сдиэлектрической проницаемостью ,–

.

Еслисфера полая и заполнена диэлектриком,то ее электроемкость при этом неизменяется.

Электроемкостьплоского конденсатора:

,

гдеS– площадь каждой пластины конденсатора;d– расстояние между пластинами; - диэлектрическая проницаемостьдиэлектрика, заполняющего пространствомежду пластинами.

Электроемкостьплоского конденсатора, заполненного nслоями диэлектрика толщиной diи диэлектрической проницаемостью iкаждый (слоистый конденсатор), составляет

.

Электроемкостьсферического конденсатора (двеконцентрические сферы радиусом R1и R2, пространствомежду которыми заполнено диэлектрикомс диэлектрической проницаемостью )находится так:

.

Электроемкостьпоследовательно соединенных конденсаторовсоставляет:

вобщем случае –

,

гдеn– число конденсаторов;

вслучае двух конденсаторов –

;

вслучае nодинаковых конденсаторов с электроемкостьюС1каждый –

.

Электроемкостьпараллельно соединенных конденсаторовопределяется следующим образом:

вобщем случае –

С=С1+С2+…+Сn;

вслучае двух конденсаторов –

С=С1+С2;

вслучае nодинаковых конденсаторов с электроемкостьюС1каждый –

С=nС1.

Энергиязаряженного проводника выражаетсячерез заряд q,потенциал и электроемкость С проводника следующимобразом:

.

Энергиязаряженного конденсатора –

,

гдеq– заряд конденсатора; С – электроемкостьконденсатора; U– разность потенциалов на его пластинах.

Источник: https://studfile.net/preview/5592876/

3 Электричество и магнетизм
 3.1 Электростатика
  3.1.1 Пример – поле и потенциал сферы
  3.1.2 Пример – поле и потенциал шара
  3.1.3 Пример – заземленная сфера
  3.1.4 Пример – разлетающиеся частицы
  3.1.5 Пример – столкновение зарядов
  3.1.

6 Пример – система конденсаторов
 3.2 Постоянный ток
  3.2.1 Пример – соединение сопротивлений
  3.2.2 Пример – ЭДС и внутреннее сопротивление батареи
  3.2.3 Пример – внутреннее сопротивление аккумулятора
  3.2.4 Пример – цепь с конденсаторами
 3.

3 Магнитное поле
  3.3.1 Пример – движение заряда в магнитном поле
  3.3.2 Пример – проводник с током в магнитном поле
  3.3.3 Пример – радиусы траекторий
 3.4 ЭДС индукции
  3.4.1 Пример – падение в магнитном поле
  3.4.2 Пример – стержень в магнитном поле
  3.4.

3 Пример – вихревое электрическое поле

Найти напряженность поля и потенциал во всем пространстве тонкой сферырадиуса R, равномерно заряженной до заряда q.

Решение

Применим теорему Гаусса. Выберем в качестве замкнутой поверхностиконцентрическую сферу радиуса r > R (рис.). Очевидно, что напряженность наповерхности этой сферы будет одинакова по величине и направлена по радиусу.Тогда поток напряженности через нее будет E ⋅ 4πr2. Согласно теоремеГауссаоткуда

Выбрав в качестве поверхности сферу радиуса r < R, получим E = 0. Такимобразом, однородно заряженная сфера во внешней области пространствасоздает такое же поле, как и заряд, помещенный в ее центре. Внутри сферыполя нет.

Найдем потенциал сферы во всем пространстве. Так как вне сферынапряженность поля совпадает с напряженностью заряда, находящегося вцентре, то и потенциал при r > R выразится в виде

Пронесем единичный положительный заряд из бесконечности до расстояния rот центра, меньшего радиуса сферы. Тогда работа, которую необходимосовершить по переносу до поверхности сферы будет равна kq∕R. Внутри сферыполе равно нулю и работа не совершается. Таким образом

 

На рис. 3.1 изображены графики зависимости напряженности и потенциалаполя от расстояния до центра однородно заряженной сферы.

Однородно заряженный шар. Пусть радиус шара R, полный заряд Q. Повторяярассуждения, приведенные в предыдущей задаче, получим, что вне шаранапряженность и потенциал поля совпадают с полем заряда Q, помещенного вцентр шара:

Чтобы найти напряженность электрического поля внутри шара, выберем вкачестве замкнутой поверхности сферу радиуса r < R с центром в центре шара.Из симметрии ясно, что напряженность поля направлена по радиусу иодинакова по величине на всей поверхности сферы. Из теоремы Гауссаследует гдеq(r) – заряд внутри выбранной поверхности. Введем плотность заряда шара ρ.Тогда

Плотность заряда равна полному заряду, деленному на объем шара:Для напряженности поля внутри шара получим

Найдем потенциал внутри шара.

Первый интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительногозаряда из бесконечности до поверхности шара и равен kQ∕R. ВторойчленЗначение потенциала внутри шара определится выражением

 

Окончательно имеемЗаметим, что непрерывен не только потенциал (что и должно быть), но инапряженность электрического поля. Последнее связано с тем, что всистеме нет заряженных тонких поверхностей. Поэтому нет и скачканапряженности. На рис. 3.2 приведены графики зависимости напряженности ипотенциала от расстояния до центра однородно заряженного по объемушара.

Пусть есть две проводящие концентрические сферы радиусов a и b. Навнутреннюю сферу помещен заряд q, а внешняя заземлена (рис. 3.3). Требуетсяопределить напряженность и потенциал электрического поля во всемпространстве.

Решение

Так как внешняя сфера заземлена, на ней появляется некоторый заряд Q. Еслибы он был известен, напряженность поля легко определилась бы из принципасуперпозиции (напомним, что во внешнем пространстве сфера создает поле,такое же, как точечный заряд, расположенный в ее центре, а внутри поля нет)

Для потенциала при r > b имеем φ = k(q + Q)∕r. На поверхности внешнейсферы φ(b) = k(q + Q)∕b.

Так как эта сфера заземлена, φ(b) = 0. Отсюда

Тогда напряженность поля при r > b равна нулю. Вне заземленной сферы полянет. Этот результат не зависит от формы заземленного проводника.Говорят, что заземленная оболочка экранирует находящиеся внутризаряды: никакие изменения их величины или положения не сказываютсяснаружи.

 

Понятно, что при r > b потенциал равен нулю. Для нахождения потенциаламежду сферами пронесем единичный положительный заряд из бесконечности вданную точку, используя принцип суперпозиции. В поле заряда Q работасовершается лишь до поверхности внешней сферы: φ1 = kQ∕b—kq∕b. А в полевнутренней сферы φ2 = kq∕r. Полный потенциал

Внутри малой сферы E = 0, потенциал не меняется и равен потенциалу наповерхности

На рис. 3.4 приведены графики зависимостей E(r) и φ(r).

Четыре одинаковых частицы массы m и заряда q первоначально удерживаютсяв углах квадрата со стороной a. Заряды отпускают. Найти скорости зарядов попрошествии большого промежутка времени.

Решение

Из симметрии ясно, что в любой момент времени частицы будут находиться вуглах некоторого квадрата и обладать одинаковыми по величине скоростями,направленными по диагоналям этого квадрата. В результате вся начальнаяпотенциальная энергия U перейдет в кинетическую энергию частиц гдеv – искомая скорость.

Дело, таким образом, сводится к вычислению начальной потенциальной энергиисистемы U. Перенумеруем заряды (рис. 3.5) и начнем ЋсобиратьЛ систему.Принесем из бесконечности первый заряд. Для этого не понадобитьсясовершать работу (внешних сил нет): A1 = 0.

Принесем второй заряд. Работа в поле первого заряда будетТретий заряд уже придется двигать в поле, как первого, так и второгозаряда:Наконец, для последнегоПолная потенциальная энергия системы Тогдаоткуда получаем ответ

С большого расстояния навстречу друг другу со скоростями, соответственно, v1и v2 движутся две одинаковых частицы массы m и заряда q. Определитеминимальное расстояние, на которое они сблизятся.

Решение

При минимальном расстоянии скорости частиц u будут одинаковы. Из законасохранения импульса Начальная потенциальная энергия электрического взаимодействия равнанулю.

Запишем закон сохранения энергии: гдеr – минимальное расстояние. Из первого уравнения u = ∕2. И,подставляя во второе, получаем ответ:

Определите емкость системы конденсаторов, изображенных на рисунке(рис. 3.6).

Решение

Пронумеруем конденсаторы и обозначим на схеме заряды (рис. 3.7). Изсимметрии схемы ясно, что заряды на конденсаторах 1, 2 и 3, 4, соответственно,одинаковы. Так как батарея электронейтральна q1 = q2.

Тогда ясно, что средний (5-й) конденсатор не заряжен и его можно убрать.Эквивалентная схема будет выглядеть так: (рис 3.8).

Так как емкость последовательно соединенных конденсаторов определяется поформулеОтсюда C′ = C. И имеем новую эквивалентную схему (рис. 3.9). По правилуопределения емкости параллельно соединенных конденсаторов полная емкостьцепи:

Можно было поступить иначе. Так как средний конденсатор не заряжен, точки,к которым он подсоединен, имеют одинаковый потенциал.

Тогда их можносоединить проводником: это не приведет к перераспределению зарядовна остальных конденсаторах. Соответствующая эквивалентная схема(рис. 3.10.

Или, учитывая, что имеется две пары параллельно соединенныхконденсаторов, получаем еще одну эквивалентную схему (рис. 3.11).Отсюда

В итоге получаем тот же ответ:

Каким должно быть сопротивление r, чтобы входное сопротивление междуклеммами было равно тоже r (рис. 3.12)?

Решение

Последние два сопротивления, соединенные последовательно, имеютсопротивлениеТогда имеем эквивалентную схему: (рис. 3.13)). Параллельное соединениесопротивлений R и R′ приводит к схеме (рис. 3.14)). Где Поусловию: R + R′′ = r.

То есть:Откуда получаем ответ

Батарея, замкнутая на сопротивление R1 = 10 Ом, дает ток I1 = 3 А; замкнутаяна сопротивление R2 = 20 Ом, она дает ток I2 = 1,6 А. Найдите ЭДС ивнутреннее сопротивление r батареи.

Решение

Из условияПриравнивая правые части, получимОткуда

Подставляя r в первое уравнение, получим

Аккумулятор подключен один раз к внешней цепи с сопротивлением R1, другойраз – с R2. При этом количество теплоты, выделяющейся во внешней цепи вединицу времени, одинаково. Определите внутреннее сопротивлениеаккумулятора.

Решение

Обозначим ЭДС аккумулятора через , а внутреннее сопротивление – черезr.Условие равенства количества теплоты дает:ИлиРазрешая это уравнение относительно r, получим ответ:

Конденсаторы емкости C1 и C2 и резисторы, сопротивления которыхравны R1,R2,R3, включены в электрическую цепь, как показано нарисунке 3.15). Найти установившиеся заряды на конденсаторах. Напряжение Uизвестно.

Решение

В установившемся режиме через резисторы течет постоянный ток,определяющийся из уравнения

Рассмотрим контур, содержащий C1,R1,R2. Для него:

Откуда (подставляя I):

Аналогично, рассматривая контур, содержащий C2,R2,R3, получим

На заряд q = 1 Кл, движущийся со скоростью v = 1 м/с, в магнитномполе действует сила F = 10 Н. Заряд движется под углом α = 30∘ кнаправлению индукции магнитного поля. Чему равна индукция этогополя?

Решение

На заряд действует сила Лоренца:

Откуда B = F∕(qv sin α). Подставляя числа, получим ответ: B = 20Тл.

В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях подвешенгоризонтально проводник массы m = 0,16 кг и длины l = 0,8 м. Концыпроводника при помощи гибких проводов, находящихся вне поля, подсоединенык источнику тока. Найдите угол, на который отклоняются от вертикали нитиподвеса, если по проводнику течет ток I = 2 А, а индукция магнитного поляB = 1 Тл.

Решение

На проводник действуют две силы: тяжести mg, направленная вертикально,и Ампера IBl, направленная горизонтально (см. рис. 3.16). Тогда вравновесииПринимая g = 10 м∕с2 и подставляя числа, получим tgα = 1. Откудаα = 45∘.

Как относятся радиусы траекторий двух электронов с кинетическойэнергией K1 и K2, если однородное магнитное поле перпендикулярно ихскорости?

Решение

Скорости электронов определяются из формул:Радиусы определятся из закона НьютонаТогда отношение радиусов

В однородном магнитном поле индукции B находятся две вертикальные рейки,расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям поля (рис. 3.17). Порейкам, расстояние между которыми равно L, может скользить без тренияпроводник массой m. Определите установившуюся скорость этого проводника,если верхние концы реек замкнуты на сопротивление R. В какие виды энергиипереходит работа силы тяжести?

     

Решение

На скользящий проводник действуют две силы: тяжести mg и Ампера IBL.При установившемся движенииЭДС индукцииВыражая ток из второго уравнения и подставляя в первое, получимответ:Можно получить ответ другим способом. Мощность силы тяжести вустановившемся режиме переходит в тепло, выделяющееся на сопротивлении:

Металлический стержень AB, сопротивление единицы длины которого ρ,движется с постоянной скоростью v, перпендикулярной AB, замыкая дваидеальных проводника OC и OD, образующих друг с другом угол α.

Длина OCравна l, и AB перпендикулярен OC (рис. 3.18). Вся система находится воднородном постоянном магнитном поле индукции B, перпендикулярномплоскости системы.

Найдите полное количество теплоты, которое выделится вцепи за время движения стержня от точки O до точки C.

Решение

Площадь треугольника в зависимости от времени S = xy∕2, гдеx = vt,y = x ⋅ tgα = vt ⋅ tgα.

ТогдаСопротивление R = ρx = ρvt. Мощность, выделяющаяся в цепиПолное время движения t0 = l∕v.

Тогда ответ

Индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра радиуса r = 0,1 млинейно возрастает со временем: B = αt (коэффициент α = 10-3 Тл/с).Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряженностьвихревого электрического поля на расстоянии l = 0,2 м от оси цилиндра?

Решение

Циркуляция электрического поля равна скорости изменения магнитного потокачерез сечение цилиндра:Отсюда Подставляя числа: E = 2,5 ⋅ 10-5 В/м.

Источник: http://ancient.hydro.nsc.ru/ephys/examples/eldyn/eldyn.html

Напряженность и потенциал — характеристики электрического поля

Как определить напряженность поля и падение потенциала...

Электрическое поле

Лекция 9.

Основные характеристики электрического поля. Электрический диполь. Поле диполя. Диполь в электрическом поле. Первичные механизмы воздействия электростатических полей на биологические объекты.

Применение постоянных электрических полей в физиотерапии. Физические основы электрографии тканей и органов. Электрокардиография. Дипольный эквивалентный электрический генератор сердца. Теория отведений Эйнтховена.

Понятие о мультипольном эквивалентном электрическом генераторе сердца. Электрокардиограф.

Электрическое поле есть разновидность материи, посредством которой осуществляется силовое воздействие на электрические заряды, находящиеся в этом поле Характе­ристики электрического поля, которое генерируется биологическими структурами, являются источником информации о состоянии организма

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к этому заряду

(12.1)

Напряженность — вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.

Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:

Ех = f1(x, у, z); Еу = f2(х, у, z); Ez = f3(x, у, z),(12.2)

где Ех, Еу и Ez — проекции вектора напряженности на соответствующие координатные оси, введенные для описания поля. Электрическое поле графически удобно представлять силовыми линиями,касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля.

Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки.

Представим себе, что заряд q перемещается в электрическом поле по траектории 1-а-2 (рис. 12.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (12.1)]:

(12.3)

где dl — элементарное перемещение; El — проекция вектора на направление . Покажем, что работа сил электростатического поля (электрического поля неподвижных зарядов) не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными.

Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории 1-а-2-б-1 (рис. 12.1). Так как поле электростатическое, то положение зарядов, создающих поле, при этом не изменилось, и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась прежней. Поэтому работа сил электростатического поля по переме­щению заряда по замкнутой траектории равна нулю:

(12.4)

Так как силы, действующие на заряд q, определяются его положением в поле, то выражения для работ сил поля при перемещении заряда по одной и той же траектории в противоположных направлениях отличаются только знаком:

(по б) (по б)

Подстановка этого выраже­ния в (12.4)дает

(12.5)

Равенство (12.5) означает, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории заряда, а зависит от величины заряда, положения начальной и конечной точек траектории и от напряженности поля.

На основании этого свойства вводят понятие разности потенциалов Dj, которая для электростатического поля равна напряжению U.

Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемеще­нии точечного положительного заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:

(12.6)

где j1 и j2 — потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля, U12 — напряжение между этими точками. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и от на­пряженности электрического поля, как следует из (12.6).

Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала. Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля.

На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, или потенциал шасси, на котором смонти­ровано радиоустройство (и в том и в другом случаях говорят о за­землении), равны нулю.

В теоретических задачах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.

Вычислим потенциал поля точечного заряда,расположенного в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью e (рис. 12.2).

Пусть точки 1 и 2 находятся на одной силовой линии ни расстояниях соответственно r1 и r2 от источника поля — заряда Q. Проинтегрируем выражение (12.

6) по отрезку 12, учитывая, что в соответствии с законом Кулона (для точечного заряда) Еl = E = Q/(4pe e0r2) и dr = dl:

(12.7)

где e0 » 8,85 • 10 12 Ф/м — электрическая постоянная1.

(1 Размерность электрической постоянной e0 выражается также в виде , что следует из закона Кулона).

Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю: j2 ®0 при r2 ® ¥. Тогда из (12.7) получаем

или в более общем виде (12.8)

Могли быть и другие предположения относительно значения потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше допущение привело к наиболее простому выражению (12.8), по которому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.

Потенциалы электрического поля в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенциала (эквипотенциальных поверхностей).

Обычно проводят экви­потенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала. На рис. 12.

3 изображены эквипотенциальные поверхности (штриховые линии) и силовые линии (сплошные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.

Аналитически зависимость электрического потенциала от координат в разных точках поля задается некоторой функцией координат

j = f(x, у, г),(12.9)

которая в частных случаях может иметь, например, вид (12.8). Так как напряженность электрического поля определяется через силу, а потенциал — через работу сил поля, то эти характеристики связаны между собой аналогично силе и работе. Интегральная зависимость напряженности поля и потенциала дается формулой (12.6) или выражением

(12.10)

Здесь с учетом знака «-» изменены пределы интегрирования: верхнему пределу интеграла соответствует в левой части уменьшаемое j2, нижнему — вычитаемое j1.

Получим дифференциальную связь между Е и j. Предположим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (12.10) получим

(12.11)

Производная от потенциала по направлению dj/dl характеризует отношение приращения потенциала dj к соответствующему расстоянию dl в некотором направлении l; Еl — проекция вектора на это направление.

Смысл формулы (12.11) виден из рис. 12.4. В точке 0 проведен вектор , который спроецирован на направления l1, l2 и l3. Эти проекции по модулю равны производным от потенциала по соответствующим направлениям: çdj/dl1ç, çdj/dl2ç, çdj/dl3ç.

Наиболь­шее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой, совпадающей с ; знак «минус» в (12.11) означает, что потенциал быстрее всего убывает в направлении и быстрее всего возрастает в направлении — Е.

Можно сказать, что вектор равен взятому с обратным знаком градиенту потенциала:

(12.12)

В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем

(12.13)

Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны.Если поле однородно, например поле плоского конденсатора, то из формулы (12.6) находим что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии l,

(12.14)

Учитывая (12.11) и (12.9), можно записать проекции вектора напряженности электрического поля по трем координатным осям:

(12.15)

Тогда напряженность определяют по формуле

(12.16)

Если поле создано N точечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом отдельно (принцип суперпозиции):

(12.17)

а электрический потенциал в этой точке — как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю:

(12.18)

Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих измерений, используя связь и j.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_96198_napryazhennost-i-potentsial--harakteristiki-elektricheskogo-polya.html

Biz-books
Добавить комментарий