Как определить напряженность гравитационного поля…

Напряженность гравитационного поля. Потенциал гравитационного поля

Как определить напряженность гравитационного поля...

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, помещенное в него другое тело оказывается под действием силы. Об «интенсивности» гравитационного поля можно судить по величине силы, действующей в данной точке на тело единичной массы. В соответствии с этим величину называют напряженностью гравитационного поля. Итак,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Напряженность гравитационного поля – это величина численно равная силе, действующей на тело единичной массы.

Размерность совпадает с размерностью ускорения. Вблизи Земли напряженность поля тяготения равна ускорению свободного падения (“g”).

Из закона всемирного тяготения:

, (6.3)

– орт радиус-вектора, проведенного из материальной точки в данную точку поля; r – модуль этого радиус-вектора; m – масса тела, которое создает поле.

Каждой точке поля, создаваемого материальной точкой m соответствует определенное значение потенциальной энергии, которой обладает в этом поле материальная точка m¢.

Поэтому поле можно характеризовать потенциальной энергией ( ). А величину – называют потенциалом гравитационного поля.

Потенциал в данной точке поля численно равен работе сил тяготения по перемещению тела единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал скалярная величина, характеризующая поле с энергетической точки зрения.

Напряженность поля ( ) – векторная величина, называется силовой характеристикой поля. Направления и совпадают.

Работа сил тяготения была рассчитана ранее:

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Космические скорости.

Основы теории относительности.

Принцип относительности.

В разд. 2.1. для механических систем был сформулирован следующий принцип относительности: во всех инерциальных системах отсчета все законы механики одинаковы. Никакими (механическими) опытами, проведенными в замкнутой инерциальной системе, нельзя об наружить, покоится система или прямолинейно и равномерно движется.

Пусть система движется относительно инерциальной системы K с постоянной скоростью vо(рис. 7.

1) так, чтобы оси x и при движении совпадали, а оси y, и z , были параллельны друг другу,причем вектор, соединяющий начала координат, rо = vot , где t время. Связь между координатами этих систем описывается преобразованиями Галилея :

x = + vo ; y = ; z = ; t = , (7.1)

где время в подвижной системе координат. Последнее равенство отражает тот факт, что согласно представлениям классической механики ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета.

Если подставить преобразования (7.1) в законы Ньютона, то эти законы превращаются в такие же законы, но в штрихованной системе отсчета.

Поэтому, проделав любые опыты по механике в замкнутой инерциальной системе, и нельзя сказать, движется система или нет.

Результат исследований явлений электричества и магнетизма позволил ученому Максвеллу получить уравнения, которые сводят воедино электричество, магнетизм, свет. Однако уравнения Максвелла не подчиняются принципу относительности: если преобразовать их подстановкой типа (7.1), то их вид не останется прежним.

Отсюда следует вывод, что оптические и электрические явления можно использовать для определения скорости замкнутой системы относительно некоего “мирового неподвижного эфира”.

Например, скорость автомобиля равна 1 108 м/с, а скорость света 3 108 м/с, тогда свет от фар будет удаляться со скоростью 2 108 м/с и, измерив скорость света, испускаемого фарами, можно было бы узнать скорость автомашины. Такую попытку определить абсолютную скорость орбитального движения Земли сквозь воображаемый “эфир” проделал в 1887 г.

ученый Майкельсон с помощью очень чувствительного светового интерферометра. Однако результат опыта был отрицательный: “мировой эфир” оказался неуловимым. Объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона удалось ученому Эйнштейну путем отказа от некоторых представлений классической механики.

7.2. Постулаты специальной (частной) теории относительности. Преобразования Лоренца

Эйнштейн сформулировал два постулата, лежащие в основе специальной теории относительности:

1. Физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Никакими физическими опытами, проведенными внутри замкнутой инерциальной системы отсчета, нельзя обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно.

2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя.

Наличие этих постулатов позволяет получить новые преобразования координат, отличающиеся от (7.1).

Пусть система движется относительно инерциальной системы K с постоянной скоростью vо(рис. 7.

1) так, чтобы оси x и при движении совпадали, а оси y, и z,были параллельны друг другу,причем вектор, соединяющий начала координат, , где t время.

Можно показать, что координаты y и z связаны формулами y = ; z = . Ищем зависимость между подвижными и неподвижными координатами x в виде

, (7.2)

где a искомый коэффициент. Согласно первому постулату в силу равноправия систем отсчета для перехода от неподвижной системы отсчета к подвижной зависимость между координатами должна иметь аналогичный вид и отличаться лишь знаком для скорости vo:

= a(x — vo, t). (7.3)

Пусть в моменты времени t = = 0 в точке x = = 0 в направлении оси x испускается вспышка света. Это событие через время t будет наблюдаться в точке x = ct и через время в точке = c .

Здесь используется тот факт, что скорость света c для вакуумасогласно 2му постулату Эйнштейна одинакова в обеих системах. Подставляя в два последних равенства выражения (7.2) и (7.3), получим a(c + vo) = ct ; a(c — vo)t = c .

Перемножая эти два равенства, получим a = 1/(1 — b 2)0,5 , где величину b = vo /c называют относительной скоростью.

Исключая из равенств (7.2) и (7.3) координату x, получим

t = /a + b /ac

Подставляя в эту формулу и в формулу (7.2) выражения для a и b, получим окончательно формулы для связи координат и времени :

(7.4)

Полученные формулы называют преобразованиями Лоренца. Ученый Лоренц впервые получил эти формулы и показал, что если уравнения Максвелла преобразовать подстановкой (7.4), то их вид останется прежним и эти уравнения подчиняются принципу относительности. Эйнштейн предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца.

Преобразования Лоренца при малых скоростях движения (b ® 0) переходят в преобразования Галилея, которые являются предельным случаем преобразований Лоренца.

Из преобразований Лоренца следует, что как пространственные, так и временные преобразования не являются независимыми.

Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

Теорию относительности часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорий, — релятивистскими эффектами.

7.3. Следствия из преобразований Лоренца.

Самым неожиданным следствием теории относительности является зависимость времени от системы отсчета.

Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке , покоящейся относительно подвижной системы , происходит событие, длительность которого = — , где и — начальный и конечный промежутки времени. C помощью формул (7.4) получим, что длительность этого же события в неподвижной системе отсчета K равна

или

(7.5)

Из последнего равенства следует, что , т.е. для подвижной системы отсчета событие будет происходить за меньший промежуток времени. Следовательно, для подвижной системы отсчета время идет медленнее.

Этот удивительный результат можно понять, если придумать специальные часы, в которых роль маятника играет световой сигнал, бегающий между двумя параллельными зеркалами, находящимися на расстоянии L. Период таких часов для системы отсчета, в которой они покоятся = 2L /с. Если эти часы движутся со скоростью vo вдоль оси x (рис. 7.

2), то для неподвижного наблюдателя траектория движения луча выглядит в виде зигзага и расстояние, пройденное светом за период часов t , будет более длинным, его квадрат равен 4L2 + t2 = с2t2 . Исключая L из двух последних равенств, легко получить выражение (7.5) t = /(1— b 2)0,5.

Если космонавт улетит от Земли со скоростью, близкой к скорости света (например, b 2 = 1 — 10-4 ), и вернется обратно через год, то по земным часам полет продлится 100 лет. Космонавт возвратится на Землю в сто раз более молодым, чем его брат-близнец.

Данный результат мысленного эксперимента кажется неправильной интерпретацией преобразований Лоренца, так как, если за неподвижную систему отсчета считать движущийся корабль, то его близнец на Земле удаляется с такой же скоростью, и его время как бы замедлится по сравнению с часами на корабле.

Однако эти две системы – не равнозначны, космонавт на корабле должен ускоряться и замедляться, чтобы вернуться на Землю. Поэтому система отсчета, связанная с кораблем ‑ неинерциальна. Получается, что причина замедления физических процессов связана с тем, что космонавт при путешествии подвергался дополнительным механическим перегрузкам. Детальный расчет, выходящий за рамки специальной теории относительности, показывает, что часы, движущиеся с ускорением, идут медленнее, поэтому при возвращении отстанут именно они.

Эффект замедления хода часов получил экспериментальное подтверждение при исследовании частиц m-мезонов, образующихся в космических лучах. Среднее время жизни неподвижных m-мезонов составляет 2 10-6с.

Казалось бы, что двигаясь со скоростью света m-мезоны могут пройти расстояние 600м. Однако m-мезоны проходят расстояние 20-30 км и достигают земной поверхности, т.е.

для земного наблюдателя время жизни m-мезонов оказывается гораздо большим.

Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в подвижной системе в точках с координатами и происходят одновременно два события в момент времени = = b . Согласно формулам (7.

4) в системе K этим событиям будут соответствовать координаты t1 = (b + vo /c2)/(1- — b 2)0,5 и t2 = (b +vo /c2)/(1-b 2)0,5 . Из написанных формул видно, что если события в системе K пространственно разобщены ( ¹ ), они не будут происходить одновременно.

Например, при > получим t1 >t2 , т.е. событие в точке 1 для неподвижной системы отсчета произойдет раньше, хотя для подвижной системы эти события одновременны.

Длина тел в разных системах отсчета. Из преобразований (7.4) следует, что при движении тел их размеры по осям x и y не изменяются. Пусть в системе K покоится стержень, параллельный оси x .

Длина его, измеренная в этой системе, равна l = x2 — x1 , где x1 и x2 — координаты обоих концов стержня в системе K . Используя преобразования Лоренца (7.

4), выразим длину стержня в следующем виде l = ( + vo )/(1- b 2)0,5 — ( + + vo )/(1- b 2)0,5 = ()/(1-b 2)0,5 , где и — координаты концов стержня, измеренные в подвижной системе в один и тот же момент времени . Длина стержня в системе равна = — .

Окончательно получим l = /(1- b 2)0,5 или = l(1- b 2)0,5 . Отсюда следует l > . Длину l называют собственной длиной стержня в той системе отсчета, в которой он покоится. Это наибольшая длина стержня.

Если предмет начинает двигаться, его размеры в направлении оси x сокращаются пропорционально (1- b 2)0,5 . Например, если неподвижное тело является шаром, то при движении шар сжимается вдоль оси x , приобретая форму эллипсоида вращения.

Релятивистский закон сложения скоростей.Пусть опять система движется относительно системы K со скоростью vo вдоль оси x . Пусть vx = dx/dt есть компонента скорости некоторой частицы в системе K , а = — компонента скорости ее в системе . Дифференцируя формулы (7.4), получим

; dy = d ; dz = dz’; .

Разделив первые три равенства на четвертое и учитывая, что b = vo/c, находим

(7.6)

где vx , vy , vz — составляющие скорости частицы в системе K , , , — составляющие скорости частицы в системе . Полученные формулы и определяют преобразование скоростей. При с ® релятивистские формулы переходят в формулы классической механики.

Пусть корабль движется вдоль оси x со скоростью = c / 2 и некоторая частица движется в этом же направлении относительно корабля со скоростью = c / 2 . По формулам (7.6) получим vx = 4c/5 , т.е. по теории относительности 1/2 и 1/2 дают не 1, а 4/5.

Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, распространение света вдоль оси x , т.е. = с. Тогда по формулам (8.6) получим vx = (с + )/(1 + c/c2) = c . Итак, скорость света для неподвижного наблюдателя опять равна скорости света.

Интервал между событиями.

В теории относительности вводят понятие события, которое определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Событие можно изобразить точкой в воображаемом четырехмерном пространстве, на осях которого три пространственные координаты и время. Эти точки называются мировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия).

В классической физике при переходе от одной системы координат к другой координаты точек изменяются, но неизменным остается расстояние между двумя выбранными точками Dl, которое можно определить из формулы Dl2 = (x2 — x1 )2 + (y2 -y1)2 + (z2 — z1 )2, где x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 — координаты точек. В теории относительности при переходе от одной системы к другой расстояние между точками не остается постоянным, т.е. не является инвариантом. Инвариантом, не зависящим от выбранной системы координат, является интервал между событиями Ds, который определяется по формуле Ds2 = c2t2 — Dl2 . С формальной математической точки зрения интервал можно рассматривать как расстояние между мировыми точками в воображаемом четырехмерном пространстве.

Если Ds2 > 0, то интервал называют времениподобным,и существует такая система отсчета. в которой оба события произошли в одной точке. Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный.

Если Ds2 < 0, то интервал называют пространственноподобным,и сущес-твует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одно и тоже время.

Теория относительности сформулировала новое представление о пространстве и времени, показав, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи.

Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности) показало, что свойства пространства-времени определяются действующими в данной области полями тяготения, и изменяются в зависимости от концентрации в пространстве массы вещества.

Колебания.

Общие сведения.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости или такое движение, при котором система многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если этот возврат осуществляется через равные промежутки времени, то колебания называются периодическими.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Здесь мы будем рассматривать механические колебания.

Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль (колебания моста, вибрации корпуса корабля, вибрации крыльев самолета и т.п.). В подобных случаях задача состоит в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний.

Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

ПРИМЕРЫ колебательных движений: вибрация струны, движение поршня, суточные и годичные изменения температуры воздуха, морские приливы-отливы, биение сердца, тепловое движение ионов кристаллической решетки твердого тела, переменный ток и его электромагнитное поле, движение электронов в атоме и т.д.

Всевозможные колебательные движения имеют два общих характерных признака:

1. До начала колебаний и после их окончания тело находится в положении равновесия;

2. Наличие силы, которая возникает, как только тело выходит из положения равновесия. Эта сила пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению тела (направлена к положению равновесия). Для такой силы справедливо . Называется такая сила упругой силой. Под действием такой силы, например, может сжиматься и разжиматься пружина.

Но может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность.

Рассмотрим колебания математического маятника (рис. 8.1).

Отклоним маятник на некоторый угол j от положения равновесия и разложим силу тяжести на две составляющие:

— Pt – перпендикулярную нити;

— Pn – параллельную нити.

Под действием силы Pt шарик будет стремиться вернуться в положение равновесия. Pt=P·sinj. При малых углах sinj @ j и тогда Pt=-m·g·j. Знак «-», т.к. сила Pt препятствует возрастанию угла j. Сила Pt не упругая сила, но по своему действию и характеру аналогична упругой силе. Такая сила называется квазиупругой силой.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, как по физической природе, так и по степени сложности, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими (от греческого “гармоникс” – стройный).



Источник: https://infopedia.su/13x756c.html

7. Силы тяготения

Как определить напряженность гравитационного поля...

Предыдущий урокСледующий урок

Силами тяготения мы называем результат гравитационных взаимодействий, которые описываются весьма простым законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном:

Материальные точки притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:

        (11)

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Она характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия (численно равна силе притяжения двух точечных масс по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга) и является одной из основных физических констант. В единицах системы СИ ее величина равна:

G = 6,673·10-11H·м2/кг2 = 6,673·10-11м3/(кг·с2)

Формула (11) дает только величину силы взаимодействия двух точечных тел. На самом деле речь идет о двух силах, с которыми по третьему закону Ньютона действуют тела друг на друга, они равны по величине (11) и направлены навстречу друг к другу по прямой, соединяющей эти тела. Такие силы называются центральными.

Можно показать, что однородные тела, имеющую сферическую форму (даже если их размеры не малы по сравнению с расстоянием между ними), так же притягиваются с силами, определяемыми формулой (11), в этом случае r – это расстояние между центрами сфер.

Каким образом одно тело “узнает”, что ему “надо” притягиваться к другому телу? Другими словами, каков механизм передачи гравитационного взаимодействия от одного тела к другому? Ньютоновская механика предпочитает не отвечать на этот вопрос, она базируется на концепции теории дальнодействия, согласно которой одно тело действует на другое непосредственно, без какого-либо участия промежуточной среды. Это означает, например, что если масса одного из тел изменится в какой –либо момент времени, то силы притяжения между взаимодействующими телами, в частности, сила, действующая на другое тело, изменится в тот же момент времени, как бы далеко это другое тело ни находилось, без каких-нибудь изменений в окружающей среде. В современной физике предпочитают использовать теорию близкодействия, в которой передача любых взаимодействий между телами осуществляется посредством создания ими вокруг себя особого рода материальной среды — гравитационных полей (скорость передачи изменения поля, согласно теории относительности Эйнштейна, не может превышать скорости света – поэтому сила, действующая на другое тело изменится не в тот же момент времени, а спустя некоторое время). Понятие поля относится к числу основных понятий в физике, которые невозможно определить через другие, более простые понятия. Можно только описать его свойства.

Любое тело создает вокруг себя гравитационное поле, т.е. наделяет окружающее пространство определеными свойствами: любое другое тело, находящееся в этом поле, испытывает воздействие (силу) со стороны этого поля. Силовой характеристикой гравитационного поля является его напряженность .

Определим ее с помощью следующего мысленного опыта: пусть нам надо в некоторой точке пространства охарактеризовать гравитационное поле, создаваемое некоторым телом массой М. Поместим в интересующую нас точку пространства (в интересующую нас точку поля) “пробное” точечное тело массой m1 и измерим силу F1 , с которой поле будет действовать на него.

Если мы будем менять массу “пробного” тела: m1 → m2 → …→ mn, то, как показывает опыт, будет меняться и сила, действующая на него: F1 F2 →… → Fn, однако, отношение силы, действующей на него, к его массе, не будет зависеть от массы “пробного” тела: F1/m1 = F2/m2 = … = Fn/mn .

Следовательно, это отношение уже зависит только от поля и, поэтому, является характеристикой поля в данной точке пространства и называется напряженностью гравитационного поля в данном месте:

g = F/m           (12)

Напряженность – векторная характеристика поля, она направлена (так как m > 0) туда же, куда и сила притяжения F – т.е. в сторону тела массой М — тела, которое создает это поле.

Численно напряженность равна силе, действующей на “пробное” точечное тело с единичной массой, помещенное в данную точку поля.

Размерность напряжености поля совпадает с размерностью ускорения – в системе единиц СИ она равна Н/кг = м/с2.

Если нам известна напряженность g(r) гравитационного поля в любой точке пространства r, то, как это следует из определения (12), мы можем вычислить силу, которая будет действовать на точечное тело массой m, помещенное в данную точку поля:

F(r) = mg(r)

Рассмотрим гравитационное поле, создаваемое точечной массой М. Очевидно, что оно обладает сферической симметрией – вектор напряженности g в любой его точке направлен к массе М , создающей поле, и равен по величине, как это следует из закона (11)

g(r) = F/m = GM/r2   (13)

— зависит только от расстояния r до источника поля.

Как вычислить напряженность гравитационного поля, создаваемого не точечным, а протяженным телом? Опыт показывает, что гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции.

Он гласит, что гравитационное поле, создаваемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс.

Напряженность поля, создаваемого несколькими телами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых этими телами в отдельности.

В частности, чтобы найти напряженность поля, создаваемого любым протяженым телом, надо мысленно разбить его на множество отдельных элементов, настолько малых, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой, и найти векторную сумму напряженностей полей, создаваемых всеми этими отдельными элементами.

Пользуясь принципом суперпозиции, можно доказать, что гравитационное поле, создаваемое шаром со сферически-симметричным распределением массы (например, однородным шаром), вне этого шара такое же, что и гравитационное поле материальной точки такой же массы, помещенной в центр этого шара и выражается так же формулой (13).

Если считать Землю шаром с массой М, сферически-симметрично распределенной по объему, и радиусом R, то сила mg тяжести тела массой m, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна

mg(h) = GMm/(R + h)2   (14)

На поверхности Земли (h = 0):

mg = GMm/R2 (15)

Из последней формулы следует, что для Земли:

GM = gR2 = 9,8 м/с2·(6,4·106м)2 = 4·1014м3 / с2

Выясним теперь, какое гравитационное поле создается внутри тонкой сферы. Оказывается, внутри сферы напряженность поля равна нулю.

Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную точку А и покажем, что напряженности полей от двух противо положных участков сферы, отсекаемых узким конусом, взаимно уничтожаются.

Действительно, из подобия следует, что линейные размеры выбранных участков относятся как r1 / r2, следовательно, отношение их площадей S1 / S2, равное отношение масс М1 / М2 , есть М1 / М2 = S1/S2 = r12/r22.

Тогда из формулы (13) получаем, что создаваемые этими участками в точке А напряженности полей равны по величине, а из-за того, что они направлены противоположно, то в сумме они дают ноль.

Таким образом, если бы существовала планета, масса которой была бы равномерно распределена по тонкому сферическому слою некоторого радиуса, а внутри была бы пустота, то внутри этой планеты любое тело находилось бы в состоянии невесомости, а вне этой планеты гравитационное поле совпадало бы с полем точечного тела такой же массы, находящейся в центре этой сферы.

Теперь рассмотрим поле внутри однородного шара радиуса R и массы М. Возьмем точку на расстоянии r < R от центра шара. Проведем мысленно сферу радиусом r, разделив шар на две части – внутреннюю и внешнюю.

Как мы уже выяснили, поле, создаваемое в рассматриваемой точке всеми внешними сферическими слоями, равно нулю. Поэтому поле в этой точке совпадает с полем, создаваемым внутренней частью, т.е. шаром радиусом r. Масса этого шара равна Мr = ρ (4/3)π r3 = ρ (4/3)π R3r3 / R3 = Mr3 / R3 .

Напряженность поля, создаваемое этим шаром в рассматриваемой точке по формуле (13) равно:

gr = GMr/r2 = GMr3/(R3r2) = gor/R

где go – напряженность поля на поверхности шара радиуса R.

Зависимость величины напряженности поля от расстояния от центра шара можно видеть на рисунке.

Напряженность, а, значит, и сила тяжести линейно возрастает от центра до поверхности шара, а затем убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Рассмотрим несколько задач.

  1. 1. Доказать, что для всех планет, движущихся вокруг Солнца, отношение квадрата периода Т обращения к кубу радиуса R орбиты имеет одно и то же значение (предполагается, что орбиты большинства планет мало отличаются от круговых).

Решение.

Движущаяся по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью планета обладает цетростремительным ускорением, равным 4π 2R/T2. По второму закону Ньютона:

m4π 2R/T2 = F = GMm/R2

(здесь m — масса планеты, M — масса Солнца). Откуда: T2/R3 = 4π 2/(GM) = const

— не зависит от массы планеты, т.е. эта величина одна и та же для всех планет. Это утверждение известно как третий закон Кеплера. (На самом деле орбиты планет – эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце. В этом случае в качестве радиуса орбиты надо взять половину величины большой оси эллипса).

2. С какой скоростью движется спутник по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли?

Решение. Спутник движется под действием силы притяжения к Земле, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

mV2/(R + h) = GMm/(R + h)2

Откуда: V = (GM/(R + h))1/2 = (gR2/(R + h))1/2

С увеличением высоты h орбиты спутника его скорость уменьшается. Значение скорости спутника при h = 0 (в действительности такое движение, разумеется, невозможно из-за сопротивления воздуха) называется первой космической скоростью:

VI = (gR)1/2 = 7,9·103 м/с = 7,9 км/с

На самом деле достаточно долгое движение спутника возможно только тогда, когда его орбита пролегает выше атмосферы – на высотах не менее, чем 100 км над земной поверхностью.

Рассмотрим высоты h < < R. Если воспользоваться приближенной формулой для вычисления величины

(1 + х)-1/2 » 1 – х/2 (при х < < 1),

то значение скорости спутника на высоте h может быть вычислена так:

V = (gR2/(R + h))1/2 = (gR)1/2(1 + h/R)-1/2 » VI(1 — h/(2R))

Так, например, на высоте h = 200 км скорость спутника меньше первой космической примерно на 1/64 ее часть, т.е. на 124 м/с.

3. Радиус Солнца Rс = 7·105 км , радиус земной орбиты r = 1,5·108 км и период обращения Земли вокруг Солнца Т = 1 год. Найти среднюю плотность солнечного вещества. Каков минимально возможный период обращения спутника вокруг Солнца?

Решение. По второму закону Ньютона

mV2/r = GMcm/r2

Подставляя сюда значение скорости V = 2π r/T, получим:

Mc = 4π 2r3/(GТ2)

Тогда средняя плотность солнечного вещества будет равна

ρ = Mc /((4/3)π Rc3) = 3π r3/(GТ2Rc3) = 1,4 г/см3

Из последней формулы можно выразить период обращения спутника:

Т = (3π r3/(Gρ Rc3))1/2

Видно, что минимальный период получается при r = Rc (если бы это реально было возможно !):

Тмин = (3π /(Gρ ))1/2 » 104 с

Это примерно 2 часа 45 мин. Видно, что минимальное время обращения спутника вокруг небесного тела зависит только от средней плотности этого тела и не зависит от его радиуса.

Задача 1.

Что будет с камнем, брошенным в прорытый сквозь Землю по ее диаметру колодец, если не учитывать сил сопротивления?

Задача 2.

Какой максимальной скорости достигнет камень, пролетев в предыдущей задаче до центра Земли?

Задача 3.

Искусственный спутник, используемый в системе телесвязи, запушен в плоскости земного экватора так, что все время находится в зените одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли?

Предыдущий урокСледующий урок

Источник: http://school.komi.com/study/lessons/07.htm

Закон всемирного тяготения сила тяжести и напряженность гравитационного поля

Как определить напряженность гравитационного поля...

В статье вы узнаете про закон всемирного тяготения Ньютона, а также что такое напряженность гравитационного поля, движение тела в гравитационном поле, как вычислять центр массы материальных тел и теоремы Паппуса.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждое тело во вселенной притягивает другое тело с силой, прямо пропорциональной произведению масс обоих тел (M и m) и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между центрами масс обоих тел. Эта сила всегда действует по прямой линии, соединяющей оба центра масс.

G- это универсальная гравитационная постоянная величины

Сила гравитации действует между небесными телами огромной массы, а также между телами с незначительными массами в космическом масштабе, хотя в последнем случае она незаметно мала.

Напряженность гравитационного поля

Напряженность гравитационного поля представляет собой отношение силы F, действующей на тело, к массе m тела, помещенного в поле. Значение и направление напряженности гравитационного поля определяется вектором g :

Формула напряженности гравитационного поля

Напряженность гравитационного поля g является основным параметром, характеризующим это поле. На каждое тело действует сила тяготения, которое равняется массе тела умноженное на напряженность гравитационного поля:

Когда мы определяем вес тела около Земли, М — это масса Земли, а r — это расстояние от центра массы тела до центра Земли.

Движение тела в гравитационном поле, наклонная проекция

Первую космическую скорость называют минимальной скоростью, которой должно обладать тело с массой m, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли после стабильной орбиты с радиусом г. На этой орбите будет баланс центростремительной силы тяжести и центробежной силы инерции.

Таким образом, для орбиты, расположенной в точке h над Землей с радиусом R, первая космическая скорость равна

Вторая космическая скорость (скорость выхода) — это минимальная скорость, которая позволяет телу с массой m достигать бесконечного расстояния от Земли. Кинетическая энергия, которая должна быть отдана телу для этой цели, должна быть равна потенциальной энергии тела на поверхности Земли.

Следовательно, вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость

По аналогии мы определяем обе космические скорости для любого другого небесного тела.

Пример:

Предоставление тела с массой m начальной скорости v направленной под углом φ, означает, что это тело будет одновременно иметь горизонтальную начальную скорость v*cos φ и вертикальную начальную скорость v*sin φ, как показано на рисунке выше.

Анализируя движения тела в наклонной проекции, мы предполагаем следующие предположения: 1.

гравитационное ускорение g (значение вектора гравитационного поля g) является постоянным по всей траектории движения тела, и поэтому скорость в вертикальном направлении vy подвержена постоянным изменениям и по истечении времени t равна:

Мы опускаем сопротивление воздуха, и поэтому скорость тела в горизонтальном направлении vx постоянна, и тело летит в этом направлении, пока оно находится в воздухе.

В точке, где тело достигает максимальной высоты, его скорость равна нулю 

Исходя из этого, мы получаем время полета тела t от места его выброса для достижения наибольшей высоты

Время полета тела

Время падения тела с максимальной высоты до начальной точки совпадает со временем его подъема. Это означает, что время пребывания тела в воздухе и, следовательно, время его полета в горизонтальном направлении

Простым умножением постоянной горизонтальной скорости на время, в течение которого тело находится в воздухе, мы получаем диапазон проекции под углом x max :

Потому что этот максимальный диапазон

Интересный результат мы получаем после применения свойств функции синуса:

 После учета этого свойства симметрии, мы находим, что максимальный диапазон также выражается формулой 

то есть

Диапазоны x max при съемке на ровной дорожке и крутой дорожке одинаковы, но поскольку в обоих случаях вертикальные составляющие скорости различны, v o sin φ и v 0 sin (90º — φ), то максимальные высоты y max будут в обоих случаях разные. Максимальная высота для пути y max1 получается простым интегрированием

Подставляя время вознесения тела

мы получаем

Аналогично для крутого пути мы получаем

Соотношение обеих максимальных высот будет

Для φ = 45º обе высоты, конечно, одинаковы. Наконец, мы находим уравнение следа тела в угловом виде. Сначала мы определим координаты x и y тела, как функцию времени, потому что

после простой интеграции мы находим это

Стандартная процедура нахождения пути тела состоит в том, чтобы исключить время из этих уравнений. У нас есть первое уравнение

Подставив это выражение во второе из уравнений и после простого преобразования, мы обнаружим, что путь тела описывается уравнением

Это уравнение перевернутой параболы, как показано на правом рисунке. Фактический курс снаряда так называемый баллистическая кривая, форма, которой зависит от величины сопротивления воздуха, то есть от давления, влажности и ветра, а также от формы самого снаряда. Диапазон баллистической кривой намного меньше, чем диапазон, определяемый идеальной параболической дорожкой.

Центр массы материальных тел

В поисках центра масс C массы M погружаем тело в систему отсчета x, y, z и вырезаем элемент объема dV = dx dy dz, который соответствует элементу массы dm = ρdV, где ρ — плотность массы

Центр массы материальных тел

С элементами массы dm мы поступаем точно так же, как и раньше, с массами m i. Однако, поскольку массы dm бесконечно малы, сумма в формулах для координат центра масс должна быть заменена интегрированием. Интеграция осуществляется по всему объему твердого тела. В результате мы получаем полностью аналогичные выражения:

ПРИМЕРЫ СЛЕДУЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ

Пример 1: Найти центр масс однородного стержня с массой M и длиной L.

Пример 2: Найти центр масс однородной плиты, которая имеет форму равнобедренного треугольника. Пластина имеет массу M, длину основания A и высоту H.

Пример 3: Найти центр масс однородного вращающегося конуса с радиусом основания R и высотой H.

Иногда проблема нахождения центра масс сложной массы может быть сведена к проблеме центра масс системы материальных точек, например, для ломаной кривой, образованной из стержня:

Использование теорем Паппуса для расчета центра масс материальных тел

Две теоремы Паппуса полезны для нахождения центра массы материальной массы.

1. Теорема площади поверхности: если плоская кривая с длиной L повернута на определенный угол вокруг любой оси, лежащей в той же плоскости, и не пересекает эту кривую, то площадь результирующей поверхности поворотной поверхности равна произведению длины L на длину пути S, на который прошел центр масса С этой кривой.

2. Теорема об объеме: если замкнутая плоская фигура с полем A поворачивается на определенный угол вокруг любой оси, лежащей в той же плоскости, и не пересекает эту фигуру, то объем созданного таким образом вращательного тела равен произведению поля A и длины пути S, прошедшего центр масс С этой цифры.

Второе утверждение, конечно, верно, когда мы перемещаем рассматриваемую фигуру по прямой линии, перпендикулярной к ней, но когда мы перемещаем ее по кругу или другой кривой, могут быть созданы довольно специфические тела.

 Однако для изогнутой дорожки внешняя часть смещается больше, а внутренняя часть меньше, и оба эффекта сбалансированы.

 Поэтому, если мы хотим найти положение центра масс плоской плоскости с постоянной плотностью, достаточно вспомнить, что объем, возникающий при его вращении вокруг оси, равен расстоянию, на которое центр масс умножается на поверхность панели.

Поскольку наша задача состоит в том, чтобы найти центры масс, в теоремах Паппуса мы выбираем оси вращения и углы, на которые мы поворачиваем дуги или лепестки поверхности, чтобы легко было найти подходящие площади поверхности и объем твердых тел, возникающих в результате вращений.

Например, если мы хотим найти положение центра масс прямоугольного треугольника с основанием D и высотой H, мы можем решить эту проблему следующим образом. Мы представляем себе ось, проходящую через H и вращать треугольник вокруг оси на 360. Расстояние которой центр массы xc — координаты, это
2πxc. Скользящая фигура была треугольником; его поле равно 1/2 HD.

 Расстояние, пройденное центром масс, умноженное на поле треугольника, равно объему полученной фигуры, который, конечно, равен πD2H/3. Таким образом, (2πxc)(1/2 HD)= 1/3πD2H, то есть xc = D/3. Аналогичным образом, вращая вокруг другой оси или ссылаясь на симметрию, мы находим, что y c = H / 3.

 Действительно, центр масс каждой однородной поверхности треугольника находится в точке пересечения трех центральных линий, проведенных от вершин к центрам противоположных сторон (эта точка расположена на третьей части пути вдоль каждой медианы). Чтобы выяснить это, давайте разделим треугольник на множество небольших слоев, параллельных основанию.

 Следует отметить, что средняя часть делит каждый из этих слоев пополам, поэтому центр масс должен лежать на нем.

Более сложным случаем является нахождение местоположения центра масс однородного полукруга. Для полного круга центр масс, очевидно, находится в середине круга, но для полукруга проблема более сложная.

 Пусть r — радиус полукруга, ax c — расстояние центра масс от прямой кромки. Если мы повернем полукруг вокруг этого края так, чтобы образовалась сфера, центр масс пройдет расстояние 2πx c ; площадь поверхности πr 2 /2 (так как это только половина круга).

 В результате чего объем равен ходу 4π R 3 /3; мы находим из этого

Гравитационное взаимодействие

Основные воздействия на природу. Все известные взаимодействия, которые тела оказывают друг на друга, делятся на четыре типа:

  • гравитационные взаимодействия
  • слабые взаимодействия
  • электромагнитные взаимодействия
  • сильные взаимодействия

Каждое из этих взаимодействий сильно отличается от других силой, которую оно создает между двумя телами. Таблица показывает относительную силу каждого из ударной силы F относительно электромагнитной силы F E.

Тип воздействияF / F E
гравитационные10 -40
слабые10 -10
электромагнитные1
сильные10 2

Представленный список содержит все известные в природе силы, и каждое взаимодействие между телами осуществляется одной из этих четырех сил или комбинацией нескольких из них (например, при одновременном действии силы тяжести и электромагнитных сил).

Самым слабым из этих взаимодействий является гравитационное взаимодействие, примерно слабее электромагнитного в 10 40 раз.

 Сила гравитации, созданная в этом взаимодействии, всегда привлекательна и действует между телами, обладающими массой.

 Значение силы тяжести описывает уже известный закон тяготения Ньютона (эта сила прямо пропорциональна произведению обеих действующих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами масс).

Слабая сила, меньше, чем приблизительно 10 10 раз происходит между лептонов (например Электроны, мюоны (μ частицы) и taonami частицы), а также несет ответственность за деградацию бета частиц и ядер.

Электромагнитное взаимодействие создает силы, ответственные за структуру атома, за химические реакции и за все электромагнитные явления в окружающем нас мире.

 Эти силы действуют только между заряженными частицами и могут быть как притягивающими, так и отталкивающими, что отличает их от постоянно притягивающей силы притяжения.

 Значение силы, генерируемой при электромагнитном взаимодействии между двумя точечными нагрузками покоя, описывает так называемые Кулоновская сила (эта сила прямо пропорциональна произведению обоих заряженных частиц и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними).

Сильное взаимодействие, примерно в 1020 раз более сильнее, чем электромагнитное, действует только между тяжелыми частицами, называемыми адронами, которые делятся на барионы (например, протон, нейтрон) и мезоны (например, мезон π).

 Как мы увидим далее при обсуждении Стандартной модели, адроны имеют внутреннюю структуру и состоят из кварков, которые мы считаем фактически элементарными частицами. Каждый барион состоит из трех кварков и мезона из одного кварка и одного антикварка.

 Сильное взаимодействие между нуклонами (протон, нейтрон) вызывает их взаимную связь, приводящую к созданию атомного ядра. Сильные взаимодействия в атомных ядрах имеют очень короткий диапазон 10 -15.

Гравитация в космологии, существенное значение гравитации в эволюции звезд и поведение больших звезд

Хотя в атомном масштабе сила гравитации ничтожно мала, когда она действует в космическом масштабе внутри массивных тел (галактик, звезд, планет), она определяет взаимные движения этих тел и в то же время является очень важным фактором в их эволюции. В определенных процессах эволюции, происходящих в очень массивных звездах, гравитационные взаимодействия порождают взрывы, мощность которых во много раз превышает мощность, генерируемую в термоядерных реакциях этих звезд.

Эволюция звезды называется последовательностью процессов, которые протекают в звезде от ее рождения до окончательного гашения. Мы предполагаем, что звезда возникает в результате конденсации межзвездного вещества, которое происходит либо случайно, либо по необъяснимым причинам.

 Звезда затем растет в результате гравитационного притяжения масс новой материи. В этом изначальном холодном облаке гравитационно-сжатого вещества, называемого протозвездой, растет внутреннее давление.

 Это повышение давления постоянно повышает температуру до уровня 5-10 × 10 6. При этой температуре термоядерный синтез водорода начинает образовывать гелий. Период создания протозвезды, вероятно, составляет около 50 миллионов лет.

 Когда начинается термоядерная реакция, гравитационное сжатие уравновешивается увеличением внутреннего давления, вызванным этой реакцией.

В типичной звезде, которой является наше Солнце, скорость сгорания водорода оценивается примерно в 10 11 кг с -1, с выделением энергии около 6 × 10 25 Дж с -1. Считается, что солнце содержать достаточное количество водорода, чтобы записать его со скоростью 10 10 лет и что Солнце находится в середине его жизни как звезда.

 В конце концов, однако, период стабильности звезды подходит к концу, потому что энергии, генерируемой внутри термоядерных реакций внутри, уже недостаточно для уравновешивания гравитационного сжатия.

 Ядро звезд, в настоящее время содержащее в основном гелий, гравитационно разрушается до тех пор, пока температура не поднимется настолько высоко, что в окружающем ядре начинается новая фаза термоядерных реакций, состоящая из несгоревшего водорода. Энергия, полученная в этих реакциях, заставляет внешнюю оболочку звезды быстро расширяться и охлаждаться.

 При такой пониженной температуре, цвет раздутого в настоящее время покрытия меняется с белого на красный. Звезда в этом состоянии — красный гигант. В то же время ядро ​​звезды гравитационно сжимается, достигая температуры 10 8 К, и при этой температуре гелий, образующий ядро, становится центром, в котором взрывается новый тип термоядерных реакций.

 Продуктом этих реакций является углерод. Звезды относительно небольшой массы быстро сжигают гелий, содержащийся в ядре, и затем ядро ​​снова разрушается гравитационно, создавая объект, который мы называем белым карликом. Внешняя оболочка, которая ранее принадлежала красному гиганту, в это время уходит в космос.

Более крупные звезды, во много раз больше Солнца, имеют достаточно гелия в ядре, чтобы позволить процессу горения продолжаться, и тогда образуются более тяжелые элементы, вплоть до железа. Поэтому железо является самым тяжелым элементом, который может быть получен в процессе горения гелия в ядре звезды.

 Когда в такой большой звезде гелий окончательно сгорает, происходит настоящая катастрофа в космическом масштабе. Вся масса звезды коллапсирует гравитационно, и энергия, произведенная в этом процессе, вызывает гигантский взрыв всей звезды. Это явление называется взрывом сверхновой.

 Мощность энергии излучения, выделяющейся при взрыве сверхновой, заставляет звезду излучать 10 10 раз сильнее, чем средняя звезда. Это означает, что сверхновая доминирует над яркостью всей галактики, в которой она находится. При взрыве сверхновой самые тяжелые элементы, встречающиеся в природе, уже сформированы.

 Однако продолжительность жизни сверхновой коротка, и ее излучение исчезает через несколько лет. Остатки взрыва сверхновой завершают процесс эволюции, создавая так называемые нейтронные звезды или черные дыры.

Нейтронная звезда — это звезда, которая достигла конца своего эволюционного пути и в которой больше нет ядерного топлива.

 Теперь ничто не противодействует максимальному гравитационному коллапсу, и в результате звезда становится настолько сжатой, что электроны внутри нее вынуждены проникать в атомное ядро, где они соединяются с протонами и превращают их в нейтроны.

 Согласно принятой модели, нейтронная звезда имеет газовую оболочку толщиной в несколько метров, ниже которой находится сплошная кора толщиной около 1 км. Под корой простирается сверхтекучий слой, состоящий почти целиком из нейтронов. Сам центр такой звезды — чрезвычайно твердое ядро.

 Нейтронная звезда имеет диаметр, вероятно, не более 10 км, но ее масса в 1,5 раза больше массы Солнца, то есть 3 × 10 30кг. Это означает, что средняя плотность нейтронной звезды составляет около 10. 15 раз больше, чем плотность воды; это плотность, которую нельзя найти нигде во Вселенной. Считается, что пульсары — необычно правильные космические часы — это быстро вращающиеся нейтронные звезды, которые имеют очень сильные магнитные поля.

Черная дыра — это объект в космосе, созданный также гравитационным коллапсом, но в этом случае объект настолько массивен, что для него скорость выхода (вторая космическая скорость) равна скорости света.

 Предполагается, что появление черной дыры происходит в результате взрыва сверхновой, в которой ядро ​​материи, остающееся после взрыва, очень велико (много масс Солнца). Материал сердечника подвергается огромному гравитационному сжатию, что приводит к дальнейшему увеличению напряженности гравитационного поля.

 В какой-то момент это поле достигает критического значения, то есть оно становится настолько большим, что электромагнитное излучение попадает в него и больше не может распространяться в пространстве. Тогда созданный таким образом объект больше не светит, поэтому он становится черной дырой.

 поверхность, на котором гравитационное поле достигает этого критического значения, называется горизонтом событий. Мы не можем и никогда не сможем зарегистрировать или обнаружить что-либо, что происходит ниже горизонта событий. Мы заключаем о существовании черных дыр, основываясь на наблюдении за поведением небесных тел вблизи этих дыр.

 Если, например, черная дыра создает двойную систему с обычной звездой, то черная дыра высасывает вещество из этой звезды. Всасываемая материя сначала создает вращающийся диск вокруг черной дыры. Вещество в диске становится сжатым и нагретым до такой степени, что оно испускает рентгеновские лучи.

 Мы заключаем о существовании черных дыр, основываясь на наблюдении за поведением небесных тел вблизи этих дыр. Если, например, черная дыра создает двойную систему с обычной звездой, то черная дыра высасывает вещество из этой звезды. Всасываемая материя сначала создает вращающийся диск вокруг черной дыры.

 Вещество в диске становится сжатым и нагретым до такой степени, что оно испускает рентгеновские лучи.

 Мы заключаем о существовании черных дыр, основываясь на наблюдении за поведением небесных тел вблизи этих дыр. Если, например, черная дыра создает двойную систему с обычной звездой, то черная дыра высасывает вещество из этой звезды. Всасываемая материя сначала создает вращающийся диск вокруг черной дыры.

 Вещество в диске становится сжатым и нагретым до такой степени, что оно испускает рентгеновские лучи.

10 11, или сто миллиардов

Гравитационное поле влияет на поведение огромных звездных сообществ, таких как галактики. Каждая галактика — эллиптическая, спиральная или неправильная — содержит около 10 11 звезд, и все они скреплены гравитацией.

 Галактика, в которой находится наша Солнечная система, называется Млечный путь и представляет собой спиральную галактику, а Солнце находится на периферии этой спирали. Предполагается, что самые большие телескопы в диапазоне других галактик, число которых во Вселенной также оценивается в 10 11.

 Гравитационное поле также оказывает существенное влияние на ход таких гигантских событий, как галактические столкновения.

Кстати — количество нейронов (нервных клеток) в нашем мозгу совершенно случайно тоже 10 11. Каждый из этих нейронов связывается с рецепторными клетками, мышечными клетками, железистыми клетками или другими нейронами с сетью синаптических связей, число которых может достигать нескольких сотен на каждый нейрон. Фантастическая машина!

Источник: https://meanders.ru/zakon-vsemirnogo-tjagotenija.shtml

Гравитационное поле и его характеристики

Как определить напряженность гравитационного поля...

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Всякое тело изменяет свойства окружающего его пространства — создает в нем гравитационное поле.

Это поле проявляет себя в том, что помещенное в него другое тело оказывается под действием силы. Об «интенсивности» гравитационного поля, очевидно, можно судить по величине силы, действующей в данной точке на тело с массой, равной единице.

В соответствии с этим величину называют напряженностью гравитационного поля:

$G=\frac{F}{m} $. (1)

В этой формуле $F$ есть гравитационная сила, действующая на материальную точку массы $m$ в данной точке поля.

Размерность $G$ совпадает с размерностью ускорения. Напряженность поля тяготения вблизи поверхности Земли равна ускорению свободного падения $g$ (с точностью до поправки, обусловленной вращением Земли).

Из формулы (1) легко заключить, что напряженность поля, создаваемого материальной точкой массы $m'$, равна:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $e_{r} $ — орт радиус-вектора, проведенного из материальной точки в данную точку поля, $r$ — модуль этого радиус-вектора.

Потенциал гравитационного поля

Пусть гравитационное поле создается закрепленной в начале координат материальной точкой массы $m$. Тогда на материальную точку массы $m'$, находящуюся в точке с радиус-вектором $r$, будет действовать сила:

$F=Gm'=-\gamma \frac{mm'}{r{2}} e_{r}$ (2)

Потенциальная энергия точки $m'$ определяется в этом случае выражением:

$U=-\gamma \frac{mm'}{r} $. (3)

(потенциальная энергия при $r=\infty $ принята равной нулю). Выражение (3) можно трактовать также как взаимную потенциальную энергию материальных точек $m'$и $m$.

Из (3) видно, что каждой точке поля, создаваемого материальной точкой $m$, соответствует определенное значение потенциальной энергии, которой обладает в этом поле материальная точка $m'$. Поэтому поле можно характеризовать потенциальной энергией, которой обладает в данном месте материальная точка с $m'=1$ Величину

$\varphi =\frac{U}{m'} $. (4)

называют $потенциалом$ гравитационного поля. В этой формуле $U$ есть потенциальная энергия, которой обладает материальная точка массы $m'$ в данной точке поля.

Потенциал поля, созданного материальной точкой массы $m$на расстоянии $r$ от нее:

Зная потенциал поля, можно вычислить работу, совершаемую над частицей $m'$ силами поля при перемещении ее из положения 1 в положение 2. Эта работа будет равна:

$A_{1-2} =U_{1} -U_{2} =m(\varphi _{1} -\varphi _{2} )$. (5)

Согласно (4) сила, действующая на частицу $m'$, равна $F=m'G$, а потенциальная энергия этой частицы равна $U=m'\varphi $.

Так как $F=-abla U$, т. е. $m'G=-abla (m'\varphi )$. Вынеся из-под знака градиента константу $m'$ и сократив затем на эту константу, придем к соотношению между напряженностью и потенциалом гравитационного поля:

Принцип суперпозиции гравитационных полей

Принцип независимости действия сил для полей приводит к принципу их суперпозиции: гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Математически этот принцип выражается формулами:

На основе этих формул можно вычислить гравитационное поле любого тела. Для этого надо мысленно разбить тело на малые части, и подсчитать характеристики поля.

Гравитационное поле Земли является силовым полем, которое обусловлено притяжением ее массы и центробежной силой, возникающей как следствие вращения Земли. Гравитационное поле Земли:

  • зависит (хотя и в незначительной степени) от притяжения Луны, Солнца и прочих тел, а также массы земной атмосферы;
  • характеризуется силой тяжести, потенциалом и рядом различных производных (часть потенциала называют геопотенциалом — он обусловлен только притяжением Земли);
  • является основанием для определения геоида, который характеризует гравиметрическую фигуру Земли — по этой фигуре задаются высоты поверхности планеты;
  • по нему делают заключение о гидростатическом равновесном состоянии планеты и возникающих из-за этого напряжениях в её недрах, исследуют упругие свойства Земли;
  • помогает производить расчеты орбит искусственных спутников, траектории движения ракет;
  • аномалии поля помогают узнавать распределение неоднородностей по плотности в земной коре, верхней части мантии, проводить тектоническое районирование, искать полезные ископаемые.

Пример 1

Определить напряженность и потенциал гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности.

Дано: $r=\cdot 6,4\cdot 10{6}

Найти: $G$, $\varphi $-?

Решение:

Согласно второму закону Ньютона отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы равно ускорению частицы:

\[a=\frac{F}{m} .\]

У поверхности Земли это ускорение есть ускорение свободного падения $g$- величина, постоянная для всех тел.

Таким образом, получаем:

\[a=\frac{F}{m} =g.\]

По формуле (1) напряженность гравитационного поля Земли равна:

\[G=\frac{F}{m} .\]

Эта формула выражает величину напряженности через отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы.

Сравнивая выражения для ускорения частицы и напряженности гравитационного поля, получаем:

$G=g=9,8$ Н/кг.

Зная величину напряженности и выражения для напряженности $G=-\gamma \frac{m}{r{2} } $ и потенциала $\varphi =-\gamma \frac{m}{r} $ гравитационного поля, найдем величину его потенциала:

\[\varphi =-Gr=-9,8\cdot 6,4\cdot 10{6} =-6,2\cdot 10{7} 6/:3.\]

Ответ: $G=9,8$ Н/кг, $\varphi =-6,2\cdot 10{7} 6/:3.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/dinamika/gravitacionnoe_pole_i_ego_harakteristiki/

Сорокина т.п., сорокин б.п. и др. физика

Как определить напряженность гравитационного поля...

1.8.1. Закон всемирного тяготения

1.8.2. Сила тяжести, вес тела

1.8.3. Гравитационное поле — напряженность и потенциал

1.8.4. Гравитационное поле материальной точки

1.8.5. Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью гравитационного поля

1.8.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

1.8.7. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции

1.8.1. Закон всемирного тяготения

Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу.

Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения: две любые материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:

,(1.8.1)

где — гравитационная постоянная. Из формулы видно, что величина гравитационного взаимодействия не зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие тела, гравитационное взаимодействие существует и в вакууме. На рисунке1.8.1 изображено направление сил гравитационного взаимодействия двух материальных точек.

Рис. 1.8.1.

1.8.2. Сила тяжести, вес тела

Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности.

Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.

В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная

,(1.8.2.)

где R — радиус Земли, в месте расположения точки. Выражение (1.8.2.) можно переписать в виде:

,(1.8.3.)

где g — имеет смысл ускорения, с которым движутся под действием силы тяжести все материальные тела у поверхности Земли.

Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах.

Это обусловлено суточным вращением Земли, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км).

Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падания, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2.

Пусть тело расположено на расстоянии (±h) от поверхности Земли (знак плюс — над поверхностью, знак минус — под поверхностью), тогда сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается, а при приближении к центру Земли — увеличивается:

.(1.8.4.)

Вес тела — сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется, когда тело движется с ускорением отличным от ускорения свободного падения (g), т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию:

.

Тогда вес тела

.(1.8.5.)

Вес тела, движущегося с ускорением равен произведению массы тела на геометрическую разность ускорения свободного падения и ускорения тела.

Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:

, .(1.8.6.)

Например,

1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести () в лифте вертикально вниз;

2) космический корабль движется по орбите, при этом его центростремительное ускорение , направлено так же как ускорение силы тяжести вдоль радиуса к центру Земли, и вес всех тел находящихся в корабле равен нулю.

1.8.3. Гравитационное поле — напряженность и потенциал

Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.

Гравитационное поле — это особый вид материи, который создается вокруг любого тела обладающего массой, главное свойство гравитационного поля — действовать на тела, обладающие массой. Как и любое поле — гравитационное поле характеризуется с помощью двух физических величин:

1.Напряженность гравитационного поля (), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):

.(1.8.7)

Единица измерения напряженности гравитационного поля [g]=м/с2.

Линия напряженности гравитационного поля — линия, касательные, к каждой точке которой совпадает с вектором напряженности.

На всякое тело массой m, внесенное в поле, действует сила тяготения или сила тяжести, равная произведению массы тела на напряженность гравитационного поля в месте расположения тела:

.(1.8.9)

Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ()

2. Потенциал гравитационного поля (φ) — энергетическая характеристика поля, скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:

.(1.8.10)

Единица измерения [φ]=Дж/кг.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:

.(1.8.11)

Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 равна:

,

.(1.8.12)

Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, образованные точками поля, потенциал которых одинаков. Работа гравитационного поля при движении тела вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Можно дать второе определение потенциала поля тяготения — это работа по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

1.8.4. Гравитационное поле материальной точки

В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.

1. Напряженность гравитационного поля материальной точки массой (M) прямо пропорциональна массе точки, и убывает по величине обратно пропорционально расстоянию от этой точки (r), направлена вдоль лучей, сходящихся в точке — источнике поля:

.(1.8.13)

2. Потенциал гравитационного поля материальной точки массой (M) — прямо пропорционален массе материальной точки, создающей поле и убывает обратно пропорционально расстоянию от источника поля:

.(1.8.14)

Из формулы (1.8.11) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом, т.е. эквипотенциальные поверхности данного поля — это сферические поверхности.

Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).

Рис. 1.8.2.

Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на расстоянии r от источника гравитационного поля — тела массой (M):

.

Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

,

где R — радиус Земли. Так как

, и, учитывая, что h

Источник: http://www.kgau.ru/distance/2013/et4/001/01_08.htm

Biz-books
Добавить комментарий