Как определить момент инерции блока…

Содержание
  1. Определение момента инерции твердых тел
  2. Лабораторная работа: Определение момента инерции твердых тел
  3. Момент инерции: относительно оси вращения, материальной точки и твердых тел
  4. Момент инерции тела относительно оси вращения
  5. Момент инерции материальной точки
  6. Момент инерции сложного тела с частицами
  7. Момент инерции твердого тела
  8. Момент инерции обода
  9. Момент инерции шара
  10. Момент инерции сферы
  11. Момент инерции к оси цилиндра
  12. Момент инерции к оси через центр цилиндра
  13. Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины
  14. Глава 11. Раскручиваем объекты: момент инерции – FIZI4KA
  15. Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения
  16. Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое
  17. Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения
  18. Вычисляем момент инерции протяженного объекта
  19. Пример: замедление вращения компакт-диска
  20. Еще один пример: поднимаем груз
  21. Вычисляем энергию и работу при вращательном движении
  22. Работа при вращательном движении
  23. Изучаем кинетическую энергию вращательного движения
  24. Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости
  25. Не можем остановиться: момент импульса
  26. Сохраняем момент импульса
  27. Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника
  28. Определение момента инерции твердых тел (5)
  29. Определение момента инерции твердых тел (стр. 2 из 2)
  30. Определение момента инерции в машине атвуда
  31. Записи по теме

Определение момента инерции твердых тел

Как определить момент инерции блока...

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу «Общая физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Выполнил: студент группы

Проверил:

2009 г.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6.

Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов.

За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное — риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуда

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

1 – стойка;

2 – блок;

3 – нить;

4 – грузы;

5 – средний кронштейн;

6 – фотодатчик;

7 – линейка;

8 – миллисекундомер;

9 – регулировочная опора.

Рис. 2.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значение времени и средние значение квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузкомпутиh:

(3.1), (3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути h:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути h:

σсл(t) = t(, n)  S(t) ; (3.4)

где t(, n) — коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где ti − время прохождения пути при i–ом измерении ( i =1. … , n);

n – число измерений;

< t > – среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения путиh:

σ(t2) = 2 σ(t) (3.6)

Исследуемая зависимость двух величин t2 и h является линейной, то есть удовлетворяет в общем виде формуле:

(3.7)

где k — константа, зависящая от параметров экспериментальной

установки:

(3.8)

где I − его момент инерции блока ;

R– радиус блока ;

M, m – масса груза и перегрузка ;

g – ускорение свободного падения.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Результаты измерений времени прохождения груза

(Таблица 4.1)

Номер измерения

h1 =28,0 см

h2 =22,0 см

h3 =18,0 см

h4 =12,0 см

h5 =8,0 см

13,6173,2813,0922,3481,98623,733,232,8912,3461,92133,7973,4143,1332,5212,09943,5973,4143,0612,3232,05853,8373,2382,8822,4122,0963,7163,3153,0122,392,03213,81510,9999,0825,7174,134

Из таблицы методического указания к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа определим коэффициент Стьюдента.

t(, n) = 2,1

Расчет погрешностей для построения графиков при коэффициенте

Стьюдента = 2,1

(Таблица 4.2)

Номерсерии

опытов

Среднеквадра-тичноеотклонение

, с

Случайнаяпогрешность

, с

Абсолютнаяпогрешность

, с

Погрешность
вычисления

, с2

10,050,110,1113,815 ± 0,820,040,080,0810,999 ± 0,530,050,110,119,082 ± 0,740,040,080,085,717 ± 0,450,040,080,084,134 ± 0,3

Определяем абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени согласно методическому указанию к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа

с.

Построение графиков.

Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам :

где обозначено:

k = 0,49 с2/м угловой коэффициент прямой

b = 0,06 с2 отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

Искомая зависимость имеет вид: t2= 0,49h, с2(4.1)

Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях h по выражению 4.1:

h01 = 15 см, t201= 0,49×15= 7,35 c2 → точка A01

h02 = 29 см, t202= 0,49×29=14,21 c2 → точка A02

Рисунок 4.1. Зависимость квадрата времениt2от пройденного пути h

Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом наименьших квадратов определяются по следующим формулам:

где

∆(k) ≈ 0,01 с2/м

∆(b) = 0,17 с2

Используя выражение (3.7) для и учитывая, что г, г, R=75*10-3 и g=980,67 см/с2 вычисляется момент инерции блока.

I_ex = 16986 г∙см2

Абсолютная погрешности косвенного определения момента инерции блока Iэ в ходе эксперимента, по формуле:

∆(I_ex) = 552 г∙см2

Экспериментальное значение момента инерции блока:

I_ex = (16986 ± 552) г∙см2 = (1,7 ± 0,6) × 10 -4 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок (латунь, = 8400 кг/м3), рассчитать его момент инерции.

Толщина блока в метрах d = 6∙10-3м

Объём сплошного диска V_CD = π∙d∙R2

V_CD = 1,06 см3

Масса сплошного диска m_CD = p∙ V_CD

m_CD = 890 г = 0,89 кг

Момент инерции сплошного диска I_CD = 1/2∙ m_CD∙r22

I_CD = 25031 г∙см2

Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can каждого диска находится по теореме Штейнера.

Радиус каждого выреза в метрах r2 = 30∙10-3 м

Объём каждого выреза V_can = π∙d∙ r22

V_can = 1.696∙10-5 см3

Масса каждого вырезанного диска m_can= p∙V_can

m_can=142 г = 0,142 кг

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс:

Ic=1/2∙ m_can∙ r22 Ic = 639 г∙см2

r1=40∙10-3м расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого

вырезанного диска в метрах

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока:

I_can=Ic+ m_can∙ r12 I_can = 639 г∙см2

Момент инерции цилиндрического отверстияIотв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем по формуле:

= 2911 г∙см2

Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков

I_an= I_CD-3∙ I_can I_an = 16298 г∙см2

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5. ВЫВОДЫ

Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения t2 = f(h)= 0,49hс2.

Все точкив этой зависимостиукладываются на прямую в пределах их погрешностей. Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t2 = f(h) соответствует теоретической, т.е.

экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 1,7 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:

I_an = 1,6 кг∙м2

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента, больше расчетного

Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент сил и момент инерции?

Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояниеr от оси вращения до линии действия

Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерциихарактеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от распределения его массы относительно оси вращения.

Для элемента тела массой dm момент инерции dIвыражается соотношением: dI = r2dm,

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла

где интегрирование осуществляется по всему телу.

2. Моменты каких сил действуют на блок?

R

Mg

T2

T2

T1

T1

(M+m)g

x

Т1 и Т2 – силы натяжения нитей.

На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

M1= T1R, M2= T2R .

Вращательное движение блока описывается уравнением:

Рис. 6.1

где ε — угловое ускорение блока, I— его момент инерции,

— сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Согласно рис.6.1 вращательное движение блока описывается уравнением

  1. Как рассчитать момент инерции блока?

Сформулировать теорему Штейнера.

Момент инерции блока рассчитывается как:

I = Iдиск – 3× Iотв

где Iдиск – момент инерции сплошного диска;

Iотв – момент инерции цилиндрического отверстия (“дырки”).

Момент инерции цилиндрического отверстияIотв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем согласно теоремы Штейнера.

Теорема Штейнера :

Момент инерции Iотносительно произвольной оси, равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

I = I0 + ml2

4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

Физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин; точность вычислений.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

К работе прилагается:

  • регистрационный файл — phyLab2.reg
  • файл журнала измерений — Ж.лаб2.txt

Скачать оригинальный файл

Источник: https://globuss24.ru/doc/opredelenie-momenta-inercii-tverdyh-tel

Лабораторная работа: Определение момента инерции твердых тел

Как определить момент инерции блока...

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу «Общая физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Выполнил: студент группы

Проверил:

2009 г.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6.

Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов.

За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное — риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуд а

1 – стойка;

2 – блок;

3 – нить;

4 – грузы;

5 – средний кронштейн;

6 – фотодатчик;

7 – линейка;

8 – миллисекундомер;

9 – регулировочная опора.

Рис. 2.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значение времени и средние значение квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузкомпутиh :

(3.1), (3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути h :

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути h :

σсл (t ) = t(a, n ) ×S (t ) ; (3.4)

где t(a, n ) — коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где ti − время прохождения пути при i–ом измерении ( i =1. … , n );

n – число измерений;

< t > – среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения путиh :

σ(t2 ) = 2 σ(t ) (3.6)

Исследуемая зависимость двух величин t2 и h является линейной , то есть удовлетворяет в общем виде формуле:

(3.7)

где k — константа, зависящая от параметров экспериментальной

установки:

(3.8)

где I − его момент инерции блока ;

R – радиус блока ;

M , m – масса груза и перегрузка ;

g – ускорение свободного падения.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Результаты измерений времени прохождения груза

(Таблица 4.1)

Номер измеренияh1 =28,0 смh2 =22,0 смh3 =18,0 смh4 =12,0 смh5 =8,0 см
13,6173,2813,0922,3481,986
23,733,232,8912,3461,921
33,7973,4143,1332,5212,099
43,5973,4143,0612,3232,058
53,8373,2382,8822,4122,096
3,7163,3153,0122,392,032
13,81510,9999,0825,7174,134

Из таблицы методического указания к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа определим коэффициент Стьюдента.

t(a, n ) = 2,1

Расчет погрешностей для построения графиков при коэффициенте

Стьюдента = 2,1

(Таблица 4.2)

Номер серииопытовСреднеквадра-тичное отклонение, сСлучайная погрешность, сАбсолютная погрешность, сПогрешность вычисления, с2
10,050,110,1113,815 ± 0,8
20,040,080,0810,999 ± 0,5
30,050,110,119,082 ± 0,7
40,040,080,085,717 ± 0,4
50,040,080,084,134 ± 0,3

Определяем абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени согласно методическому указанию к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа

с.

Построение графиков.

Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам :

где обозначено:

k= 0,49 с2 /м угловой коэффициент прямой

b= 0,06 с2 отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

Искомая зависимость имеет вид: t2 = 0,49h, с2 (4.1)

Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях h по выражению 4.1:

h 01 = 15 см, t 2 01 = 0,49×15= 7,35 c2 → точка A 01

h 02 = 29 см, t 2 02 = 0,49×29=14,21 c2 → точка A 02

Рисунок 4.1. Зависимость квадрата времениt2 от пройденного пути h

Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом наименьших квадратов определяются по следующим формулам:

где

∆(k) ≈ 0,01 с2 /м

∆(b) = 0,17 с2

Используя выражение (3.7) для и учитывая, что г, г, R= 75*10-3 и g=980,67 см/с2 вычисляется момент инерции блока.

I_ex = 16986 г∙см2

Абсолютная погрешности косвенного определения момента инерции блока I э в ходе эксперимента, по формуле:

∆(I_ex) = 552 г∙см2

Экспериментальное значение момента инерции блока:

I_ex = (16986 ± 552) г∙см2 = (1,7 ± 0,6) × 10 -4 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок (латунь, r = 8400 кг/м3 ), рассчитать его момент инерции.

Толщина блока в метрах d= 6∙10-3 м

Объём сплошного диска V_CD= π∙d∙R2

V_CD= 1,06 см3

Масса сплошного диска m_CD= p∙ V_CD

m_CD = 890 г = 0,89 кг

Момент инерции сплошного диска I_CD= 1/2∙ m_CD∙r2 2

I_CD = 25031 г∙см2

Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can каждого диска находится по теореме Штейнера.

Радиус каждого выреза в метрах r2 = 30∙10-3 м

Объём каждого выреза V_can= π∙d∙ r2 2

V_can= 1.696∙10-5 см3

Масса каждого вырезанного диска m_can= p∙V_can

m_can=142 г = 0,142 кг

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс:

Ic=1/2∙m_can∙ r2 2 Ic = 639 г∙см2

r1 =40∙10-3 м расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого

вырезанного диска в метрах

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока:

I_can=Ic+ m_can∙ r1 2 I_can = 639 г∙см2

Момент инерции цилиндрического отверстияI отв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем по формуле:

= 2911 г∙см2

Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков

I_an= I_CD-3∙ I_can I_an = 16298 г∙см2

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5. ВЫВОДЫ

Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения t2 = f(h)= 0,49h с2 .

Все точкив этой зависимостиукладываются на прямую в пределах их погрешностей.Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t2 = f(h) соответствует теоретической, т.е.

экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 1,7 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:

I_an = 1,6кг∙м2

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента, больше расчетного

Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент сил и момент инерции?

Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояниеr от оси вращения до линии действия

Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерции характеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от распределения его массы относительно оси вращения.

Для элемента тела массой dm момент инерции dI выражается соотношением: dI = r2 dm ,

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла

где интегрирование осуществляется по всему телу.

2. Моменты каких сил действуют на блок?

Т1 и Т2 – силы натяжения нитей.

На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

M1 = T1 R, M2 = T2 R .

Вращательное движение блока описывается уравнением:

Рис. 6.1

где ε — угловое ускорение блока, I — его момент инерции,

— сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Согласно рис.6.1 вращательное движение блока описывается уравнением

3. Как рассчитать момент инерции блока?

Сформулировать теорему Штейнера.

Момент инерции блока рассчитывается как:

I = I диск – 3× I отв

где I диск – момент инерции сплошного диска;

I отв – момент инерции цилиндрического отверстия (“дырки”).

Момент инерции цилиндрического отверстияI отв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем согласно теоремы Штейнера.

Теорема Штейнера :

Момент инерции Iотносительно произвольной оси, равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

I = I0 + ml2

4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

Физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин; точность вычислений.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

К работе прилагается:

· регистрационный файл — phyLab2.reg

· файл журнала измерений — Ж.лаб2.txt

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-224695.html

Момент инерции: относительно оси вращения, материальной точки и твердых тел

Как определить момент инерции блока...

В статье узнаете что такое момент инерции, как влияет ось вращения, а также момент вращения для материальной точки, множества частиц и для твердых тел.

Момент инерции, обозначенный буквой I, является физической величиной, характерной для вращательного движения тела. Это значение предполагает постоянное значение для данного тела и конкретной оси его вращения.

 Величина момента инерции зависит от веса тела, положения оси вращения, вокруг которой вращается тело и распределения его массы. Поэтому можно написать, что момент инерции тела информирует нас о том, как масса вращающегося тела распределяется вокруг фиксированной оси его вращения.

 Чем выше значение момента инерции, тем сложнее установить или изменить вращательное движение данного тела (например, уменьшить или увеличить его угловую скорость).

Момент инерции тела относительно оси вращения

На следующем рисунке показано, как выбор оси вращения тела влияет на значение момента его инерции и, следовательно, на легкость/сложность его вращения. На рисунках а) и б) показан однородный цилиндр с радиусом r и высотой h, который вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и вокруг оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б).

Ролик с радиусом r и высотой h вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б)). Вес ролика в случае а) гораздо более сфокусирован вблизи его оси вращения, чем в случае б), поэтому цилиндр с рисунка а) вращать легче, чем ролик с рисунка б).

В обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же телом, но в первом случае (рис. А) легче вращать ролик.

 Причиной такой ситуации является различное распределение веса цилиндра вокруг его оси вращения: при вращении цилиндра вокруг продольной оси масса ролика более сфокусирована вблизи оси вращения, чем во второй.

 В результате получается меньшее значение момента инерции цилиндра из рисунка а), а не цилиндра из рисунка б).

Если вы не хотите читать всю информацию советуем вам посмотреть видео про момент силы, в котором вы узнаете абсолютно все:

Момент инерции материальной точки

Чтобы вычислить момент инерции и вращение отдельной частицы вокруг заданной оси вращения, используем следующее выражение:

где m — масса частицы, r — расстояние частицы от оси вращения. 

Момента инерции измеряется в кг ⋅ м2 в системе СИ.

Момент инерции сложного тела с частицами

Момент инерции тела, состоящего из n частиц, равен сумме моментов инерции каждой частицы относительно данной оси вращения.

 Например, для тела, состоящего из четырех частиц, имеем: 

где m1, m2, m3 и m4 — массы частиц, которые составляют тела, r1, r2, r3 и r4, расстояние от оси вращения соответственно частиц с массами m1, m2, m3 и m4.

Момент инерции твердого тела

Когда тело состоит из очень многих частиц, расположенных близко друг к другу, сумма моментов инерции в приведенном выше уравнении заменяется интегралом. Если расширенное тело разделено на бесконечно малые элементы с массой dm, удаленной от оси вращения на величину r, момент инерции I будет равен: 

На следующем рисунке показаны выбранные расширенные тела с их моментами инерции, рассчитанными для осей вращения, указанных на чертежах.

Момент инерции обода

Момент инерции обода будет равен I=mr2

Момент инерции шара

Момент инерции шара будет равен I=2/5mr2

Момент инерции сферы

Момент инерции сферы будет равен I=2/3mr2

Момент инерции к оси цилиндра

Момент инерции к оси цилиндра будет равен I=1/2mr2

Момент инерции к оси через центр цилиндра

Момент инерции к оси цилиндра, проходящей через центр цилиндра будет равен I=1/4mr2+1/12mh2

Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины

Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины, которая проходит через ее центр будет равен I=1/12m(x2+y2)

Важное примечание:
при вводе значения момента инерции I для данного тела не забывайте всегда указывать ось вращения, для которой было рассчитано значение I.

Источник: https://meanders.ru/moment-inercii.shtml

Глава 11. Раскручиваем объекты: момент инерции – FIZI4KA

Как определить момент инерции блока...

Физика с формулами ›

В этой главе…

  • Переходим от динамики поступательного движения к динамике вращательного движения
  • Вычисляем момент инерции
  • Определяем работу вращательного движения
  • Находим связь между работой и изменением кинетической энергии
  • Изучаем закон сохранения момента импульса

Эта глава посвящена динамике вращательного движения, т.е. описанию сил и их влияния на характер вращательного движения.

Здесь рассматриваются основные законы динамики вращательного движения по аналогии с законами динамики поступательного движения. Например, описывается аналог второго закона Ньютона (см.

главу 5), представлено новое понятие “момент инерции”, исследуется связь между работой и кинетической энергией и т.п.

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​\( \mathbf{a} \)​ — это вектор ускорения, \( \mathbf{F} \) — вектор силы, а ​\( m \)​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения.

А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения \( \mathbf{a} \) играет угловое ускорение \( \alpha \), а роль силы \( \mathbf{F} \) — момент силы \( \mathbf{M} \)? Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так.

А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​\( l \)​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1.

Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика. (Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения.

Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​\( r \)​, получим:

Поскольку ​\( r\mathbf{F}=\mathbf{M} \)​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е.

объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​\( r \)​. Для протяженного объекта следует использовать другие формулы, которые описываются далее в этой главе. — Примеч. ред.

)

Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое

Чтобы полностью перейти от описания поступательного движения к описанию вращательного движения, необходимо использовать связь между угловым ускорением ​\( \alpha \)​ и тангенциальным ускорением ​\( \mathbf{a} \)​. Как нам уже известно из главы 10, они связаны следующим соотношением:

Подставляя это выражение в приведенную выше формулу

получим:

Итак, мы получили связь момента силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Коэффициент пропорциональности между ними, ​\( l=mr2 \)​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​\( \mathbf{\sum\!F} \)​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где \( \mathbf{\sum\! M} \) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м2.

Помните, что аналогом второго закона Ньютона при описании вращательного движения является формула ​\( \mathbf{\sum\! M}=l\alpha \)​, т.е. угловое ускорение прямо пропорционально сумме всех моментов сил, действующих на вращающийся точечный объект, и обратно пропорционально моменту инерции.

Пусть мячик из предыдущего примера (см. рис. 11.1) имеет массу 45 г, а длина нити равна 1 м. Какой момент сил необходимо приложить, чтобы обеспечить угловое ускорение — ​\( 2\pi с{-2} \)​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

получим:

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения.

Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​\( r \)​.

В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где \( r \) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика \( m \).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда.

А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине.

Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​\( l \)​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​\( m \)​ на расстояниях ​\( r_1 \)​ и ​\( r_2 \)​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​\( l_1=mr_12 \)​ и \( l_2=mr_22 \):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения.

Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду.

Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​\( r \)​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​\( \Delta\omega \)​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​\( \omega_1 \)​ — конечная, а \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​\( 2\pi \)​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит \( 2\pi \) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения.

Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н.

Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​\( \mathbf{\sum\! M} \)​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​\( M_1 \)​ со стороны груза весом ​\( mg \)​, а другой \( M_2 \) — со стороны горизонтальной силы ​\( F \)​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​\( M_1 \)​ и \( M_2 \) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​\( r \)​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​\( l \)​, ​\( M_1 \)​ и ​\( M_2 \)​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

Вычисляем энергию и работу при вращательном движении

При изучении поступательного движения в главе 8 мы познакомились с понятием работа. Она равна произведению силы на перемещение под действием этой силы.

Можно ли выразить работу при вращательном движении на основе его характеристик? Конечно можно, и для этого потребуется преобразовать силу в момент силы, а перемещение — в угол.

В этом разделе демонстрируется такое преобразование, а также связь работы с изменением энергии.

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины.

Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении? Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину.

Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​\( r \)​ и для ее вращения используется сила ​\( F \)​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​\( s \)​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​\( s \)​ равно произведению радиуса ​\( r \)​ на угол поворота шины ​\( \theta \)​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​\( M \)​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​\( 2\pi \)​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Изучаем кинетическую энергию вращательного движения

Из главы 8 нам уже известно, что объект массы ​\( m \)​, движущийся поступательно со скоростью ​\( v \)​, обладает кинетической энергией:

А как получить формулу кинетической энергии для вращающегося объекта? Нужно применить данную формулу для всех его частичек.

При описании вращательного движения аналогом массы является момент инерции, а аналогом скорости — угловая скорость.

Как известно (см. главу 10), тангенциальная скорость ​\( v \)​ и угловая скорость ​\( \omega \)​ связаны соотношением:

где ​\( r \)​ — это радиус окружности вращения.

Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, получим:

Однако эта формула справедлива только для бесконечно малой материальной точки. Чтобы определить кинетическую энергию протяженного объекта, нужно просуммировать кинетические энергии всех его мельчайших материальных точек, т.е. вычислить сумму:

Как можно было бы упростить эту формулу? Предположим, что все составляющие частички протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью. Тогда угловую скорость можно вынести за знак суммирования и получим:

Здесь начинается самое интересное. Ранее в этой главе уже приводилась формула момента инерции:

Теперь совсем нетрудно сделать подстановку в предыдущей формуле кинетической энергии:

Итак, кинетическая энергия вращательного движения вычисляется аналогично кинетической энергии поступательного движения, если вместо массы использовать момент инерции, а вместо тангенциальной скорости — угловую скорость.

Примеры кинетической энергии вращательного движения окружают повсюду. Спутник на космической орбите и бочка пива, которую скатывают по наклонной плоскости, обладают определенной кинетической энергией вращательного движения.

Особенности вращательного движения бочки пива более подробно описываются в следующем разделе.

Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости

Итак, нам уже известно, что объекты могут двигаться поступательно и вращательно, причем двигаться так, что без знания строгих законов физики порой трудно понять их поведение.

Да ну? Действительно, если бочка скользит вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения (см. главу 8).

А если бочка скатывается вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается не только в кинетическую энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращательного движения.

На рис. 11.4 показан случай, когда с наклонной плоскости высотой ​\( h \)​ скатываются сплошной и полый цилиндры с одинаковой массой ​\( m \)​. Какой цилиндр достигнет нижнего конца наклонной плоскости?

Иначе говоря: какой цилиндр будет обладать большей скоростью в конце наклонной плоскости? Поскольку действующие на цилиндры силы постоянны, то постоянны и их ускорения, а значит, большая скорость в конце пути означает меньшее время его прохождения. В случае только поступательного движения цилиндра и при отсутствии трения уменьшение потенциальной энергии ​\( mgh \)​ преобразуется в увеличение кинетической энергии только поступательного движения ​\( {}1\!/\!_2mv2 \)​, т.е.:

Однако в данном примере эта формула не годится, потому что цилиндры скатываются без проскальзывания.

Это значит, что часть уменьшения потенциальной энергии будет преобразовываться в увеличение кинетической энергии поступательного движения \( {}1\!/\!_2mv2 \), а часть — в кинетическую энергию вращательного движения \( {}1\!/\!_2I\omega 2 \). Тогда предыдущее равенство принимает следующий вид:

Сделаем подстановку ​\( \omega=v/r \)​ и получим:

Путем несложных алгебраических преобразований получим:

откуда легко получить выражение для скорости цилиндра:

Для обоих цилиндров все параметры одинаковы, кроме момента инерции ​\( I \)​. Как это повлияет на скорость цилиндров? Согласно данным из табл. 11.1, полый цилиндр имеет момент инерции ​\( mr2 \)​, а сплошной — ​\( {}1\!/\!_2mr2 \)​.

Итак, для полого цилиндра получим:

а для сплошного цилиндра:

А их отношение равно:

Как видите, скорость сплошного цилиндра в 1,15 раза больше скорости полого цилиндра, а значит, сплошной цилиндр быстрее достигнет конца наклонной плоскости.

Как на пальцах объяснить полученный результат? Все очень просто. В полом цилиндре вся масса сосредоточена на расстоянии радиуса цилиндра, а в сплошном цилиндре значительная часть масса распределена ближе радиуса. Это значит, что при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре больше материала будет обладать большей тангенциальной скоростью, а для этого потребуется потратить больше энергии.

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​\( m \)​ — это масса, a ​\( v \)​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​\( l \)​ — это момент инерции, а ​\( \omega \)​ — угловая скорость материальной точки.

Следует помнить, что момент импульса (или вращательный импульс) является вектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м2·с-1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение.

Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость.

Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​\( \omega_0 \)​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​\( I_0 \)​ и в позе с сомкнутыми руками ​\( I_1 \)​, легко найти конечную угловую скорость ​\( \omega_1 \)​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях.

Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой.

Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·106 м от центра Плутона и имеет скорость 9·103 м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·107 м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​\( I_{бл} \)​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, \( I_{дал} \) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, \( \omega_{бл} \) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а \( \omega_{дал} \) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

и

где ​\( r_{бл} \)​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а \( r_{дал} \) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Кроме того:

и

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

получим:

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

Источник: https://fizi4ka.ru/fizika-s-formulami/glava-11-raskruchivaem-obekty-moment-inercii.html

Определение момента инерции твердых тел (5)

Как определить момент инерции блока...

Сохрани ссылку в одной из сетей:

ФедеральноеАгентство по образованию

ТОМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМУПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедрафизики

ОТЧЕТ

Лабораторнаяработа по курсу «Общая физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕМОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Преподаватель Студент

___________/____________. /

___________200_г.

2009

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы являетсяизучение основных законов динамикипоступательного и вращательного движенийтвердых тел, экспериментальное определениемомента инерции блока и сравнение егос расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установкина основе машины Атвуда приведена нарис. 3.1.

На вертикальной стойке 1 крепитсямассивный блок 2, через который перекинутанить 3 с грузами 4 одинаковой массы,равной 80 г. В верхней части стойкирасположен электромагнит, который можетудерживать блок, не давая ему вращаться.На среднем кронштейне 5 закрепленфотодатчик 6.

Риска на корпусе среднегокронштейна совпадает с оптической осьюфотодатчика. Средний кронштейн имеетвозможность свободного перемещения ификсации на вертикальной стойке. Настойке укреплена миллиметровая линейка7, по которой определяют начальное иконечное положение грузов.

За начальное,принимают положение нижнего срезагруза, за конечное — риску на корпусесреднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляетсобой прибор с цифровой индикациейвремени. Опоры 9 используют для регулировкиположения установки на лабораторномстоле.

Принцип работы машины Атвудазаключается в следующем. Когда на концахнити висят грузы одинаковой массы,система находится в положении безразличногоравновесия. Если же на один из грузов(обычно на правый) положить перегрузок,то система выйдет из равновесия, и грузыначнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуда

1 – стойка; 2 – блок; 3 – нить; 4 – грузы;5 – средний кронштейн; 6 – фотодатчик;7 – линейка; 8 – миллисекундомер; 9 –регулировочная опора.

Рис. 3.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

На рис. 4.1 приведена схема,поясняющая характер движения грузов,а также величины и точки приложениясил. Рассмотрим движение тел в машинеАтвуда, используя основные законыдинамики вращательного и поступательногодвижений.

Схемаприложения сил

Рис. 4.1

Пусть основные грузы имеют массуМ каждый, аперегруз массой mлежит на правом грузе (рис. 4.1). Уравнениядвижения грузов в проекциях на ось хзапишутся следующим образом

(4.1)

где а– ускорение движения грузов, Т1и Т2– соответствующие силы натяжения нитей.

Вращательное движение блокаописывается уравнением

(4.2)

где — угловое ускорение блока, -его момент инерции, -сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Согласно рис. 4.1 сумма моментовсил равна При движении нерастяжимой нити безскольжения по блоку имеет место равенствоЗдесьа — линейноеускорение точек на поверхности блока,а следовательно и самой нити, — радиус блока. Таким образом, исходнаясистема уравнений выглядит так

(4.3)

Как следует из системы (4.3),ускорение аесть величина постоянная в условияхпостоянства масс и момента инерции.Т.е. грузы движутся равноускоренно.Ускорение а можетбыть определено на основании измерениявысоты ,на которую опустится правый груз, ивремени его движения :

(4.4)

Подставляя выражение (4.4) в систему(4.3) и разрешая ее относительно ,получаем

(4.5)

Выражение (4.5) может быть переписанов виде

(4.6)

где — константа, зависящая от параметровэкспериментальной установки.

(4.7)

Формула (4.6) показывает, что вслучае адекватности рассмотреннойфизической модели условиям опытаэкспериментальные точки, нанесенныена график в координатах должны укладываться на прямую линию.Из наклона этой прямой может бытьвычислена константа ,по величине которой, в свою очередь,может быть рассчитан момент инерцииблока,если другие входящие в величины известны.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Таблица 4.1 – результатыизмерений времени прохождения груза

h1 = 0.421h2 = 0.31h3 = 0.26h4 = 0.16h5 = 0.07
15,0445,2995,1815,0435,569
24,5604,3214,7014,7284,581
34,0224,1124,3094,2314,180
43,2883,2543,2683,3473,348
52,2532,2232,1192,1252,239
5,22724,57824,17083,3012,1918
27,323619820,9599152417,3955726410,8966014,803987

Вычисление погрешностей прямыхи косвенных измерений

Так как класс точности электронныхчасов, используемых в лабораторнойработе, не указан, то за приборнуюпогрешность принимается единица вмладшем разряде часов, т.е

Чтобывычислить случайную погрешностьизмерения времени, необходимо определитькоэффициент Стьюдента и среднеквадратичноеотклонение.

определимкоэффициент Стьюдента —

Определим среднеквадратичноеотклонение:

Рассчитаем случайныепогрешности измерения времени

Рассчитаем абсолютныепогрешности измерения времени:

Найдем абсолютные погрешностивычисления квадратов():

Построение графиков

Метод наименьших квадратов дляпостроения прямых по экспериментальнымточкам:

угловой коэффициент прямой

отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

Абсолютные погрешности вычисления параметров прямой линии:

С использованием выражения (4.7) на стр. 7 руководства [2], предварительно определив величины, входящие в это выражение, вычисляется экспериментальный момент инерции I_ex блока.

масса каждого груза в килограммах

масса перегруза на правом грузе в килограммах

радиус блока в метрах

ускорение свободного падения

Аналитически момент инерции I_an блока, который является сплошным диском, получается по ф. (2.5) на стр. 3 рук. [2] с учётом следующих известных величин и формул:

плотность латуни, из которой изготовлен блок

толщина блока в метрах

объём сплошного диска

масса блока

момент инерции сплошного блока

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции I_ex и I_an можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5 ВЫВОДЫ:

В ходе работы изучены основныезаконов динамики поступательного ивращательного движений твердых тел,экспериментальное определение моментаинерции блока. Также мы смогли определитьаналитическим и экспериментальнымметодами момент инерции и сравнить их,получим отличие в 3.185%.

1. Что такое момент сил и моментинерции?

Момент инерции I материальнойточки относительно неподвижной осивращения — физическая величина, равнаяпроизведению массы m материальной точкина квадрат расстояния r между точкой иосью вращения: I = m∙r2.

Скалярная величина I = ΣIi = Σ(mi∙ri2)равная сумме моментов инерции всехматериальных точек твердого тела ихарактеризующая инерционность телапо отношению к вращению – есть моментинерции твердого тела относительновыбранной оси вращения.

2. Моменты каких сил действуютна блок?

Вращательное движение блокаописывается уравнением

гдеε – угловое ускорение блока, I – егомомент инерции,  –сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Сумма моментов сил равна T1R –T2R. При движении нерастяжимой нити безскольжения по блоку имеет место равенствоε = a/R. Здесь а – линейное ускорение точекна поверхности блока, а, следовательно,и самой нити, R – радиус блока.

3. Как рассчитать момент инерцииблока? Сформулировать теорему Штейнера.

Момент инерции I относительнопроизвольной оси равен сумме моментаинерции I0 относительно оси, параллельнойданной и проходящей через центр масстела и произведения массы тела m наквадрат расстояния l между осями:

I = I0 + ml².

4. Укажите возможные причинынесовпадения экспериментальныхрезультатов с расчетными.

— физические допущения, принятые при теоретическом анализедвижения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;

точность вычислений.

Источник: https://works.doklad.ru/view/fQkSpZQKvkY.html

Определение момента инерции твердых тел (стр. 2 из 2)

Как определить момент инерции блока...
= 2911 г∙см2

Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков

I_an= I_CD-3∙ I_can I_an = 16298 г∙см2

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5. ВЫВОДЫ

Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения t2 = f(h)= 0,49hс2. Все точкив этой зависимостиукладываются на прямую в пределах их погрешностей.Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t2 = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 1,7 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:

I_an = 1,6кг∙м2

Значение собственного момента инерции,полученное в ходе эксперимента, больше расчетного

Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент сил и момент инерции?

Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояниеr от оси вращения до линии действия

Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерциихарактеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от распределения его массы относительно оси вращения.

Для элемента тела массой dm момент инерции dIвыражается соотношением: dI = r2dm,

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла

где интегрирование осуществляется по всему телу.

2. Моменты каких сил действуют на блок?

Т1 и Т2 – силы натяжения нитей.

На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

M1= T1R, M2= T2R .

Вращательное движение блока описывается уравнением:

Рис. 6.1 где ε — угловое ускорение блока, I— его момент инерции,

— сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Согласно рис.6.1 вращательное движение блока описывается уравнением

3. Как рассчитать момент инерции блока?

Сформулировать теорему Штейнера.

Момент инерции блока рассчитывается как:

I = Iдиск – 3× Iотв

где Iдиск – момент инерции сплошного диска;

Iотв – момент инерции цилиндрического отверстия (“дырки”).

Момент инерции цилиндрического отверстияIотв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем согласно теоремы Штейнера.

Теорема Штейнера :

Момент инерции Iотносительно произвольной оси, равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

I = I0 + ml2

4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

Физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин; точность вычислений.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

К работе прилагается:

· регистрационный файл — phyLab2.reg

· файл журнала измерений — Ж.лаб2.txt

Источник: https://mirznanii.com/a/323106-2/opredelenie-momenta-inertsii-tverdykh-tel-2

Определение момента инерции в машине атвуда

Как определить момент инерции блока...

Вводная часть

Цель работы

Целью данной работы является изучение вращательного и поступательного движений на машине Атвуда, определение момента инерции блока и момента сил трения в оси блока.

Приборы и принадлежности

Машина Атвуда, набор грузов, секундомер, масштабная линейка.

Исследуемые закономерности

Машина Атвуда является настольным прибором и предназначена для изучения законов поступательного и вращательного движений. На вертикальной стойке основания расположены три кронштейна: нижний, средний и верхний.

На верхнем кронштейне крепится блок с узлом подшипников качения, через который переброшена нить с грузом.

На верхнем кронштейне находится электромагнит, который при подаче на него напряжения с помощью фрикциона удерживает систему с грузами в неподвижном состоянии.

На среднем кронштейне крепится фотодатчик, выдающий электрический сигнал по окончании счета времени равноускоренного движения грузов. На среднем кронштейне есть риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика.

Нижний кронштейн представляет собой площадку с резиновым амортизатором, о который ударяется груз при остановке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка, по которой определяют начальное и конечное положения грузов, т. е.

пройденный путь.

Начальное положение определяют визуально по нижнему краю груза, конечное положение — по риске среднего кронштейна. времени.

Машина Атвуда предназначена для изучения законов поступательного и вращательного движений. Принцип работы установки основан на том, что, когда на концах нити подвешены грузы различной массы, система начинает двигаться равноускоренно.

На каждый груз действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения нити, под действием которых грузы движутся.

Полагая, что нить невесома и нерастяжима, получим, что ускорения обоих грузов будут постоянны, одинаковы по значению и противоположны по направлению.

На основании второго закона Ньютона для первого груза с перегрузом и второго груза можно записать

Где m1 и m2 — массы 1-го и 2-го грузов; Δm, — масса перегруза, находящегося на 1-м грузе; Т1 и T2 — силы натяжения нити, действующие на 1-й и 2-й грузы; а — ускорение грузов. Вращение блока описывается уравнением

Где r — радиус блока; MTP — момент сил трения в оси блока; I — момент инерции блока; ε — угловое ускорение блока. Из предыдущих уравнений можно получить:

Где S — пройденный грузом за время t путь.

Расчетная часть

В результате проведенных экспериментов были получены следующие эксперименты

№ опыта

№ изм-я

Δmi, г

T, с

ε

1

1

1,3

2,981

3,0063

0,498

0,498

5,627

5,53

2

3,038

0,498

5,417

3

3,00

0,498

5,556

2

1

2,2

2,433

2,429

0,832

0,832

8,447

8,479

2

2,467

0,833

8,215

3

2,387

0,831

8,775

3

1

2,6

2,097

2,101

0,971

0,971

11,37

11,363

2

2,1

0,971

11,338

3

2,096

0,971

11,381

4

1

4,8

1,559

1,536

1,722

1,716

20,572

21,282

2

1,458

1,698

23,521

3

1,591

1,728

19,753

5

1

5,8

1,391

1,401

2,031

2,034

25,841

25,476

2

1,412

2,038

25,078

3

1,400

2,034

25,510

Величина

Значение

Приборная погрешность

S, м

0,49

0,0005

R, м

0,04

0,0005

M1, кг

0,07765

0,000005

M2, кг

0,07657

0,000005

Δm, кг

0,00005

T, с

0,001

1. Проверим значения t на наличие грубых промахов.

2. Рассчитаем значение погрешности для t.

Коэффициент Стьюдента для N = 3 и Р = 95% tp, n = 4,3

Коэффициент βN, P для N = 3 и Р = 95% tp, n = 4,3 βN, P = 1,3

2. Определим момент инерции блока (I) и момент сил трения в блоке (Мтр) методом наименьших квадратов. Для этого по формулам (3.5) и (3.6) вычислим значения Мк и ε. Из уравнения движения получаем, с учетом :

По этим формулам вычисляем значения Мк и ε.

3. Рассчитаем погрешность для величин Мк и ε

Вычислим средние значения Мк и ε и занесем их в таблицу

Выведем формулы для расчета погрешности для Мк и ε:

Вычислим значения полной погрешности для εi :

№ опыта

ε, x

Θε

Δε

1

5,53

0,078

0,368

0,446

2

8,479

0,122

0,698

0,82

3

11,363

0,164

0,162

0,326

4

21,282

0,315

5,542

5,857

5

25,476

0,381

1,455

1,839

Вычислим значения погрешности для Мк

№ опыта

МК, y

ΘМК

ΔМК

1

0,498

0,0063

0,0013

0,0076

2

0,832

0,01

0,0024

0,0124

3

0,971

0,012

0,0006

0,0126

4

1,716

0,022

0,027

0,049

5

2,034

0,026

0,0081

0,0341

Сопоставив линейную зависимость Y = aX + B и уравнение M = Iε + Mтр получаем, что X = ε; Y = M; a = I; b = Mтр.

Воспользуемся методом наименьших квадратов.

0,004

Mтр = 0,13 ± 0,02

I = 0,075 ± 0,01

Записи по теме

Источник: https://naparah.com/fizika/03231182.html

Biz-books
Добавить комментарий