Как определить изменение потенциальной энергии контура…

4.4. Потенциальная энергия

Как определить изменение потенциальной энергии контура...

Выше мы уже получили выражение для работы, совершаемой при растяжении пружины. Рассмотрим следующую систему.

Нерастянутая пружина лежит на гладкой горизонтальной плоскости, один ее конец закреплен, а ко второму прикреплен грузик массой m. Начало координатной оси поместим в точку, где находится свободный конец пружины.

Мы оттягиваем пружину на расстояние хmax и отпускаем грузик без начальной скорости. Каково движение грузика?

Рис 4.6. Работа при изменении длины пружинки.

В горизонтальной плоскости на грузик действует только упругая сила деформированной пружины, стремящаяся вернуть его к началу координат (положению равновесия). Под действием этой силы грузик приходит в движение. Если его координата в какой-то момент времени равна x, то в этот момент на грузик действует со стороны пружины упругая сила . Поэтому уравнение движения грузика имеет вид

Умножим обе части равенства на скорость грузика

Произведение в левой части можно представить в виде производной

а произведение в правой части — в виде производной

Поэтому уравнение движения грузика можно записать теперь в виде

Раз производная выражения в скобках равна нулю, само это выражение не зависит от времени, оно постоянно (сохраняет свое начальное значение):

Как бы ни двигался грузик на пружинке, выписанная сумма двух слагаемых не меняется.

В первом слагаемом мы узнаем кинетическую энергию грузика, а во втором — работу по растяжению (сжатию) пружины на расстояние х.

Совершив эту работу, мы запасаем энергию упругой деформации пружины (ее называют потенциальной энергией). В любой момент времени грузик обладает какой-то кинетической энергией, а пружина — потенциальной.

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергиейЕ системы.

Значение постоянной интегрирования в выражении для полной механической энергии системы «грузик — пружинка» находим, вспоминая начальные условия: при t = 0 мы отпустили грузик без начальной скорости v(0) = 0 на расстоянии x(0) = хmax от начала координат. Отсюда полная механическая энергия системы будет равна

В начальный момент времени кинетическая энергия грузика равна нулю, и полная энергия системы равна той работе, которую мы сначала совершили, растянув пружину на расстояние хmax. Затем груз двигается к началу координат с возрастающей скоростью.

В момент прохождения положения равновесия (х = 0) потенциальная энергия пружины равна нулю, следовательно, кинетическая достигает максимума. Грузик проходит положение равновесия, сила упругости меняет знак и начинает его тормозить.

Скорость груза обращается в нуль при х = –хmax , когда полная энергия системы снова состоит лишь из потенциальной энергии (на этот раз сжатой) пружины. Далее процесс «перекачки» потенциальной энергии в кинетическую и обратно повторяется.

На этом частном примере мы заметили, что

  • сохраняется полная энергия Е системы «грузик-пружинка», равная сумме кинетической энергии К = mv2/2 грузика и потенциальной энергии П = kх2/2 пружинки;
  • потенциальная энергия пружины связана с работой по ее растяжению (сжатию): П = Авнеш ;
  • силу упругости F = –kх = –Fвнеш со стороны деформированной пружины можно получить дифференцированием потенциальной энергии по координате:

Потенциальное поле сил. Обобщим теперь наш частный случай. Пусть на частицу в каждой точке пространства действует определенная сила F (r,t), зависящая только от положения частицы и, быть может, от времени. Поскольку действующая сила не зависит от движения частицы, мы можем считать ее атрибутом пространства.

В этом случае говорят, что в пространстве задано силовое поле. Например, поле тяжести Земли мы можем рассматривать как внешнее силовое поле по отношению к таким телам, движущимся в этом поле, как люди, автомобили, поезда, самолеты, спутники, вода в реках, облака в небе и так далее, по той простой причине, что их движение никак не влияет на характеристики этого поля.

Совершенно очевидно, что это обусловлено размерами Земли.

4.1. Баллистический маятник — двухстадийный процесс демонстрация сохранения импульса на первом этапе и сохранения полной механической энергии на втором этапе.

Среди силовых полей мы выделим потенциальные поля, которые можно описать некоторой скалярной функцией

такой, что

Здесь Fx, Fy, Fz проекции силы на направления осей некоторой декартовой системы координат, её разложение по базису имеет вид

Как будет видно из дальнейшего, связь потенциальной энергии и силы оказывается действительно полезной, когда функция П не зависит от времени. Только этот случай и будет рассматриваться на протяжении всего курса.

Выражение для вектора силы можно записать более компактно. Для этого вводят операцию градиент — своего рода «векторное» дифференцирование функции (не путать с просто дифференцированием вектора, например, по времени):

Знак минус, поставленный впереди, к операции «градиент» отношения не имеет и присутствует в выражении для вектора силы ради удобства (см.

пример с пружиной выше и текст ниже) Применение операции «градиент» (grad) к скалярному полю (скалярной функции координат) порождает векторное поле.

Ясно, что расчеты движения в потенциальных полях должны быть проще хотя бы потому, что вместо трех функций (проекций силы) мы будем иметь дело лишь с одной функцией П(x,y,z)..

Рассмотрим стационарное потенциальное силовое поле (то есть потенциальное поле П(x,y,z), не зависящее явно от времени). Найдем элементарную работу сил поля при перемещении ds:

то есть элементарная работа

представляется как взятый с обратным знаком полный дифференциал функции П. С другой стороны, поскольку работа равна приращению кинетической энергии тела

получаем отсюда

или

то есть сохраняется сумма

Таким образом, для стационарных потенциальных полей справедливы все выводы, сделанные нами при рассмотрении частного случая грузика на пружинке. Стало быть, скалярная функция П (r), описывающая такое поле, есть не что иное как потенциальная энергия частицы в этом силовом поле.

Консервативные силы. Проинтегрируем полученное соотношение

вдоль траектории тела и получим важное свойство стационарных потенциальных полей:

Здесь П1 = П(r1) и П2 = П(r2) — значения потенциальной энергии в начальной r1 и конечной r2 точках перемещения. Соотношение, связывающее работу силы и изменение потенциальной энергии тела, означает, что

Работа A12, совершаемая над частицей силами стационарного потенциального поля, не зависит от формы траектории движения частицы и определяется только ее начальным и конечным положением в пространстве.

Силы стационарного потенциального поля называются консервативными.

Если работа сил поля положительна (частица перемещается под действием сил поля), то ее потенциальная энергия уменьшается: П2 < П1.

Если же работа сил поля отрицательна (например, внешняя сила вынуждает частицу двигаться против сил поля), то потенциальная энергия частицы увеличивается.

Растягивая пружину в нашем примере, мы совершали работу против сил упругости и увеличивали потенциальную энергию системы.

Работа консервативной силы при перемещении её точки приложения по замкнутой траектории равна нулю.

Действительно, в этом случае начальная и конечная точки совпадают, П2 = П1 и A12 = 0. Покажем это более детально. Рассмотрим две произвольные точки 1 и 2 и два произвольных пути I и II, их соединяющих (рис. 4.7).

Рис 4.7. Работа при перемещении тела по замкнутому контуру

Пусть поле сил консервативно, то есть работы на этих путях совпадают:

Переместим теперь тело из точки 1 в точку 2 по пути I, а затем — из точки 2 в точку 1 по пути II. Полная совершенная работа по замкнутому контуру равна сумме

Сравним работы на пути II, проходимом в прямом и обратном направлениях. В каждой точке пути действуют те же силы, но изменение направления движения на обратное приводит к замене ds нa –ds. Таким образом, искомая работа равна

Учитывая полученные соотношения, переписываем выражение для работы по замкнутому контуру в виде

Мы доказали эквивалентность утверждений, что 1) работа консервативных сил не зависит от формы траектории и 2) работа таких сил при обходе замкнутого контура равна нулю.

Итак, стационарное потенциальное поле консервативно. Но верно и обратное: консервативное поле потенциально. Покажем это.

Берем произвольную точку r0 и задаем в этой точке произвольное значение потенциальной энергии П(r0).

При переходе из точки r0 в любую другую точку r совершается работа A01, не зависящая от пути перехода. Поэтому можно определить функцию П для каждой точки равенством

Подчеркнем еще раз: задать функцию П в каждой точке пространства можно лишь вследствие независимости работы от пути. Иначе, проходя из точки r0 в точку r, мы получали бы разные результаты, и функция П была бы неоднозначной (точнее непрерывно бесконечнозначной).

Применим полученное выражение для соседней точки r+dr:

Работу по перемещению из точки r0 в точку r+dr представим как сумму работ по перемещению из r0 в r и из r в r+dr:

(снова пользуясь независимостью работы от пути). Проведя преобразования, получим

Слева стоит приращение –dП, а справа — элементарная работа A. Полученное соотношение

влечет за собой, как мы видели, сохранение величины К+П, то есть введенная нами функция П действительно является потенциальной энергией системы. Таким образом, поле консервативных сил потенциально.

Не следует думать, что все поля в природе потенциальны, а силы — консервативны. Например, силы трения или сопротивления среды всегда направлены против перемещения и, следовательно, имеют одинаковый знак на всей траектории тела. При суммировании элементарных работ по замкнутому пути мы не получим нуля: работа будет зависеть от длины пройденного пути. Значит, эти силы не консервативны.

Произвольная постоянная П(r0), фигурирующая в формуле для изменения потенциальной энергии, не играет роли, так как физически наблюдаемым является изменение потенциальной энергии, а не ее абсолютное значение.

Часто, когда это возможно, в качестве r0 выбирают бесконечно удаленную точку, и полагают значение потенциальной энергии в ней равной нулю. Но этот выбор не всегда возможен, как демонстрируется в следующем разделе.

Постоянное однородное поле сил тяжести. Вблизи поверхности Земли все тела падают с постоянным ускорением g, направленным к центру планеты.

Если мы рассматриваем движение в области, линейные размеры которой много меньше радиуса Земли, земную поверхность можно считать плоской.

В этом приближении поле тяжести однородно: силы, действующие на тело, в любой точке имеют одинаковое направление и величину F = mg. Покажем потенциальность поля силы тяжести у поверхности Земли (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Нахождение потенциальной энергии поля сил тяжести

Элементарная работа при перемещении ds равна

где –dh — проекция перемещения на направление действия силы, то есть dh — изменение высоты тела. Полная работа при перемещении тела из точки 1 в точку 2 равна

Таким образом, в поле сил тяжести работа не зависит от пути, по которому движется частица, а определяется только начальным и конечным положениями частицы в пространстве. Соответственно, потенциальная энергия в поле сил тяжести находится в соответствии с общим рецептом как

Если отсчитывать высоту от поверхности Земли, приписав при этом точке на поверхности нулевую потенциальную энергию П(h0 = 0) = 0, для произвольной высоты h получим хорошо знакомую формулу

Или в векторном виде

(4.4.1)

В последней формуле радиус вектор начинается в любой точке лежащей на поверхности Земли, потенциальная энергия на поверхности Земли, как и ранее, принята равной нулю.

Пример. Исходя из уравнений движения, показать сохранение полной энергии тела, движущегося в однородном поле силы тяжести.

Решение. Учитывая (4.4.1), запишем полную механическую энергию тела в виде

(4.4.2)

Сохранение во времени некоторой величины означает, что полная производная по времени от этой величины в любой момент времени равна нулю. И обратно, если полная производная по времени от некоторой величины равна нулю тождественно (в любой момент времени), то эта величина сохраняется. Вычислим полную производную по времени механической энергии из (4.4.2):

(4.4.3)

При получении (4.4.3) было учтено, что и, согласно уравнению движения, ускорение

4.2. Маятник Галилея — демонстрация сохранения полной механической энергии при движении в однородном поле тяжести.

Поле центральных сил

Поле центральных сил (центрально симметричное силовое поле) таково, что сила в каждой точке направлена по радиус-вектору, который начинается в центре симметрии поля, и величина силы зависит только от расстояния до этого центра.

Другой пример.

Вычислим работу произвольной центральной стационарной силы при перемещении её точки приложения из некоторой произвольной точки пространства 1, находящейся на расстоянии r1 до центра поля, в некоторую произвольную точку 2, находящуюся на расстоянии r2 от центра поля. Воспроизведенные ниже выкладки показывают, что траектория перемещения точки приложения силы может быть любой — результат не зависит от её формы.

Общий вид центральной силы следующий

(4.4.4)

Здесь радиус-вектор начинается в центре поля. Примерами могут служить поле точечного электрического заряда, находящегося в начале координат, или гравитационное поле сферически симметричного объекта с центром в начале координат. Подставив (4.4.4) в общее определение работы, получаем:

(4.4.5)

Криволинейный интеграл вида (4.4.5) легко превращается в обычный интеграл с помощью весьма полезного тождества (4.4.6) ниже. Дифференцируя определение квадрата модуля вектора

и сокращая на двойку имеем для любого вектора:(4.4.6)

(4.4.6)

То есть, скалярное произведение вектора на его приращение равно произведению модуля этого вектора на приращение его модуля. Заменяя в (4.4.5) скалярное произведение на обычное произведение rdr и сокращая на r, получаем

(4.4.7)

Если функция φ(r) есть первообразная для f(r), то окончательно имеем:

(4.4.8)

Из формулы (4.4.8) видно, что величина работы определяется только положением начальной и конечной точек и действительно не зависит от формы траектории перемещения точки приложения силы. Часто говорят короче: работа не зависит от пути.

Работа получилась равной приращению первообразной φ(r), поэтому отождествлять её с потенциальной энергией неудобно: получится, что при совершении положительной работы растет и функция f(r).

Потенциальная энергия вводится как П = –φ(r), тогда, при совершении положительной работы, потенциальная энергия убывает и можно говорить и так: работа совершается за счет убыли потенциальной энергии тела в силовом поле. Тогда

(4.4.9)

Вычисление интеграла с помощью тождества (4.4.6) иллюстрирует следующий рисунок

Рис. 4.8. Работа центральной силы

Положив потенциальную энергию в точке с радиус-вектором равной , для её значения в произвольной точке с радиус-вектором , получим

Покажем, что операция «градиент», примененная к потенциальной энергии П(r), действительно дает нам поле центральных сил, направленных по радиус-вектору и с модулем F(r). Берем производную от П(r) по координате x как производную сложной функции:

Производная по r вычисляется без труда из формулы для потенциальной энергии:

Производная r по x равна

Таким образом,

Аналогичные выражения получатся при дифференцировании по координатам y, z. В итоге

Мы убедились, что исходное центральное поле сил восстанавливается по функции потенциальной энергии:

Рис.4.9. Потенциал гравитационного поля Земли.

Говоря о центральных силах, мы также используем некоторую абстракцию. Что означает силовой центр, к которому (или от которого) направлено поле сил? Мы предполагаем, что центр неподвижен, но реально он образован какими-то физическими телами — зарядами в случае электрического поля, массами — в случае гравитационного.

Просто при определенных условиях движением центра можно пренебречь. Скажем, изучая движение спутника вокруг Земли, мы, строго говоря, должны учесть, что спутник и Земля движутся вокруг общего центра масс.

Но масса Земли намного превышает массу спутника, центр масс системы практически совпадает с центром Земли, и ее можно считать неподвижным центром гравитационного поля.

Рис.4.10. Зависимость формы траектории от начальной скорости тела.

Если же такого допущения сделать нельзя, то рассматривают силы взаимодействия между телами. Когда силы направлены вдоль линии, соединяющей тела, а их величина зависит только от взаимного расстояния

мы имеем дело с аналогом центральных сил. Здесь тоже можно ввести потенциальную энергию взаимодействия тел между собой П(r12), так что сила F12 между телами 1 и 2 удовлетворяет соотношению

Дополнительная информация

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1998/06/kv0698kaganov.pdf — Журнал «Квант» – применение законов сохранения физических величин для объяснения разнообразных физических явлений (М. Каганов);

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_70.djvu — Стасенко А.Л. Физика полета, Библиотечка Квант, выпуск 70, стр. 88–98 – энергетика космического полета;

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/PRKT_1_01.PDF — Приложение к журналу «Квант» – использование законов сохранения в задачах о столкновении частиц (А. Овчинников, В. Плис).

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/osnovi_mehaniki/data/lecture/4/p4.html

Изменение потенциала по замкнутому контуру должно быть равно нулю, т.к. оно выражает работу по перемещению зарядов по замкнутому пути

Как определить изменение потенциальной энергии контура...

.

Отсюда следует другая формулировка второго закона Кирхгофа:

В контуре электрической цепи сумма падений напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС этого контура.

Положительными считаются токи и ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура.

Контрольные вопросы

1.Что такое электрическая цепь, и какие основные режимы работы электрических цепей Вам известны?

2.Как определить коэффициент полезного действия электрической цепи?

3.Расскажите, как составить схему замещения.

4.Что такое ветвь, узел и контур электрической цепи?

5.Изложите две формулировки закона Кирхгофа для узла электрической цепи.

6.Изложите две формулировки закона Кирхгофа для контура электрической цепи.

Неразветвленная электрическая цепь

Элементы неразветвленной электрической цепи соединены между собой последовательно. Поэтому ток во всех участках цепи один и тот же. Рассмотрим общий случай последовательного соединения источников и приемников электрической энергии, пренебрегая внутренними сопротивлениями источников (рисунок 7).

Рисунок 7. Последовательное соединение элементов

Составим уравнение по закону Кирхгофа для контура электрической цепи, произвольно задавшись направлением тока и направлением обхода контура (например, по часовой стрелке).

Исходя из этого выражения, можно изобразить эквивалентную схему (рисунок 8а). Ток в этой цепи: .

Рисунок 8. Эквивалентные преобразования схемы

Если в результате расчета значение тока оказывается отрицательным, это означает, что нужно заменить произвольно выбранное направление тока на противоположное направление.

Если направление тока выбрано правильно, то источники с ЭДС и вырабатывают электрическую энергию, а источник с ЭДС ее потребляет (два аккумулятора разряжаются, а один заряжается).

Умножив выражение на величину силы тока , получим уравнение баланса мощности для рассматриваемой цепи:

Сумма мощностей источников электрической энергии равна сумме мощностей приемников.

Ток в цепи и баланс мощностей не изменится, если произвести перестановку элементов. Заменив три сопротивления одним эквивалентным сопротивлением , получим схему, изображенную на рисунке 8б). Заменив три источника электрической энергии одним эквивалентным с ЭДС , получим схему, изображенную на рисунок 8в).

Рассчитать силу тока в ней можно по закону Ома: .

Потенциальная диаграмма

В схеме на рисунке 7 при переходе от точки 1 к точке 2 потенциал повышается на величину . При переходе от точки 2 к точке 3 потенциал снижается на величину . При переходе от точки 3 к точки 4 потенциал понижается на величину . Изменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно изобразить графически в виде потенциальной диаграммы(рисунок 9).

Потенциалы точек: , , , , ,

Рисунок 9. Потенциальная диаграмма схемы, изображенной на рисунке 7.

Контрольные вопросы

1. Как составляется уравнение по 2 закону Кирхгофа для неразветвленной цепи?

2. Как составить баланс мощностей?

3. Что такое потенциальная диаграмма и как она составляется?

Задача 1

Генератор постоянного тока, аккумуляторная батарея и два резистора составляют неразветвленную цепь (рисунок 10). = 120 В, =1 Ом, = 72В, = 3 Ом, = 16 Ом, = 12 Ом.

Определить ток в цепи, составить баланс мощностей и построить потенциальную диаграмму.

; ; ; ;

; ;

Рисунок 10. Схема задачи 1  

; ; ; ;

Баланс мощностей:

Векторная диаграмма: 0+120 = 120 В.,

Задача 2.

По электрической цепи составить схему замещения; определить ток и напряжения на участках, а также мощности источников и потребителей; составить баланс мощностей.

Дано: . Определить режим работы источников.

Рисунок к задаче 2

Задача 3.

В условиях предыдущей задачи построить потенциальную диаграмму, а также определить э.д.с. и внутреннее сопротивление одного (эквивалентного) источника питания, который обеспечит такой же ток в цепи.

Задача 4.

По приведенной ниже схеме составить схему замещения; рассчитать силу тока и построить потенциальную диаграмму, если

Задача 5.

По приведенной ниже схеме составить схему замещения и рассчитать силу тока, если

Рисунок к задаче 5



Источник: https://infopedia.su/3x173.html

Кинетическая и потенциальная энергии

Как определить изменение потенциальной энергии контура...

Энергия — важнейшее понятие в механике. Что такое энергия. Существует множество определений, и вот одно из них.

Что такое энергия?

Энергия — это способность тела совершать работу. 

Кинетическая энергия

Рассмотрим тело, которое двигалось под действием каких-то сил  изменило свою скорость с v1→ до v2→. В этом случае силы, действующие на тело, совершили определенную работу A. 

Работа всех сил, действующих на тело, равна работе равнодействующей силы. 

Fр→=F1→+F2→

A=F1·s·cosα1+F2·s·cosα2=Fрcosα.

Установим связь между изменением скорости тела и работой, совершенной действующими на тело силами. Для простоты будем считать, что на тело действует одна сила F→, направленная вдоль прямой линии. Под действием этой силы тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае векторы F→, v→, a→, s→ совпадают по направлению и их можно рассматривать как алгебраические величины. 

Работа силы F→ равна A=Fs. Перемещение тела выражается формулой s=v22-v122a. Отсюда:

A=Fs=F·v22-v122a=ma·v22-v122a

A=mv22-mv122=mv222-mv122.

Как видим, работа, совершенная силой, пропорционально изменению квадрата скорости тела. 

Определение. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. 

EK=mv22.

Кинетическая энергия — энергия движения тела. При нулевой скорости она равна нулю.

Теорема о кинетической энергии

Вновь обратимся к рассмотренному примеру и сформулируем теорему о кинетической энергии тела.

Теорема о кинетической энергии

Работа приложенной к телу силы равна изменению кинетической энергии тела. Данное утверждение справедливо и тогда, когда тело движется под действием изменяющейся по модулю и направлению силы. 

A=EK2-EK1.

Таким образом, кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью v→, равна работе, которую сила должна совершить, чтобы разогнать тело до этой скорости.

A=mv22=EK.

Чтобы остановить тело, нужно совершить работу 

A=-mv22=-EK

Потенциальная энергия

Кинетическая энергия — это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Важно!

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными.

Примеры консервативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу. 

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h1 в точку с высотой h2. 

При этом сила тяжести совершила работу, равную 

A=-mg(h2-h1)=-(mgh2-mgh1).

Эта работа равна изменению величины mgh, взятому с противоположным знаком. 

Величина ЕП=mgh — потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д. 

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A=-(EП2-EП1).

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

EП=-GmMr.

Здесь G — гравитационная постоянная, M — масса Земли.

Потенциальная энергия пружины

Представим, что в первом случае мы взяли пружину и удлинили ее на величину x. Во втором случае мы сначала удлинили пружину на 2x, а затем уменьшили на x. В обоих случаях пружина оказалась растянута на x, но это было сделано разными способами. 

При этом работа силы упругости при изменении длины пружины на x в обоих случаях была одинакова и равна

Aупр=-A=-kx22.

Величина Eупр=kx22 называется потенциальной энергией сжатой пружины. Она равна работе силы упругости при переходе из данного состояния тела в состояние с нулевой деформацией.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/zakony-sohranenija-v-mehanike/kineticheskaja-i-potentsialnaja-energii/

1.19. Кинетическая и потенциальная энергии

Как определить изменение потенциальной энергии контура...

Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от до то силы совершили определенную работу A.

Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы (см. рис. 1.19.1).

Рисунок 1.19.1.Работа равнодействующей силы. . A = F1s cos α1 + F2s cos α2 = F1ss + F2ss = Fрss = Fрs cos α

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь.

Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силы перемещения скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение.

Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой

Отсюда следует, что

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии.

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Если тело движется со скоростью то для его полной остановки необходимо совершить работу

В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела. Такие силы называются консервативными.

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это утверждение поясняет рис. 1.19.2.

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Рисунок 1.19.2.Работа консервативной силы A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой траектории A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела.

На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения на ось OY, направленную вертикально вверх:

ΔA = Fт Δs cos α = –mgΔs y,

где Fт = Fтy = –mg – проекция силы тяжести, Δsy – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δsy > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h1, в точку, расположенную на высоте h2 от начала координатной оси OY (рис. 1.19.3), то сила тяжести совершила работу

A = –mg (h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).
Рисунок 1.19.3.Работа силы тяжести

Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh, взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Потенциальная энергия Eр зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔEр = Eр2 – Eр1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Модель. Кинетическая и потенциальная энергия

Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготения).

Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на расстоянии r от центра Земли, имеет вид (см. §1.

24):

где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована.

Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком (см. §1.18):
где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии.

Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
нож ganzo g8012 купить
ganzoknife.ru.com
Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph19/theory.html

Формула потенциальной энергии

Как определить изменение потенциальной энергии контура...
Определение

Потенциальной энергией называют часть механической энергии совокупности тел (тела), которая зависит от взаимного расположения частей системы (конфигурации) и положения во внешнем поле сил.

Потенциальная энергия определяется работой, совершаемой потенциальными силами, которые действуют на все части системы, если система переходит из исследуемой конфигурации к состоянию, в котором считают потенциальную энергию равной нулю.

А именно работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Начало отсчета потенциальной энергии делают произвольно. Эмпирически представляется возможным измерение только изменения потенциальной энергии.

Начало отсчета потенциальной энергии делают так, чтобы упрощалось решение конкретной задачи.

Потенциальная энергия является скаляром. Чаще всего потенциальную энергию обозначают: Ep,Wp, U.

Потенциальную энергию системы (Ep) можно разделить на внешнюю: (Epvnesh) и внутреннюю потенциальныеэнергии Epvnesh . Тогда:

где Epvnesh получается как результат воздействия на систему со стороны тел, которые в рассматриваемую систему не входят.Epvnutr – вызвана взаимодействием разных частей составляющих систему.

Epvnutr является функцией координат всех материальных точек системы;Epvnesh помимо координат может в явном виде зависеть от времени.

Выражения для потенциальной энергии

Потенциальная энергия материальной точки находящейся в потенциальном поле сил определяют формулой:

где Y – силовая функция, C – постоянная интегрирования.

Консервативная сила (), которая действует на материальную точку связана спотенциальной энергией соотношением:

где или – оператор Гамильтона (оператор набла).

В случае нестационарных консервативных сил потенциальная энергия материальной точки является функцией координат ивремени (Ep=Ep(x,y,z,t)).

Внутренняя потенциальная энергия системы – алгебраическая сумма потенциальных энергий (Ep(ik))взаимодействия всех пар точек системы:

где , –потенциальные силы с которыми взаимодействуютi–я и k-я точки системы. Если тело является твёрдым, то Epvnutr=const, тогда считают, что:

Частные случаи формул для потенциальной энергии

Потенциальная энергия упруго деформированного в случае линейного растяжения тела наx равна:

где k – коэффициент упругости.

Потенциальная энергия точки в поле гравитации Земли:

где m – масса материальной точки, M – масса Земли, R – радиус Земли. G – гравитационная постоянная.При этом полагают, что при потенциальная энергия равна нулю .

Потенциальная энергия тела поднятого над Землей на расстояние много меньшее, чем радиус Земли равна:

где m – масса тела, g- ускорение свободного падения, h — высота поднятия тела ( от некоторого условно нулевого уровня,где потенциальная энергия считается равной нулю).

Единицы измерения потенциальной энергии

Основной единицей измерения кинетической энергии (как и любого другого вида энергии) в системе СИ служит Дж (джоуль), в системе СГС – эрг. При этом: 1 дж = 107 эрг.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка перемещается в положительном направлении оси X (x>0)в поле консервативных сил, потенциальная энергия которых задана графиком (рис.1). Как изменится в процессе движения модуль ускорения?

Решение. Исходя из графика на рис.1 можно записать уравнение, которое свяжет потенциальную энергию и координату материальной точки в ходе перемещения:

где A – некоторая постоянная.

В качестве основы для решения задачи используем формулу, связывающую консервативную силы и потенциальную энергию:

Для движения по оси X, которое представлено в нашей задаче выражение (1.2) примет вид:

Соответственно (1.1) и (1.3) модуль силы, действующей на материальную точку равен:

По второму закону Ньютона модуль силы может быть найден как:

Значит, получим выражение для ускорения рассматриваемой материальной точки:

Ответ. Из полученного выражения для ускорения материально точки в заданном поле можно сделать вывод, что ускорение по модулю не изменяется.

Пример

Задание. Какую работу совершают над материальной точкой силы поля, если частица переходит из точки имеющей координаты (1;1;1) в точку с координатами (2;2;2). При этом потенциальная энергия частицы задана функцией: . Учтите, что потенциальная энергия задана в Дж, а координаты в метрах.

Решение. Потенциальная энергия определяется работой, совершаемой потенциальными силами, а именно работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

Используя условия задачи, найдем Ep1 и Ep2:

Получаем:

(Дж)

Ответ. (Дж)

Читать дальше: Формула силы притяжения.

Вы поняли, как решать? Нет?

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_21_6_potencialnaja_jenergija.php

Biz-books
Добавить комментарий