Как определить импульс приобретенный электроном…

Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса

Как определить импульс приобретенный электроном...

Импульс вводился не случайно. Оказывается, импульс тела никуда не девается — он сохраняется. Мы предлагаем вам убедиться в этом. Рассмотрим простой случай — столкновение двух шаров.

То, что будет происходить между этими двумя шарами, можно изобразить на рисунке. При этом можно выделить три этапа:

  • ситуация «до» (до столкновения)
  • само столкновение
  • ситуация «после» (после столкновения).

«До»: шары летели навстречу друг к другу; «после»: шары разлетелись после столкновения; столкновение: шары действовали друг на друга.

Нам интересен момент столкновения. Первый шар действует на второй с силой F⃗21\vec{F}_{21}F⃗21​, а второй шар действует на первый с силой F⃗12\vec{F}_{12}F⃗12​. По 3-му закону Ньютона эти силы равны друг другу по модулю и противоположны по направлению:

F⃗21=−F⃗12\vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}F⃗21​=−F⃗12​.

Домножим это равенство на длительность столкновения Δt\Delta tΔt:

F⃗21⋅Δt=−F⃗12⋅Δt\vec{F}_{21}\cdot\Delta t=-\vec{F}_{12}\cdot\Delta tF⃗21​⋅Δt=−F⃗12​⋅Δt.

У нас получились импульсы сил, действующие на каждое из тел. Мы помним, импульс силы равен изменению импульса тела. Можем записать:

Δp⃗2=−Δp⃗1\Delta\vec{p}_2=-\Delta\vec{p}_1Δp⃗​2​=−Δp⃗​1​.

Распишем изменение импульсов тел. Буквой VVV будем обозначать скорости до столкновения, а буквой UUU — скорости после столкновения.

m2(U⃗2−V⃗2)=−m1(U⃗1−V⃗1)m_2(\vec{U}_2-\vec{V}_2)=-m_1(\vec{U}_1-\vec{V}_1)m2​(U⃗2​−V⃗2​)=−m1​(U⃗1​−V⃗1​).

Если отбросить знак «минус», то изменения импульсов тел равны друг другу. Можно заметить интересную вещь: если два тела разной массы сталкиваются, то скорость более легкого тела (с меньшей массой) в результате столкновения изменится сильнее.

Продолжаем наши преобразования:

m2U⃗2−m2V⃗2=−(m1U⃗1−m1V⃗1)m_2\vec{U}_2-m_2\vec{V}_2=-(m_1\vec{U}_1-m_1\vec{V}_1)m2​U⃗2​−m2​V⃗2​=−(m1​U⃗1​−m1​V⃗1​),

m2U⃗2−m2V⃗2=−m1U⃗1+m1V⃗1m_2\vec{U}_2-m_2\vec{V}_2=-m_1\vec{U}_1+m_1\vec{V}_1m2​U⃗2​−m2​V⃗2​=−m1​U⃗1​+m1​V⃗1​,

m2U⃗2+m1U⃗1=m2V⃗2+m1V⃗1m_2\vec{U}_2+m_1\vec{U}_1=m_2\vec{V}_2+m_1\vec{V}_1m2​U⃗2​+m1​U⃗1​=m2​V⃗2​+m1​V⃗1​.

Что получилось? Получился закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса. Векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна векторной сумме импульсов тел после взаимодействия:
векторная сумма того, что было «до» = векторная сумма того, что стало «после».

Небольшое дополнение. Мы рассматривали ситуацию, в которой не было никаких внешних сил: никто «извне» не действовал на шары. Закон сохранения импульса справедлив для случая, когда внешние силы не действуют на систему тел или же действие внешних сил скомпенсировано. Такие системы тел называются замкнутыми.

Порешаем задачки.

Условие

Одинаковые шары движутся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, указанных стрелками на рисунке, и абсолютно неупруго соударяются.

Как будет направлен импульс шаров после их столкновения?

  1. ↙\swarrow↙
  2. ←\leftarrow←
  3. ↓\downarrow↓
  4. ↖warrow↖

(Источник: ЕГЭ-2014. Физика. Досрочный этап. Вариант 1)

Решение

Начнем с того, что поясним, что такое «неупругий удар». Неупругий удар или столкновение — это столкновение, которое приводит к «слипанию» соударяющихся тел. При неупругом ударе не выполняется закон сохранения механической энергии. Но об этом в следующих темах. В этой задаче для нас важно то, что после соударения тела будут двигаться вместе — «слипнутся».

В задаче говорится о том, что было «до», а спрашивается про то, что стало «после». Даны направления скоростей. Очень похоже на то, что это задача на закон сохранения импульса. Что мы знаем из него? Мы знаем, что в замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел «до» соударения равна векторной сумме импульсов тел «после»:

m1U⃗1+m2U⃗2=m1V⃗1+m2V⃗2m_1\vec{U}_1+m_2\vec{U}_2=m_1\vec{V}_1+m_2\vec{V}_2m1​U⃗1​+m2​U⃗2​=m1​V⃗1​+m2​V⃗2​.

В нашем случае m1=m2=mm_1=m_2=mm1​=m2​=m, а после столкновения шары «слипаются», поэтому закон сохранения импульса примет вид

mU⃗1+mU⃗2=2mV⃗m\vec{U}_1+m\vec{U}_2=2m\vec{V}mU⃗1​+mU⃗2​=2mV⃗,

где V⃗\vec{V}V⃗ — скорость совместного движения шаров после столкновения, а U⃗1\vec{U}_1U⃗1​ и U⃗2\vec{U}_2U⃗2​ — скорости шаров до столкновения. Направление импульса шаров после столкновения, о котором спрашивается в задаче, — это направление вектора 2mV⃗2m\vec{V}2mV⃗.

Как его найти? Направление вектора в правой части равенства совпадает с направлением вектора в левой части равенства. Попробуем сложить импульсы шаров до столкновения, чтобы получить векторную сумму импульсов и определить ее направление.

Направления импульсов до столкновения нам известны (направления импульсов совпадают с направлениями скоростей, а они указаны на рисунке). Так как шары были одинаковыми и двигались с одинаковыми скоростями, модули импульсов шаров были равны. Складываем векторы импульсов по правилу параллелограмма.

Видно, что суммарный импульс направлен влево. По закону сохранения импульса в ситуации «после» суммарный импульс будет направлен точно так же. Значит, подходит ответ 2).

Ответ. 2) ←\leftarrow←

Решим еще одну задачу.

Условие

Мальчик массой 505050 кг находится на тележке массой 505050 кг, движущейся по гладкой горизонтальной дороге со скоростью 111 м/с. Каким станет модуль скорости тележки, если мальчик прыгнет с нее со скоростью 222 м/с относительно дороги в направлении, противоположном первоначальному направлению движения тележки? Ответ выразите в м/с.

(Источник: ЕГЭ-2013. Физика. Реальный экзамен)

Решение

Шаг 1. Мы думаем, что вы согласитесь с тем, что без рисунка непросто представить, что именно происходит в этой задаче. Давайте сделаем рисунок. У нас на рисунке будут изображены две ситуации: ситуация «до» и ситуация «после». На рисунке кроме самих предметов нужно также указать направление скоростей и ось, на которую мы будем проецировать эти скорости. Должно получиться что-то вроде этого:

Шаг 2. Отлично! Теперь можно записать закон сохранения импульса в векторной форме.

Источник: https://lampa.io/p/%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81-%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B0.-%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8B.-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD-%D1%81%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%B0-00000000453739789fd2a88522635bb3

Примеры решения задач

Как определить импульс приобретенный электроном...

Пример 1. Кинетическая энергия электрона равна 0.5 МэВ. Определить длину волны де Бройля.

Решение.

Так как кинетическая энергия электрона (0.5 МэВ) почти равна его энергии покоя (0.511 МэВ), то скорость электрона близка к скорости света и, следовательно, задачу нужно решать по формулам релятивистской механики.

Длина волны де Бройля выражается формулой

(1)

где h – постоянная Планка; p – импульс электрона.

Импульс электрона определим из формулы, связывающей энергию частицы с ее импульсом:

(2)

откуда

. (3)

Полная энергия электрона равна сумме его энергии покоя и кинетической энергии

(4)

Поэтому

или

(5)

Подставив в формулу (1) вместо импульса р электрона его значение по формуле (5), получим

(6)

При числовом подсчете по формуле (6) нет необходимости выражать энергию покоя и кинетическую энергию в единицах системы СИ. Значения энергии можно взять в мегаэлектрон-вольтах, если предварительно выразить постоянную Планка в мегаэлектрон-вольтах в секунду:

Можно поступить иначе, выразив постоянную Планка h через комптоновскую длину волны λk электрона. Как известно, длина волны Комптона

откуда

(7)

Подставив в формулу (6) вместо h его значение по формуле (7) и учтя, что m0с2 = Е0, получим

(8)

Комптоновская длина волны электрона λк = 0.0242 Ǻ. Сделав подстановку чисел, получим искомую длину волны де Бройля:

Å =1.42 пм.

Пример 2. Угол рассеяния фотона в результате эффекта Комптона составляет 180°. Определить кинетическую энергию электрона отдачи, если энергия фотона до рассеяния равна 0.51 МэВ.

Решение.

При эффекте Комптона электрон отдачи получает энергию от фотона

Т = ε1 – ε2, (1)

где ε1 – энергия падающего фотона; ε2 – энергия рассеянного фотона.

Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись уравнением Комптона

которое для случая рассеяния под углом Θ = 180° примет вид

Выразив длины волн через энергию фотонов, получим

Разделив обе части равенства на hc, найдем

или, приняв во внимание, что m0с2 есть энергия покоя электрона Е0,

Отсюда

.

Подставив числовые значения ε1 и Е0, получим

МэВ

Подставив значения ε1 и ε2 в (1) и произведя вычисления, найдем кинетическую энергию электрона отдачи:

Т = 0.51 – 0.17 = 0.34 МэВ.

Пример 3. Какое наименьшее напряжение надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить наименьшую длину волны в серии L, если антикатод сделан из железа и постоянная экранирования равна 7.5 (по Мозли)?

Решение.

Характеристическое рентгеновское излучение наблюдается всякий раз, когда заполняются места во внутренних слоях электронной оболочки атома, освобожденные электронами вследствие вырывания их бомбардирующими антикатод электронами. Энергия, необходимая для возбуждения какой-либо серии (К, L, М, …), определяется работой вырывания электрона из соответствующего слоя и равна максимальной энергии кванта, соответствующего этой серии.

Так, все линии серии L появляются, если освобождается место во втором от ядра слое – слое L. Следовательно, наименьшую длину волны или максимальную частоту для этой серии определим по формуле Мозли из условия, что n = ∞, k = 2, Z = 26:

где b – постоянная экранирования. Для этой серии у всех элементов b одинакова и равна 7.5 (по Мозли).

Гц.

Из сказанного выше следует, что

eU = hνmax,

В.

При таком напряжении на трубке появятся все линии серии L, и более мягкие, а линии серии K наблюдаться не будут.

Пример 4. Электрон, имеющий скорость 106 м/с, влетает в камеру Вильсона. Приняв размер зерна фотоэмульсии порядка 10–6 м, найдите неопределенность в скорости. Сравните Vх и ΔVх.

Решение.

Ширина трека 10–6 м, следовательно, неопределенность в координате Δх = 10–6. Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, запишем

следовательно,

кг·(м/с).

Из неопределенности импульса определим неточность в скорости:

м/с,

Таким образом, в этом случае можно говорить о траектории частицы в классическом смысле.

Пример 5. Определить возможные значения орбитального момента импульса Мl электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения ε = 12.09 эВ.

Решение.

Орбитальный момент импульса Мl электрона определяется квантовым числом по формуле

где l – орбитальное квантовое число (l = 0, 1, 2 ,…, n – 1).

Найдем главное квантовое число n с помощью формулы, определяющей собственные значения энергии электрона в атоме водорода:

где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3,…).

Учтем, что при n = 1 E = –13.6 эВ. Тогда

.

Энергия возбуждения ε есть квант энергии, поглощенный атомом при переходе из основного состояния (n = 1) в возбужденное. Следовательно,

En – E1= ε.

Подставив числовые значения величин, выраженные в электрон-вольтах, получим

откуда n = 3. Следовательно, l = 0, 1, 2.

Теперь найдем возможные значения Мl:

при l = 0 Ml = 0,

при l = 1 Ml = (h/2π) = 1.49 × 10–34 Дж × с,

при l = 2 Ml = (h/2π) = 2.60 × 10–34 Дж × с.

Пример 6. Первоначально покоившийся атом водорода испустил фотон, длина волны которого соответствует максимальной длине волны в серии Бальмера. Определить скорость V движения атома водорода
(h = 6.62 × 10–34·Дж × с; М = 1.672 × 10–24 г; R = 109677 см–1).

Решение.

По закону сохранения импульса, импульс испущенного фотона равен импульсу атома, поэтому

откуда

Максимальную частоту фотона можно определить, используя формулу Бальмера для случая n = 3 (длина волны в этом случае будет максимальной):

Значит, скорость отдачи

В системе СИ

Пример 7. Радиоактивный натрий 11Νa24 распадается, выбрасывая
β-частицы. Период полураспада 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата:

а) за 10 ч;

б) за 0,01 с.

Решение.

а)Число радиоактивных атомов убывает со временем по закону

где Ν – число нераспавшихся радиоактивных атомов через t секунд с момента начала отсчета; Ν0 – число радиоактивных атомов к моменту начала отсчета; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число распавшихся атомов

(1)

Выразив λ через период полураспада Т, преобразуем выражение е-λt:

После преобразования равенство (1) будет иметь вид

(2)

В нашем случае Ν0 – число атомов в 1 мг 11Νa24. В одном килограмм-атоме 11Νa24 содержится 6.02 × 1026 (число Авогадро) атомов; в 1 мг содержится

Подставив числовые значения в формулу (2), получим

атомов.

б)Вторая часть задачи решается аналогично, однако здесь встречаются трудности в вычислении выражения 2–t/T.

Для решения этой части задачи заметим, что при λΔtT2 и T1>>t. Из первого неравенства следует, что можно пренебречь величиной Т2 в разности T1 – T2. В силу второго неравенства можно принять за единицу первый член, стоящий в скобках. Тогда найдем

Произведя расчет, получим

Ки.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/18_40368_primeri-resheniya-zadach.html

Фотон, его энергия и импульс

Как определить импульс приобретенный электроном...

Данная тема будет посвящена решению задач, связанных с расчетом энергии и импульса фотонов.

Задача 1. Определите энергию, массу и импульс фотона, если соответствующая ему длина волны равна 1,6 ∙ 10−12 м.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ

Энергия фотона определяется по формуле

Массу фотона можно определить из формулы

Импульс фотона

Ответ:W = 1,2 ∙ 10−13 Дж; m = 1,4 ∙ 10−30 кг; р =  4,1 ∙ 10−22 кг ∙ м/с.

Задача 2. Электрон, пройдя разность потенциалов 4,9 В, сталкивается с атомом ртути и переводит его в первое возбужденное состояние. Какую длину волны имеет фотон, соответствующий переходу атома ртути в нормальное состояние?

ДАНО:

РЕШЕНИЕ

Определим энергию, которую приобретает электрон, пройдя в электростатическом поле ускоряющую разность потенциалов

Энергия вылетевшего фотона

Приравняем эти два уравнения

Тогда длина волны фотона

Ответ: длина волны фотона равна 250 нм.

Задача 3. Работа выхода электрона из металла 4,5 эВ. Энергия падающего фотона 4,9 эВ. Если свет падает на пластинку нормально, а электрон вылетает перпендикулярно пластинке, то чему равно изменение модуля импульса металлической пластинки при вылете из нее одного электрона?

ДАНО:

РЕШЕНИЕ

Рассматриваемая система (металлическая пластинка — фотон — электрон) не является замкнутой. Однако фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом до вылета электронов проходит около одной миллиардной доли секунды. Так как время взаимодействия очень мало, то для рассматриваемой системы должен выполняться закон сохранения импульса

Импульс системы в начальном состоянии будет определяться только импульсом падающего фотона, так как в начальный момент времени пластинка не движется

Импульс системы в конечном состоянии будет складываться из импульса вылетевшего электрона и импульса, который приобрела пластинка

Тогда закон сохранение импульса

Изменение импульса пластинки

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на нормаль

Импульс, переданный фотоном

Импульс, преданный электроном

Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

Тогда импульс переданный электроном

Тогда изменение модуля импульса металлической пластины

Ответ: изменение модуля импульса пластинки равно 3,44 ∙ 10−25 кг ∙ м/с

Задача 4. Энергия фотона рентгеновского излучения 0,3 МэВ. Фотон был рассеян при соударении со свободным покоящимся электроном, в результате чего его длина волны увеличилась на 0,0025 нм. Определить: энергию рассеянного фотона; угол, под которым вылетел электрон отдачи; кинетическую энергию электрона отдачи.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ

Согласно условию задачи, при рассеянии рентгеновского излучения на электронах, происходит увеличение его длины волны.

Этот эффект, который называют эффектом Комптона, объясняется тем, что фотон, как и любая частица, обладает определенным импульсом и что акт рассеяния представляет собой упругое столкновение фотона с электроном, аналогичное соударению упругих шариков.

При этом выполняется как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии. Упруго соударяясь с электроном, фотон передает ему часть импульса и энергии. Энергия фотона, как известно, определяется по формулам

Уменьшение энергии фотона означает уменьшение частоты рентгеновского излучения и увеличение его длины волны.

Энергия рассеянного фотона

Длина волны рассеянного излучения

Длина волны падающего излучения

Длина волны рассеянного излучения

Тогда энергия рассеянного фотона

Проверим размерности

Определим угол, под которым вылетает электрон отдачи. Для этого нарисуем вспомогательный рисунок, на котором укажем ситуацию до столкновения фотона с электроном и после.

Так как время взаимодействия фотона с электроном мало, то систему «фотон-электрон» можно считать замкнутой, и для нее должен выполняться закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса в проекциях на ось Ох

Закон сохранения импульса в проекциях на ось Оу

Тогда

Импульс падающего фотона

Энергия падающего фотона

Аналогично для рассеянного фотона

Тогда

И

Формула Комптона

Тогда

Комптоновская длина волны электрона

Тогда

Закон сохранения энергии

Тогда кинетическая энергия электрона отдачи

Ответ:W’ = 0,2 МэВ; φ = 31о; Wk = 0,1 МэВ.

Источник: https://videouroki.net/video/28-foton-iegho-enierghiia-i-impul-s.html

Biz-books
Добавить комментарий