Как определить энергию рассеянного фотона…

Фотон, его энергия и импульс

Как определить энергию рассеянного фотона...

Данная тема будет посвящена решению задач, связанных с расчетом энергии и импульса фотонов.

Задача 1. Определите энергию, массу и импульс фотона, если соответствующая ему длина волны равна 1,6 ∙ 10−12 м.

ДАНО:РЕШЕНИЕЭнергия фотона определяется по формулеМассу фотона можно определить из формулыИмпульс фотона

Ответ:W = 1,2 ∙ 10−13 Дж; m = 1,4 ∙ 10−30 кг; р =  4,1 ∙ 10−22 кг ∙ м/с.

Задача 2. Электрон, пройдя разность потенциалов 4,9 В, сталкивается с атомом ртути и переводит его в первое возбужденное состояние. Какую длину волны имеет фотон, соответствующий переходу атома ртути в нормальное состояние?

ДАНО:РЕШЕНИЕОпределим энергию, которую приобретает электрон, пройдя в электростатическом поле ускоряющую разность потенциаловЭнергия вылетевшего фотонаПриравняем эти два уравненияТогда длина волны фотона

Ответ: длина волны фотона равна 250 нм.

Задача 3. Работа выхода электрона из металла 4,5 эВ. Энергия падающего фотона 4,9 эВ. Если свет падает на пластинку нормально, а электрон вылетает перпендикулярно пластинке, то чему равно изменение модуля импульса металлической пластинки при вылете из нее одного электрона?

ДАНО:РЕШЕНИЕРассматриваемая система (металлическая пластинка — фотон — электрон) не является замкнутой. Однако фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом до вылета электронов проходит около одной миллиардной доли секунды. Так как время взаимодействия очень мало, то для рассматриваемой системы должен выполняться закон сохранения импульсаИмпульс системы в начальном состоянии будет определяться только импульсом падающего фотона, так как в начальный момент времени пластинка не движетсяИмпульс системы в конечном состоянии будет складываться из импульса вылетевшего электрона и импульса, который приобрела пластинкаТогда закон сохранение импульсаИзменение импульса пластинкиЗапишем закон сохранения импульса в проекциях на нормальИмпульс, переданный фотономИмпульс, преданный электрономИз уравнения Эйнштейна для фотоэффектаТогда импульс переданный электрономТогда изменение модуля импульса металлической пластины

Ответ: изменение модуля импульса пластинки равно 3,44 ∙ 10−25 кг ∙ м/с

Задача 4. Энергия фотона рентгеновского излучения 0,3 МэВ. Фотон был рассеян при соударении со свободным покоящимся электроном, в результате чего его длина волны увеличилась на 0,0025 нм. Определить: энергию рассеянного фотона; угол, под которым вылетел электрон отдачи; кинетическую энергию электрона отдачи.

ДАНО:РЕШЕНИЕСогласно условию задачи, при рассеянии рентгеновского излучения на электронах, происходит увеличение его длины волны. Этот эффект, который называют эффектом Комптона, объясняется тем, что фотон, как и любая частица, обладает определенным импульсом и что акт рассеяния представляет собой упругое столкновение фотона с электроном, аналогичное соударению упругих шариков. При этом выполняется как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии. Упруго соударяясь с электроном, фотон передает ему часть импульса и энергии. Энергия фотона, как известно, определяется по формуламУменьшение энергии фотона означает уменьшение частоты рентгеновского излучения и увеличение его длины волны.Энергия рассеянного фотонаДлина волны рассеянного излученияДлина волны падающего излученияДлина волны рассеянного излученияТогда энергия рассеянного фотонаПроверим размерностиОпределим угол, под которым вылетает электрон отдачи. Для этого нарисуем вспомогательный рисунок, на котором укажем ситуацию до столкновения фотона с электроном и после.Так как время взаимодействия фотона с электроном мало, то систему «фотон-электрон» можно считать замкнутой, и для нее должен выполняться закон сохранения импульсаЗакон сохранения импульса в проекциях на ось ОхЗакон сохранения импульса в проекциях на ось ОуТогдаИмпульс падающего фотонаЭнергия падающего фотонаАналогично для рассеянного фотонаТогдаИФормула КомптонаТогдаКомптоновская длина волны электронаТогдаЗакон сохранения энергииТогда кинетическая энергия электрона отдачи

Ответ:W’ = 0,2 МэВ; φ = 31о; Wk = 0,1 МэВ.

Источник: https://videouroki.net/video/28-foton-iegho-enierghiia-i-impul-s.html

Примеры решения задач. Задача 3.1. Фотон рассеивается на угол при эффекте Комптона на первоначально покоившемся свободном электроне

Как определить энергию рассеянного фотона...

Задача 3.1. Фотон рассеивается на угол при эффекте Комптона на первоначально покоившемся свободном электроне. Энергия рассеянного фотона составляет = 0,2 МэВ. Определить изменение длины волны фотона и его энергию до рассеяния.

Дано: ; = 0,2 МэВ.

Найти: Δλ, e.

Р е ш е н и е

Изменение длины волны фотона находят по формуле

,

здесь м — комптоновская длина волны электрона.

Подставляя значения, получаем

= 2,43·10-12м.

Для определения энергии фотона применим формулу Планка ε = hν.

Частоту фотона выразим через длину волны ν = с/λ, тогда

ε = hс/λ и λ = hс/ε.

Подставляя эти соотношения в формулу изменения длины волны, можно записать

, ,

где обозначена энергия покоя электрона .

Приравнивая правые части уравнений, и проводя преобразования, получаем

.

Энергия покоя электрона W0 = 0,511 МэВ, тогда

= 0,33 МэВ.

Ответ: Δλ =2,43·10-12м, e = 0,33 МэВ.

Задача 3.2. Фотон с длиной волны 5 пм рассеивается на первоначально покоившемся свободном электроне под углом α = 600. Определить энергию рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

Дано: λ= 5 пм; α = 600.

Найти: , .

Р е ш е н и е

Запишем формулу Комптона

.

Выразив длину волны через энергию фотона λ` = hс/ε`, получим

.

Проводя преобразования, находим

;

= 3,20·10-14(Дж) =

= 3,20·10-14/(1,6·10-19) эВ = 0,20 МэВ.

Кинетическая энергия электрона отдачи в соответствии с законом сохранения энергии равна разности между энергией e падающего фотона и энергией рассеянного фотона

WК = hс/ λ -ε׳ = (0,25 — 0,20)·106эВ = 50 кэВ.

Ответ: = 0,20 МэВ, WК = 50 кэВ.

варианты задач

1. Вычислить максимальное изменение длины волны при комптоновском рассеянии рентгеновских квантов на свободном протоне.

2. Определить изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии под углом 90° на первоначально покоившихся свободных электронах.

3. Длина волны комптоновского рассеяния фотона на свободном электроне изменяется на 0,036 Å. Найти угол рассеяния фотона.

4.На свободном неподвижном электроне рассеивается фотон с энергией 1 МэВ. Вычислить кинетическую энергию электрона отдачи, если длина волны фотона увеличилась на 25 %.

5. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен 900. Определить энергию и импульс рассеянного фотона.

6. Найти энергию фотона, рассеянного под углом 1200 на первоначально покоившемся электроне, если начальная энергия фотона была равна 250 кэВ.

7. Фотон с длиной волны 20 пм испытывает комптоновское рассеяние под углом 1200. Найти изменение Dl длины волны рентгеновского излучения при рассеянии и кинетическую энергию электрона отдачи.

8. Найти долю энергии фотона, которая передается электрону отдачи при эффекте Комптона. Энергия рентгеновских фотонов до рассеяния равна 10 кэВ, а угол рассеяния 600.

9. Фотон с энергией 0,4 МэВ рассеивается под углом 900 на свободном электроне. Рассчитать энергию рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

10. Определить долю энергии, которую фотон передал электрону, при рассеянии фотона с длиной волны 0,01 Å на свободном электроне под углом 1200.

11. Вычислить долю энергии фотона, которая приходится на электрон отдачи при комптоновском рассеянии, если рассеяние фотона происходит на угол 1800, а энергия фотона до рассеяния равна 0,2 МэВ.

12. Угол рассеяния фотона в эффекте Комптона равен 900. Угол отдачи электрона 300. Определить энергию падающего фотона.

13. Рентгеновское излучение с длиной волны 10 пм испытывает комптоновское рассеяние на первоначально покоившихся электронах. Определить энергию электрона отдачи и угол рассеяния, если изменение длины волны составило 3 пм.

14.Фотон с длиной волны 2,4 пм рассеивается на первоначально покоившемся электроне под углом 90°. Определить частоту рассеянного излучения.

15.Определить изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии под углом 90° на свободных, первоначально покоившихся протонах.

16.Фотон с энергией 0,2 МэВ испытывает комптоновское рассеяние под углом 90° на свободном электроне. Определить энергию электрона отдачи и энергию рассеянного фотона.

17. Определить изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии под углом 60° на свободных, первоначально покоившихся электронах.

18. Фотон с длиной волны 5 пм испытывает комптоновское рассеяние под углом 90° на первоначально покоившихся свободных электронах. Определить энергию и импульс электрона отдачи.

19.Рассчитать длину волны рентгеновского излучения, если при комптоновском рассеянии под углом 60° длина волны рассеянного излучения увеличилась до 60 пм.

20.Фотон с энергией 1 МэВ рассеивается на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите угол рассеяния фотона, если длина волны рассеянного фотона равна комптоновской длине волны 2,43 пм.

21. Фотон с энергией 0,1 МэВ в результате комптоновского эффекта рассеялся при столкновении со свободным электроном на угол 90°. Определить энергию фотона после рассеяния.

22.Фотон с длиной волны 5 пм испытывает комптоновское рассеяние под углом 90° на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите изменение длины волны при рассеянии и энергию электрона отдачи.

23.Фотон с энергией 0,2 МэВ рассеивается на первоначально покоившемся свободном электроне.

Определить кинетическую энергию электрона отдачи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 20 %.

24. Фотон с энергией 0,2 МэВ испытывает комптоновское рассеяние под углом 60° на свободном электроне. Определить энергию электрона отдачи.

25.Монохроматическое рентгеновское излучение рассеивается на свободных электронах. Длины волн рассеянного излучения под углами 60° и 120° отличаются в 1,5 раза. Определить длину волны падающего рентгеновского излучения.

26. Определить изменение длины волны электромагнитного излучения при рассеянии под углом 180° на первоначально покоившихся свободных протонах.

27. Рассчитать частоту рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи при комптоновском рассеянии фотона с длиной волны 6,0 пм под прямым углом на покоящемся свободном электроне.

28. Кинетическая энергия электрона отдачи равна 0,45 МэВ. Фотон рентгеновского излучения рассеивается под углом 120° на покоящемся свободном электроне. Вычислить энергию фотона до рассеяния.

29. Определить энергию рассеянного под углом 120° фотона на покоящемся свободном электроне, если первоначальная энергия фотона была равна 250 кэВ.

30. Вычислить максимальное значение изменения длины волны при комптоновском рассеянии фотона на свободном электроне.

Date: 2015-05-19; view: 5352; Нарушение авторских прав

Источник: https://mydocx.ru/1-54170.html

Примеры решения задач

Как определить энергию рассеянного фотона...

Пример 1. Кинетическая энергия электрона равна 0.5 МэВ. Определить длину волны де Бройля.

Решение.

Так как кинетическая энергия электрона (0.5 МэВ) почти равна его энергии покоя (0.511 МэВ), то скорость электрона близка к скорости света и, следовательно, задачу нужно решать по формулам релятивистской механики.

Длина волны де Бройля выражается формулой

(1)

где h – постоянная Планка; p – импульс электрона.

Импульс электрона определим из формулы, связывающей энергию частицы с ее импульсом:

(2)

откуда

. (3)

Полная энергия электрона равна сумме его энергии покоя и кинетической энергии

(4)

Поэтому

или

(5)

Подставив в формулу (1) вместо импульса р электрона его значение по формуле (5), получим

(6)

При числовом подсчете по формуле (6) нет необходимости выражать энергию покоя и кинетическую энергию в единицах системы СИ. Значения энергии можно взять в мегаэлектрон-вольтах, если предварительно выразить постоянную Планка в мегаэлектрон-вольтах в секунду:

Можно поступить иначе, выразив постоянную Планка h через комптоновскую длину волны λk электрона. Как известно, длина волны Комптона

откуда

(7)

Подставив в формулу (6) вместо h его значение по формуле (7) и учтя, что m0с2 = Е0, получим

(8)

Комптоновская длина волны электрона λк = 0.0242 Ǻ. Сделав подстановку чисел, получим искомую длину волны де Бройля:

Å =1.42 пм.

Пример 2. Угол рассеяния фотона в результате эффекта Комптона составляет 180°. Определить кинетическую энергию электрона отдачи, если энергия фотона до рассеяния равна 0.51 МэВ.

Решение.

При эффекте Комптона электрон отдачи получает энергию от фотона

Т = ε1 – ε2, (1)

где ε1 – энергия падающего фотона; ε2 – энергия рассеянного фотона.

Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись уравнением Комптона

которое для случая рассеяния под углом Θ = 180° примет вид

Выразив длины волн через энергию фотонов, получим

Разделив обе части равенства на hc, найдем

или, приняв во внимание, что m0с2 есть энергия покоя электрона Е0,

Отсюда

.

Подставив числовые значения ε1 и Е0, получим

МэВ

Подставив значения ε1 и ε2 в (1) и произведя вычисления, найдем кинетическую энергию электрона отдачи:

Т = 0.51 – 0.17 = 0.34 МэВ.

Пример 3. Какое наименьшее напряжение надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить наименьшую длину волны в серии L, если антикатод сделан из железа и постоянная экранирования равна 7.5 (по Мозли)?

Решение.

Характеристическое рентгеновское излучение наблюдается всякий раз, когда заполняются места во внутренних слоях электронной оболочки атома, освобожденные электронами вследствие вырывания их бомбардирующими антикатод электронами. Энергия, необходимая для возбуждения какой-либо серии (К, L, М, …), определяется работой вырывания электрона из соответствующего слоя и равна максимальной энергии кванта, соответствующего этой серии.

Так, все линии серии L появляются, если освобождается место во втором от ядра слое – слое L. Следовательно, наименьшую длину волны или максимальную частоту для этой серии определим по формуле Мозли из условия, что n = ∞, k = 2, Z = 26:

где b – постоянная экранирования. Для этой серии у всех элементов b одинакова и равна 7.5 (по Мозли).

Гц.

Из сказанного выше следует, что

eU = hνmax,

В.

При таком напряжении на трубке появятся все линии серии L, и более мягкие, а линии серии K наблюдаться не будут.

Пример 4. Электрон, имеющий скорость 106 м/с, влетает в камеру Вильсона. Приняв размер зерна фотоэмульсии порядка 10–6 м, найдите неопределенность в скорости. Сравните Vх и ΔVх.

Решение.

Ширина трека 10–6 м, следовательно, неопределенность в координате Δх = 10–6. Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, запишем

следовательно,

кг·(м/с).

Из неопределенности импульса определим неточность в скорости:

м/с,

Таким образом, в этом случае можно говорить о траектории частицы в классическом смысле.

Пример 5. Определить возможные значения орбитального момента импульса Мl электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения ε = 12.09 эВ.

Решение.

Орбитальный момент импульса Мl электрона определяется квантовым числом по формуле

где l – орбитальное квантовое число (l = 0, 1, 2 ,…, n – 1).

Найдем главное квантовое число n с помощью формулы, определяющей собственные значения энергии электрона в атоме водорода:

где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3,…).

Учтем, что при n = 1 E = –13.6 эВ. Тогда

.

Энергия возбуждения ε есть квант энергии, поглощенный атомом при переходе из основного состояния (n = 1) в возбужденное. Следовательно,

En – E1= ε.

Подставив числовые значения величин, выраженные в электрон-вольтах, получим

откуда n = 3. Следовательно, l = 0, 1, 2.

Теперь найдем возможные значения Мl:

при l = 0 Ml = 0,

при l = 1 Ml = (h/2π) = 1.49 × 10–34 Дж × с,

при l = 2 Ml = (h/2π) = 2.60 × 10–34 Дж × с.

Пример 6. Первоначально покоившийся атом водорода испустил фотон, длина волны которого соответствует максимальной длине волны в серии Бальмера. Определить скорость V движения атома водорода
(h = 6.62 × 10–34·Дж × с; М = 1.672 × 10–24 г; R = 109677 см–1).

Решение.

По закону сохранения импульса, импульс испущенного фотона равен импульсу атома, поэтому

откуда

Максимальную частоту фотона можно определить, используя формулу Бальмера для случая n = 3 (длина волны в этом случае будет максимальной):

Значит, скорость отдачи

В системе СИ

Пример 7. Радиоактивный натрий 11Νa24 распадается, выбрасывая
β-частицы. Период полураспада 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата:

а) за 10 ч;

б) за 0,01 с.

Решение.

а)Число радиоактивных атомов убывает со временем по закону

где Ν – число нераспавшихся радиоактивных атомов через t секунд с момента начала отсчета; Ν0 – число радиоактивных атомов к моменту начала отсчета; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число распавшихся атомов

(1)

Выразив λ через период полураспада Т, преобразуем выражение е-λt:

После преобразования равенство (1) будет иметь вид

(2)

В нашем случае Ν0 – число атомов в 1 мг 11Νa24. В одном килограмм-атоме 11Νa24 содержится 6.02 × 1026 (число Авогадро) атомов; в 1 мг содержится

Подставив числовые значения в формулу (2), получим

атомов.

б)Вторая часть задачи решается аналогично, однако здесь встречаются трудности в вычислении выражения 2–t/T.

Для решения этой части задачи заметим, что при λΔtT2 и T1>>t. Из первого неравенства следует, что можно пренебречь величиной Т2 в разности T1 – T2. В силу второго неравенства можно принять за единицу первый член, стоящий в скобках. Тогда найдем

Произведя расчет, получим

Ки.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/18_40368_primeri-resheniya-zadach.html

Основные формулы

Как определить энергию рассеянного фотона...

стр 1

скачать Эффект КомптонаОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

  • Изменение длины волны Δλ фотона при рассеянии его на электроне на угол θ

, или ,

где т0— масса покоя электрона отдачи; λ и λ' — длины волн.

  • Комптоновская длина волны

.

(При рассеянии фотона на электроне λс = 2,43 пм.)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 90°. Энергия ε' рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

Решение. Для определения первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде

(1)

Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) выразим длины волн λ' и λ через энергии ε' и εсоответствующих фотонов, воспользовавшись соотношением ε = 2πħс/λ; 2) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на c. Тогда получим

.

Сократив на 2πħс, выразим из этой формулы искомую энергию:

,

где Е0 = т0с2— энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Взяв из табл. значение энергии покоя электрона в мегаэлектронвольтах и подставив числовые данные, получим

ε = 1,85 МэВ.

Пример 2. Фотон с энергией ε = 0,75МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ = 60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения.

Решение. 1. Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

.

Выразив длины волн λ' и λ через энергии εε соответствующих фотонов, получим

.

Разделим обе части этого равенства на 2πħс: . Отсюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона m0c2через E0, найдем

. (3)

Подставив числовые значения величин, получим

ε' = 0,43 МэВ.

2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией е падающего фотона

и энергией ε'рассеянного фотона:

Т = ε — ε'= 0,32 МэВ.

3. Направление движения электрона отдачи найдем, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона p равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона р и электрона отдачи m0v.

p = p' + mov.

Векторная диаграмма импульсов изображена на рис. 1. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол φопределяет направление движения электрона отдачи.

Из треугольника OCDнаходим

,

или

.

Так как p = ε/c и р' = ε'/с, то

. (4)

Преобразуем формулу (4) так, чтобы угол φ выражался непосредственно через величины ε и θ, заданные в условии задачи. Из формулы (3) следует

. (5)

Заменим в формуле (4) соотношение ε/ε' по формуле (5):

.

Учитывая, что sin θ= 2 sin (θ/2)cos (θ/2)и 1 — cos θ = 2 sin2 (θ/2), после соответствующих преобразований получим

. (6)

После вычисления по формуле (6) найдем tgφ= 0,701, откуда

φ= 35°.

скачать Сочинение по поэме Н. А. Некрасова «Кому на Руси жить хорошо»

16.52kb.

1 стр.

Основные понятия, законы и формулы Необходимо знать наизусть

29.88kb.

1 стр.

Таблица, Формулы. Формула задаётся как выражение, в котором использованы: абсолютные

25.71kb.

1 стр.

Основные формулы курса физики 7 класса Физическая величина

19.61kb.

1 стр.

I. к изучению мигрирующей интонационной формулы как структурно-семантического стереотипа 25 Глава II. Мигрирующие формулы с относительно устойчивой семантикой их источники

238.59kb.

1 стр.

Приоритет логических операций

89.03kb.

1 стр.

Формулы сокращенного выражения

38.79kb.

1 стр.

Работа с формулами в среде текстового редактора ms word

70.25kb.

1 стр.

Урок физики (9 класс)

36.07kb.

1 стр.

Электронные таблицы

246.98kb.

1 стр.

Тригонометрические уравнения

119.31kb.

1 стр.

Основные формулы

25.84kb.

1 стр.

Источник: http://nenuda.ru/%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B.html

Biz-books
Добавить комментарий