Как определить частоту простых гармонических колебаний…

Гармонические колебания — Класс!ная физика

Как определить частоту простых гармонических колебаний...

«Физика — 11 класс»

Ускорение — вторая производная координаты по времени.

Мгновенная скорость точки — это производная координаты точки по времени. Ускорение точки — это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени.

Поэтому уравнение движения маятника можно записать так:

где х» — вторая производная координаты по времени.

При свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания

Из математики: вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают. Поэтому:

Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу.

График зависимости координаты тела от времени представляет собой косинусоиду.

х = xm cos ω0t

где

Тогда уравнение движения, описывающее свободные колебания маятника:

Период и частота гармонических колебаний.

При колебаниях движения тела периодически повторяются.
Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний в единицу времени.
Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду

В Международной системе единиц (СИ) единица частоты называется герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.

Число колебаний за 2π с равно:

Величина ω0 — это циклическая (или круговая) частота колебаний.
Через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Часто для краткости циклическую частоту называют просто частотой.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы.

1. для пружинного маятника

Собственная частота колебаний пружинного маятника равна:

Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m.
Жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела, а чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы.

Период колебаний равен:

Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний.

2. для нитяного маятника

Собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:

Период же этих колебаний равен:

Период колебаний нитяного маятника при малых углах отклонения не зависит от амплитуды колебаний.

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит.

Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Следующая страница «Фаза колебаний»
Назад в раздел «Физика — 11 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин»

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Свободные, затухающие и вынужденные колебания — Условия возникновения свободных колебаний. Математический маятник — Динамика колебательного движения. Уравнение движения маятника — Гармонические колебания — Фаза колебаний — Превращение энергии при гармонических колебаниях — Вынужденные колебания. Резонанс — Примеры решения задач — Краткие итоги главы

Источник: http://class-fizika.ru/11_18.html

Частота гармонических колебаний

Как определить частоту простых гармонических колебаний...

Гармоническими называют колебания, в которых интересующий нас параметр изменяется во времени по тригонометрическому закону (синус или косинус).

$z=z_m\cos (\omega_0 t+\alpha) (1),$ где:

  • $z_m$ — является амплитудой колебаний;
  • $(\omega_0 t+\alpha)$ – фаза колебаний;
  • $\alpha $ — служит начальной фазой колебаний (фаза колебаний в момент времени, который считают начальным ($t=0$));
  • $\omega_0$ — обозначение циклической (или круговой) частоты процесса.

Колебания играют важную роль в разных физических процессах. Среди множества колебаний гармонические колебания занимают особое место, поскольку:

  1. они считаются наиболее простыми для математического описания;
  2. любое периодическое движение можно разложить на составляющие, которые можно считать гармоническими компонентами рассматриваемого колебательного движения.

Рассмотрим колебательное движение материальной точки.

Кинематическая модель гармонических колебаний

Пусть материальная точка $A$ равномерно движется по окружности (рис.1). Угловую скорость ее движения обозначим $\omega_0=const$. Радиус окружности равен $R$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рисунок 1. Точка движется по окружности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проектируя место наше точки в момент времени $t$ (рис.1) на ось $OZ$ мы получим точку $Z$, которая находится на расстоянии $z$ от начала координат (точки $O$). С течением времени (в ходе перемещения материальной точки $A$ по окружности) точка $Z$ будет совершать колебания от положения $Z_1$ до положения $Z_2$ и в обратную сторону.

Рассматриваемое колебание точки $Z$ будет гармоническим. Для его описания достаточно записать закон изменения расстояния $z$ (координаты $z$) от начала координат (точки $O$) в зависимости от времени, то есть получить функцию $z(t)$.

Будем считать, что при $t=0$ радиус $ОA$ составляет угол $\alpha$ с осью $OZ$. Через время $t$ данный угол изменится на величину $\omega_0 t$. Из прямоугольного треугольника $OZA$ мы получим:

$z(t)=R\cos (\omega_0 t+\alpha)=z_m\cos (\omega_0 t+\alpha) (2).$

Выражение (2) описывает гармонические колебания точки $A$ по оси $OZ$.

Параметр $R=z_m$ в данном случае – это наибольшее отклонение точки, выполняющей колебания от положения равновесия (точки $O$), данный параметр носит название амплитуды колебаний.

Угловая скорость вращения точки по окружности в данной модели будет играть роль циклической частоты колебаний.

  • При начальной фазе колебаний равной нулю $(\alpha=0),$ имеем $z(t)= z_m\cos (\omega_0 t );$
  • При $\alpha=\frac{\pi}{2}$ мы получим, что $z(t)= z_m\sin (\omega_0 t ).$

Мы видим, что при гармонических колебаниях координата $z$ является функцией синуса или косинуса, зависящей от времени.

Гармонические колебания часто изображают в виде графиков. При этом по горизонтальной оси откладывают время, на вертикальной оси — координату. Получают периодическую кривую (синусоиду или косинусоиду). При этом форма кривой зависит только от амплитуды и круговой частоты гармонических колебаний. Положение данной кривой определяет начальная фаза колебаний.

Период колебаний и круговая частота

Синус (косинус) является периодической функцией, следовательно, рассматриваемое нами движение является периодическим. Период этих тригонометрических функций составляет $T=2\pi$. Это означает, что по истечении времени $T$ точка, выполняющая колебания приходит в свое исходное положение, сохраняя свое направление движения. $T$ называют периодом колебаний.

Период колебаний и круговая частота колебаний связаны выражением:

$\omega_0=\frac{2\pi}{T}(3).$

Частота колебаний

Кроме циклической частоты при описании колебаний используют линейную частоту (или просто частоту), обозначаемую $u$.

Линейная частота является величиной обратной периоду колебаний:

$u=\frac{1}{T}(4)$.

Она измеряется в герцах (Гц), тогда как единицей измерения циклической частоты является обратная секунда.

Определение 1

Частотой (линейной частотой) называют физическую величину, которая служит характеристикой периодического процесса, равную числу колебаний (повторений) за единицу времени.

$u=\frac{n}{t}(5),$

где $n$ — количество колебаний (повторений процесса); $t$ — время наблюдения.

Линейная частота связана с круговой частотой формулой:

$u=\frac{\omega_0}{2\pi}(6).$

Формулы циклической частоты для гармонических осцилляторов

Классическими примерами гармонических осцилляторов в механике являются:

  • груз на упругой пружине (пружинный маятник);
  • математический маятник;
  • физический маятник (твердое тело, выполняющее колебания (качания) относительно неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку, не совпадающую с его центром масс);
  • электрический $LC$ контур.

Допустим, что осцилляторы совершают свободные (без действия внешних сил) колебания при отсутствии трения.

Груз на пружине выполняет колебания с циклической частотой равной:

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}(7),$

где $k$ — коэффициент упругости пружины; $m$- масса тела, подвешенного к пружине.

Круговая частота малых колебаний физического маятника равна:

$\omega_0=\sqrt{\frac{mga}{I}}(8),$

где $m$ — масса маятника; $a$ — расстояние от центра масс, до точки подвеса маятника; $I$ — момент инерции маятника.

Математический маятник — это частный случай физического маятника. У этого маятника массу считают сосредоточенной в одной точке — центре его центре масс. Чаще всего в качестве математического маятника рассматривают шарик, который выполняет колебания на длинной нити.

Циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}(9),$

где $l$ — длина нити.

Классическим примером осциллятора, который может выполнять свободные незатухающие гармонические электромагнитные колебания является идеальный электрический контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности.

Циклическая частота данных колебаний определяется выражением:

$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}(10)$,

где $C$ — емкость конденсатора; $L$ — индуктивность катушки.

Из приведенных выше формул мы видим, что частота свободных колебаний без учета трения зависит только от свойств самих осцилляторов.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/chastota_garmonicheskih_kolebaniy/

Колебания. Гармонические колебания. Графический представить гармонических колебаний. Понятие собственной частоты колеблющийся системы

Как определить частоту простых гармонических колебаний...

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения.Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

По физической природе Механические (звук, вибрация) Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые) Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных По характеру взаимодействия с окружающей средой Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия Собственные (или свободные) — колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие)

Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы).

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Смещение определяется формулой

где x0 – амплитуда, ω – циклическая частота, φ0 – начальная фаза колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет один и тот же вид для любых колебаний:

где – ускорение тела. Величина ω0 называется собственной частотой свободных колебаний. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Уравнение гармонического колебания имеет вид

или

,

где х — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени t от среднего за период значения (например, в кинематике — смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия); А — амплитуда колебания, т.е.

максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения, размерность Aсовпадает с размерностью x; ω (радиан/с, градус/с) — циклическая частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с; (радиан, градус) — полная фаза колебания (сокращенно — фаза, не путать с начальной фазой); (радиан, градус) — начальная фаза колебаний, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины x) в момент времени t = 0.

Дифференциальное уравнение, описывающее гармонические колебания, имеет вид

Любое нетривиальное[1] решение этого дифференциального уравнения — гармоническое колебание с циклической частотой

Материальная точка совершает гармонические колебания, если они происходят в результате воздействия на точку силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки от положения равновесия и направленной противоположно этому смещению.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время.

Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называютначальной фазой.

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Нормальные колебания, Собственные колебания и — набор характерных для колебательной системы типов гармонических колебаний. Каждое из нормальных колебаний физической системы, например, колебаний атомов в молекулах, характеризуется своей частотой.

Такая частота называется нормальная частота, или собственная частота[1](по аналогии с линейной алгеброй: собственное число и собственный вектор). Набор частот нормальных колебаний составляет колебательный спектр. Произвольное колебание физической системы можно представить в видесуперпозиции нормальных колебаний.

Вынужденные колебания физической системы имеют резонанс на частотах, которые совпадают с частотами нормальных колебаний.

Произведение массы колеблющегося тела на квадрат частоты колебаний можно обозначить через k, так как обе величины постоянны:

. (4.8)

Введенный выше коэффициент k носит название коэффициента жёсткости системы. Он определяет частоту колебаний и зависит от конструкции самой колеблющейся системы. Уравнение свидетельствует, что период колебаний для данной системы постоянен, а частота колебаний носит название собственной частоты.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/14_67859_kolebaniya-garmonicheskie-kolebaniya-graficheskiy-predstavit-garmonicheskih-kolebaniy-ponyatie-sobstvennoy-chastoti-koleblyushchiysya-sistemi.html

Гармонические колебания

Как определить частоту простых гармонических колебаний...

На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.
АЧХ шума.

Лично мне после прочтения этих статей (например, этой ) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.

Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так. Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих :). Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.

Пару слов о матчасти

Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии

Гармонические колебания Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:

f(x) = A sin (ωt + φ),

где A — длина вектора (амплитуда колебаний), φ — начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω — угловая скорость вращения, которая равна: ω=2 πf, где f — частота в Герцах. Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал. Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.

Я приведу пример из английской википедии. Для примера возьмём пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал Его сумма будет представлена следующей формулой: Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу: Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:
Вектора рисуют пилу.

Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.

Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда) Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.

Переходим к практическим упражнениям!

Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами :).

Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.

Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой.

Прочитать про его структуру можно тут.

Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.

Для формирования звукового файла был взят пример здесь. Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут

github.com/dlinyj/generate_wav

Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом: #define S_RATE (44100) //частота дискретизации#define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */…. int main(int argc, char * argv[]){… float amplitude = 32000; //берём максимальную возможную амплитуду float freq_Hz = 100; //частота сигнала /* fill buffer with a sine wave */ for (i=0; iПостроить график спектра)
График спектра Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять.

В данном случае просто логарифм амплитуды, умноженный на 10. Логарифмический масштаб удобно использовать при работе с сигналами.

Мне, честно говоря, не очень нравится анализатор спектра в этой программе, поэтому я решил написать свой с блекджеком и шлюхами, тем более, что это несложно.

Пишем свой анализатор спектра

Здесь может быть скучно, поэтому можете перейти сразу к следующей главе.

Поскольку я прекрасно понимаю, что тут портянки кода размещать нет смысла, те, кому реально интересно — сами найдут и поковыряют, а тем, кому это неинтересно, будут скучать, то я остановлюсь только на основных моментах написания анализатора спектра wav-файла.

Во-первых, нам wav-файл необходимо читать. Там необходимо прочитать заголовок, чтобы понять, что содержит данный файл. Я не стал реализовывать море вариантов чтения данного файла, а остановился только на одном. Пример чтения файла был взят отсюда практически без изменений, ИМХО — отличный пример. Там же есть реализация на питоне.

Следующее, что нам нужно, это быстрое преобразование Фурье. Это то самое преобразование, которое позволяет получить из конечного набора точек вектора исходных сигналов. Пусть вас пока это не пугает, дальше я объясню.

Опять же, велосипед изобретать не стал, а взял готовый пример отсюда. Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью. Для начала алокируем массивы: c = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массив Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла). while( fread(&value,sizeof(value),1,wav) ) { in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break;} Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re[0], im[0], re[1], im[1],… re[fft_size-1], im[fft_size-1]}, где fft_size=1

Источник: https://habr.com/post/219337/

Гармонические колебания — Гипермаркет знаний

Как определить частоту простых гармонических колебаний...

Гипермаркет знаний>>Физика и астрономия>>Физика 11 класс>> Гармонические колебания

                                                     § 22     ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно на основе математического анализа найти зависимость координаты от времени.

Ускорение — вторая производная координаты по времени. Мгновенная скорость точки, как вам известно из курса математики, представляет собой производную координаты точки по времени. Ускорение точки — это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени.

Поэтому уравнение (3.4) можно записать так:  

где х« — вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (3.

11) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания. Из курса математики известно, что вторые производные синуса и косинуса по их аргументу  пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком. В математическом анализе доказывается, что никакие другие функции таким свойством не обладают.

Все это позволяет с полным основанием утверждать, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или пасинуса. На рисунке 3.6 показано изменение координаты точки со временем по закону косинуса.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, или от того, какая скорость сообщается телу.

Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу. Но максимальные значения модуля синуса и модуля косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (3.11) не может выражаться просто синусом или косинусом.

Оно должно иметь вид произведения амплитуды колебаний хm на синус или косинус.

Решение уравнения, описывающего свободные колебания. Запишем решение уравнения (3.11) в следующем виде:  

а вторая производная будет равна:

 

Мы получили уравнение (3.11). Следовательно, функция (3.12) есть решение исходного уравнения (3.11). Решением этого уравнения будет также функция

 

График зависимости координаты тела от времени согласно (3.14) представляет собой косинусоиду (см. рис. 3.6).

Период и частота гармонических колебаний. При колебаниях движения тела периодически повторяются. Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний.

Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например за секунду.

Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секундуВ Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за секунду совершается одно колебание.

Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.

Число колебаний за 2 с равно:

  

Величина — циклическая, или круговая, частота колебаний. Если в уравнении (3.14) время t равно одному периоду, то T = 2. Таким образом, если в момент времени t = 0 х = хm, то и в момент времени t = Т х = хm, т. е. через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.

Частоту свободных колебаний нааынают собственной частотой колебательной системы1.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы. Собственная частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, согласно уравнению (3.13) равна:Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m.

Это легко понять: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно наменяет скорость под влиянием силы. Период колебаний равен:  

Располагая набором пружин различной жесткости и телами различной массы, нетрудно убедиться на опыте, что формулы (3.

13) и (3.18) правильно описывают характер зависимости и Т от k и m.

Замечательно, что период колебаний тела на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний.

Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением t, и смещением х в уравнении (3.10), описывающем колебания маятника, представляет собой, как и в уравнении (3.11), квадрат циклической частоты.

Следовательно, собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом — современником И. Ньютона. Она справедлива только для малых углов отклонения нити.

1Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту от обычной частоты можно по обозначениям.

 

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода колебаний от ускорения свободного падения также можно обнаружить.

Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м).

И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебаний, можно очень точно определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой.

Но и на данной широте оно не везде одинаково. Ведь плотность земной коры не всюду одинакова. В районах, где залегают плотные породы, ускорение g несколько большее.

Это учитывают при поисках полезных ископаемых.

Так, железная руда обладает повышенной плотностью по сравнению с обычными породами. Проведенные под руководством академика А. А. Михайлова измерения ускорения свободного падения под Курском позволили уточнить места залегания железной руды. Сначала они были обнаружены посредством магнитных измерений.

Свойства механических колебаний используются в устройствах большинства электронных весов. Взвешиваемое тело кладут на платформу, под которой установлена жесткая пружина.

В результате возникают механические колебания, частота которых измеряется соответствующим датчиком.

Микропроцессор, связанный с этим датчиком, переводит частоту колебаний в массу взвешиваемого тела, так как эта частота зависит от массы.

Полученные формулы (3.18) и (3.20) для периода колебаний свидетельствуют о том, что период гармонических колебаний зависит от параметров системы (жесткости пружины, длины нити и т. д.)

Мякишев Г. Я., Физика. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. — 17-е изд., перераб. и доп. — М. : Просвещение, 2008. — 399 с : ил.

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по физике онлайн, видеоматериал по физике для 11 класса скачать

урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F

Biz-books
Добавить комментарий