Как найти значение радиуса электронной орбиты…

Элементарная теория Бора

Как найти значение радиуса электронной орбиты...

Выход из тупика был найден датским ученым Нильсом Бором в 1913 году, получившим Нобелевскую премию в 1922 году.

БОР Нильс Хендрик Давид (1885–1962) – выдающийся датский физик-теоретик, один из создателей современной физики. Сформулировал идею о дискретности энергетических состояний атомов, в свете новых идей построил атомную модель, открыв условия устойчивости атомов, и объяснил большой круг явлений. Создал первую квантовую модель атома, основанную на двух постулатах, которые прямо противоречили классическим представлениям и законам. Автор теории составного ядра, один из создателей капельной модели ядра и теории деления атомного ядра.

       Бор высказал предположения, которые были названы постулатами Бора.

       ·     Первый постулат(постулат стационарных состояний): электроны движутся только по определенным (стационарным) орбитам. При этом, даже двигаясь с ускорением, они не излучают энергию.

       ·     Второй постулат(правило частот): излучение и поглощение энергии в виде кванта света (hn) происходит лишь при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается скачок электрона: .

       Отсюда следует, что изменение энергии атома, связанное с излучением при поглощении фотона, пропорционально частоте ν:

или .(6.3.1)

       Правило квантования орбит: из всех орбит электрона возможны только те, для которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка:

,(6.3.2)

где n = 1, 2, 3,… – главное квантовое число.

       Получим выражение для энергии электрона в атоме.

       Рассмотрим электрон (рис. 6.6,а), движущийся со скоростью в поле атомного ядра с зарядом Ze (при Z = 1 – атом водорода).

аб

Рис. 6.6

       Уравнение движения электрона имеет вид:

.(6.3.3)

       Из формулы (6.3.3) видно, что центробежная сила равна кулоновской силе, где .

       Подставим значение υ из (6.3.2) в (6.3.3) и получим выражение для радиусов стационарных орбит (рис.6.6,б):

.(6.3.4)

       Радиус первой орбиты водородного атома называют боровским радиусом. При n =1, Z = 1 для водорода имеем:

Å = 0,529·10–10 м.

       Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно) и потенциальной энергией взаимодействия электрона с ядром:

.

       Из уравнения движения электрона следует, что , т.е. кинетическая энергия равна потенциальной. Тогда можно записать:

.

       Подставим сюда выражение для радиуса первой орбиты и получим:

.(6.3.5)

       Здесь учтено, что постоянная Планка , т.е. .

       Для атома водорода при Z = 1 имеем:

.(6.3.6)

       Из формулы (6.3.6) видно, что принимает только дискретные значения энергии, т.к. n = 1, 2, 3….

       Схема энергетических уровней, определяемых уравнением (6.3.6) показана на рис. 6.1 и 6.7.

Рис. 6.7

       При переходе электрона в атоме водорода из состояния n в состояние k излучается фотон с энергией:

.

       Частота излучения:

.

       Получена обобщенная формула Бальмера, которая хорошо согласуется с экспериментом. Выражение перед скобками, как уже было сказано, носит название постоянной Ридберга:

.

       Серьезным успехом теории Бора явилось вычисление постоянной Ридберга для водородоподобных систем и объяснение структуры их линейчатых спектров. Бору удалось объяснить линии спектра ионизованного гелия.

Он теоретически вычислил отношение массы протона к массе электрона , что находилось в соответствии с экспериментом, является важным подтверждением основных идей, содержащихся в его теории. Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики.

В период ее развития (1913–1925) были сделаны важные открытия, навсегда вошедшие в сокровищницу мировой науки.

       Однако, наряду с успехами, в теории Бора с самого начала обнаружились существенные недостатки. Главнейшим из них была внутренняя противоречивость теории: механическое соединение классической физики с квантовыми постулатами.

Теория не могла объяснить вопрос об интенсивностях спектральных линий.

Серьезной неудачей являлась абсолютная невозможность применить теорию для объяснения спектров атома гелия, содержащего два электрона на орбите и тем более для многоэлектронных атомов (рис. 6.8).

Рис.6.8

       Стало ясно, что теория Бора является лишь переходным этапом на пути создания более общей и правильной теории. Такой теорией и явилась квантовая механика.

       Для просмотра демонстраций щелкните по соответствующей гиперссылке:
       Возбужденное состояние атома.      Вынужденное излучение атома.      Спонтанное излучение атома.
       Тормозное рентгеновское излучение.

Источник: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D1%8F%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86/06-3.htm

Примеры решения задач

Как найти значение радиуса электронной орбиты...

План решения задач по теме «Теория атома водорода по Бору»

1. Следует обратить внимание, что созданная Бором теория атома водорода – первая квантовая теория атома, согласно которой электрон в атоме может находиться только в определенных стационарных состояниях.

Параметры электрона в атоме: радиус круговой орбиты, скорость и его момент импульса, период обращения, энергия электрона, – имеют в этих состояниях дискретные значения, которые определяются главным квантовым числом (номер орбиты).

Эта зависимость отражается индексом величин: .

2. По мере увеличения номера орбиты ее радиус увеличивается , а скорость электрона уменьшается ; в результате период обращения растет , возрастает момент импульса электрона и увеличивается его энергия .

3.

Порядок величин параметров электрона в атоме водорода можно оценить по указанным зависимостям и значениям величин для основного состояния . В этом состоянии радиус орбиты , скорость электрона , период обращения , момент импульса , и полная энергия электрона

Задача 30. Для электрона, находящегося на первой орбите ( ) атома водорода, определите радиус орбиты , момент импульса электрона и его скорость .

Дано Электрон в атоме : . Решение По теории Бора электрон в атоме водорода движется по окружности радиусом . На орбите электрон удерживается кулоновской силой притяжения к ядру, имеющему положительный заряд. Эта сила создает нормальное (центростремительное) ускорение, которое, в соответствии со вторым законом Ньютона:

. (1)

Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра ( ); – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

В уравнении (1) две неизвестные величины: . Другое уравнение, которое также содержит эти величины, – первый постулат Бора, определяющий условие квантования момента импульса электрона:

. (2)

Здесь – радиус -ой стационарной орбиты; – главное квантовое число; – постоянная Планка.

Выразим из уравнения (2) скорость электрона:

(3)

Подставим это значение скорости в уравнение (1) и определим из него радиус -ой орбиты электрона:

(4)

Полученную формулу представим в следующем виде:

, (5)

где – первый боровский радиус.

Вычисляем величину радиуса первой орбиты электрона в атоме водорода:

.

Момент импульса электрона вычисляем по уравнению (2) первого постулата Бора:

.

Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода определим по величине момента импульса электрона (согласно уравнению (3)):

. (6)

Вычисляем скорость электрона на первой орбите в атоме водорода:

.

Задача 31. Для электрона, находящегося на третьей орбите ( ) атома водорода, определите радиус орбиты , скорость электрона на этой орбите и период его обращения .

Дано Электрон в атоме : . Решение Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по окружности радиусом вокруг ядра атома водорода, заряд которого (рис. 51). Сила Кулона направлена по радиусу окружности к ее центру и является центростремительной, поэтому уравнение закона Ньютона запишем в проекции на нормаль к траектории:

. (1)

Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра; – кулоновская постоянная в системе единиц СИ.

Рис. 51 Так как уравнение (1) содержит две неизвестные величины: скорость движения электрона и радиус его орбиты , – то используем еще одно уравнение, которое связывает эти величины, – первый постулат Бора (условие квантования момента импульса электрона): . (2) Выразим скорость электрона из уравнения (2), подставим ее значение в уравнение (1), и определим из него радиус -ной стационарной орбиты :

. (3)

Формулу (3) представим в следующем виде:

(4)

Здесь – первый боровский радиус (согласно формуле (4) ). Вычисляем радиус третьей боровской орбиты электрона в атоме водорода:

.

Вычисляем скорость электрона на третьей орбите, используя первый постулат Бора, по формуле (3):

.

Период обращения электрона на -ной орбите: время одного оборота, – определим по формуле пути для равномерного движения электрона со скорость :

(5)

Формулу (5) представим в следующем виде:

, (6)

, – период обращения электрона на первой орбите.

Вычисляем период обращения электрона на третьей боровской орбите атома водорода по формуле (6):

.

Полученная величина периода обращения показывает, что число оборотов в одну секунду, которое совершает электрон при движении в поле ядра атома водорода: .

Задача 32. Для атома водорода определите 1) полную энергию электрона на орбитах с главным квантовым числом и 2) длину волны λ фотона, излучаемого при переходе электрона с шестого энергетического уровня на первый – в серии Лаймана (ультрафиолетовой).

Дано Электрон в атоме : ; . Решение Полная энергия электрона в атоме водорода (и в любом другом атоме) равна сумме кинетической энергии электрона и потенциальной энергии его взаимодействия с зарядом ядра : . Таким образом, величина полной энергии атома водорода в состоянии с главным квантовым числом

. (1)

Здесь – масса электрона и его скорость на -ной орбите; – кулоновская постоянная в системе единиц СИ; – заряд электрона и ядра ; – радиус орбиты с номером .

Скорость электрона определим из закона динамики движения по круговой орбите (из второго закона Ньютона, записанного в проекции на нормаль):

. (2)

Подставим найденное значение в формулу энергии электрона (1):

(3)

Сравнивая уравнения (1) и (3), отметим соотношение энергий электрона, движущегося в атоме водорода:

1) потенциальная энергия ;

2) кинетическая энергия .

Полная энергия электрона в атоме отрицательна; это означает, что электрон находится в связанном состоянии благодаря электростатическому взаимодействию с заряженным ядром атома.

Для получения расчетной формулы полной энергии электрона в формулу (3) подставим значение радиуса орбиты ; при этом энергия электрона в состоянии с главным квантовым числом

(4)

где – энергия электрона в состоянии с квантовым числом (одна из искомых величин). Величина является минимальной энергией, которой обладает атом водорода в основном состоянии ( ). Максимальная энергия (согласно формуле (4) ) соответствует ионизации атома путем отрыва электрона от ядра.

Вычислим по формуле (4) энергию атома в возбужденном состоянии, соответствующем движению электрона по шестой стационарной орбите:

.

Чтобы определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона с 6-го энергетического уровня на 1-й, используем второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается фотон с энергией, равной разности энергий электрона на этих орбитах:

(5)

Уравнение (5) дает следующую расчетную формулу длины волны излучаемого фотона:

(6)

Вычисляем по этой формуле длину волны спектральной линии, соответствующей переходу электрона в атоме водорода с 6-й стационарной орбиты на 1-ю (в основное состояние):

.

Это длина волны ультрафиолетового (УФ) излучения, так как величина .

План решения задач по теме «Элементы квантовой механики»

1. Длина волны де Бройля для частиц вычисляется по формуле , где импульс частицы . Если известна кинетическая энергия частицы , то импульс выражают через энергию:

Если заряженная частица (электрон, протон, -частица) ускорена электрическим полем, совершившим работу , то кинетическая энергия определяется величиной ускоряющей разности потенциалов .

Привычную формулу классической механики можно использовать для частиц, кинетическая энергия которых мала по сравнению с их энергией покоя : .

Приведем значения энергии покоя некоторых частиц: для электрона ; для протона ; для -частицы .

2. Длину волны де Бройля можно определить из дифракционного эксперимента, используя для параллельного пучка частиц такие же условия максимумов и минимумов дифракции, как и для потока фотонов видимого или рентгеновского излучения. Приведем эти формулы:

1) для дифракции на щели: а) условие – ;

б) условие – ;

2) для дифракции на кристалле – формула Вульфа – Брэггов:

.

3.

Для микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства (в атоме, в ядре, в узкой потенциальной яме), характерна ненулевая минимальная кинетическая энергия: и ненулевое значение минимального импульса: , так как такая частица, согласно соотношению неопределенностей, не может иметь точные нулевые значения. Поскольку неопределенность координаты частицы , – определяется характерным размером области, то, используя соотношение , можно получить формулу, связывающую минимальную кинетическую энергию частицы с размером области: .

Задача 33. Электрон движется со скоростью . Определите длину волны де Бройля электрона, учитывая зависимость его массы от скорости.

Дано Электрон: ; ; . Решение Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой: , (1) где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость. При скоростях, сравнимых со скоростью света ,

масса частиц зависит от их скорости. Увеличение массы частицы в зависимости от ее скорости описывается формулой специальной теории относительности:

, (2)

где – масса покоя электрона; – скорость света в вакууме.

Подстановкой выражения (2) для массы электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны де Бройля релятивистского электрона:

(3)

Вычисляем величину :

.

Задача 34. Электрон прошел в электростатическом поле (ЭСП) ускоряющую разность потенциалов: 1) ; 2) . Определите длины волн де Бройля электрона при .

Дано Электрон: ; 1) ; 2) . Решение Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой: , (1) где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость.

Пройдя в ЭСП ускоряющую разность потенциалов , электрон приобрел кинетическую энергию , равную работе электрического поля:

.

Величина работы, совершенной полем, .

Приравнивая две последние формулы, определяем кинетическую энергию:

(2)

Вычисляем кинетическую энергию электрона для обоих случаев:

.

Сравним найденные величины энергии с энергией покоя электрона

.

Отмечаем, что . Следовательно, электрон не является релятивистским и для его импульса и кинетической энергии справедливы формулы классической механики:

(3)

Проверим, что это так, вычислив скорость электрона при из равенства . Релятивистская поправка (множитель) в этом случае равна .

Используя для кинетической энергии формулу (2), определяем по формуле (3) импульс электрона:

(4)

Подстановкой полученной величины импульса электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны электрона:

(5)

Вычисляем по формуле (5):

.

Вычислим величину следующим путем: согласно формуле (5)

.

Задача 35. Параллельный пучок атомов водорода, падающий под углом скольжения к поверхности монокристалла, дает дифракционный максимум 1-го порядка при отражении от плоскостей с межатомным расстоянием . Определите длину волны де Бройля атомов водорода и их скорость .

Дано Атом : ; ; ; . Решение Для дифракции на кристалле легких частиц: электронов, — частиц, протонов, нейтронов, атомов водорода и гелия и др., – справедлива формула Вульфа – Брэггов, полученная для дифракции рентгеновских лучей (потока фотонов): (1) Осуществляя дифракцию атомов водорода на монокристалле с известным расстоянием

между атомными плоскостями, и измеряя угол скольжения для максимума 1-го порядка, по формуле (1) определяем длину волны атомов водорода:

.

Эта величина атомов водорода попадает в диапазон длин волн мягких рентгеновских лучей.

Для определения скорости атомов водорода воспользуемся формулой длины волны де Бройля свободно движущейся частицы:

, (2)

где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость.

Из этой формулы получаем расчетную формулу скорости атомов водорода и вычисляем величину :

.

Задача 36. Электрон, имеющий кинетическую энергию , находится в металлической пылинке диаметром . Оцените относительную неопределенность (точность) , с которой можно найти скорость электрона .

Дано Электрон: ; ; . Решение Рис. 52

Электрон, находящийся внутри пылинки, движется (так как имеет энергию ) в области, ограниченной диаметром (рис. 52). При этом его координата известна с точностью до размеров пылинки, причем, (см. рис. 52). В таком случае проекция импульса электрона имеет неопределенность , величина которой следует из соотношения неопределенностей:

, (1)

где – постоянная Планка.

Неопределенность проекции импульса приводит к неопределенности проекции скорости частицы :

(2)

Используя формулу (1), определим неопределенность проекции скорости:

(3)

Чтобы найти относительную неопределенность скорости, найдем скорость электрона из его кинетической энергии:

(4)

С помощью формул (3) и (4) получаем расчетную формулу точности определения скорости электрона, находящегося в пылинке:

(5)

Здесь учтено, что величина – диаметру пылинки.

Вычисляем по формулу (5) отношение , показывающее точность определения скорости электрона:

; .

Полученная неопределенность скорости электрона в пылинке мала по сравнению с таковой для атома водорода , где . Это объясняется соотношением размеров областей, где находится электрон, и определяющих неопределенность координаты ; оно таково: ; а произведение этих неопределенностей одинаково для данной частицы (электрона): .

Задача 37. Принимая, что минимальная энергия нуклона в ядре и используя соотношение неопределенностей , оцените линейный размер ядра.

Дано Нуклон: ; ; . Решение Нуклоном называют частицу, входящую в состав ядра – это и протон, и нейтрон. Размер ядра определяет неопределенность координаты частицы . Эту неопределенность найдем по соотношению неопределенностей:

, (1)

где – неопределенность проекции импульса нуклона.

Что известно об импульсе нуклона в ядре? В рамках капельной модели ядра нуклоны в нем колеблются (подобно колебаниям молекул в жидкости); при этом энергия нуклона, совершающего гармонические колебания, складывается из кинетической и потенциальной энергии частицы: . При прохождении нуклоном положения равновесия его потенциальная энергия , а кинетическая энергия ; соответственно

. (2)

Но кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом формулой:

. (3)

С учетом равенства (2) получаем значение импульса нуклона:

(3а)

Таким образом, импульс нуклона известен с неопределенностью

(4)

Подстановка этой величины в формулу (1) дает расчетную формулу для оценки линейного размера атомного ядра:

. (5)

Вычисляем величину :

.

Этот результат, полученный по соотношению неопределенностей, прекрасно согласуется с экспериментальной оценкой Резерфордом размера атомных ядер: , – по рассеянию альфа-частиц металлической фольгой.

Задача 38. Время жизни возбужденного атома . С какой наименьшей погрешностью может быть определена энергия фотона, излучаемого атомом?

Дано ; Решение Возбужденные состояния атома короткоживущие и малое время жизни приводит к заметной неопределенности энергии такого состояния: согласно соотношению неопределенностей

, (1)

где – время существования данного энергетического состояния.

Существование неопределенности означает, что энергетический уровень такого состояния имеет ширину , т. е. является размытым (рис. 53).

энергетический уровень основного состояния (  
энергетический уровень возбужденного состояния (

Рис. 53

Переходы электронов в различных атомах с размытого уровня, который занимает интервал энергий от (см. рис.

53), сопровождается излучением фотонов с различной энергией – в соответствии со вторым постулатом Бора.

При переходе электрона атома из одного стационарного состояния в другое (с меньшей энергией) излучается фотон, энергия которого равна разности энергий соответствующих стационарных состояний:

а) при переходе электрона с нижней границы размытого уровня на первый с энергией :

; (2)

б) при переходе электрона с верхней границы размытого уровня, где энергия атома равна :

(3)

Вычитая уравнение (2) из 3-го, получаем наибольшую разность энергий фотонов , которая вносится размытием энергетического уровня возбужденного состояния атома:

(4)

Наибольшая разность энергий фотонов , излучаемых любыми двумя одинаковыми атомами при переходе электрона , – это и есть неопределенность энергии излучаемого фотона. Эта неопределенность, с учетом формулы (1):

(5)

Оценим ее величину:

.

Задача 39. Атом испустил фотон с длиной волны . Длительность излучения . Определите наибольшую точность , с которой может быть измерена длина волны излучения.

Дано ; . ? Решение В соответствии с соотношением неопределенностей уровень энергии возбужденного состояния атома имеет ненулевую ширину : , (1) где – неопределенность энергии атома в возбужденном

состоянии, равная ширине этого размытого уровня энергии (см. рис. 53); – время существования данного возбужденного состояния.

При переходах электронов в различных атомах с разных по высоте точек, находящихся в зоне возбужденного уровня, излучаются фотоны с энергией, лежащей в интервале от , частота которых находится в области от , (см. рис. 53). Запишем формулу Планка для энергии этих фотонов:

; (2)

(3)

Оценим неопределенность частоты излучаемых фотонов, вычитая уравнение (2) из уравнения (3):

(4)

Используя соотношение неопределенностей (1), определим ширину данной спектральной линии по шкале частот:

(5)

Относительная ширина спектральной линии

. (6)

Вычисляем:

Покажем, что относительная ширина спектральной линии одинакова как по шкале частот, так и по длинам волн, т. е. . Так как, согласно сделанному выше расчету, , т. е. величина , то можно отождествить измеряемый разброс по частотам с бесконечно малым приращением : . Дифференцируем формулу связи длины волны и частоты :

. (7)

Следовательно, монохроматичность спектральной линии, или ее относительная ширина . Знак в формуле (7) опущен, так как он указывает только на то, что с увеличением частоты света убывает его длина волны .

Часть 4

Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 33231;

:

Источник: https://poznayka.org/s65525t1.html

§ 1. Как устроены атомы? Атом водорода [1981 Поляков А.М. — Разгаданный полупроводник]

Как найти значение радиуса электронной орбиты...

Из курса физики вы знаете, что атом любого вещества состоит из ядра и обращающихся вокруг него электронов. Такую модель атома предложил выдающийся английский физик Э. Резерфорд.

Основываясь на этой модели, один из основоположников квантовой механики датский физик Н. Бор в 1913 году произвел первые правильные расчеты атома водорода, достаточно хорошо совпавшие с экспериментальными данными.

Теория атома водорода, предложенная Бором, сыграла чрезвычайно важную роль в развитии квантовой механики, хотя в дальнейшем и претерпела существенные изменения.

Атом водорода. Постулаты Бора. Согласно модели Резерфорда-Бора атом водорода состоит из однократно заряженного положительного ядра и одного электрона, обращающегося вокруг него.

В первом приближении можно предположить, что движение электрона происходит по траектории, представляющей собой окружность, в центре которой находится неподвижное ядро.

В соответствии с требованиями классической электродинамики всякое ускоренное движение заряженного тела (в том числе и электрона) должно сопровождаться испусканием электромагнитных волн. В рассматриваемой модели атома электрон движется с колоссальным центростремительным ускорением, и поэтому он должен был бы непрерывно испускать свет.

При этом энергия его должна была бы уменьшаться, а сам электрон должен был бы все ближе и ближе смещаться к ядру. Закончилось бы это тем, что электрон объединился бы с ядром («упал» бы на ядро). Однако ничего подобного не происходит и атомы в невозбужденном состоянии не испускают света. Для объяснения этого факта Бор предложил два основных постулата.

Согласно первому постулату Бора электрон может находиться только на таких орбитах, для которых момент количества движения электрона (то есть произведение количества движения электрона mν на радиус орбиты ) кратен значению (где — постоянная Планка)*.

Пока электрон находится на одной из таких орбит, излучения энергии не происходит. Каждой разрешенной орбите электрона соответствует определенная энергия, или определенное энергетическое состояние атома, называемое стационарным. Находясь в стационарном состоянии, атом не излучает света.

Математически первый постулат Бора можно записать так:

где — некоторое целое число, называемое главным квантовым числом.

* ()

Второй постулат Бора содержит утверждение, что поглощение или испускание света атомом происходит только при переходах атома из одного стационарного состояния в другое. При этом энергия поглощается или испускается определенными порциями, квантами, значение которых hν определяется разностью энергий, соответствующих начальному и конечному стационарным состояниям атома:

где — энергия начального состояния атома, — энергия его конечного состояния, ν — частота света, испущенного или поглощенного атомом. Если то энергия излучается атомом, если же то поглощается.

Позже кванты света получили название фотонов.

Таким образом, по теории Бора электрон в атоме не может изменять свою траекторию постепенно (непрерывно), а может лишь «перепрыгивать» с одной стационарной орбиты на другую. При переходе со стационарной орбиты, более удаленной от ядра, на стационарную орбиту, расположенную ближе к ядру, как раз и происходит испускание света.

Радиусы орбит и энергетические уровни атомов. Радиусы разрешенных электронных орбит можно найти, используя закон Кулона, соотношения классической механики и первый постулат Бора. Их значения определяются выражением

Самой близкой к ядру разрешенной орбите соответствует n = 1. Используя полученные экспериментально значения величин m, e и A, находим для ее радиуса значение

Эта величина как раз и принимается за радиус атома водорода. Любая другая орбита с квантовым числом n имеет радиус

Таким образом, радиусы последовательно расположенных электронных орбит возрастают как квадрат числа n (рис. 1).

Рис. 1

Значение полной энергии атома, соответствующей нахождению электрона на n-ой орбите, определяется формулой

Эти значения энергий называются энергетическими уровнями атома, Если по вертикальной оси откладывать возможные значения энергии атома, то можно получить так называемый энергетический спектр разрешенных состояний атома (рис. 2).

Рис. 2

Расстояние между последовательно расположенными энергетическими уровнями быстро уменьшается. Это можно легко объяснить: увеличение энергии атома (за счет поглощения атомом энергии извне) сопровождается переходом электрона на все более удаленные орбиты, где взаимодействие между ядром и электроном становится более слабым.

По этой причине переход между соседними удаленными орбитами связан с очень малым изменением энергии. Энергетические уровни при этом располагаются настолько близко, что спектр становится практически непрерывным.

В верхней части непрерывный спектр заканчивается уровнем ионизации атома (n = ∞), соответствующим полному отделению электрона от ядра (электрон становится свободным).

Знак «-» в выражении для полной энергии атома указывает на то, что энергия атома тем меньше, чем ближе к ядру находится электрон. Для того чтобы удалить электрон от ядра, необходимо затратить определенную энергию, то есть сообщить атому некоторую энергию извне. Энергия атома принимается равной нулю при n = ∞, т. е.

в случае, когда атом ионизирован. Именно поэтому значениям соответствуют отрицательные значения энергии. Уровню с n = 1 соответствуют минимальная энергия атома и минимальный радиус разрешенной орбиты электрона. Этот уровень называется основным или невозбужденным. Уровни с n = 2, 3, 4, … называются уровнями возбуждения.

Квантовые числа. В теории Бора предполагалось, что электронные орбиты имеют вид окружностей. Эта теория дала достаточно хорошие результаты только при рассмотрении самого простого атома — атома водорода.

Но уже при расчете атома гелия она не смогла дать количественно правильные результаты. Определенным шагом вперед была планетарная модель атома, предполагавшая движение электронов подобно планетам солнечной системы по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых располагалось ядро.

Однако и эта модель быстро исчерпала себя, не дав ответа на многие вопросы.

Это связано с принципиальной невозможностью определения характера движения электрона в атоме. В доступном нашему наблюдению макромире нет аналогов этого движения. Мы не можем не только проследить путь движения электрона, но и даже определить точно его местонахождение в какой-либо определенный момент времени.

Само понятие орбиты, или траектории движения электрона в атоме, лишено физического смысла. Никакой определенной последовательности появления электрона в различных точках пространства установить нельзя, он оказывается как бы «размазанным» в некоторой области, называемой обычно электронным облаком.

Облако это, например, для невозбужденного атома водорода имеет форму шара, но плотность его не одинакова. Вероятность обнаружения электрона будет наибольшей вблизи сферы с радиусом r1, соответствующим радиусу первой боровской орбиты.

В дальнейшем под орбитой электрона в атоме мы будем понимать геометрическое место точек, которые характеризуются наибольшей вероятностью обнаружения электрона, или, другими словами, область пространства с наибольшей плотностью электронного облака.

Всегда сферическим электронное облако будет лишь для случая невозбужденного состояния атома водорода, когда главное квантовое число n = 1 (рис. 3, а). Если же n = 2, то, помимо сферического облака, размеры которого будут теперь в четыре раза больше, электрон может создать облако в виде своеобразной гантельки (рис. 3, б).

С появлением несферичности области преимущественной локализации электрона (электронного облака) связано введение второго квантового числа l, называемого орбитальным квантовым числом.

Каждому значению главного квантового числа n соответствуют положительные целочисленные значения квантового числа l от нуля до (n — 1):

Рис. 3

Так, если n = 1, то l имеет единственное значение, равное нулю. Если же n = 3, то l может принимать значения 0, 1, 2. При n = 1 имеется только сферическая орбита, поэтому и l = 0. Когда n = 2, возможны как сферическая, так и гантелеобразные орбиты, поэтому и l может быть равным либо нулю, либо единице.

Если n = 3, то l = 0, 1, 2. Электронное облако, соответствующее значению l = 2, приобретает уже довольно сложный характер. Для нас, однако, важна не форма электронного облака, а то, какая ему соответствует энергия атома.

Энергия атома водорода определяется только значением главного квантового числа n и не зависит от значения орбитального числа l.

Иначе говоря, если n = 3, то атом будет иметь определенную энергию W3 независимо от того, на какой из возможных орбит, соответствующих данному значению n и различным возможным значениям l, находится электрон.

Это означает, что при возвращении с уровня возбуждения на основной уровень атом будет испускать фотоны, энергия которых не зависит от значения l.

Рассматривая пространственную модель атома, необходимо иметь в виду, что электронные облака в нем имеют строго определенную ориентацию.

Положение электронного облака в пространстве относительно выбранного каким-либо образом направления задается магнитным квантовым числом m, которое может принимать целочисленные значения от -l до +l, включая 0.

При данной форме (данном значении l) электронное облако может иметь несколько различных ориентаций в пространстве. При l = 1 их будет три, соответствующих значениям магнитного квантового числа т, равным -1, 0 и +1.

Если l = 2, то различных ориентаций электронного облака будет 5, соответствующих значениям m = -2, -1, 0, +1 и +2. Естественно, что если уж форма электронного облака в свободном атоме водорода не влияет на энергию атома, то тем более не влияет на энергию атома ориентация этого облака в пространстве.

Наконец, при более детальном рассмотрении экспериментальных данных выяснилось, что сами электроны могут находиться на орбитах в двух возможных состояниях, определяемых направлением так называемого спина электрона.

Но что такое спин электрона?

В 1925 году английские физики Дж. Уленбек и С. Гоудсмит для объяснения тонкой структуры линий в оптических спектрах некоторых элементов предложили гипотезу, согласно которой каждый электрон вращается вокруг своей собственной оси подобно волчку или веретену.

При таком вращении электрон приобретает некоторый момент импульса, который и получил название спина (в переводе с английского спин означает вращение, веретено).

Поскольку вращение может происходить по часовой стрелке или против, то и спин (иначе говоря, вектор момента импульса) может иметь два направления. В единицах спин равен 1/2, а благодаря различным направлениям имеет знак «+» или «-«.

Таким образом, ориентация электрона на орбите определяется спиновым квантовым числом о, равным ±1/2. Отметим, что и ориентация спина, как и ориентация орбиты электрона, не влияет на энергию атома водорода, находящегося в свободном состоянии.

Более поздние исследования и расчеты показали, что объяснить спин электрона простым вращением его вокруг оси нельзя.

При подсчете угловой скорости вращения электрона для объяснения экспериментальных данных выяснилось, что линейная скорость точек, лежащих на экваторе электрона (в предположении, что электрон имеет шарообразную форму), должна быть больше скорости света, чего не может быть. Спин является некоторой неотъемлемой характеристикой электрона, такой, например, как его масса или заряд.

Квантовые числа — адрес электрона в атоме. Итак, мы выяснили, что для описания движения электрона в атоме, или, как говорят физики, для определения состояния электрона в атоме, необходимо задать набор из четырех квантовых чисел: n, l, m и σ.

Главное квантовое число n определяет, грубо говоря, размеры электронной орбиты. Чем больше n, тем большее пространство охватывает соответствующее электронное облако. Задаваясь значением n, мы тем самым определяем номер электронной оболочки атома. Само число n может принимать любые целочисленные значения от 1 до ∞:

Орбитальное квантовое число l определяет форму электронного облака. Из всей совокупности орбит, относящихся к одному и тому же значению n, орбитальное число l выделяет орбиты, имеющие одинаковую форму. Каждому значению l соответствует своя подоболочка. Число подоболочек равно n, так как l может принимать значения от 0 до (n — 1):

Магнитное квантовое число m определяет пространственную ориентацию орбиты в группе орбит, имеющих одинаковую форму, то есть относящихся к одной подоболочке. В каждой подоболочке насчитывается (2l + 1) различно ориентированных орбит, поскольку m может принимать значения от 0 до ±l:

Наконец, спиновое квантовое число а определяет ориентацию спина электрона на заданной орбите. Значений у σ всего два:

Рассматривая атом водорода и оперируя понятиями «оболочка», «подоболочка», «орбита», мы говорили не столько о строении атома, сколько о возможностях, открывающихся перед единственным электроном, содержащимся в этом атоме. Электрон в атоме водорода может переходить с оболочки на оболочку и с орбиты на орбиту в пределах одной оболочки.

Гораздо сложнее оказывается картина распределения электронов и возможностей их переходов в многоэлектронных атомах.

Источник: http://rateli.ru/books/item/f00/s00/z0000011/st002.shtml

Примеры решения задач. Пример 1.Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и скорости электрона на ней

Как найти значение радиуса электронной орбиты...

Пример 1.Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и скорости электрона на ней.

Решение. Радиус n–й боровской орбиты rn и скорость un электрона на ней связаны между собой уравнением первого постулата Бора:

munrn = ћn. (3.1)

Чтобы иметь еще одно уравнение, связывающие величины un и rn, запишем второй закон Ньютона для электрона, движущегося под действием кулоновской силы притяжения ядра по круговой орбите. Учитывая, что ядром атома водорода является протон, заряд которого равен по модулю заряду электрона, запишем:

, (3.2)

где m – масса электрона, – нормальное ускорение. Решив совместно (3.1) и (3.2) получим:

, .

Положив здесь n = 1, произведем вычисления:

; .

Пример 2.Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона и его длину волны.

Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

, (3.3)

где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 – главные квантовые числа).

Энергия фотона Е выражается формулой

. (3.4)

Поэтому, умножив обе части равенства (13.3) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Т.к. Rhc есть энергия ионизации Ei атома водорода, то

.

Из равенства (3.4) выразим длину волны фотона

Вычисления выполним во внесистемных единицах: Ei = 13,6 эВ; Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:

эВ = 2,55 эВ.

м.

Пример 3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

, (3.5)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

, (3.6)

где m0 – масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3.7)

где E0 = m0с2 – энергия покоя частицы.

Формула (3.5) с учетом соотношений (3.6) и (3.7) запишется:

— в нерелятивистском случае

, (3.8)

— в релятивистском случае

. (3.9)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедше­го заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (3.8) или (3.9) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

T = eU.

В первом случае T1 = еU1 = 51 эВ= 0,51 10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0с2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (3.8). Для упрощения расчетов заметим, что T1 = 10-4m0c2. Подставив это выражение в формулу (3.8), перепишем ее в виде

.

Учитывая, что есть комптоновская длина волны λ, получаем

.

Т.к. λ = 2,43пм, то

= 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (3.9). Учитывая, что Т2 = 0,51МэВ = m0с2, по формуле (3.9) находим

,

или

.

Подставим значение λи произведем вычисления:

= 1,40 пм.

Пример 4. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.

Решение.Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

, (3.10)

где – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Dрх – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

.

Соотношение неопределенностей (3.10) можно записать в этом случае в виде

,

откуда

. (3.11)

Физически разумная неопределенность импульса Dрх во всяком случае не должна превышать значения самого импульса рх, т.е. Dрх£ рх. Импульс рх связан с кинети­ческой энергией Т соотношением

. Заменим Dрх значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

. (3.12)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3.12) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Найденная единица является единицей длины.

Произведем вычисления:

= 1,24 10-10 м = 124 нм.

Пример 5. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l, рис.3.1. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl = 0,01l в двух случаях:

1) (вблизи стенки) (0£x£Dl);

2) в средней части ящика ( ).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/7_23814_primeri-resheniya-zadach.html

Примеры решения задач. Пример №1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и ско-рость электрона на этой орбите

Как найти значение радиуса электронной орбиты...

Пример №1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода(боровский радиус)и ско-рость электрона на этой орбите.

Дано:n = 1

r = ? v = ?

Решение:

Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v элек-трона на ней связаны равенством:

m v r = n ħ.

Так как требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n = 1 и равенство примет вид:

m v r = ħ.

Для определения неизвестных величин r и v необходимо еще одно уравнение. Воспользуем-ся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона запишем

m v2 / r = 1 / 4 π ε0 e2/ r2,

(e и m — заряд и масса электрона).

m v2 = 1 / 4 π ε0 e2/ r.

Совместное решение равенств относительно дает:

r = 4 π ε0 ħ2 / me2.

Подставив сюда значения ħ, e, m и произведя вычисления, найдем боровский радиус: r1 = 5,29 10 – 11 м.

Получим выражение скорости электрона на первой орбите: v = ħ / m r.

Расчет:

v = 2, 18 * 10 6 м/c.

Ответ:r1= 5,29 * 10– 11м, v = 2, 18 * 106м/c.

Пример №2. Определить энергиюεфотона,соответствующего второй линии в первой ин-фракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Дано:

Для серии Па-шена: n1 = 3 для второй ли-нии этой серии m = 2

ε = ?

Решение:

Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую:

ε = Ei (1 / n12 — 1 / n22 ).

где Ei – энергия ионизации атома водорода;

n1 = 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон;

n2 = n1 + 1; n1 + 2; …; n1 + m – номер орбиты, с которой переходит электрон;

Длины волн спектральных линий водорода всех серий определяются формулой:

m — номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена n1 = 3; для второй линии этой серии m = 2,

n2 = n1 + m = 3 + 2 = 5.

Расчет: ε = 0,97 эВ

Ответ:ε= 0,97эВ

Пример №3. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в

видимой области спектра.

Дано:k = 2

n = 3, 4, 5, …

λmin = ? λmax = ?

При k = 1, n = 2, 3, 4,… – серия Лаймана в ультрафиолетовой области, при k = 2, n = 3, 4, 5,… – серия Бальмера в видимой области,

при k = 3, n = 4, 5, 6,… – серия Пашена в инфракрасной области, при k = 4, n = 5, 6, 7,… – серия Брекета в инфракрасной области, при k = 5, n = 6, 7, 8,… – серия Пфунда в инфракрасной области.

Таким образом, серия в видимой области спектра соответствует значению k = 2 и n = 3, 4, 5,… Очевидно, наименьшая длина волны спектральных линий этой серии будет при n = ∞.

Тогда:

1 / λmin = R / 4,

или

λmin = 4 / R = 3,65 10 –7 м.

Наибольшая длина волны соответствует n = 3.

λmax = 6,56 10 –7 м.

Таким образом, видимый спектр водорода лежит в интервале длин волн от 3,65 10 –7 м до

6,56 10 –7 м.

Ответ:λ(3,65 10–7; 6,56 10–7)м.

Пример №4. Искусственно полученный радиоактивный изотоп кальция45Ca20имеет периодполураспада, равный 164 суткам. Найти активность 1 мкг этого препарата.

Дано:

T = 14169600 c m = 10 – 9 кг

Na =6,02*1026 1/кг-атом m0 = 45 кг/кг-атом

A = ?

Решение:

Количество атомов радиоактивного вещества ∆N , распадающихся за время ∆t, определяется формулой:

|∆N | = (ln 2 / T) N ∆t.

где T – период полураспада изотопа, N — число его атомов в данной массе.

Число атомов N связано с массой препарата m соотношением: N = (m / m0) Na,

где Na – число Авогадро и m0 – масса одного кг-атома. Расчет:

A = |∆N | / ∆t = ln 2 m Na / T m0 = 6,53 10 8 расп/сек

1 кюри = 3,7 10 10 расп/сек, следовательно: А = 17,7 мккюри. Ответ:А= 17,7мккюри.

Пример №5. Найдите энергию,освобождающуюся при ядерной реакции:

3 Li 7 + 1 H 1 → 2 He 4+ 2 He 4.
Дано: Решение:
3 Li 7 + 1 H 1 → 2 He 4+ 2 He 4 E = c2 (∑ M1 — ∑ M2) = c2 ∆ M.
m1 = 7,01823 а.е.м Сумма масс исходных частиц:
m2 = 1,00814 а.е.м ∑ M1 = m1 + m2 = 8,02637 а.е.м.
m3 = 4,00388 а.е.м Сумма масс образовавшихся частиц:
E = ? ∑ M2 = 2 m3 = 8,00776 а.е.м.
Таким образом, дефект масс:
∆M = 0,01861 а.е.м.
Следовательно, энергия, выделившаяся при реакции:

E = ∆M 931 МэВ Ответ:E =∆M 931МэВ

Пример №6. Принимая,что источником энергии солнечного излучения является энергия об-разования гелия из водорода по следующей циклической реакции:

6 C 12 + 1 H 1→ 7 N 13 → 6 C 13 + +1 e 0 6 C 13 + 1 H 1 → 7 N 14

7 N 14 + 1 H 1 → 8 O 15 → 7 N 15 + +1 e 0 7 N 15 + 1 H 1 → 6 C 12 + 2 He 4

Посчитать, сколько тонн водорода ежесекундно должно превращаться в гелий. Солнечная постоянная равна 1,96 кал/см2 мин. Принимая, что водород составляет 35 % массы Солнца, по-считать, на сколько лет хватит запаса водорода, если излучение Солнца считать неизменным.

Дано: Решение:
m(6 C 12) = 12,0038 а.е.м В результате проведенного цикла четыре водородных ядра превращаются
m(1 H 1) = 1,00814 а.е.м в одно ядро гелия. Углерод, ведущий себя как химический катализатор, мо-
m(7 N 13) = 13, 00987 а.е.м жет использоваться снова. В результате этого цикла освобождается энергия,
m(6 C 13) = 13,00335 а.е.м равная
m(7 N 14) = 14,00752 а.е.м –12 Дж.
m(2 He 4) = 4,00388 а.е.м E = c ∆M = 4,3 * 10
где ∆ M – дефект масс.
m(7 N 15) = 15,00011 а.е.м
m(+1 e 0) = 0,00055 а.е.м С другой стороны, зная величину солнечной постоянной и расстояние от
Земли до Солнца, найдем излучение Солнца в 1 секунду:
1,96 кал/см2 мин
Е1 = 3,8 10 Дж.
m(1 H 1) = Mc 0,35 –12
Если превращение четырех атомов водорода дает энергию 4,3 10 Дж,
Mc = 2 10 30 кг
то очевидно, для излучения энергии 3,8 10 26 Дж необходимо расходовать во-
r = 1,49 10 11 м дород в количестве m = 5,9 10 11 кг в одну секунду. Так как масса Солнца
равна 2 10 30 кг, то запас водорода в солнечном веществе равен m(1 H 1) = Mc
t = ?
0,35 = 2 10 30 0,35 = 7 10 29 кг.
Следовательно, данного запаса водорода хватит на t = 4 10 10 лет.
Ответ:t = 4 1010лет.
Пример №7. В реакции7N14(α, p)кинетическая энергияα–частицы(2He4)равна
Eα = 7,7 МэВ. Найти, под каким углом к направлению движения α – частицы вылетает протон,
если известно, что его кинетическая энергия Ep = 8,5 МэВ.

v2
v1 M m2
ϕ
m1
v3
m3
Дано: Решение:
7 N 14 (α, p) Запишем ядерную реакцию:
Eα = 7,7 МэВ α + 7 N 14 → p + 8 O 16.
Ep = 8,5 МэВ Обозначим m1, m2, m3 – массовые числа бомбардирующей α –частицы,
m1 = 4,00388 а.е.м протона и ядра отдачи (в нашем случае ядра кислорода 8 O 16) E1 , E2, E3 – их
m2 = 1,00759 а.е.м кинетические энергии. Если ядро азота неподвижно, то по закону сохранения
энергии:
m3 = 15,99491 а.е.м E1 + Q = E2 + E3,
φ = ?
где Q – энергия ядерной реакции.

Закон сохранения импульса:

p3 2 = p1 2 + p2 2 – 2 p1 p2 cos φ.

Так как:

p 2 = (m v)2 = (m v2 / 2) 2 m = E 2 m,

то примет вид:

2 m3 E3 = 2 m1 E1 + 2 m2 E2 — 4 cos φ m1 E1 m2 E2 ,

или

E3 = m1 E1/ m3 + m2 E2/ m3 — 2 cos φ m1 E1 m2 E2 / m3.

Исключая энергию Е3 получим формулу, связывающую кинетическую энергию бомбарди-рующих частиц с кинетической энергией полученных частиц:

E1 (m3 — m1) / m3 + Q = E2 (m3 + m2) / m3 — 2 cos φ m1 E1 m2 E2 / m3.

Здесь Q = — 1,18 МэВ.

Решая относительно cos φ и подставив численные данные получим:

cos φ = (m3 + m2)/2 m1 E1 m2 E2 — (m3 — m1) / 2 m1 E1 m2 E2 – m3 Q / 2 m1 E1 m2 E2 = 0,59. φ = arccos 0,59 = 54 0

Ответ:φ= arccos 0,59 = 540

Варианты задач автоматизированной контрольной ра-боты – АКР№9

1. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10эВ. Используя соотношение неопределенностей оценить максимальные размеры атома.

( Lmin = 22mTL )

2. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна де Бройлев-ской длине волны, определить относительную неопределенность ( Px / Px ) в определении им-пульса этой частицы.

( Px / Px = h / (2*π* x*Px) = h*Px / (2*π*h*Px)= 1/ 2*π = 0.16)

3. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент . Пусть моноэнергетический пучок элек-тронов с Wk = 10эВ падает на щель шириной а . Можно считать , что если электрон прошел через щель, то его координата известна с точностью х = а. Оценить получаемую при этом относи-тельную неопределенность в определении импульса электронов в 2-х случаях : 1) а = 10нм ; 2) а = 0.1нм

(1) Px/Px = 1.2*10-2 ; 2) Px/Px = 1.2)

4. Электрон с энергией Е = 4.9 эВ движется в положительном направлении оси Х. Высота потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера d вероятность прохождения электрона через барьер будет равна 0.2?

ln
( d =W = 0.495 нм)
2 2m(UE)

5. Рентгеновское излучение длиной волны λ= 55,8 пм рассеивается плиткой графита (эффект Комптона). Определить длину волны λ` света, рассеянного под углом Θ= 600 к направлению па-дающего пучка света.

(λ` = 57 пм)

6. Определить угол рассеяния фотона Θ, испытавшего соударение со свободным электро-ном, если изменение длины волны при рассеянии равно Δλ = 3,62 пм.

(Θ=1200 или 2400)

7. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян на угол Θ = 1800.

(3,6·10-22 кг·м/с)

8. Фотон с энергией ε = 0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного электрона ε` = 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния Θ.

9. Определить длину волны де Бройля λ, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость υ = 1Мм/с.

(727 пм)

10. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина вол-ны де Бройля была равна 0.1 нм?

(150 В)

11. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшую ускоряющую разность по-тенциалов 700 кВ.

(λ = 1.13 пм)

12. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратич-ной скоростью при Т = 290 К.

(148 нм)

13. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волн де Бройля λ для него стала 1 нм.

(U = 0,821 мВ)

14. Протон движется в однородном магнитном поле с В = 15 мГн по окружности радиусом R

= 1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.

(λ = 0,197 пм)

15. Определить частоту света, испускаемого возбужденным атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона уменьшится в 9 раз.

(ν = 7,31·1014 с-1).

16. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

(1,89 эВ)

17. Будет ли наблюдается фотоэффект если на поверхность серебра направить ультрафиоле-товое излучение с λ = 300 нм?

(нет так как εγ = 4,1 эВ < Авых = 4,7 эВ)

18. На поверхность лития падает монохроматический свет с λ =310 нм. Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U=1,7В. Опре-делить работу выхода А.

(2,3 эВ)

19. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом пла-тиновой пластинки, приложить задерживающую разность потенциалов U1=3,7В. Если платино-вую пластинку заменить на другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов при-дется увеличить до U2=6В. Определить работу выхода электронов с поверхности этой пластин-ки.

(4 эВ)

20. На цинковую пластинку падает свет с длиной волны λ=220 нм. Определить максималь-ную скорость фотоэлектронов.

(760нм/с).

Date: 2015-07-01; view: 2306; Нарушение авторских прав

Источник: https://mydocx.ru/2-20198.html

Biz-books
Добавить комментарий