Как найти среднее число столкновений молекулы кислорода…

Практическое занятие № 2

Как найти среднее число столкновений молекулы кислорода...

Тема. Решение задач по теме «Скорости газовых молекул. Распределение молекул по скоростям»

Цели

На примерах решения задач познакомить учащихся с основными типами задач и методами их решения.

Ход занятия

Вспомните основные свойства модели идеального газа. Повторите понятие размера молекул и длины свободного пробега. Выведите формулу для длины свободного пробега. Покажите, что длина свободного пробега зависит от давления, под которым находится газ. Подсчитайте число молекул, находящихся в единице объема при нормальных условиях. Обсудите насколько велико это число.

Качественные вопросы

1.       Какие гипотезы положены в основу вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа?

2.       Как правильно сформулировать вопрос о распределении молекул по скоростям?

3.       Какой физический смысл имеет функция распределения молекул по скоростям?

4.       Чему равна ограниченная кривой распределения молекул по скоростям площадь?

5.       Как изменяются с температурой положение максимума кривой функции распределения молекул по скоростям и его высота?

Примеры решения задач

Задача 1.Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул принять равным м.

Решение

Средняя длина свободного пробега определяется формулой , где r – радиус молекулы.  Так как  d =2r, то , где  – число молекул в единице объема, Р – давление и Т – температура. Подставляя значение  в формулу для длины свободного пробега, получим

м.

Ответ:  м.

Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия в условиях, когда плотность гелия ρ = 2,1·10–2 кг/м3, а эффективный диаметр атома гелия  d = 1,9·10–2 м.

Решение

Для определения средней длины свободного пробега необходимо знать концентрацию молекул n при данных условиях. Найдем n0. Из уравнения Клапейрона–Менделеева   следует, что

.

Следовательно,

.

И для средней длины свободного пробега l получаем расчетную формулу

м.

Ответ: м.

Задача 3. Какое предельное число молекул азота может находиться в сферическом сосуде диаметром D = 1 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул азота  d =3,1·10–10 м.

Решение

Для того чтобы столкновений молекул друг с другом не было, необходимо чтобы средняя длина свободного пробега λ была не меньше диаметра сосуда D, то есть λ ≥ D.  Известно, что

,

где d – эффективный диаметр молекул азота, n – число молекул в единице объема, то есть концентрация молекул. Зная d, можно найти допустимую концентрацию молекул.

.

Максимальное число молекул в сосуде, объем которого , определится следующим образом

.

Ответ: .

Задача 4. Азот  находится под давлением Па при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, скорости которых лежат в интервале скоростей, отличающихся от наиболее вероятной на Δv = 1 м/с.

Решение

Так как интервал скоростей Δv мал, то изменением функции распределения в этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной.

.

Подставляем значение наиболее вероятной скорости

;

.

Это и есть решение задачи. Производим вычисления: масса молекулы азота кг, постоянная Больцмана  Дж/К. Подставляя численные значения, получим

.

При подсчете необходимо учесть, что определяется относительное число молекул, отличающихся по скорости от наиболее вероятной в обе стороны, то есть интервал равен Δv = 2 м/с.

Ответ: .

Задача 5. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и  v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла молекул по скоростям.

Решение

Запишем функцию распределения для указанных скоростей. По условию задачи значения функции должны быть одинаковы.

;

;

;

;

.

Масса молекулы азота   кг.

Постоянная Больцмана   Дж/К.

 К.

Ответ: = 300 К.

Задача 6. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

Решение

Воспользуемся формулой для определения средней квадратичной скорости

,

где  – молярная масса газа. Тогда отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах будет равно

,

где- молярная масса неона, – молярная масса гелия. Подставляя численные значения, получим

Ответ: .

Задача 7. Определить: 1) число молекул в 1 мм3 воды, 2) массу молекулы воды, 3) диаметр молекулы воды, считая условно, что молекулы воды шарообразны и соприкасаются.

Решение

Число  молекул, содержащихся в массе вещества  равно числу Авогадро , умноженному на число молей  (- молярная масса вещества)

,

где r – плотность, V – объем вещества. После подстановки числовых значений получим

.

Массу m1 одной молекулы можно определить, разделив массу одного моля на число Авогадро:

 кг.

Считая, что молекулы соприкасаются, объем, занимаемый одной молекулой , где d – диаметр молекулы. Отсюда . Так как  , где  – объем одного моля, то

м.

Ответ: ;  кг;  м.

Задача 8. Зная, что диаметр молекулы кислорода  d =3·10–10 м  подсчитать, какой длины S получилась бы цепочка из молекул кислорода, находящихся в объеме  V =2 см2  при давлении Р = 1,01·105 Н/м2  и температуре  Т = 300 К, если эти молекулы расположить вплотную в один ряд. Сравнить длину этой цепочки со средним расстоянием от Земли до Луны м.

Решение

Число молекул кислорода, содержащихся в единице объема, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, равно

,

Число молекул в объеме V будет равно  . Следовательно, м.

Тогда .

Ответ: м;  раз.

Задача 9. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа  vc.к. = 450 м/с. Давление газа  р = 7 · 104 Н/м2. Найти плотность газа ρ  при этих условиях.

Решение

Из уравнения Клайперона–Менделеева  следует: .   Учитывая, что , получаем  .

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

1. В опыте Штерна источник атомов серебра создает пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R =30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Определить скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад  от первоначального положения.

Ответ: м/с.

2. Сколько молекул газа содержится в баллоне емкостью V =60 л при температуре Т = 300 К и давлении P= 5·103 Н/м2?

Ответ:  .

3. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с. Масса молекулы водорода т = 3,35·10–27 кг.

Ответ: = 380 К.

4. Вычислить среднее расстояние между центрами молекул идеального газа при нормальных условиях.

Ответ:  м.

5. В помещении площадью S =100 м2 и высотой  h = 4 м  разлито V1 = 1 л ацетона (СН3)2СО. Сколько молекул ацетона содержится в 1 м3 воздуха, если весь ацетон испарился? Плотность r  ацетона 792 кг/м3.

Ответ:  

6. Найти число столкновений z, которые произойдут за 1 с в 1 см3 кислорода при нормальных условиях. Эффективный радиус молекулы кислорода принять равным
1,5·10–10 м.

Ответ: .

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении P = 133 Па и температуре t =27°C.

Ответ: м.

8. Доказать, что средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул газа пропорциональны , где P – давление газа; ρ – плотность газа.

Ответ: .

9. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул кислорода, соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна  , во втором – . Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды (теплообмен с окружающей средой отсутствует)?

Ответ: .


Рекомендуемая литература

1.      Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т.3. Строение и свойства вещества – Москва – Санкт-Петербург. Физматлит. Невский диалект. Лаборатория Базовых Знаний, 2001. С. 170-194.

2.      Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А., Цвецинская Т.С. Задачник по физике – Москва. Физматлит, 2005.

3.      Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. Москва-Ростов-на-Дону, Издательский центр «Март», 2004. С. 215-219.

Источник: https://ido.tsu.ru/schools/physmat/data/res/molek/pract/text/pr_3.htm

Примеры решения задач. Найти среднее число всех соударений, которое происходит в течение 1 с между всеми молекулами в 4 мм3 водорода при нормальных условиях

Как найти среднее число столкновений молекулы кислорода...

Задача 12

Найти среднее число всех соударений, которое происходит в течение 1 с между всеми молекулами в 4 мм3 водорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр принять 0.23 нм.

Решение

Если N – полное число молекул, а – среднее число соударений в секунду одной молекулы, то искомое полное число соударений в секунду между всеми молекулами равно: . Коэффициент учитывает, что в каждом соударении участвуют две молекулы.

Средняя арифметическая скорость молекул , а средняя длина свободного пробега – . Здесь – эффективное сечение молекулы, – концентрация молекул. Её можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона : . Полное число молекул также выразим через концентрацию: .

Таким образом, для Z получаем: . Подставим численные значения: .

Ответ: .

Задача 13.

Найти коэффициент диффузии газа, если в объеме 1 л находится 1022 молекул трехатомного газа. Коэффициент теплопроводности 0.02 Вт/м.К.

Решение

Коэффициент диффузии связан со средней арифметической скоростью молекул газа и средней длиной свободного пробега молекул формулой: ; а для коэффициента теплопроводности газа имеем: , тогда

. (1)

Здесь – удельная теплоёмкость газа:

, (2)

– плотность газа. Поскольку число молей вещества можно записать как , то , и

. (3)

Из (1), (2) и (3) получим: . Подставим

численные значения: и вычислим размерность: .

Ответ: .

271. Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 1000С и давлении 13.3 Па. Диаметр молекулы 0.32 нм.

272. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул СО2 при температуре 1000С, если средняя длина свободного пробега молекул 870 мкм.

273. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекулы азота при давлении 53.33 кПа и температуре 270С. Эффективный диаметр принять 0.3 нм.

274. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при 300 К равна 41.7 мкм. Определить среднее время свободного пробега молекул в этих условиях.

275. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при температуре 273 К равна 0.1 мкм. Вычислить среднюю арифметическую скорость молекул и число соударений в секунду.

276. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2.5 cм? Температура 670С. Диаметр молекулы водорода 0.23 нм.

277. Баллон емкостью 10 л содержит 1 г водорода. Определить среднюю длину свободного пробега молекул. Диаметр молекулы водорода 0.23 нм.

278. Найти количество столкновений, которые испытывают друг с другом за 1 с все молекулы аргона при температуре 290 К и давлении 0.1 мм рт.ст., находящиеся в сосуде объемом 1 л. Эффективный диаметр молекулы аргона равен 0.29 нм. Молярная масса 0.04 кг/моль.

279. Найти среднее число столкновений в 1 с молекулы некоторого газа, если средняя длина свободного пробега при этих условиях равна 5 мкм, а средняя квадратичная скорость молекул 500 м/с.

280. Определить плотность разреженного водорода, если средняя длина свободного пробега молекул равна 1 см. Эффективный диаметр принять 0.23 нм.

281. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого равна 1.7 кг/м3, средняя длина свободного пробега его молекул 79 нм. Найти диаметр молекул углекислого газа.

282. При нормальных условиях длина свободного пробега молекулы водорода 160 нм. Определить эффективный диаметр молекулы.

283. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха 0.3 нм.

284. Во сколько раз уменьшится число столкновений в единицу времени в двухатомном газе, если его объем адиабатически увеличить в 2 раза?

285. При температуре 273 К средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Чему будет равно среднее число столкновений в 1 с молекул кислорода, если сосуд откачать до 0.01 первоначального давления? Температура постоянна.

286. Найти коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега 0.16 мкм.

287. Какое количество теплоты проходит за 1 с через медный стержень с площадью поперечного сечения 10 см2 длиной 50 см, если разность температур на концах стержня 15 К? Тепловыми потерями пренебречь. Теплопроводность меди 389.6 Вт/м.К.

288. Коэффициент вязкости гелия при нормальных условиях 1.89.10-5 Па.с. Вычислить эффективный диаметр его атома.

Источник: https://studopedia.ru/9_85410_primeri-resheniya-zadach.html

Лекция 17. Явления переноса

Как найти среднее число столкновений молекулы кислорода...

Федун В. И. Конспект лекций по физике Молекулярная физика и термодинамика

До сихпор мы почти всегда рассматривалисистемы, находящиеся в состояниитермодинамического, или статистическогоравновесия. Однако, несмотря на безусловноважную роль равновесных состояний, онивсе же представляют собой особый случай.Во многих задачах, представляющихогромный физический интерес, мы имеемдело с системами, не находящимисяв равновесных состояниях.

Наука,изучающая процессы, идущие при нарушенииравновесия, называется физическойкинетикой.Физическаякинетика рассматривает необратимыепроцессы в телах, протекающие с конечнымискоростями.

Рассмотрениенеравновесных процессов, приводящихсистему в состояние равновесия,представляет собой весьма сложнуюзадачу. Поэтому мы подойдем к рассмотрениюпроблемы с помощью простейших приближенныхметодов, выбрав в качестве объектаисследования разреженный газ.

16. 1. Длина свободного пробега молекул

Длинойсвободного пробеганазываетсяпуть, проходимый молекулой между двумяпоследовательными столкновениями.

Вследствиехаотичности движения различны.

Среднейдлиной свободного пробегамолекулназываетсяпуть, который в среднем проходят молекулымежду двумя последовательнымистолкновениями:

,

(16.1)

гдеN– числомолекул.

Эффективным диаметром dмолекулы называется минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул (см. рис. 16.1).

В общем случае эффективный диаметр зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа. Эффективный диаметр молекулы уменьшается с ростом температуры, но это изменение сравнительно мало.

Рисунок 16. 1.

ЗначенияDпринормальных условиях для некоторых газов

Газ

Воздух

Водород

Кислород

Азот

D, нм

0,27

0,28

0,36

0,58

16. 2. Среднее число столкновений молекул

Введёмпонятие среднегочисла столкновений молекулыв единицу времени.

Тогдачисло столкновений молекулы за время естьионо равно отношению среднего путимолекулы ксредней длине свободного пробега :

.

(16.2)

Рисунок 16. 2.

Введёмпонятие эффективногосечения столкновениякакплощади поперечного сечения («коридора»)ломаного цилиндра, в которой должныпопасть центры соседних молекул, чтобыстолкнуться с данной. Из рисунка 16.2видно, что:

.

(16.3)

Рассчитаемчисло столкновений молекулы за время.

Предположим,что рассматриваемая молекула движетсясо скоростью ,аостальные покоятся. Тогда рассматриваемаямолекула столкнётся со всеми молекулами,находящимися в цилиндреплощадьюоснования Sэффидлиной .Числомолекул, а значит и число столкновенийопределяется соотношением:

,

(16.4)

гдеn-концентрациямолекул.

Чтобыучесть движение всех молекул можно,например, перейти в систему координат,связанную с движущейся молекулой, т.е.перейти от скорости ксредней скорости движения молекул. Поскольку все движениямолекул равновероятны, то угол междунаправлениями скоростей лежит в интервале()исредний угол равен .Модульотносительной скорости тогда будет:

.

(16.5)

Сучётом сделанных поправок, формула ()приобретает вид:

.

(16.6)

Тогдасреднее число столкновений молекулы вединицу времени будетопределяться выражением:

.

(16.7)

Приведённоесоотношение носит название формулыКлаузиуса- Максвелла.

Чтобынайти число столкновений в единицувремени молекул газа концентрации ив объёме ,т.е.для молекул газа надо величинуумножитьна ,т.к.в каждом столкновении принимают участие2 молекулы:

.

(16.8)

Тогдасреднее число столкновений молекул вединицу времени в единичном объёмеесть:

.

(16.9)

Теперьможно вернуться к средней длине свободногопробега молекулы.

Завремя молекулапроходит путь:

,

(16.10)

ииспытывает за это время число соударений,равное:

.

(16.)

Значитсредняя длина свободного пробега будетравна (с учётом ()):

.

(16.)

Еслиучесть, что ,тополучаем:

.

(16.11)

Концентрациямолекул связанас термодинамическими параметрами иуравнением состояния.

.

(16.12)

Тогдаокончательно получаем:

.

(16.13)

Источник: https://studfile.net/preview/5735746/

Biz-books
Добавить комментарий