Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром…

1.1.19. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром...

Пример 1.Расстояние (l) между двумя точечными зарядами Q1 = 2 нКл и Q2 = -3 нКл, расположенными в вакууме, равно 20 см.

Определить: 1) напряженность (); 2) потенциал (j) поля, создаваемыми этими зарядами в точке, удаленной от первого заряда на расстоянии r1 = 15 см и от второго заряда на r2 = 10 см.

Дано: l = 20 см = 0,2 м;   Q1 = 2 нКл = 2×10-9 Кл;   Q2 = -3 нКл = -3×10-9 Кл;   r1 = 15 см = 0,15 м;   r2 = 10 см = 0,1 м.

Определить: 1) ; 2) j.

Решение. Согласно принципу суперпозиции имеем:  (рис.1.9).

Напряженности электрического поля, создаваемые в вакууме зарядами Q1 и Q2 , равна:

    (1)

Модуль вектора  находится по теореме косинусов:

 или ,        (2)

где

.                                               (3)

Подставив (1) и (3) в формулу (2), найдем искомую напряженность в точке А:

.

Согласно принципу суперпозиции, потенциал результирующего поля:

                                                             (4)

где  и  – соответственно потенциалы полей, создаваемых зарядами Q1 и Q2.

Подставив последние выражения в (4), найдем:

.

Вычисляя, получим: 1)  = 3 кВ/м;    2) j= -150 В.

Пример 2. Электрическое поле создается бесконечно длинным цилиндром радиусом R = 7 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью t= 15 нКл/м.

Определить: 1) напряженность () поля в точках, лежащих от оси цилиндра на расстояниях r1 = 5 мм и r2 = 1 см; 2) разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r3 = 1 см и r4 = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Дано: R = 7 мм = 7×10-3 м;   t= 15 нКл/м = 1,5×10-8 Кл/м;    r1 = 5 мм = 5×10-3 м;r2 = 1 см =1×10-2 м;    r3 = 1 см = 1×10-2 м;    r4 = 2 см = 2×10-2 м.

Определить: 1) , ; 2) .

Решение. Воспользуемся теоремой Гаусса (1.1):

,

взяв в качестве замкнутой поверхности цилиндр, коаксиальный с заряженным, радиусом r и высотой l (рис. 1.10). Если r R

,      откуда

.

Так как , то полученная формула для поля с осевой симметрией запишется в виде:

 или .

Подставив сюда выражение для напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром , получим:

.

Проинтегрировав это выражение, найдем искомую разность потенциалов:

.

Вычисляя, получим: 1)  = 0;     = 27 кВ/м;    2)  = 125 В.

Пример 3. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряженность () поля в точках, находящихся от центра сфер на расстояниях:  r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см.   Построить график .

Дано: Q1 = 10-9 Кл;   Q2 = -0,5×10-9 Кл;   r1 = 5 см = 5×10-2 м;   r2 = 9 см = 9×10-2 м, r3 = 15 см = 15×10-2 м.

Определить ;  ;  .

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 1.11): области I , области II , области III .

1) Для определения напряженности () в области I проведем гауссову поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса:

,

так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности, равен нулю. Из соображений симметрии имеем: . Следовательно,  и  (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию , будет равна нулю.

2) В области II гауссову поверхность проведем радиусом r2.

В этом случае

,

так как внутри гауссовой поверхности находится только заряд Q1.

Так как , то  можно вынести за знак интеграла:

, или .

Обозначив напряженность  для области II через , получим:

,

где  – площадь гауссовой поверхности.

Тогда

.                                                           (1)

1) В области III гауссова поверхность проводится радиусом r3. Обозначим напряженность области III через  и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен: . Тогда

.

Заметим, что ,поэтому это выражение можно переписать в виде:

.                                                    (2)

Убедимся в том, что первая часть равенств (1) и (2) дает единицу напряженности:

.

Вычисляя, получим:  = 0;    = 1,11 кВ/м;    = 200 В/м.

2) Построим график  (рис. 1.12).

В области I   = 0.

В области II   изменяется по закону . В точке  напряженность равна:

 = 2,5 кВ/м.  В точке  (r стремится к R2 слева):  = 0,9 кВ/м.

В области III   изменяется по закону , причем в точке  (r стремится к R2 справа) и напряжённость равна:  = 0,45 кВ/м.

Таким образом, функция  в точках  и  терпит разрыв.

Пример 4. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t= 10 нКл/м. Определить напряженность () и потенциал (j) электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина (l) нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Дано: t= 10 нКл/м = 10×10-9 Кл;

l = 15 см = 0,15 м.

Определить: ; j.

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Oyбыла симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 1.13). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ = tdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность () поля, создаваемого зарядом dQ:

,

где r – модуль радиуса-вектора, направленного от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор  через проекции  и  на оси координат:

,

где  и  – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность  найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется вдоль дуги длиной l. В силу симметрии . Тогда

,                                                            (1)

где . Так как , , то

.

Подставим выражение  в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Oy, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:

.

Выразив радиус R через длину l нити (3l = 2pR), получим:

.                                                        (2)

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Oy.

Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал (dj), создаваемый точечным зарядом dQ в точке О:

.

Заменим r на R и проведем интегрирование:

.

Так как l = 2pR/3, то

.                                                          (3)

Вычисляя, получим:  = 2,18 кВ/м;   j= 188 В.

Источник: http://libraryno.ru/1-1-19-primery-resheniya-zadach-2013_fiz_electro/

Примеры решения задач по теме «Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей» — Класс!ная физика

Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром...

«Физика — 10 класс»

При решении задач с использованием понятия напряжённости электрического поля нужно прежде всего знать формулы (14.8) и (14.

9), определяющие силу, действующую на заряд со стороны электрического поля, и напряжённость поля точечного заряда.

Если поле создаётся несколькими зарядами, то для расчёта напряжённости в данной точке надо сделать рисунок и затем определить напряжённость как геометрическую сумму напряжённостей полей.

Задача 1.

Два одинаковых положительных точечных заряда расположены на расстоянии r друг от друга в вакууме. Определите напряжённость электрического поля в точке, расположенной на одинаковом расстоянии r от этих зарядов.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции полей искомая напряжённость равна геометрической сумме напряжённостей полей, созданных каждым из зарядов (рис. 14.17): = 1 + 2.

Модули напряжённостей полей зарядов равны:

Диагональ параллелограмма, построенного на векторах 1 и 2, есть напряжённость результирующего поля, модуль которой равен:

Задача 2.

Проводящая сфера радиусом R = 0,2 м, несущая заряд q = 1,8 • 10-4 Кл, находится в вакууме. Определите: 1) модуль напряжённости электрического поля на её поверхности; 2) модуль напряжённости 1 электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии r1 = 10 м от центра сферы; 3) модуль напряжённости 0 в центре сферы.

Р е ш е н и е.

Электрическое поле заряженной сферы вне её совпадает с полем точечного заряда. Поэтому

Следовательно,

3) напряжённость поля в любой точке внутри проводящей сферы равна нулю: Е0 = 0.

Задача 3.

В однородное электрическое поле напряжённостью Е0 = 3 кН/Кл внесли точечный заряд q = 4 • 10-10 Кл. Определите напряжённость электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии r = 3 см от точечного заряда. Отрезок, соединяющий заряд и точку А, перпендикулярен силовым линиям однородного электрического поля.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции напряжённость электрического поля в точке А равна векторной сумме напряжённостей однородного поля 0 и поля 1, созданного в этой точке внесённым электрическим зарядом. На рисунке 14.18 показаны эти два вектора и их сумма. По условию задачи векторы 0 и 1 взаимно перпендикулярны. Напряжённость поля точечного заряда

Тогда напряжённость электрического поля в точке А равна:

Задача 4.

В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 3 см находятся три точечных заряда q1 = q2 = 10-9 Кл, q3 = -2 • 10-9 Кл. Определите напряжённость электрического поля в центре треугольника в точке О.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции полей напряжённость поля в точке О равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных каждым зарядом в отдельности: 0 = 1 + 2 + 3, причём где

На рисунке 14.19 показаны векторы напряжённостей 1, 2, 3. Сначала сложим векторы 1 и 2. Как видно из рисунка, угол между этими векторами равен 120°. Следовательно, модуль суммарного вектора равен модулю l1l и направлен в ту же сторону, что и вектор 3.

Окончательно запишем:

Задача 5.

Расстояние между двумя неподвижными зарядами q1 = -2 X 10-9 Кл и q2 = 10-9 Кл равно 1 м. В какой точке напряжённость электрического поля равна нулю?

Р е ш е н и е.

Очевидно, что на отрезке между зарядами напряжённость не может быть равна нулю, так как напряжённости полей 1 и 2, созданных этими зарядами, направлены в одну сторону (рис. 14.20).

Следовательно, напряжённость поля может быть равна нулю или справа, или слева от зарядов на линии, проходящей через эти заряды.

Так как модуль первого заряда больше, чем модуль второго, то эта точка должна находиться ближе ко второму заряду, т. е. в нашем случае справа от зарядов. Расстояние от второго заряда до точки А обозначим через х. Тогда из условия, что |'1| = '2, можно записать:

Решая это уравнение, получаем

Окончательно

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Следующая страница «Проводники в электростатическом поле»
Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Электростатика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Что такое электродинамика — Электрический заряд и элементарные частицы. Закон сохранения заряд — Закон Кулона. Единица электрического заряда — Примеры решения задач по теме «Закон Кулона» — Близкодействие и действие на расстоянии — Электрическое поле — Напряжённость электрического поля. Силовые линии — Поле точечного заряда и заряженного шара.

Принцип суперпозиции полей — Примеры решения задач по теме «Напряжённость электрического поля.

Принцип суперпозиции полей» — Проводники в электростатическом поле — Диэлектрики в электростатическом поле — Потенциальная энергия заряженного тела в однородном электростатическом поле — Потенциал электростатического поля и разность потенциалов — Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности — Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов» — Электроёмкость. Единицы электроёмкости. Конденсатор — Энергия заряженного конденсатора. Применение конденсаторов — Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a174.html

напряженность электрического поля точке

Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром...

напряженность электрического поля точке

Задача 60007

Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q1 = 30 нКл и Q2 = –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см, Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1 = 15 см от первого и на расстоянии r2 = 10 см от второго зарядов.

Задача 60176

Найти напряженность электрического поля в точке, удаленной от первого заряда на r1 и от второго на r2, если поле создано двумя точечными зарядами +q1 и q2, находящимися на расстоянии d друг от друга.

Задача 60289

Точечные заряды +3 мкКл и -2 мкКл находятся в точке А (2,0) и В (6,0). Чему равна напряженность электрического поля в точке С (4,0)?

Задача 60587

Определить полный заряд, который равномерно распределен по тонкому стержню длиной 40 см, если создаваемая им напряженность электрического поля в точке, лежащей на продолжении стержня на расстоянии 20 см от ближайшего конца, равна 60 кВ/м.

Задача 11675

Тонкий стержень длиной l = 12 см заряжен с линейной плотностью τ = 200 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от стержня против его середины.

Задача 14790

Даны два точечных заряда –|q| и +4|q|. Как изменятся потенциал и модуль напряженности электрического поля в точке «А», если заряд –|q| убрать?

Задача 16319

Шар радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с относительной проницаемостью ε равномерно заряжен по объему с плотностью ρ > 0. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r от центра (r > R).

Задача 16980

Резиновый воздушный шарик несет заряд Q = 10–7 Кл, равномерно распределенный по его поверхности. Радиус шарика равен R1 = 0,02 м. Шарик начинают надувать до радиуса R2 = 0,04 м. Рассчитать напряженность электрического поля в точках, отстоящих от центра шара на расстояниях S1 = 0,03 м и S2 = 0,05 м до и после его надувания.

Задача 17088

Два разноименно заряженных с поверхностной плотностью σ1 = σ2 = 10–9 Кл/м2 тонких параллельно расположенных вдоль одной оси дисков радиусами R1 = R2 = 10 см находятся на расстоянии а = 12 см. Вычислить напряженность электрического поля в точке, лежащей на оси дисков и равноудаленной от обоих дисков.

Задача 17161

Три точечных заряда 1, 4 и 1 мкКл находятся на трех взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке А. Расстояния от точки А до зарядов соответственно равны 1, 2 и 3 м. Найдите напряженность электрического поля в точке А, а также потенциал в этой точке, если система зарядов находится в вакууме.

Задача 17621

Два точечных заряда q1 и q2 (первый заряд положительный, второй — отрицательный) расположены на расстоянии а = 10 см друг от друга. Величины зарядов q1 = 1 нКл, q2 = –2 нКл. Определить 1) энергию системы зарядов; 2) положение точки, в которой напряженность электрического поля, созданного этими зарядами, равна нулю; 3) потенциал электрического поля в этой точке.

Задача 17781

Тонкий стержень длиной L = 10 см заряжен линейной плотностью τ = 4·10–7 Кл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей на перпендикуляре, проведенном через один из концов стержня, на расстоянии S = 5 см от его конца.

Задача 17782

Две параллельные нити длиной L1 = L2 = 17,4 см, расположенные на расстоянии 8 см, заряжены линейной плотностью τ1 = τ2 = +10–9 Кл/м. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через средние точки нити, на расстоянии S = 10 см от них.

Задача 17783

Электрическое поле создано тремя нитями, сходящимися к одной точке А под углом 60 градусов друг к другу. Длина нити равна a = b = с = 0,1 м. Нити заряжены одноименными зарядами линейной плотностью τ1 = τ2 = τ3 = 10–7 Кл/м. Рассчитать напряженность электрического поля в точке А.

Задача 17784

Электрическое поле создано заряженными кольцом и нитью, лежащей на оси кольца с одной его стороны. Радиус кольца равен 0,2 м, длина нити равна 0,3 м. Линейные плотности зарядов кольца и нити одинаковые и равны 0,4·10–7 Кл/м. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей на оси кольца по другую его сторону на расстоянии 0,4 м от центра.

Задача 17785

По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиуса R = 10 см, равномерно распределен заряд Q = 20·10–9 Кл. Определить напряженность электрического поля в точке, совпадающей с центром кривизны дуги, если длина нити равна четверти длины окружности.

Задача 17722

Точечные заряды q1 = 10–16 Кл, q2 = 2·10–16 Кл и q3 = 4·10–16 Кл расположены в вершинах прямоугольного треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Найти: 1) напряженность электрического поля в точке, находящейся на середине гипотенузы; 2) энергию системы зарядов; 3) работу по перемещению заряда из вершины прямого угла на середину гипотенузы.

Задача 19278

Тонкое кольцо, радиус которого R = 10 см, заряжено линейной плотностью τ = 8 нКл/м. Определить модуль Е напряженности электрического поля в точках, лежащих: а) на оси кольца на расстоянии x = 15 см от его центра; б) в центре кольца; в) на большом расстоянии х >> R от кольца. На каком расстоянии xmax напряженность поля достигнет максимального значения? Вычислить это значение.

Задача 20376

В воде на расстоянии 5 см друг от друга размещено точечные заряды 20 и -10 мкКл. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 4 см от первого заряда и на расстоянии 3 см от другого. Какая сила действует в этой точке на точечный заряд 1 мкКл?

Источник: http://reshenie-zadach.com.ua/fizika/1/napryazhennost-_elektricheskogo_polya_tochke.php

§1. Напряженность электростатического поля. Потенциал

Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром...

Точечнымзарядомназывается заряженноетело, размерами которого можно пренебречьпо сравнению с расстояниями от этоготела до других тел, несущих электрическийзаряд.

ЗаконКулона:Сила взаимодействия двухнеподвижных точечных зарядовпропорциональна величине каждого иззарядов и обратно пропорциональнаквадрату расстояния между ними.Направление силы совпадает с соединяющейэти заряды прямой.

,

где k– коэффициент пропорциональности,qq2– величинывзаимодействующих зарядов,r– расстояние между ними,e12– единичный вектор направленный отзаряда1к заряду2,F12– сила, действующая на заряд2состороны заряда1.

Коэффициентkопределяется следующимобразом:

,

где 0= 8,85 10-12Ф/м – электрическаяпостоянная.

Напряженностьполя, создаваемого точечным зарядомqпрямо пропорциональназаряду и обратно пропорциональнаквадрату расстояния от заряда до даннойточки поля:

,

векторнаправлен вдоль прямой, проходящейчерез заряд и данную точку поля, отзаряда, если он положителен, и к заряду,если он отрицателе.

Принципсуперпозиции: напряженность полясистемы зарядов равна векторной сумменапряженностей полей, создаваемыхкаждым зарядом в отдельности:

.

Потенциалполя точечного заряда:

.

По принципусуперпозиции потенциал системы точечныхзарядов равен:

.

II. Примеры решения задач

Пример1.1.Тонкая проволока, представляющаяпо форме четверть кольца радиусаR,заряжена равномерно зарядомq.Найти напряженность поля в центрекривизны.

Решение.

Выбираем накольце элементарный заряд ,гдеиd— угол под которым из центра кривизнывиден элементdl.Напряженность поля, создаваемогоэтим элементарным зарядом, равна:

.

Введем осикоординат и находим проекции напряженностиполя на выбранные оси:

.

Тогда:

.

Тогда суммарная напряженность будет равна:

.

Векторнапряженности направлен под углом 45к осих.

Пример1.2Находящейся в вакууметонкийпрямой стержень длины 2азаряженравномерно с зарядомq.Найти модуль напряженности электрическогополя как функцию расстоянияrот центра стержня до точки прямой,совпадающей с осью стержняr>a.

Решение.

Вводимобозначения: .Выделим на стержне элементdl,заряд этого элемента равен:.Напряженность поля, создаваемого вточке наблюдения таким зарядом равна:

,

где l– расстояние от центра стержня доэлементаdl. Поле,создаваемое всем стерж7нем будет равно:

III. Задачи для самостоятельного решения

1.1.КольцорадиусаRимеет зарядq.Найти модуль напряженности электрическогополя на оси кольца как функцию расстоянияLдо его центра.

Ответ:.

1.2.Тонкаяпроволока, представляющая по формекольцо радиусаR, заряженаравномерно зарядомq.Найти напряженность поля в центрекольца.

Ответ:.

1.3.Тонкоеполукольцо радиусаRимеетположительный зарядq.Найти напряженность в центре кривизныэтого полукольца.

Ответ:.

1.4. Тонкаяпроволока, представляющая по форме тричетверти кольца радиусаR,заряжена равномерно зарядомq.Найти напряженность поля в центрекривизны.

Ответ:.

1.5. Тонкоенепроводящее кольцо радиусаRзаряжено с линейной плотностью,где- азимутальный угол. Найти напряженность:а) в центре кольца, б) на оси кольца взависимости от расстоянияL.

Ответ:.

1.6. Тонкоенепроводящее кольцо радиусаRзаряжено с линейной плотностью,где- азимутальный угол. Найти напряженностьв центре кольца.

Ответ:.

1.7.Оченьдлинная прямая нить заряжена с линейнойплотностью. Найтимодуль и направление напряженностиэлектрического поля в точке, котораяотстоит от нити на расстояниеLи находится на перпендикуляре к нити.

Ответ:.

1.8. Оченьдлинная прямая нить заряжена с линейнойплотностью. Найтимодуль и направление напряженностиэлектрического поля в точке, котораяотстоит от нити на расстояниеLи находится на перпендикуляре к нити,проходящем через один из ее концов.

Ответ:.

1.9. Тонкийпрямой стержень длины 2а равномернозаряжен с линейной плотностью.НайтиE(L),гдеL-расстояние от центрастержня до точки прямой, перпендикулярнойстержню и проходящей через его центр.

Ответ:.

1.10.Тонкийпрямой стержень длины 2а равномернозаряжен с линейной плотностью.НайтиE(L),гдеL-расстояние от центрастержня до точки прямой совпадающей сосью стержня, если.

Ответ:.

1.11.Равномерно заряженная нить, на единицудлины которой приходится заряд,имеет конфигурацию, показанную нарис.1.3. Радиус закругленияRгораздо меньше длинны нити. Найти модульнапряженности электрического поля вточке О.

Ответ:.

1.12.Находящаяся в вакууме тонкая пластинкарадиусаRравномернозаряжена с поверхностной плотностью. Найти модульнапряженности электрического поля наоси пластинки как функцию расстоянияLот ее центра.

Ответ:.

1.13. Плоскоекольцо, внутренний радиус которого а,внешний в, заряжено с поверхностнойплотностью. Найтимодуль напряженности электрическогополя на оси кольца как функцию расстоянияLот его центра.

Ответ:.

1.14.Зарядqраспределен равномернопо объему шара радиусаR.Найти потенциал:

а) в центрешара 0, б) внутри шара(r),в) вне шара(r),гдеr- расстояние от центрашара.

Ответ:.

1.15. Потенциалполя внутри заряженного шара,гдеаиb–постоянные. Найти зависимость объемнойплотности заряда(r)от расстояния от центра шара.

Ответ:.

1.16.Посфере радиусаRравномернораспределены заряды с поверхностнойплотностьюНайтипотенциал в зависимости от расстояниядо центра сферы.

Ответ:.

1.17. Плоскоекольцо, внутренний радиус которогоа,внешнийb, заряжено споверхностной плотностью.Найти потенциал в центре кольца.

Ответ:.

1.18.Находящаяся в вакууме тонкая пластинкарадиусаRравномернозаряжена с поверхностной плотностью. Найти потенциалэлектрического поля на оси пластинкикак функцию расстоянияLот ее центра.

Ответ:.

1.19. Дведлинные одноименно заряженные нитирасположены на расстояниидруг от друга. Линейная плотность зарядана нитях.Найти величину и направление напряженностирезультирующего электрического поляв точке, находящейся на расстоянииот каждой нити.

Ответ:.

Источник: https://studfile.net/preview/3014623/

Примеры решения задач. Пример 1. Используя теорему Гаусса, рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости как функцию расстояния

Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром...

Пример 1. Используя теорему Гаусса, рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости как функцию расстояния . Поверхностная плотность заряда .

Решение.

1. Для применения теоремы Гаусса к расчету напряженности электрического поля необходимо выбрать поверхность интегрирования (Гауссову поверхность). Для этого необходимо представить картину силовых линий. Поле бесконечной заряженной плоскости, очевидно, имеет силовые линии, идущие перпендикулярно плоскости (см. рис. 28)

Форма поверхности должна учитывать симметрию поля. В нашем случае поверхность можно выбрать в виде цилиндра радиуса R, высотой h, ось которого совпадает с силовой линией. При таком выборе поверхности интегрирования поток вектора отличен от нуля только через основания цилиндра, а вдоль боковой поверхности силовые линии скользят и поток равен нулю.

Запишем теорему Гаусса

.

2. Вычислим поток вектора по определению

,

, так как , , так как .

Получаем

.

Модуль E вынесли за знак интеграла, т.к. все точки оснований находятся на одинаковом расстоянии от плоскости и величина E должна быть одинакова из соображений симметрии.

Окончательно .

3. Найдем заряд, охватываемый поверхностью интегрирования

.

4. Воспользуемся теоремой Гаусса и приравняем поток из пункта 2 к заряду найденному в пункте 3 деленному на электрическую постоянную ε0:

5. найдем из последнего уравнения напряженность

.

Вывод: поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным, т.е. не зависит от расстояния до заряженной поверхности.

Ответ: .

Пример 2. В вершинах квадрата расположены одинаковые по величине заряды Кл. В двух соседних вершинах расположены отрицательные заряды, а в двух других — положительные. Найти напряженность электрического поля в центре квадрата. Сторона квадрата см.

Решение. Поле в этом случае создается системой точечных зарядов. Напряженность суммарного поля можно найти с помощью принципа суперпозиции , где , , , — напряженности полей, создаваемых в центре квадрата каждым зарядом.

Чтобы найти величину искомой напряженности необходимо спроектировать рассматриваемые вектора на оси координат. Из рис. 29 видно, что суммарная проекция на ось OX равна нулю. Вектор суммарной напряженности направлен по оси OY.

1. Запишем формулу для расчета модуля напряженности электрического поля точечного заряда

,

где q — величина точечного заряда, ε0 — электрическая постоянная, r — расстояние от заряда до точки поля.

2. В нашей задаче все заряды одинаковы по модулю и расстояния от зарядов до центра квадрата также одинаковы, поэтому

.

3. Найдем проекцию напряженности на оси координат:

— на ось х ;

— на ось y ,

где .

4. Получим расчетную формулу для результирующей напряженности

.

5. Вычислим напряженность поля в центре квадрата

В/м.

Ответ: В/м.

Пример 3. В схеме, приведенной на рис. 30, — элемент с ЭДС, равной 2,1 B, В, Ом, Ом, Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Решение. Применим правила Кирхгофа для данной разветвленной цепи.

1. Прежде всего, укажем направления токов стрелками на схеме (рис. 30). Предположим, что токи будут идти в направлении поставленных нами стрелок. По первому правилу Кирхгофа, для узла C алгебраическая сумма токов равна нулю. Токи I I2 отрицательные – они вытекают из узла

. (1)

2. По второму правилу Кирхгофа, для контура ABC приравняем сумму падений напряжений в контуре к сумме ЭДС. Обходим по контуру по часовой стрелке.

. (2)

Аналогично для контура ACD. Обход по контуру против часовой стрелки.

. (3)

(Вместо контура ACD или контура ABC можно было бы взять контур ABCD.)

Имеем три уравнения для нахождения трех неизвестных , и . При решении задач на применение законов Кирхгофа удобнее уравнения (1)-(3) представить в численном виде. В условиях нашей задачи эти уравнения примут вид:

; (1а)

; (1б)

. (1в)

Решая эти уравнения, получим А; А; А. Отрицательный знак у тока указывает на то, что направление тока нами было взято неверно. Направление тока в действительности будет от D к C, а не наоборот, как это было принято перед составлением уравнений.

Ответ: А; А; А.

Контрольные задания

171. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд с объемной плотностью . Внутренний радиус шара см, наружный см. Вычислить напряженность E электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии: см; см и см. Построить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

172.Лист стекла толщиной равномерно заряжен по объему с объемной плотностью . Определить напряженность E электрического поля в точках A, B, C (рис. 30 а). Построить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

173.Бесконечная плоская пластинка толщиной см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью . Найти напряженность E электрического поля внутри и вне пластины. Построить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

174.Длинный полый цилиндр радиусом см равномерно заряжен по поверхности с поверхностной плотностью . Определить напряженность E электрического поля в точках, находящихся на расстояниях см; см и см от оси цилиндра. Построить зависимость . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

175.Доказать, что на поверхности равномерно заряженной по поверхности сферы напряженность E электрического поля такая же, какая она была бы, если весь заряд сосредоточить в центре этой сферы. Доказать, используя теорему Гаусса.

176.Найти напряженность E электрического поля в произвольной точке стеклянного шара, равномерно заряженного по объему. Начертить график . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

177.Определить напряженность E электрического поля, создаваемого металлической сферой радиуса . Поверхностная плотность заряда . Сфера окружена сферическим слоем диэлектрика толщиной см. Начертить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

178.Найти напряженность E электрического поля, создаваемого толстостенным эбонитовым бесконечно длинным цилиндром. Внутренний радиус цилиндра см, внешний — см. Объемная плотность заряда . Построить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

179.Найти напряженность E электрического поля, создаваемого заряженной по поверхности с поверхностной плотностью пустотелой сферой и зарядом нКл, помещенным в центр этой сферы. Радиус сферы . Построить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

180.Рассчитайте напряженность электрического поля бесконечно длинного полого цилиндра с поверхностной плотностью заряда и бесконечной нитью, совпадающей с осью цилиндра, линейная плотность которой Кл/м. Радиус цилиндра . Построить график зависимости . Задачу решить, используя теорему Гаусса.

181.Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности E результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии от каждой нити.

182.В центр квадрата, в каждой вершине которого находится заряд , помещен отрицательный заряд . Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует результирующая сила .

183.В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность E электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд ; сторона шестиугольника см.

184.Два точечных заряда нКл и нКл расположены на расстоянии см. Найти напряженность E электрического поля в точке, находящейся на расстояниях см от положительного заряда и см от отрицательного заряда.

185.Найти напряженность E электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами нКл и нКл. Расстояние между зарядами , .

186.Кольцо из проволоки радиусом имеет отрицательный заряд нКл. Найти напряженности E электрического поля на оси кольца в точках, расположенных от центра кольца на расстояниях L, равных 0,0; 5,0; 8,0; 10 см.

187.Найти напряженность E электрического поля на расстоянии от одновалентного иона. Заряд иона считать точечным.

188.По тонкому кольцу радиусом равномерно распределен заряд . Какова напряженность E в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии от центра кольца?

189.По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиуса равномерно распределен заряд . Определить напряженность E поля, создаваемого этим зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги, если длина нити равна четверти длины окружности.

190.Построить на одном графике кривые зависимости напряженности E электрического поля от расстояния r в интервале см через каждый 1,00 см, если поле образовано: а) точечным зарядом ; б) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда ; в) бесконечно протяженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда мкКл/м2.

191.При бомбардировке неподвижного ядра натрия a-частицей сила отталкивания между ними достигла значения . На какое наименьшее расстояние r приблизилась a-частица к ядру атома натрия? Какую скорость v имела a-частица? Влиянием электронной оболочки атома натрия пренебречь.

192.До какого расстояния r могут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью м/с?

193.Протон (ядро атома водорода) движется со скоростью м/с.

На какое наименьшее расстояние r может приблизиться протон к ядру атома алюминия? Заряд ядра атома алюминия , где Z — порядковый номер атома в таблице Менделеева и e — заряд протона, равный по модулю заряду электрона.

Массу протона считать равной массе атома водорода. Протон и ядро атома алюминия считать точечными зарядами. Влиянием электронной оболочки атома алюминия пренебречь.

194.Найти потенциал j точки поля, находящейся на расстоянии см от центра заряженного шара радиусом см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда на шаре мкКл/м2; б) задан потенциал шара В.

195.Два шарика с зарядами нКл и нКл находятся на расстоянии см. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния см?

196.В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого см, находится заряженная капелька массой г.

В отсутствие электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью.

Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов , то капелька падает вдвое медленнее. Найти заряд q капельки.

197.Электрон с энергией (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом см. Определить минимальное расстояние а, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд ее нКл.

198.Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость м/с. Расстояние между пластинами мм. Найти: 1) разность потенциалов U между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда s на пластинах.

199.Пылинка массой нг, несущая на себе электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов МВ. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка?

200.При бомбардировке неподвижного ядра калия a-частицей сила отталкивания между ними достигла . На какое наименьшее расстояние приблизилась a-частица к ядру атома калия? Какую скорость v имела a-частица вдали от ядра? Влиянием электронной оболочки атома калия пренебречь.

201.
Считая сопротивление вольтметра бесконечно большим, определяют сопротивление R по показаниям амперметра и вольтметра (рис. 31). Найти относительную погрешность найденного сопротивления, если в действительности сопротивление вольтметра равно . Задачу решить для Ом и сопротивления: а) Ом; б) Ом; в) .

202.Считая сопротивление амперметра бесконечно малым, определяют сопротивление R по показаниям амперметра и вольтметра (рис. 32). Найти относительную погрешность найденного сопротивления, если в действительности сопротивление амперметра равно . Решить задачу для Ом и сопротивления: а) Ом; б) Ом; в) .

203.Два параллельно соединенных элемента с одинаковыми ЭДС В и внутренними сопротивлениями Ом и Ом замкнуты на внешнее сопротивление (рис. 33). Найти ток I в каждом из элементов и во всей цепи.

204.
Два последовательно соединенных элемента с одинаковыми ЭДС В и внутренними сопротивлениями Ом и Ом замкнуты на внешнее сопротивление (рис. 34). Найти разность потенциалов U на зажимах каждого элемента.

205.
Батарея с ЭДС В, амперметр и реостаты с сопротивлениями и соединены последовательно (рис. 35). При выведенном реостате амперметр показывает ток А, при введенном реостате — ток А. Найти сопротивления и реостатов и падения потенциала и на них, когда реостат полностью включен.

206.Элемент, амперметр и некоторое сопротивление соединены последовательно. Если взять сопротивление из медной проволоки длиной и поперечным сечением мм2, то амперметр показывает ток А.

Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной и поперечным сечением мм2, то амперметр показывает ток А. Сопротивление амперметра мОм. Найти ЭДС e элемента и его внутреннее сопротивление r.

207.Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи , сопротивления Ом, Ом и Ом (рис. 36). Какой ток I показывает амперметр?

208.Сопротивления Ом и Ом (рис. 37). Через сопротивление течет ток А. Амперметр показывает ток А. Найти сопротивление .

209.ЭДС батареи , сопротивления Ом, Ом и Ом (рис. 38). Найти ток , текущий через сопротивление , и падение потенциала на нем.

210.ЭДС батареи , сопротивления Ом и Ом (рис. 39). Падение потенциала на сопротивлении равно В. Амперметр показывает ток А. Найти сопротивление .

211.Катушка длиной и площадью поперечного сечения включена в цепь переменного тока частотой . Число витков катушки . Найти сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током .

212.Обмотка катушки состоит из витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой мм2. Длина катушки см, ее диаметр см. При какой частоте n переменного тока полное сопротивление Z катушки вдвое больше ее активного сопротивления R?

213.Два конденсатора с емкостями мкФ и мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением и частотой Гц. Найти ток I в цепи и падения потенциала и на первом и втором конденсаторах.

214.Конденсатор емкостью мкФ и резистор, сопротивление которого , включены последовательно в цепь переменного тока частотой Гц. Какую часть напряжения U, приложенного к этой цепи, составляют падения напряжения на конденсаторе и на резисторе ?

215.Конденсатор и электрическая лампочка соединены последовательно и включены в цепь переменного тока напряжением и частотой Гц. Какую емкость C должен иметь конденсатор для того, чтобы через лампочку протекал ток А и падение потенциала на ней было равным В?

216.Катушка с активным сопротивлением Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока напряжением и частотой Гц. Найти индуктивность L катушки, если известно, что катушка поглощает мощность и сдвиг фаз между напряжением и током .

217.В цепь переменного тока напряжением и частотой Гц включены последовательно емкость , сопротивление и индуктивность Гн. Найти ток I в цепи и падения напряжения , , на емкости, сопротивлении и индуктивности.

218.Индуктивность и сопротивление R включены параллельно в цепь переменного тока частотой Гц. Найти сопротивление R, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током .

219.Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением и частотой Гц. Найти сопротивление R и индуктивность L, если известно, что цепь поглощает мощность и сдвиг фаз между напряжением и током .

220.В цепь переменного тока напряжением включены последовательно емкость C, сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения на сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе , на индуктивности .

Источник: https://studopedia.su/18_79768_primeri-resheniya-zadach.html

Вектор напряженности электрического поля

Как найти напряженность поля в точке совпадающей с центром...

По теории близкодействия взаимодействия между заряженными телами, удаленными друг от друга, происходит с помощью электромагнитных полей, создаваемых этими телами в окружающем их пространстве.

Если поле было создано неподвижными частицами, то его относят к электростатическому. Когда происходят изменения во времени, получает название стационарного. Электростатическое поле является стационарным.

Оно считается частным случаем электромагнитного поля.

Характеристика электрического поля

Силовая характеристика электрического поля – вектор напряженности, который можно найти по формуле:

E→=F→q, где F→ — сила, действующая со стороны поля на неподвижный (пробный) заряд q. Его значение должно быть настолько мало, чтобы отсутствовала возможность искажать поле, напряженность которого с его помощью и измеряют. По уравнению видно, что напряженность совпадает по направлению с силой, с которой поле действует на единичный положительный пробный заряд.

У напряженности электростатического поля нет зависимости от времени. Когда она во всех точках поля одинакова, тогда поле называют однородным. В другом случае – неоднородным.

Силовые линии

Чтобы изобразить электростатические поля графически, необходимо задействовать понятие силовых линий.

Определение 1

Силовые линии – это линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлениями векторов напряженности в этих точках.

Такие линии в электростатическом поле разомкнутые. Они начинаются на положительных зарядах и заканчивают на отрицательных. Реже уходят в бесконечность или возвращаются из нее. Силовые линии поля не могу пересекаться.

Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции, а именно:

E→=∑i=1nE→i.

Результирующий вектор напряженности сводится к нахождению векторной суммы напряженностей, составляющих его «отдельные» поля. При распределении непрерывного заряда, поиск суммарной напряженности поля производится по формуле:

E→=∫dE→.

Интегрирование E→=∫dE→ проводится по области распределения зарядов. Если их распределение идет по линии (τ=dqdl — линейная плотность распределения заряда), то интегрирование E→=∫dE→ тоже. Когда распределение зарядов идет по поверхности и поверхностная плоскость обозначается как σ=dqdS, тогда интегрируют по поверхности.

Интегрирование по объему выполняется, если имеется объемное распределение заряда:

ρ=dqdV, где ρ — объемная плотность распределения заряда.

Что называется напряженностью электрического поля

Определение 2

Напряженность поля в диэлектрике равняется векторной сумме напряженностей полей, которые создают свободные E0→ и связанные Ep→ заряды:

E→=E0→+Ep→.

Зачастую бывают случаи, когда диэлектрик изотропный. Тогда запись напряженности поля имеет вид:

E→=E0→ε, где ε обозначает относительную диэлектрическую проницаемость среды в рассматриваемой точке поля.

Отсюда следует, что по выражению E→=E0→ε имеется однородный изотропный диэлектрик с напряженностью электрического поля в ε меньше, чем в вакууме.

Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равняется:

E→=14πε0∑i=1nqiεri3ri→.

В системе СГС напряженность поля точечного заряда в вакууме:

E→=qr→r3.

Пример 1

Дан равномерно распределенный заряд по четверти окружности радиуса R с линейной плотностью τ. Необходимо найти напряженность поля в точке А, являющейся центром окружности.

Решение

Рисунок 1

Произведем выделение на заряженной части окружности элементарного участка dl, который будет создавать элемент поля в точке А. Следует записать выражение для напряженности, то есть для dE→. Тогда формула примет вид:

dE→=dqR3R→R.

Проекция вектора dE→ на ось Ох составит:

dEx=dEcosφ=dqcosφR2.

Произведем выражение dq через линейную плотность заряда τ:

dq=τdl=τ·2πRdR.

Необходимо использовать dq=τdl=τ·2πRdR для преобразования dEx=dEcosφ=dqcosφR2:

dEx=2πRτdRcos φR2=2πτdRcos φR=τcos φdφR,

где 2πdR=dφ.

Далее перейдем к нахождению полной проекции Ex при помощи интегрирования dEx=2πRτdRcos φR2=2πτdRcos φR=τcos φdφR,

по dφ с изменением угла 0≤φ≤2π.

Ex=∫02πτcos φdφR=τR∫02πcosφ dφ=τRsin φ02π=τR.

Перейдем к проекции вектора напряженности на Оу:

dEy=dEsin φ=τRsin φdφ.

Следует проинтегрировать с изменяющимся углом π2≤φ≤0:

Ey∫π20τRsin φdφ=τR∫π20sin φdφ=-τRcos φπ20=-τR.

Произведем нахождение модуля вектора напряженности в точке А, применив теорему Пифагора:

E=Ex2+Ey2=τR2+-τR2=τR2.

Ответ: E=τR2.

Пример 2

Найти напряженность электростатического поля равномерно заряженной полусферы с радиусом R. Поверхностная плотность заряда равняется σ.

Решение

Рисунок 2

Следует выделить на поверхности заряженной сферы элементарный заряд dq, располагаемый на элементе площади dS. Запись, используя сферические координаты dS, равняется:

dS=R2sinθdθdφ,

при 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π2.

Элементарная напряженность поля точечного заряда в системе СИ:

dE→=dq4πε0R3R→R.

Необходимо спроецировать вектор напряженности на Ох:

dEx=dqcosθ4πε0R2.

Произведем выражение заряда через поверхностную плотность заряда:

dq=σdS.

Подставим dq=σdS в dEx=dqcosθ4πε0R2, используя dS=R2sinθdθdφ, проинтегрируем и запишем:

Ex=σR24πε0R2∫02πdφ∫0π2cosθsinθdθ=σ4πε02π·12=σ4ε0.

Тогда EY=0.

Отсюда следует, что E=Ex.

Ответ: напряженность полусферы в центре равняется E=σ4ε0.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektricheskoe-pole/vektor-naprjazhennosti-elektricheskogo-polja/

Biz-books
Добавить комментарий