Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре. Лукьянов Г.Д.

Лабораторная работа № 1. Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре. Лукьянов Г.Д.

По лабораторным занятиям

Методические указания

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре.

Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли.

Измерение сопротивления проводников при помощи мостика постоянного тока.

Задание: изучение принципа измерения сопротивления с помощью мостовой схемы.

Рекомендуемая литература:Осн. 11[19-25].

Контрольные вопросы:

1. Закон Ома для однородного участка цепи.

2. Правила Кирхгофа и их применение.

3. Нарисовать схему мостика Уитстона и объяснить принцип его работы.

4. Вывод рабочей формулы.

Задание: изучение напряжённости магнитного поля и определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли.

Рекомендуемая литература:Осн. 11[37-43].

Контрольные вопросы:

1. Закон Био-Саввара-Лапласа.

2. Направление вектора магнитной индукции.

3. Вывод расчётной формулы.

Задание: изучить вынужденные колебания электромагнитного поля.

Рекомендуемая литература:Осн. 11[51-56].

Контрольные вопросы:

1. Ёмкостное и индуктивное сопротивление.

2. Уравнение вынужденных колебаний.

3. Формула Томсона.

Тема: ФИЛЬТРЫ СГЛАЖИВАНИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х

где f(t) — некоторая функция времени. Проекция средней скорости на ось x

Средняя путевая скорость

где Δs — путь, пройденный точкой за интервал времени Δt. Путь Δs в отличие от разности координат Δx = x2 – x1 не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δs≥0.

Проекция мгновенной скорости на ось х

Проекция среднего ускорения на ось х

Проекция мгновенного ускорения на ось х

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

где v — модуль линейной скорости; ах и ап — модули тангенциального и нормального ускорений; ω — модуль угловой скорости; ε — модуль углового ускорения; R — радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или

Угол между полным а и нормальным аn ускорениями

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

где х — смещение; А — амплитуда колебаний; ω — угловая или циклическая частота; φ — начальная фаза. Скорость и ускорение материальной точки, совершаю­щей гармонические колебания:

Сложение гармонических колебаний одного направ­ления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно пер­пендикулярных колебаниях,

а) , если разность фаз φ = 0;

б) , если разность фаз φ = ± π;

в) , если разность фаз φ.

Уравнение плоской бегущей волны

где у — смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; v — скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Δφ колебаний с расстоянием Δх между точками среды, отсчитанным в направлении рас­пространения колебаний;

,

где λ — длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью v

.

Второй закон Ньютона

где F — результирующая сила, действующая на ма­териальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); х — абсолютная деформация;

б) сила тяжести

в) сила гравитационного взаимодействия

где G — гравитационная постоянная; m1 и m2 — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В слу­чае гравитационного взаимодействия силу можно выра­зить также через напряженность G гравитационного поля:

г) сила трения (скольжения)

где f — коэффициент трения; N — сила нормального дав­ления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел (I = 2)

где v1 и v2 — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u1 и u2 — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно,

или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

где k — жесткость пружины; х — абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействия

где G — гравитационная постоянная; m1 и m2 — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

где g — ускорение свободного падения; h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии , где R — радиус Земли). Закон сохранения механической энергии

.

Работа А, совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

Основное уравнение динамики вращательного движе­ния относительно неподвижной оси z

где Mz — результирующий момент внешних сил относи­тельно оси z, действующих на тело; ε — угловое ускоре­ние; Jz — момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относи­тельно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендику­лярной стержню,

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендику­лярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тела, вращаю­щегося относительно неподвижной оси z,

где ω — угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вра­щающихся вокруг неподвижной оси z,

где Jz — момент инерции системы тел относительно оси z; ω — угловая скорость вращения тел системы во­круг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_62803_laboratornaya-rabota--.html

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре. Лукьянов Г.Д.

Лабораторнаяработа № 11

1. Цель работы: изучение зависимоститока в колебательном контуре от частотыисточника, включенного в контур, измерениерезонансной частоты контура.

2. Вынужденные колебания в rlc-контуре

Рассмотрим процессы, протекающие вколебательном контуре, подключенном кисточнику, напряжение которого изменяетсяпо гармоническому закону

. (11.1)

Мгновенныезначения тока и напряжений удовлетворяютзакону Кирхгофа, установленному дляцепей постоянного тока. В любой моментвремени сумма падений напряжения наэлементах цепи равна U(рисунок 11.1)

(11.2)

или . (11.3)

Ток в контуре . (11.4)

Рисунок 11.1 –Колебательный контур

Подстановка выражений (11.3) и (11.4) в (11.2)дает

. (11.5)

Разделим это уравнение на LC,и, введя обозначения

,где 0 –собственная частота колебаний,

– коэффициент затухания,

получим дифференциальное уравнение

. (11.6)

Решение этого уравнения, то есть законизменения напряжения на конденсаторес течением времени, есть сумма полногорешения однородного уравнения (11.7) ичастного решения уравнения (11.6)

. (11.7)

Однородное уравнение (11.7) имеет решение

, (11.8)

являющееся уравнением затухающихколебаний. Затухание определяетсячленом .За время, равное времени релаксации амплитуда колебаний уменьшается вe=2,72 раз. При этом,затухание в колебательном контуресвязано с превращением энергии колебанийв тепло на сопротивлении R.

При составляющая решения уравнения (11.6) обратится в нуль,следовательно, она отражает переходныйпроцесс, определенный начальнымиусловиями и параметрами контура.Установившиеся колебания в цепипроисходят с частотой и сдвигом по фазе .

Поэтому решение ищем в виде

, (11.9)

где и подлежатопределению.

Подстановка (11.9) в (11.6) дает

; (11.10)

. (11.11)

Видно, что амплитуда и фаза напряженияна конденсаторе зависят от соотношениячастоты источника и частоты 0.Ток в контуре

, (11.12)

где .

Амплитуда тока в контуре также зависитот соотношения частот и 0

. (11.13)

График зависимости от представлен на рисунке 11.2.

Рисунок 11.2 – Зависимость тока отсоотношения частот

Из графика видно, что амплитуда токарезко возрастает при приближениициклической частоты источника к частоте 0.Это явление называется резонансом, акривые – резонансными кривыми. Величинамаксимума зависит от ;при увеличении максимальное значение тока уменьшается,1 определяетразность фаз колебаний тока и напряжениявнешнего источника

. (11.14)

График зависимости 1от частоты представлен на рисунке 11.3.

Величина ,где ,называется добротностью колебательногоконтура. Добротность контура связанас остротой резонансных кривых. Найдемширину резонансной кривой на высоте(рисунок11.4). Из формулы (11.13) следует, чтомаксимальное значение тока определяетсявыражением:

Рисунок 11.3 – График зависимости 1 от частотыРисунок 11.4 – Зависимость тока от частоты

(11.15)

При формула (11.15) запишется

. (11.16)

Выражение (11.16) можно преобразовать квиду или .Величина ,а вблизи резонанса .После подстановки получим .

. (11.17)

При малом затухании и относительная ширина резонансной кривойчисленно равна величине обратнойдобротности контура. Если известныпараметры контура, добротность можетбыть рассчитана по соотношению

(11.18)

Принципиальная электрическая схемалабораторной установки приведена нарисунке 11.5. Колебательный контур состоитиз катушки L, магазинаемкостей – С, переменного сопротивленияR и сопротивления R1.

Напряжение на сопротивлении R1,пропорциональное току в контуре, подаетсяна вход Y электронногоосциллографа.

Для снятия резонансныхкривых, изменяя частоту звуковогогенератора, определяют зависимость при различных сопротивлениях контураR.

Для измерения сдвига фаз 1можно использовать фигуры Лиссажу,получаемые на экране осциллографа.Пусть имеются два синусоидальныхнапряжения одинаковой частоты .Подадим эти напряжения на вертикальныеи горизонтальные пластины осциллографа.

Смещение луча под действием этихнапряжений пропорционально напряжениямпо горизонтали ,а по вертикали ,где – сдвигфаз между напряжениями, – амплитуды смещения луча, пропорциональныеамплитуде напряжения и коэффициентамусиления соответствующих каналовосциллографа.

Исключая время, получим

. (11.19)

Рисунок 11.5 – Принципиальная электрическая

схема лабораторной установки

Выражение (11.19) – уравнение эллипса,описываемого электронным лучом наэкране осциллографа. Выберем коэффициентыусиления вертикального и горизонтальногоканалов осциллографа такими, чтобы .В этом случае

. (11.20)

Уравнение (11.20) – уравнение эллипса, осикоторого составляют угол с осями координат. При =0эллипс вырождается в прямую ,при – в круг радиуса .Для точки М эллипса (рисунок 11.6) Y=X,следовательно, ,а уравнение (11.20) для этой точки приметвид

;

;

.

Отсюда

. (11.21)

Рисунок 11.6 – Эллипс напряжений

Аналогично для точки Nэллипса (рисунок 11.6) Y=–X,получим

. (11.22)

Из выражений (11.21) и (11.22) получим

. (11.23)

Таким образом, для измерения сдвига фазмежду напряжениями одинаковой частотыдостаточно измерить полуоси а и bэллипса, вписанного в квадрат на экранеосциллографа.

Источник: https://studfile.net/preview/1828577/

1 доц., к.т.н. Лукьянов Г.Д. Работа № 3-13 (Н) ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. Студент группы Допуск _ Выполнение Защита Цель работы: изучение зависимости

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре. Лукьянов Г.Д.

Книги по всем темам доц., к.т.н. Лукьянов Г.Д.

Работа № 3-13 (Н) ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ.

Студент группы Допуск _ Выполнение Защита Цель работы: изучение зависимости тока в колебательном контуре от частоты источника ЭДС, включенного в контур, и измерение резонансной частоты контура.

Приборы и оборудование: звуковой генератор, электронный осциллограф, модуль с колебательным контуром, магазин сопротивлений и магазин ёмкостей.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают.

Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери на джоулево тепло.

Такая компенсация возможно, если в колебательный контур включить источник тока, обладающий периодически изменяющейся ЭДС, с частотой :

E = E0 cos t, (1) Полагаем, что мгновенные значения токов и напряжений удовлетворяют законам, установленным для цепей постоянного тока. Такие токи называются квазистационарными. Поэтому можно применять законы Кирхгофа. В любой момент времени сумма падений напряжения на элементах цепи равна ЭДС (рис.1):

U +U +U = E0 cos t, (2) L R R C E0 cos t + L Рис.1 где U — падение напряжения на катушке индуктивностью L ;

L U — падение напряжения на сопротивлении;

R U — падение напряжения на конденсаторе.

dI q U = -Ei = L ; U = IR ; U = (3) L R dt C Ток в катушке и контуре dq d dU I = = (CU )= C. (4) dt dt dt Подстановка (3) и (4) в (2) дает 2 d U dU LC + RC + U = E0 cos t. (5) dt dt2 Разделим это уравнение на LC и введем обозначения:

1 R 2 0 = ; =, LC 2L где 0 — собственная частота колебаний;

— коэффициент затухания.

Обозначая дифференцирование по времени точкой, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний 2 & & U& + 2U + 0U = E00 cos t. (6) Его решение дает закон изменения напряжения на конденсаторе с течением времени и равно сумме решения однородного уравнения (7) и частного решения уравнения (6):

&& & U + 2U +0U = 0. (7) Однородное уравнение (7) — уравнение затухающих колебаний. Его решение:

U1 = U10e-t cost, (8) 2 где — частота затухающих колебаний; = 0 — Затухание определяется членом e-t. За время t = амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Затухание в колебательном контуре связано с превращением энергии колебаний в джоулево тепло в сопротивлении R.

При t >> составляющая U1, решения уравнения (6) исчезнет, следовательно, она отражает переходный процесс, определяемый начальными условиями и параметрами контура. Установившиеся колебания в цепи происходят с частотой и возможным сдвигом по фазе.

Частное решение уравнения (6) имеет вид:

U = U0 cos(t + ), (9) где U0 — амплитудное значение напряжения;

— сдвиг фаз.

С использованием (9) и (6) можно определить:

E U0 = ; (10) 2 (0 — 2) + 4 tg = -. (11) 0 — Таким образом, амплитуда и фаза напряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника dU ЭДС и частоты 0. Ток в контуре I = C = -CU0 sin(t + )= I0 cos(t + 1), где 1 = + 2. Амплитуда dt тока в контуре также зависит от соотношения частот и 0 :

E0C I0 = (12) 2 (0 — 2) + 4 График зависимости I0 от 0 представлен на рис.2.

I Рис. Из графика видно, что амплитуда тока резко возрастает при приближении циклической частоты источника ЭДС к частоте 0. Это явление называется резонансом, а кривые – резонансными кривыми. Величина максимума зависит от : при = 0 Iот (кривая 3); при увеличении максимальное значение Iот уменьшается (кривые и 1),1 определяет разность фаз колебаний тока в контуре и внешней ЭДС:

1 0 — tg1 = tg + = — = (13) 2 tg График зависимости 1 от частоты представлен на рис. 3. Кривые 1 и 2 соответствуют разным значениям.

При 0 = tg1 = 0 и 1 = 0.

Величина Q = называется добротностью колебательного контура. Добротность контура связана с остротой Iот резонансной кривой. Найдем ширину резонансной кривой на уровне I0 = = 0,7Iom (рис.4).

Из формулы (12) следует, что максимальное значение тока E0CIот =, 2Iот а I0 = (14) 2 (0 — 2) + 4 При I0 = Iот 2 формула (14) запишется 1 = (15) 2 2 (0 — 2) + 4 I I0m I0m — 2 Рис. Рис. При

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/5984-1.php

Biz-books
Добавить комментарий