Группы, кольца и поля.

Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Упорядоченное поле

Группы, кольца и поля.

Алгебраической структурой называется множество, на котором задана одна или несколько алгебраических операций.

Группы. Алгебраическая структура , где * — бинарная алгебраическая операция на G, называется группой, если:

* — ассоциативная операция, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c;

, т.е. в G сущ. нейтральный элемент относительно этой операции;

3) существует симметричный элемент.

Если «+» g+g-1=0 (обычно g-1)=(-g)); g+(-g)=-g+g=0, то говорят, что g – противоположный элемент. Вместо симметричного, говорят, что элемент обратный.

Примеры: рассмотрим множество Z относительно операции сложения

– абелева группа

«+» — ассоциативна;

0 – нейтральный элемент
a+(-a)=0

Если в группе G операция * коммутативна, то такая группа называется коммутативной или абелевой.

Также абелевыми группами являются: множество ; ; (рациональных, действительных и комплексных чисел)

не является группой, т.к. нарушено 3 условие (2×½=1, но ½ є Z)

не группа, т.к. не существует обратного элемента для нуля

группа (необходимо выбросить 0, для того чтобы рациональные числа «×» были группой).

Кольца. Множество, в котором заданы 2 алгебраические операции «+» и «×» наз. кольцом, если:

1)относительно «+» это множество является абелевой группой ;

2) «+» и «×» связаны законом дистрибутивности, т.е. (a+b)c=ac+bc (правый закон дистрибутивности) и с(a+b)=ca+cb (левый закон дистрибутивности)

Если «×» коммутативно, то кольцо тоже называется коммутативным.

Если «×» ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным.

Пример: — коммутативное и ассоциативное кольцо.

1) — абелева группа, т.к. «+» коммутативно (a=b)=(b+a) и ассоциативно a+(b+c)=(a+b)+c

0 є Z и

2)ab=ba умножение коммутативно; a(bc)=(ab)c – ассоциативно

(a+b)c=ac+bc=c(a+b)=ca+cb

Другие примеры: , ,

Не коммутативным, но ассоциативным кольцом является кольцо квадратных матриц.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:

абелева группа; выполняется дистрибутивность относительно сложения

абелева группа (множество матриц по сложению)

– нулевая матрица

– противоположная матрица

AB≠BA, но A(BC)=(AB)C

Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения: (A+B)C=AC+BC и C(A+B)=CA+CB

В кольцах могут быть делители нуля – это такие элементы a≠0, b≠0, но ab=0.

Существуют кольца как с делителями нуля, так и без делителей нуля. В полях делителей нуля нет.

— поле и a,b≠0; a,b є P

если a×b=0

для a≠0 bP a-1

a-1(ab)=a-1×0

(a-1×a)b=0

b=0

Если mod простой, то делителей нуля нет.

Делители нуля есть в кольцах матриц: =

Поля. Коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей называется полем, если для каждого ненулевого элемента есть обратный.

Наименьшим числовым полем является поле рациональных чисел. Q={x=p/q, pєZ, qєN}

Полями также являются действительные (R) и комплексные (С) числа.

Характеристикой поля называется такое натуральное наименьшее число nєN, что если l=1, то , если такого n не существует, то это поле характеристики 0 (бесконечное поле).

Числовое множество, в котором есть 1 и в котором выполнимы операции «+», «×» и «-», «:» кроме (:0) называется числовым полем.

Полями характеристики 0 являются числовые поля Q, R, C.

Z/p, p – простое число.

Множество классов вычетов по простому полю является полем характеристики p. Поле характеристики p – p различных элементов.

Простейшие свойства поля. Пусть a, b – элементы поля F и b0. Уравнение bx=a имеет в поле решение ab-1; легко проверить, что ab-1 является единственным решением уравнения. Элемент ab-1 обозначается символом a/b.

Теорема: пусть F= — поле. Тогда для любых элементов a, b, c поля:

1) если ab=1, то a0 и b=a-1;

2) если ac=bc b с0 , то a=b;

3) если ab=0, то a=0 или b=0;

4) если a0 и b0, то ab0;

5) a/b=c/d тогда и только тогда, когда ad=bc, b0 и d0;

6) a/b±c/d=(ad±bc)/bd;

7) a/b*c/d=ac/bd;

8) a/b+(-a)/b=0 и –(a/b)=-a/b;

9) если a0 и b0, то (a/b)-1=b/a;

10) ac/bc=a/b

Док-во 1-3:

1) если ab=1, то a0, т.к. при a=0 0*b=1 и 0=1, что в поле невозможно. Поскольку a0, существует элемент a-1, обратный a и b=(a-1a)b=a-1(ab)=a-11=a-1.

2) если ac=bc и c0, то в поле существует элемент с-1 и a=(ac)c-1=(bc)c-1=b, т.е. a=b.

3) из ab=0 следует a=0 или b=0. В самом деле, если a0, то существует элемент a-1 и b=(a-1a)b=a-1(ab)=a-10=0

Поле рациональных чисел. Полем рациональных чисел называется поле частных кольца целых чисел. Элементы поля рациональных чисел называются рациональными числами.

Из определения следует, что любое рациональное число можно представить в виде частного целых чисел. Отметим, что любое поле, изоморфное полю рациональных чисел, также является полем рациональных чисел.

Отношение порядка на множестве Q рациональных чисел вводится с помощью отношения порядка < на множестве Z целых чисел.

Отношение < на множестве Q рациональных чисел определяется следующим образом: для любых двух рациональных чисел p/q и r/s, где p, rZ и q, sN\{0}, p/q

Источник: https://helpiks.org/4-38427.html

Группы, кольца, поля в математике

Группы, кольца и поля.

Множество с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция в ассоциативна: ;

2) в существует нейтральный элемент ;

3) для каждого элемента существует обратный ему элемент .

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Относительно операции сложения группами являются множества . Относительно операции умножения группами являются множества и отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.

В группах по сложению нейтральный элемент называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент — противоположным . В группах по умножению нейтральный элемент называют единичным (или просто единицей) и обозначают , для обратного элемента название и обозначение сохраняется.

Пример В.4. Доказать, что множество , состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.

Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как .

Из этого равенства следует, что этот единственный элемент множества служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна: .

Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.

Пример В.5. Доказать, что множество , состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как

(B.1)

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент . Кроме того, каждый элемент имеет обратный: . Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.

Кольцо

Множество , на котором заданы две операции — сложение и умножение , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.

а) операция сложения коммутативна: ;

б) операция сложения ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ;

г) для каждого элемента существует противоположный ему элемент ;

2) операция умножения в множестве ассоциативна:

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

Если операция умножения коммутативна: , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент , то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве заданы две операции и . Операция называется дистрибутивной слева относительно операции , если для любых из справедливо равенство:

и дистрибутивной справа относительно операции , если для любых из справедливо равенство:

Если операция коммутативна, то дистрибутивность слева операции относительно операции влечет дистрибутивность справа, так как

В этом случае говорят, что операция дистрибутивна относительно операции . Например, операция умножения чисел дистрибутивна (слева и справа) относительно операции сложения чисел. Следующий пример показывает, что имеются операции с «односторонней» дистрибутивностью.

Пример В.6. Рассмотрим множество положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения и возведения в положительную степень . Доказать, что операция возведения в степень дистрибутивна справа относительно умножения, но не дистрибутивна слева.

Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел справедливы равенства

Следовательно, операция дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность слева относительно умножения опровергается примером

Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где и — целые числа, является кольцом:

(B.2)

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:

Числа , очевидно, целые для любых целых . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число . Для каждого числа l противоположным элементом является число , так как

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.

Поле: определение и примеры полей

Множество , на котором заданы две операции: сложение и умножение , называется полем, если выполняются следующие условия:

1) — коммутативное кольцо с единицей ;

2) для каждого элемента , отличного от нулевого , существует обратный элемент .

Как видим, поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Пример В.8. На множестве трех целых чисел определим две операции:

1) «сложение по модулю 3» — остаток от деления суммы на 3 (обозначим через );

2) «умножение по модулю 3» — остаток от деления произведения на 3 (обозначим через ).

Доказать, что множество является полем относительно введенных операций.

Решение. В этом примере остаток от деления целого числа на 3 будем обозначать через . Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:

– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:

Рассматриваемые в примере операции «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» можно представить в виде

и

а указанные свойства остатков записать так .

Перейдем теперь к решению задачи. Отметим, что введенные операции и определены на . Составим таблицы «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат . Следовательно, операции действительно определены на .

Таблица «сложения по модулю» . Таблица «умножения по модулю» .

Покажем, что множество является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция «сложения по модулю 3» коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства следует, что

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность «сложения по модулю 3» видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые и в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.

Из равенства следует, что

Ассоциативность «сложения по модулю 3» доказана.

Нулевым элементом служит число 0. По таблице «сложения по модулю 3» определяем, что для каждого элемента из имеется противоположный элемент . Действительно, по таблице «сложения по модулю 3» получаем

Итак, множество относительно операции «сложения по модулю 3» является коммутативной группой.

Операция «умножение по модулю 3» ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:

Проверим дистрибутивность:

Следовательно, операция «умножения по модулю 3» дистрибутивна слева относительно операции «сложения по модулю 3». Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.

Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице «умножения по модулю 3»). Следовательно, — коммутативное кольцо с единицей.

Осталось показать существование обратных элементов. Для любого , отличного от нуля, существует обратный элемент ; . В самом деле, по таблице «умножения по модулю 3» и . Таким образом, множество с введенными операциями является полем.

Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество с операциями «сложения по модулю » и «умножения по модулю » является полем для любого простого числа .

Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:

(B.3))

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:

Числа очевидно, рациональные для любых рациональных . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число . Для каждого числа противоположным элементом является число , так как

Единичным элементом служит число . В самом деле, для любого числа имеет место равенство:

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей . Осталось показать, что любое число , отличное от нулевого элемента , имеет обратный. В самом деле, учитывая, что

определим обратный элемент равенством . Тогда

Заметим, что знаменатель отличен от нуля для любых рациональных чисел и , не равных нулю одновременно. Действительно, равенство равносильно равенству , а это означает, что — рациональное число. Поскольку число — иррациональное, значит , т.е. обратный элемент существует для любого .

Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=gruppy-koltsa-polya-v-matematike

Biz-books
Добавить комментарий