Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды. Бахарева Ю.Н.

Н. Х. Ибрагимов, “Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к 150-летию со дня рождения Софуса Ли)”, УМН, 47:4(286) (1992), 83–144; Russian Math. Surveys, 47:4 (1992), 89–156

Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды. Бахарева Ю.Н.

Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к 150-летию со дня рождения Софуса Ли)

Аннотация: Настоящий обзор, написанный по случаю предстоящего 150-летия со дня рождения Софуса Ли, задуман как возможный вариант изложения групповых методов при чтении углубленного курса дифференциальных уравнений и представляет собой сильное расширение раздела “Групповой анализ” курса математической физики, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Подробно излагаются основные алгоритмы группового анализа и результаты Ли, а также некоторые примыкающие к ним новые результаты в математической физике.

Образец цитирования: Н. Х. Ибрагимов, “Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к 150-летию со дня рождения Софуса Ли)”, УМН, 47:4(286) (1992), 83–144; Russian Math. Surveys, 47:4 (1992), 89–156

\RBibitem{Ibr92}\by Н.~Х.~Ибрагимов\paper Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и~принцип инвариантности в~математической физике (к~150-летию со~дня рождения Софуса~Ли)\jour УМН\yr 1992\vol 47\issue 4(286)\pages 83–144\mathnet{http://mi.mathnet.ru/umn4541}\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1208883}\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0848.

34006}\adsnasa{http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?1992RuMaS..47…89I}\transl\jour Russian Math. Surveys\yr 1992\vol 47\issue 4\pages 89–156\crossref{https://doi.org/10.1070/RM1992v047n04ABEH000916}\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.

cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=A1992LK51700002}

  • http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v47/i4/p83
    ОТПРАВИТЬ:

    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations

    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

    1. G Gaeta, G Marmo,

      J Phys A Math Gen

      ,

      29

      :16 (1996), 5035          

    2. G Gaeta, M A Rodríguez,

      J Phys A Math Gen

      ,

      29

      :4 (1996), 859          

    3. G Ünal, “Symmetries, integrating factors and Nambu mechanics”,

      Physics Letters A

      ,

      223

      :5 (1996), 355    

    4. Chris Athorne,

      J Phys A Math Gen

      ,

      30

      :13 (1997), 4639        

    5. W. Hereman, “Review of symbolic software for lie symmetry analysis”,

      Mathematical and Computer Modelling

      ,

      25

      :8-9 (1997), 115  

    6. M.C. Nucci, “The role of symmetries in solving differential equations”,

      Mathematical and Computer Modelling

      ,

      25

      :8-9 (1997), 181  

    7. Giuseppe Gaeta, Niurka Rodr$iacute$guez Quintero,

      J Phys A Math Gen

      ,

      32

      :48 (1999), 8485          

    8. Edvige Pucci, Giuseppe Saccomandi, “On the reduction methods for ordinary differential equations”,

      J Phys A Math Gen

      ,

      35

      :29 (2002), 6145          

    9. Herve Gaussier, Joel Merker, “SYMMETRIES OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS”,

      Journal of the Korean Mathematical Society

      ,

      40

      :3 (2003), 517  

    10. Ю. Л. Гилуч, “Вещественный аналог преобразования Брайанта и рациональные интегральные кривые заданного распределения в $\mathbb{P}3$”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2005, № 6, 76–81      ; Yu. L. Giluch, “A real analogue of the Bryant transformation and rational integral curves of a given distribution in $\mathbb P3$”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      49

      :6 (2005), 72–77

    11. GIUSEPPE GAETA, ROSARIA MANCINELLI, “ASYMPTOTIC SCALING SYMMETRIES FOR NONLINEAR PDES”,

      Int. J. Geom. Methods Mod. Phys

      ,

      02

      :06 (2005), 1081  

    12. Joël Merker, “Characterization of the Newtonian Free Particle System in $m\geqslant 2$ Dependent Variables”,

      Acta Appl Math

      ,

      92

      :2 (2006), 125        

    13. José F. Cariñena, Janusz Grabowski, Giuseppe Marmo, “Superposition rules, lie theorem, and partial differential equations”,

      Reports on Mathematical Physics

      ,

      60

      :2 (2007), 237  

    14. Joël Merker, “Lie symmetries and CR geometry”,

      Journal of Mathematical Sciences (New York)

      ,

      154

      :6 (2008), 817      

    15. Tsaousi, C, “On linearization of hyperbolic equations using differential invariants”,

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      ,

      339

      :2 (2008), 762            

    16. R Naz, Fazal M Mahomed, David P Mason, “Symmetry Solutions of a Third-Order Ordinary Differential Equation which Arises from Prandtl Boundary Layer Equations”,

      Journal of Nonlinear Mathematical Physics

      ,

      15

      :sup1 (2008), 179  

    17. В. О. Лукащук, “Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром”,

      Уфимск. матем. журн.

      ,

      1

      :3 (2009), 97–110      

    18. Небогатиков Н.М., “К проблеме иерархических цепочек эволюционных уравнений”,

      Вестн. Удмуртского ун-та

      , 2009, № 4-1, 94–104  

    19. Миронов А.Н., “Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка”,

      Дифференц. уравнения

      ,

      45

      :8 (2009), 1144–1149      ; Mironov A.N., “On the Laplace invariants of a fourth-order equation”,

      Differ. Equ.

      ,

      45

      :8 (2009), 1168–1173          

    20. Р. К. Газизов, В. О. Лукащук, “Подобие приближенных групп преобразований”,

      Сиб. матем. журн.

      ,

      51

      :1 (2010), 3–15      ; R. K. Gazizov, V. O. Lukashchuk, “Similarity of approximate transformation groups”,

      Siberian Math. J.

      ,

      51

      :1 (2010), 1–11      

    21. Ismagil Habibullin, Natalya Zheltukhina, Alfia Sakieva, “On Darboux-integrable semi-discrete chains”,

      J Phys A Math Theor

      ,

      43

      :43 (2010), 434017  

    22. Roman Cherniha, Sergii Kovalenko, “Lie symmetries and reductions of multi-dimensional boundary value problems of the Stefan type”,

      J. Phys. A: Math. Theor

      ,

      44

      :48 (2011), 485202  

    23. V.A. Dorodnitsyn, N.H. Ibragimov, “An extension of the Noether theorem: accompanying equations possessing conservation laws”,

      Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

      , 2013  

    24. Samuel Paolucci, Z.J.. Zikoski, “Free convective flow from a heated vertical wall immersed in a thermally stratified environment”,

      International Journal of Heat and Mass Transfer

      ,

      67

      (2013), 1062  

    25. А. Н. Миронов, “Некоторые классы уравнений Бианки третьего порядка”,

      Матем. заметки

      ,

      94

      :3 (2013), 389–400          ; A. N. Mironov, “Classes of Bianchi Equations of Third Order”,

      Math. Notes

      ,

      94

      :3 (2013), 369–378      

    26. Kyriakos Christodoulides, “Field theoretical Lie symmetry analysis: The Möbius group, exact solutions of conformal autonomous systems, and predictive model-building”,

      Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

      , 2014  

    27. N.M. Ryskin, “Lie symmetry analysis of electron–electromagnetic wave interaction under condition of the anomalous Doppler effect”,

      Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

      , 2014  

    28. А. Н. Миронов, Л. Б. Миронова, “Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2014, № 10, 27–34  ; A. N. Mironov, L. B. Mironova, “Laplace invariants for fourth-order equation with two independent variables”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      58

      :10 (2014), 22–28  

    29. V.M. Boyko, R.O. Popovych, N.M. Shapoval, “Equivalence groupoids of classes of linear ordinary differential equations and their group classification”,

      J. Phys.: Conf. Ser

      ,

      621

      (2015), 012002  

    30. Christina Tsaousi, Rita Tracinà, Christodoulos Sophocleous, “Laplace type invariants for variable coefficient mKdV equations”,

      J. Phys.: Conf. Ser

      ,

      621

      (2015), 012015  

    31. А. Н. Миронов, Л. Б. Миронова, “Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными”,

      Матем. заметки

      ,

      99

      :1 (2016), 89–96        ; A. N. Mironov, L. B. Mironova, “On Laplace Invariants for Equations with Dominating Third-Order Partial Derivative and Two Independent Variables”,

      Math. Notes

      ,

      99

      :1 (2016), 110–115    

    32. М. С. Елаева, М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева, “Взаимодействие слабых разрывов и метод годографа для задачи о фракционировании двухкомпонентной смеси электрическим пoлeм”,

      Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

      ,

      56

      :8 (2016), 1455–1469      ; M. S. Elaeva, M. Yu. Zhukov, E. V. Shiryaeva, “Interaction of weak discontinuities and the hodograph method as applied to electric field fractionation of a two-component mixture”,

      Comput. Math. Math. Phys.

      ,

      56

      :8 (2016), 1440–1453    

    33. А. В. Аксенов, “Симметрии фундаментальных решений и их приложение в механике сплошной среды”,

      Современные проблемы и методы механики

      , Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Леонида Ивановича Седова, Тр. МИАН,

      300

      , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 7–18      ; A. V. Aksenov, “Symmetries of fundamental solutions and their application in continuum mechanics”,

      Proc. Steklov Inst. Math.

      ,

      300

      (2018), 1–12    

    34. А. А. Гайнетдинова, “Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, допускающих приближенные алгебры Ли”,

      Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки

      ,

      28

      :2 (2018), 143–160      

    35. Perepelkin E.E. Kovalenko A.D. Tarelkin A.A. Polyakova R.V. Sadovnikov B.I. Inozemtseva N.G. Sysoev P.N. Sadovnikova M.B., “Simulation of Magnetic Systems in the Domain With a Corner”,

      Phys. Part. Nuclei

      ,

      50

      :3 (2019), 341–394    

  • Источник: http://www.mathnet.ru/rm4541

    Н.Х.Ибрагимов. Групповой анализ диф.уравнений

    Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды. Бахарева Ю.Н.

     
    705 Кб
     

    АЗБУКА ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
     
    Введение3
    §1.Однопараметрические группы преобразований4
    §2.Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями14
    §3.Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу24
    §4.Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений34
    §5.Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения39
    §6.Короткое отступление о группе Галуа42
    Литература 44

    ВВЕДЕНИЕ

    Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842–1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп.

    Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения.

    Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.

    Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958–1962 гг.

    , что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики.

    Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]).

    Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.

    К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа.

    Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания.

    Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.

    Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника.

    При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И.

     Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.

    При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона — одного из бывших слушателей лекций С. Ли.

     
    797 Кб
     

    ОПЫТ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
     
    Предисловие3

    Глава первая

    . Исходные понятия и алгоритмы

    3

    Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли

    Глава вторая

    . Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу

    12

    Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах

    Глава третья

    . Групповая классификация уравнений второго порядка

    21

    Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Заключительные замечания

    Глава четвертая

    . Инвариантные решения

    28

    Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих 3-мерную алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана

    Литература42
    Приложение 43

    ПРЕДИСЛОВИЕ

    Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла — дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений.

    Я по-прежнему стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём.

    Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.

    Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов.

    Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп.

    Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.

    Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.

    ЛИТЕРАТУРА,

    которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.

    1. Э.Л.Айнс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: ОНТИ, 1939. — Гл. IV. — С. 127–153.
    2. В.А.Байков, Р.К.Газизов, Н.X.Ибрагимов.

      Приближённые симметрии // Матем. сб. — 1988. — Т. 136. — Вып. 4. — С. 435–450.

    3. В.А.Галактионов, В.А.Дородницын, Г.Г.Еленин, С.П.Курдюмов, А.А.Самарский. Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 28.

      — С. 95–205.

    4. Э.Гурса. Курс математического анализа. — М.—Л.: ГТТИ, 1933. — Т. II. — Ч. II. гл. XIX. — Разд. IV. — С. 92–104.
    5. L.E.Dickson. Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. — 1924. — V. 25. — P. 287–378. назад к тексту
    6. В.А.Дородницын, Г.Г.Еленин. Симметрия в решениях уравнений математической физики. — М.: Знание, 1984.

      — 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988. — С. 123–191.

    7. Н.X.Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.— 280 с. назад к тексту
    8. S.Lie. Vorlesungen über continuierliche Gruppen. — Leipzig: Teubner, 1893. — 805 c. назад к тексту
    9. Л.В.Овсянников.

      1. Групповые свойства дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 240 с.
      2. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.
      3. назад к тексту

    10. Л.В.Овсянников, Н.X.Ибрагимов. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. — С.

       5–52. назад к тексту

    11. Е.М.Полищук. Софус Ли. — Л.: Наука, 1983. — 214 с.
    12. Н.Г.Чеботарев. Теория групп Ли. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1940. — 396 с.

    Добавлю сюда ещё одну книгу — П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М.

    , Мир, 1989), — которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка. — E.G.A.

    Источник: http://ega-math.narod.ru/Books/Groups.htm

    Biz-books
    Добавить комментарий