Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А.

Элементы ТФКП

Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А.

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е.А. Турилова

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Печатается по решению секции научно-методического совета КГУ

В учебном пособии достаточно кратко (но полно) излагаются основные понятия теории функций комплексного переменного в объеме, предусмотренном программой по курсу математического анализа для студентов факультета ВМК.

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

1. Комплексным числом z называется выражение вида z = x + {y, где x; y 2 R (здесь { – так называемая мнимая единица, {2 = ¡1). При этом x = Rez – действительная, а y = Imz – мнимая часть числа z.

Два комплексных числа z1 = x1 + {y1 и z2 = x2 + {y2 называются равными, если x1 = x2; y1 = y2. Число z = x ¡ {y называется сопряженным к z = x + {y. Число

¸z = (¸x) + {(¸y).

Всякое комплексное число z = x + {y можно отождествить с точкой (x; y) 2 R2. В этом случае о плоскости R2 мы будем говорить как о комплексной плоскости C.

Для z = x + {y 6= 0 можно рассмотреть модуль z jzj = px2 + y2 и аргумент z Arg z – угол между радиус-вектором точки (x; y) и положительным направлением действительной оси. Arg z определен неоднозначно. Среди множества значений Arg z существует единственный угол ' 2 (¡¼; ¼]. Этот угол будем называть главным значением аргумента и обозначать arg z.

Выражение z = x + {y – алгебраическая форма комплексного числа.

Величины r = jzj и ' = arg z можно рассматривать как полярные координаты точки (x; y). Тогда x = r cos '; y = r sin ' и

z = x + {y = r(cos ' + { sin ')¡

тригонометрическая форма комплексного числа. Используя формулу Л.Эйлера

e{' = cos ' + { sin ';

получаем

z = re{'¡

показательная форма комплексного числа.

В этом случае e{0 = 1; e{' ¢e{Ã = e{('+Ã); e{('+2¼k) = e{' (k 2 Z); e¡{' = e1{' ; je{'j = 1.

2. Пусть z1 = x1 + {y1 и z2 = x2 + {y2. Рассмотрим следующие операции над комплексными числами z1 и z2:

– сложение

z1 + z2 = (x1 + x2) + {(y1 + y2);

– вычитание

z1 + z2 = (x1 ¡ x2) + {(y1 ¡ y2);

– умножение

z1 ¢ z2 = (x1 + {y1) ¢ (x2 + {y2) = (x1x2 ¡ y1y2) + {(x1y2 + x2y1);

– деление¢ z2
z1=z1:
z2z2¢ z2

Некоторые действия с комплексными числами удобно производить, записав числа в тригонометрической форме. Пусть z1 = r1(cos '1 + { sin '1); z2 = r2(cos '2 + { sin '2): Тогда

z1 ¢ z2 = r1 ¢ r2 (cos('1 + '2) + { sin('1 + '2))

(модули комплексных чисел умножаются, а аргументы складываются). Отсюда легко получить формулу Муавра для z = r(cos ' + { sin ')

– возведение в степень

zn = rn(cos n' + { sin n'):

– извлечение корня: корнем n¡ой степени из комплексного числа z называет-

ся комплексное число w, такое что wn = z (тогда w = pz). Если z = r(cos ' +

n

{ sin '); w = ½(cos µ + { sin µ) и z = wn, то

r(cos ' + { sin ') = ½n(cos nµ + { sin nµ):

Следовательно,n ;0 · k · n ¡ 1;
½ = pr; µ = n +
n'2¼k
то естьpr Ãcos! ; 0 · k · n ¡ 1:
wk = (pz)k =n+ { sinn
nn' + 2¼k' + 2¼k

Примеры.

1. Пусть z = (1 + p3{): Требуется вычислить z9.

Представим z в тригонометрической форме: r = jzj = p1 + 3 = 2; arg z = ¼=3, следовательно,

z = 2(cos ¼=3 + { sin ¼=3:

Тогда

z9 = 29(cos 3¼ + { sin 3¼) = ¡512:

2. Пусть z1 = 1 + 3{; z2 = 2 + {. Требуется вычислить z1 : z2.

z1=1 + 3{=(1 + 3{)(2 ¡ {)=2 + 6{ ¡ { + 3=5 +5{= 1 + {:
z22 + {(2 + {)(2 ¡ {)4 ¡ {25
3. Пусть z = ¡1. Требуется вычислить p.
z

Представим число z = ¡1 в тригонометрической форме: ¡1 = 1(cos ¼ + { sin ¼).

Тогда= pÃcos! ;
wk = p¼ + 2¼k+ { sin¼ + 2¼k0 · k · 1;
1
z
22
то есть= p1µcos 2+ { sin 2= p1µcos3232= ¡{:
w0= {; w1+ { sin
¼¼¼¼

Таким образом над полем комплексных чисел существует два квадратных корня из числа ¡1 : { и ¡{.

§2. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

Пусть C – комплексная плоскость. Определим функцию ½ :C! R:

q

½(z1; z2) = jz1 ¡ z2j = (x1 ¡ x2)2 + (y1 ¡ y2)2; 8z1 = x1 + {y1; z2 = x2 + {y2:

Очевидно, что функция ½, называемая метрикой в C, обладает 8 z1; z2; z3 2 C следующими свойствами:

1: ½(z1; z2) ¸ 0; ½(z1; z2) = 0 , z1 = z2; 2:½(z1; z2) = ½(z2; z1);

3:½(z1; z2) · ½(z1; z3) + ½(z3; z2):

“¡ окрестностью точки z0 называется множество вида

B”(z0) = fz 2 Cj ½(z; z0) < " g:

Пусть E ½ C. Точка z0 2 C называется предельной точкой множества E (соответственно, точкой прикосновения множества E), если

8″ > 0 (B”(z0)nfz0g) \ E =6 ;

(соответственно,

8″ > 0 B”(z0) \ E 6= ;:)

Множество E ½ C называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Множество E ½ C называется ограниченным, если

9 M > 0 8 z 2 E (½(z; 0) = jzj · M):

Теорема Больцано-Вейерштрасса.Всякое бесконечное ограниченное множество в C имеет хотя бы одну предельную точку.

§3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1. Пусть fzng µ C – последовательность комплексных чисел. Число z0 называется

пределом последовательности fzng, если

8 ” > 0 9 N 2 N 8 n > N (jzn ¡ z0j < "):
(Обозначения:z0=lim zn илиzn !z0(n! 1).)
n

2.Предложение. zn ! z0 () xn ! x0; yn ! y0; (n ! 1):

(здесь zn = xn + {yn; z0 = x0 + {y0.)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть zn ! z0. Тогда jzn ¡ z0j ! 0 (n ! 1). Имеем:

q

0 · jxn ¡ x0j · (xn ¡ x0)2 + (yn ¡ y0)2 = jzn ¡ z0j ! 0:

Следовательно, xn ! x0 (n ! 1). Аналогично, yn ! y0 (n ! 1).

Достаточность. Пусть xn ! x0 yn ! y0 (n ! 1). Тогда

jzn ¡ z0j2 = (xn ¡ x0)2 + (yn ¡ y0)2 ! 0 (n ! 1): ?

Таким образом, все правила вычисления пределов вещественных последовательностей переносятся на случай комплексных последовательностей.

3. Критерий Коши. Последовательность fzng сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, то есть

8 ” > 0 9 N 2 N 8 n > N 8 p 2 N (½(zn+p; zn) = jzn+p ¡ znj < "):

§4. ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

1. Пусть E µ C. Рассмотрим отображение f : E ! C, w = f(z)¡ функция комплексного переменного. Задание этой функции равносильно заданию двух функций u; v : R2 ! R. При этом u = Ref; v = Imf; f(z) = u(x; y) + {v(x; y) для z = x + {y.

Функция f(z) называется однолистной на множестве E, если

8 z1; z2 2 E z1 =6 z2 =) f(z1) =6 f(z2):

2. Пусть f : E ! C (E µ C); z0¡ предельная точка множества E. Для любой последовательности fzng µ E можно рассмотреть последовательность ff(zn)g.

Определение. Число ® 2 C называется пределом функции f(z) в точке z0, если f(zn) ! ® для любой последовательности fzng µ E, такой что zn ! z0 (zn =6 z0) или

8 ” > 0 9 ± > 0 8 z 2 E (0 < jz ¡ z0j < ± =) jf(z) ¡ ®j < "):

3. Предложение. Пусть f(z) = u(x; y) + {v(x; y). Существование lim f(z) рав-
носильно двум предельным соотношениям:z!z0
lim u(x; y) = a;lim v(x; y) = b;
(x;y)!(x0;y0)(x;y)!(x0;y0)

(здесь z0 = x0 + {y0; ® = a + {b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть lim f(z), то есть

z!z0

8 ” > 0 9 ± > 0 8 z 2 E (0 < jz ¡ z0j < ± =) jf(z) ¡ ®j < "):

Пусть z = x + {y таково, что jz ¡ z0j < ±. Тогда k(x; y) ¡ (x0; y0)k < ±. В этом случае ju(x; y)¡aj = jRe(f(z)¡®)j · jf(z)¡®j < "; jv(x; y)¡bj = jIm(f(z)¡®)j · jf(z)¡®j < ":

Достаточность. Пусть ” > 0 – произвольно. Тогда

9± > 08(x; y) (0

Источник: https://studfile.net/preview/1715184/

1 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Турилова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Казань – 2009 Печатается по решению секции научно-методического

Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А.

Книги по всем темам КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А.

Турилова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Казань – 2009 Печатается по решению секции научно-методического совета КГУ В учебном пособии достаточно кратко (но полно) излагаются основные понятия теории функций комплексного переменного в объеме, предусмотренном программой по курсу математического анализа для студентов факультета ВМК.

1 §1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 1. Комплексным числом z называется выражение вида z = x + y, где x, y R (здесь – так называемая мнимая единица, 2 = -1). При этом x = Rez – действительная, а y = Imz – мнимая часть числа z.

Два комплексных числа z1 = x1 + y1 и z2 = x2 + y2 называются равными, если x1 = x2, y1 = y2. Число z = x – y называется сопряженным к z = x + y. Число z = (x) + (y).

Всякое комплексное число z = x + y можно отождествить с точкой (x, y) R2.

В этом случае о плоскости R2 мы будем говорить как о комплексной плоскости C.

Для z = x + y = 0 можно рассмотреть модуль z |z| = x2 + y2 и аргумент z Arg z – угол между радиус-вектором точки (x, y) и положительным направлением действительной оси. Arg z определен неоднозначно. Среди множества значений Arg z существует единственный угол (-; ]. Этот угол будем называть главным значением аргумента и обозначать arg z.

Выражение z = x + y – алгебраическая форма комплексного числа.

Величины r = |z| и = arg z можно рассматривать как полярные координаты точки (x, y). Тогда x = r cos, y = r sin и z = x + y = r(cos + sin )тригонометрическая форма комплексного числа.

Используя формулу Л.Эйлера e = cos + sin, получаем z = reпоказательная форма комплексного числа.

1 В этом случае e0 = 1, e · e = e(+), e(+2k) = e (k Z), e- =, |e| = 1.

e 2. Пусть z1 = x1 + y1 и z2 = x2 + y2. Рассмотрим следующие операции над комплексными числами z1 и z2:

2 – сложение z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2);

– вычитание z1 + z2 = (x1 – x2) + (y1 – y2);

– умножение z1 · z2 = (x1 + y1) · (x2 + y2) = (x1x2 – y1y2) + (x1y2 + x2y1);

– деление z1 z1 · z=.

z2 z2 · zНекоторые действия с комплексными числами удобно производить, записав числа в тригонометрической форме. Пусть z1 = r1(cos 1 + sin 1), z2 = r2(cos 2 + sin 2).

Тогда z1 · z2 = r1 · r2 (cos(1 + 2) + sin(1 + 2)) (модули комплексных чисел умножаются, а аргументы складываются).

Отсюда легко получить формулу Муавра для z = r(cos + sin ) – возведение в степень zn = rn(cos n + sin n).

– извлечение корня: корнем n-ой степени из комплексного числа z называет n ся комплексное число w, такое что wn = z (тогда w = z). Если z = r(cos + sin ), w = (cos + sin ) и z = wn, то r(cos + sin ) = n(cos n + sin n).

Следовательно, 2k n = r, = +, 0 k n – 1, n n то есть + 2k + 2k n n wk = ( z)k = r cos + sin, 0 k n – 1.

n n Примеры.

1. Пусть z = (1 + 3). Требуется вычислить z9.

Представим z в тригонометрической форме: r = |z| = 1 + 3 = 2, arg z = /3, следовательно, z = 2(cos /3 + sin /3.

Тогда z9 = 29(cos 3 + sin 3) = -512.

2. Пусть z1 = 1 + 3, z2 = 2 +. Требуется вычислить z1 : z2.

z1 1 + 3 (1 + 3)(2 – ) 2 + 6 – + 3 5 + = = = = = 1 +.

z2 2 + (2 + )(2 – ) 4 – 2 3. Пусть z = -1. Требуется вычислить z.

Представим число z = -1 в тригонометрической форме: -1 = 1(cos + sin ).

Тогда + 2k + 2k wk = z = 1 cos + sin, 0 k 1, 2 то есть 3 w0 = 1 cos + sin =, w1 = 1 cos + sin = -.

2 2 2 Таким образом над полем комплексных чисел существует два квадратных корня из числа -1 : и -.

§2. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Пусть C – комплексная плоскость. Определим функцию :C R:

(z1, z2) = |z1 – z2| = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2, z1 = x1 + y1, z2 = x2 + y2.

Очевидно, что функция, называемая метрикой в C, обладает z1, z2, z3 C следующими свойствами:

1. (z1, z2) 0, (z1, z2) = 0 z1 = z2;

2.(z1, z2) = (z2, z1);

3.(z1, z2) (z1, z3) + (z3, z2).

– окрестностью точки z0 называется множество вида B(z0) = {z C | (z, z0) < }.

Пусть E C. Точка z0 C называется предельной точкой множества E (соответственно, точкой прикосновения множества E), если > 0 (B(z0)\{z0}) E = (соответственно, > 0 B(z0) E =.) Множество E C называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Множество E C называется ограниченным, если M > 0 z E ((z, 0) = |z| M).

Теорема Больцано-Вейерштрасса.Всякое бесконечное ограниченное множество в C имеет хотя бы одну предельную точку.

§3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Пусть {zn} C – последовательность комплексных чисел. Число z0 называется пределом последовательности {zn}, если > 0 N N n > N (|zn – z0| < ).

(Обозначения: z0 = lim zn или zn z0 (n ).) n 2. Предложение. zn z0 xn x0, yn y0, (n ).

(здесь zn = xn + yn, z0 = x0 + y0.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть zn z0. Тогда |zn – z0| 0 (n ). Имеем:

0 |xn – x0| (xn – x0)2 + (yn – y0)2 = |zn – z0| 0.

Следовательно, xn x0 (n ). Аналогично, yn y0 (n ).

Достаточность. Пусть xn x0 yn y0 (n ). Тогда |zn – z0|2 = (xn – x0)2 + (yn – y0)2 0 (n ).

Таким образом, все правила вычисления пределов вещественных последовательностей переносятся на случай комплексных последовательностей.

3. Критерий Коши. Последовательность {zn} сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, то есть > 0 N N n > N p N ((zn+p, zn) = |zn+p – zn| < ).

§4. ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1. Пусть E C. Рассмотрим отображение f : E C, w = f(z)- функция комплексного переменного. Задание этой функции равносильно заданию двух функций u, v : R2 R. При этом u = Ref, v = Imf, f(z) = u(x, y) + v(x, y) для z = x + y.

Функция f(z) называется однолистной на множестве E, если z1, z2 E z1 = z2 = f(z1) = f(z2).

2. Пусть f : E C (E C), z0- предельная точка множества E. Для любой последовательности {zn} E можно рассмотреть последовательность {f(zn)}.

Определение. Число C называется пределом функции f(z) в точке z0, если f(zn) для любой последовательности {zn} E, такой что zn z0 (zn = z0) или > 0 > 0 z E (0 < |z - z0| < = |f(z) - | < ).

3. Предложение. Пусть f(z) = u(x, y) + v(x, y). Существование lim f(z) равzzносильно двум предельным соотношениям:

lim u(x, y) = a, lim v(x, y) = b;

(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0) (здесь z0 = x0 + y0, = a + b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть lim f(z), то есть zz > 0 > 0 z E (0 < |z - z0| < = |f(z) - | < ).

Пусть z = x + y таково, что |z – z0|

Достаточность. Пусть > 0 – произвольно. Тогда > 0 (x, y) (0 < (x, y)-(x0, y0) < = |u(x, y)-a| < ; |v(x, y)-b| < ).

2 В этом случае для z = x + y при 0 < |z - z0| < имеем |f(z) - | = (u(x, y) - a)2 + (v(x, y) - b)2

Таким образом, все правила вычисления пределов функций двух переменных переносятся на комплексный случай.

4. Функция f : E C (E C) называется непрерывной в точке z0 E, если для любой последовательности {zn} E zn z0 = f(zn) f(z0) (n ).

Если z0 E – предельная точка, то функция f непрерывна в z0 тогда и только тогда, когда lim f(z) = f(z0).

zzЕсли z0- изолированная точка множества E, то всякая функция непрерывна в этой точке.

Непрерывность функции f(z) = u(x, y)+v(x, y) в точке z0 = x0+y0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).

§5. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ Отрезок [, ] будем считать ориентированным, если указано, что – начало, а – конец отрезка.

Путем в C называется образ ориентированного отрезка при некотором непрерывном отображении, то есть множество вида {z C | z = z(t), t }, где функция z(t) – непрерывна на [, ].

Одна и та же точка плоскости может изображать несколько точек пути. В этом случае говорят о путях с самопересечениями.

Путь называется жордановым, если он не имеет точек самопересечения.

Путь z(t) = x(t) + y(t) называется гладким, если x(t), y(t) – непрерывно дифференцируемы и x (t) + y (t) = 0 t [, ].

Множество E C называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывным путем в этой области.

Областью называется открытое связное множество.

Если зафиксировать область G C, то все точки комплексной плоскости можно разделить на три группы: собственно точки области, которые иногда называют внутренними (каждая лежит в области вместе с некоторой окрестностью), внешние точки (хотя бы одна из окрестностей таких точек имеет пустое пересечение с областью) и граничные точки (в каждой окрестности таких точек есть точки, входящие в область G, и точки, не входящие в G). Множество граничных точек G называется границей области G (обозначается G).

Связное замкнутое множество называется континуумом.

В дальнейшем мы будем рассматривать только области, границы которых являются континуумами. При этом область G называется односвязной, если граница области – один континуум. В противном случае область называется многосвязной, а количество континуумов, образующих границу, определяет порядок связности.

Примеры. 1. Круг {z C | |z – z0| < R} - односвязная область.

2. Кольцо {z C | r < |z - z0| < R} - двусвязная область.

3. Комплексная плоскость с n “дырками n-связная область.

§6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА 1. Пусть G – область в C, f : G C, w = f(z) = u(x, y) + v(x, y). Функция f называется R-дифференцируемой в точке z0 = x0 + y0 G, если функции u и v дифференцируемы в точке (x0, y0) как функции двух переменных.

2. Функция f : G C называется C-дифференцируемой в точке z0 G, если существует f(z0 + z) – f(z0) lim.

z z Этот предел называется производной функции f в точке z0 и обозначается f (z0).

3. Условия Коши-Римана. Пусть f : G C, w = f(z) = u(x, y) + v(x, y).

Функция f C-дифференцируема в точке z0 = x0 + y0 тогда и только тогда, когда f R-дифференцируема в точке z0 и выполнены условия (Коши-Римана):

u v (x0, y0) = (x0, y0);

x y u v (x0, y0) = – (x0, y0).

y x Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция f C-дифференцируема в точке z0 = x0 + y0. Тогда w = f(z0 + z) – f(z0) = f (z0) z + (z0, z) z, где 0 при z 0. Пусть f (z0) = a + b. Тогда u(x0 + x, y0 + y) – u(x0, y0) + (v(x0 + x, y0 + y) – v(x0, y0)) = = (a + b) · ( x + y) + (1 + 2) · ( x + y).

Приравнивая действительные и мнимые части равенства, получаем:

u(x0, y0) = a x – b y + 1 x – 2 y, v(x0, y0) = b x + a y + 2 x + 1 y, где 1, 2 0 при x, y 0. Таким образом, функции u и v дифференцируемы в точке (x0, y0) как функции двух переменных, а значит u v a = (x0, y0) = (x0, y0);

x y u v b = – (x0, y0) = (x0, y0).

y x Достаточность. Пусть функции u, v R-дифференцируемы в точке (x0, y0) и выu v полнены условия Коши-Римана. Пусть A = (x0, y0), B = (x0, y0). С учетом x x условий Коши-Римана, u(x0, y0) = A x – B y + · ( x)2 + ( y)2, 0 при(x, y) (x0, y0), v(x0, y0) = B x + A y + · ( x)2 + ( y)2, 0 при(x, y) (x0, y0).

Тогда w = u + v = A( x + y) + B( x – y) + ( + ) · ( x)2 + ( y)2 = = (A + B) · ( x + y) + o(|z|), при z 0.

Следовательно, функция f C-дифференцируема в точке z0.

4. Замечания.

1) Имеют место следующие равенства:

u v u u v u v v f (z0) = + = – = – = +.

x x x y y y y x 2) Проверку условий Коши-Римана можно осуществлять и в полярных координатах. Пусть z = x + y, x = r cos, y = r sin. Тогда z = re. Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

u v r · =, r u v = -r ·.

r 5. Примеры.

1) Пусть f(z) = z2 = x2 – y2 + · 2xy. Тогда u = x2 – y2, v = 2xy, поэтому u u v v = 2x, = -2y, = 2y, = 2x.

x y x y Следовательно, условия Коши-Римана выполнены, а значит функция C-дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости.

2) Пусть f(z) = zm, где m > 2 – целое. Для z = re имеем:

f(z) = rmem = rm cos m + rm sin m.

В этом случае u u = m · rm-1 cos m, = -m · rm sin m, r v v = m · rm-1 sin m, = m · rm cos m.

r Следовательно, выполняются условия Коши-Римана в полярных координатах, а значит функция C-дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости. При этом f (z) = m · zm-1.

6. Функция f(z), C-дифференцируемая в точке z0 вместе с каждой точкой некоторой окрестности z0, называется голоморфной в точке z0. Если функция f(z) голоморфна в каждой точке некоторой области D, то f(z) называется голоморфной в области D.

§7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Степенная функция w = zn (n N) Степенная функция определяется формулой zn = z · z · · · z.

n Если z = r · e, w = · e, то = rn, = n. (Таким образом, рассматриваемое отображение увеличивает в n раз раствор угла с вершиной в начале координат.) Функция непрерывна во всех точках z C. Кроме этого функция аналитична в C и dw = n · zn-1 = 0 z = 0.

dz Также степенная функция является однозначной, но не является однолистной в 2k C. Действительно, пусть z1, z2 C\{0} такие, что |z1| = |z2|, arg z1 = arg z2 +, k n n n Z. Тогда z1 = z2.

Для многолистных функций принято выделять области однолистности. Для степенной функции областью однолистности будет любая область, целиком лежащая внутри угла величиной с центром в начале координат. В частности, внутренность n любого угла < < +, R n является областью однолистности степенной функциии отображается с помощью этой функции на всю комплексную плоскость с выброшенным лучом.

2k Таким образом, с помощью лучей = +, 0 k n – 1 всю плоскость z n можно разбить на n областей однолистности степенной функции. Пусть = 0.

Тогда такими областями являются внутренности углов 2k 2k + <

Рассмотрим первый угол 0 <

n Таким образом мы изготавливаем n экземпляров плоскости w с разрезами вдоль положительной части действительной оси, которые являются образами бесконечных секторов (1). Устанавливаем эти плоскости одна над другой и “склеиваем”с сохранением биективности и непрерывности.

При этом “нижний берег”разреза первого листа “склеиваем”с “верхним берегом”разреза второго, “нижний берег”разреза второго листа с “верхним берегом”разреза третьего и т. д. В последнюю очередь производится склейка “верхнего берега”первого и “нижнего берега”последнего листа. Полученный образ – риманова поверхность функции w = zn.

n 2. Функция w = z (n N) Для числа z = r · e, z = 0 определены n значений корня n-ой степени из числа z. Рассмотрим n f0(z) = r · e/n, fk(z) = f0(z) · e2k/n, 1 k n – 1.

2k 2k+Очевидно, что точки fk(z) по одной расположены в областях

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/10870-1.php

Biz-books
Добавить комментарий