Доменная структура ферромагнетика. Ильичева Е.Н

Ферромагнетики и доменная структура

Доменная структура ферромагнетика. Ильичева Е.Н

Ферромагнетизмом обладают вещества только в кристаллическом состоянии. К числу ярких представителей ферромагнетиков относят: железо, никель, кобальт, соединения марганца и хрома и ряд других. Ферромагнетики относят к сильномагнитным веществам.

Их намагниченность зависит от напряжённости внешнего поля нелинейно и достигает насыщения. В связи с этим для ферромагнетиков магнитная восприимчивость ($\varkappa $) и магнитная проницаемость ($\mu $) не являются постоянными.

По – прежнему записывают, что:

\[\overrightarrow{J}=\varkappa \overrightarrow{H}\ и\ \overrightarrow{B}=\mu {\mu }_0\overrightarrow{H}\left(1\right),\]

но тогда $\mu \ и\ \varkappa $ рассматривают как функции от напряженности поля.

Эти функции сначала растут при росте напряженности поля, проходят через максимум, в сильных полях, когда достигнуто насыщение, магнитная проницаемость стремится к единице, а магнитная восприимчивость к нулю. Значение $\mu $ в максимуме достигает для большинства ферромагнетиков при обычных температурах сотни тысяч единиц.

Монокристаллы ферромагнетиков анизотропны относительно магнитных свойств. В каждом монокристалле существует одно или несколько направлений, вдоль которых магнитная восприимчивость особенно большая. Существуют направления, в которых кристалл плохо намагничивается. Надо отметить, что если ферромагнитное вещество состоит из мелких поликристаллов, то оно изотропно.

Следующая характерная особенность ферромагнетиков состоит в том, что зависимости $\overrightarrow{B\ }(\overrightarrow{H})$ и $\overrightarrow{J\ }(\overrightarrow{H})$ не однозначны, а определены предшествующей историей. То есть ферромагнетикам присущ магнитный гистерезис.

Для ферромагнетиков существует определенная температура при переходе через которую вещество совершает фазовый переход второго рода. Такая температура называется температурой Кюри ($T_k$) (или точкой Кюри).

Вещество при температуре ниже точки Кюри является ферромагнетиком, а при температуре выше точки Кюри становится парамагнетиком.

При этом магнитная восприимчивость в окрестности очки Кюри подчиняется закону Кюри — Вейса:

\[\varkappa =\frac{С}{T-T_k}\left(2\right),\]

где $С$ — постоянная зависящая от рода вещества.

Доменная структура ферромагнетика

Экспериментально было получено Эйнштейном, что ферромагнетизм вызван спинами электронов. Ферромагнетики имеют спонтанную намагниченность, когда нет внешнего поля, но под воздействие внутренних причин спины электронов стремятся ориентироваться в одном общем направлении. Но всему ферромагнетику целиком быть намагниченным энергетически не выгодно.

Первая количественная теория, описывавшая свойства ферромагнетиков была разработана Вейссом в 1907 г. На первый взгляд в его теории спонтанное намагничивание находится в противоречии с фактом, что даже при температуре ниже точки Кюри некоторые ферромагнетики, обычно не намагничены, хотя существуют и постоянные магниты.

Вейсс устранил это противоречие, когда ввел гипотезу о том, что ферромагнетики ниже точки Кюри в магнитном отношении распадаются на множество маленьких макроскопических областей. Каждая область спонтанно намагничена. Такие области называются доменами. В обычных условиях направления доменов хаотичны. Тело в целом является не намагниченным.

При включении внешнего поля домены, ориентированные по полю растут за счет доменов, которые ориентированы против поля, идет смещение границ доменов. В слабых полях такое смещение обратимо. В сильных полях домены переориентируются в пределах всего домена.

Процесс приобретает необратимый характер, возникает явление гистерезиса и остаточное намагничивание.

Доменный «распад» энергетически выгоден. При дроблении ферромагнетика на домены и появлении доменов разной ориентации магнитное поле, которое порождаемое ферромагнетиком ослабляется. Становится меньше соответствующая энергия.

Энергия обменного взаимодействия электронов не изменяется для всех электронов за исключением электронов на границах доменов (так называемая поверхностная энергия). Она растет из-за разной ориентации спинов электронов соседних доменов. Дробление доменов заканчивается тогда, когда сумма магнитной и обменной энергии достигает минимума.

Условием минимума определен и размер доменов. Доменная структура ферромагнетиков доказана эмпирически.

Границы доменов

Итак, для минимизации энергии магнитного поля является выгодным уменьшение размера домена.

Однако, этому препятствует необходимость при этом затрат энергии на образование границ между доменами, так как намагниченность по разные стороны границы имеет разное направление.

Граница имеет конечную толщину, в пределах нее намагниченность постепенно изменяет свое направление от ориентации в одном домене к ориентации в соседнем.

Стенки доменов классифицируют по особенностям поворота вектора намагниченности.

В том случае, если перпендикулярная (относительно стенки) составляющая вектора намагниченности в процессе поворота не изменяется, то это стенка Блоха.

(Говорят, что в стенке Блоха вращение происходит в плоскости параллельной стенке). Если изменение направления вектора намагниченности происходит с изменением перпендикулярной составляющей, то стенка носит имя Нееля.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 2

Задание: Какое свойство ферромагнетиков позволяет использовать их для получения сильных магнитных полей?

Решение:

Так как у ферромагнетиков зависимость $\overrightarrow{B}\left(\overrightarrow{H}\right)\ $не линейна, магнитная проницаемость ($\mu $), равная:

\[\mu =\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0\overrightarrow{H}}(2.1)\]

зависит от напряженности поля. Кивая зависимости $\mu (\overrightarrow{H})$ рис.2 растет с увеличением поля, от какого то начального значения до некоторого ${\mu }_{max}$. За тем, магнитная проницаемость уменьшается асимптотически до единицы.

Данная особенность намагничивания ферромагнетиков объясняет то, что эти материалы эффективно используются для получения сильных магнитных полей в области далекой до насыщения. В сильных полях наступает насыщение и применение ферромагнетиков практически бесполезно.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/magnetiki/ferromagnetiki_i_domennaya_struktura/

Основные свойства ферромагнетиков

Отметим, что ферромагнетизм присущ веществам лишь в кристаллическом состоянии. Самыми известными примерами ферромагнетиков являются: железо, кобальт, соединения хрома и другие.

Ферромагнетики относятся к сильномагнитным веществам, при этом их намагниченность находится в зависимости от напряженности внешнего поля нелинейно и достигает насыщения.

Учитывая сказанное, магнитная восприимчивость (χ) и магнитная проницаемость (μ) для ферромагнетиков непостоянны. Так же имеет место запись:

J→=χH→ и B→=μμ0H→,

но при этом μ и χ рассматриваются как функции от напряженности поля. С ростом напряжённости поля данные функции также получают рост, проходят через максимум, а в сильном поле (при достижении насыщения) μ стремится к единице, а χ – к нулю. Значение μ в максимуме достигает сотни тысяч единиц для большинства ферромагнетиков в условиях обычной температуры.

Монокристаллы ферромагнетиков являются анизотропными по отношению к магнитным свойствам. Каждый монокристалл содержит одно или несколько направлений, вдоль которых магнитная восприимчивость особо значима. Также имеются направления, в которых кристалл плохо намагничивается. Заметим, что, если вещество, являющееся ферромагнетиком, состоит малых поликристаллов, то оно является изотропным.

Рассмотрим еще одну отличительную черту ферромагнетиков: зависимости B→H→и J→H→ являются неоднозначными, определенными предшествующей историей – для ферромагнетиков характерен магнитный гистерезис.

Определение 2

Для рассматриваемого класса магнетиков имеет место определенная температура, при которой вещество осуществляет фазовый переход второго рода. Такая температура носит название температуры Кюри (Tk) или иначе: точки Кюри.

Когда значение температуры ниже точки Кюри, вещество проявляется как ферромагнетик; когда температура становится выше точки Кюри, вещество приобретает свойства парамагнетика. Вокруг точки Кюри магнитная восприимчивость ϰ отвечает закону Кюри-Вейса:

χ=CT-Tk.

Доменная структура ферромагнетиков

Эйнштейн в ходе эксперимента показал, что ферромагнетизм вызывается спинами электронов.

Как уже указывалось выше, ферромагнетики обладают спонтанной намагниченностью при отсутствии внешнего поля, но под влиянием внутренних причин спины электронов начинают выстраиваться в одном общем направлении.

При этом стоит отметить, что энергетически не оптимально для ферромагнетика целиком обладать намагниченностью.

Впервые теорию о свойствах ферромагнетиков сформулировал Вейсс в 1907 году.

Поверхностный взгляд может отметить, что в данной теории существует противоречие между спонтанным намагничиванием и фактом, что даже, когда значение температуры ниже точки Кюри, некоторые ферромагнетики не намагничены, хоть и имеются постоянные магниты. Данное противоречие было устранено сформулированной Вейссом гипотезой.

Определение 3

Ферромагнетики при температуре ниже точки Кюри в магнитном отношении распадаются на множество маленьких макроскопических областей, и каждая из них является спонтанно намагниченной. Эти области получили название доменов.

Домены направлены хаотично при обычных условиях. Тело в общем не является намагниченным.

Включение внешнего поля вызывает рост доменов, имеющих ориентацию по полю, за счет доменов, имеющих ориентацию против поля; происходит смещение доменных границ. Если поле слабое, подобное смещение является обратимым.

Если поле сильное, домены изменяют ориентацию в пределах всего домена; процесс приобретает необратимый характер, появляется явление гистерезиса и остаточное намагничивание.

Подобный доменный «распад» энергетически выгоден. Когда ферромагнетик дробится на домены, и появляются домены различной ориентации, наблюдается ослабление магнитного поля, порождаемого ферромагнетиком; сопутствующая энергия становится меньше.

Энергия обменного взаимодействия электронов не изменяется для всех электронов за исключением электронов на границах доменов (так называемая поверхностная энергия). Ее рост обусловлен различной ориентацией спинов электронов соседних доменов. Дробление доменов получает окончание при достижении минимума суммы магнитной и обменной энергии.

Условием минимума определяется также размер доменов. Доменная структура ферромагнетиков имеет эмпирическое доказательство.

Границы доменов

Резюмируя вышесказанное: чтобы минимизировать энергию магнитного поля, оптимально создать условия для уменьшения размера домена.

При этом имеется препятствие, выраженное неизбежностью энергетических затрат на образование границ между доменами, поскольку намагниченность по разные стороны границы обладает разной направленностью.

Граница имеет определенную толщину, в ее пределах намагниченность постепенно изменяет свое направление от ориентации в одном домене к ориентации в соседнем.

Стенки доменов имеют классификацию по особенностям поворота вектора намагниченности:

  • когда перпендикулярная (относительно стенки) составляющая вектора намагниченности в процессе поворота неизменна, то речь идет о стенке Блоха (в стенке Блоха вращение происходит в плоскости, параллельной стенке);
  • когда изменение направления вектора намагниченности происходит с изменением перпендикулярной составляющей, речь идет о стенке Нееля.

Пример 1

Рисунок 1 демонстрирует идеализированные структуры доменов в монокристалле. При помощи стрелок обозначены направления намагниченности.

Рисунок 1

Пример 2

Необходимо определить, какое свойство дает возможность использовать ферромагнетики для создания сильных полей.

Решение

Поскольку зависимость B→H→является нелинейной, магнитная проницаемость μ=B→μ0H→ имеет зависимость от напряженности поля. Кривая зависимости µ(Н) получает рост совместно с увеличением поля от некоторого изначального значения до определенного µmax, после чего магнитная проницаемость снижается до единицы.

Указанная отличительная черта намагничивания ферромагнетиков объясняет эффективное использование этих материалов для создания сильных магнитных полей в области, далекой до насыщения. В сильных полях наступает насыщение, и применение ферромагнетиков практически бесполезно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/magnitnoe-pole/ferromagnetiki-i-domennaja-struktura/

Вферромагнетике при температурах, не превышающих точку Кюри (), спиновые моменты атомов с недостроенными d и f-оболочкамиориентируются параллельно друг другу. При этом намагниченность должнастремиться к насыщению.

Однако опыт показывает, что намагниченность ферромагнитногообразца часто оказывается нулевой и только при помещении его во внешнеемагнитное поле намагниченность возрастает и быстро достигает насыщения уже вдостаточно слабых полях.

Вейсспредположил, что макроскопический образец ферромагнетика разбивается намножество областей, называемых доменами,каждый из которых намагничен до насыщения. Однако направления векторовсуммарной намагниченности отдельных доменов ориентированы по-разному, ирезультирующая намагниченность образца ферромагнетика оказывается нулевой (рис.7.15).

Друг от другадомены отделены слоями, в которых происходит поворот спинов от ориентации,свойственной одному домену, к ориентации, свойственной соседнему. Такие слоиназываются стенками Блоха (рис.7.16). В железе их толщина достигает приблизительно 300 постоянных решетки(около 1000 Å).

Рис. 7.15. Ферромагнитный образец с нулевой результирующей намагниченностьюРис. 7.16. Изменение направления спинов на границе доменов (в стенке Блоха)

Рассмотримкратко причину возникновения стенок Блоха. Полный переворот спинов соседнихдоменов не осуществляется скачком в одной области, как это показано на рис.7.16, а. Согласно теории, обменная энергия при скачкообразном повороте спиновна  между двумя соседнимидоменами должна измениться на величину .

  Если же полныйпереворот спина на  осуществляетсяза n шагов, то на это потребуетсязатрата энергии .

Тогда, с учетом того, что для достаточно больших значений n косинус можно разложить в ряд, ограничившисьдвумя первыми членами разложения , затраты обменной энергии на такой процесс составят

.(7.37)

Это значение в  меньше, чем изменениеэнергии, имеющее место при скачкообразном перевороте спина.

Доменныеграницы по своему поведению во многом сходны с границами зерен вполикристаллах.

Они обладают повышенной энергией и при стремлении системы куменьшению общей энергии способны перемещаться в сторону домена с более высокойэнергией, уменьшая тем самым суммарный объем доменов с высокой энергией. Этотпроцесс играет важнейшую роль при намагничивании ферромагнетиков, которое будетрассмотрено ниже.

Толщина стенокБлоха обычно на порядок меньше размера домена. В тонких магнитных пленках можноорганизовать упорядоченное движение доменов и даже отдельных фрагментовдоменной границы, создавая тем самым управляющие магнитные поля. На этомпринципе основаны запоминающие устройства с цилиндрическими магнитными доменами(ЦМД ЗУ) и ряд магнитооптических приборов для управления световым лучом.

Одной изважнейших проблем, связанных с доменной структурой ферромагнетиков, являетсявопрос о зависимости их намагниченности от величины и направлениянамагничивающего поля.

Намагничивание ферромагнитного образца, имеющего нулевойрезультирующий магнитный момент в отсутствии внешнего поля, происходит за счетизменения формы и ориентации доменов (рис. 7.17).

При нулевом поле суммарномуобъему доменов, намагниченных в одном направлении, соответствует равный емуобъем доменов, намагниченных в противоположном направлении (рис. 7.17, а), ипоэтому результирующая намагниченность равна нулю. Это равновесие, однако,нарушается при наложении внешнего магнитного поля .

Рис. 7.17. Процесс намагничивания ферромагнетика

Весь процесснамагничивания ферромагнетика во внешнем поле можно разделить на несколькоэтапов (рис. 7.17). Рассмотрим кратко эти этапы.

1. В слабыхполях наблюдается увеличение объема «выгодно» расположенных относительно внешнегополя доменов за счет доменов с «невыгодной» ориентацией (рис. 7.17, б).

Есливнешнее поле снять, то домены восстановят исходную форму и размеры. Этипроцессы называют обратимым смещениемграниц доменов. На кривой зависимости намагниченности от напряженности поля(рис. 7.

17, г) этот участок приблизительно соответствует пологой части I  кривой намагничивания.

2. Если внешнее поле  продолжаетувеличиваться, то происходят необратимые процессы, которые возникают за счетпрепятствий, создаваемых дефектами кристаллической структуры.

Чтобы преодолетьих действие, граница домена должна получить от внешнего поля достаточно большуюэнергию. Если снять внешнее поле, то дефекты помешают границам домена вернутьсяв исходное положение.

Этот этап носит название необратимого смещения и на рис. 7.16, г он отвечает участку кривой II.

3. В области высоких полей намагничивание происходитза счет поворота намагниченности доменов по направлению поля (рис. 7.17, в).При этом намагниченность выходит на насыщение (техническое). Это процесс вращения, отмеченный на рис.7.17, г римской цифрой III.

4. После этого наблюдается очень медленный ростнамагниченности, т. к. при T » 0 К тепловое движение не дает всем спинам доменовориентироваться строго параллельно. В сильных полях наблюдается так называемый парапроцесс, который заключается вдостижении параллельной ориентации спинов (на рис. 7.17, г это область IV).

Если после достижения намагниченности насыщенияотключить внешнее поле (), то ферромагнетик не размагничивается полностью, асохраняет остаточную намагниченность . Для достижения нулевой намагниченности требуется приложитьразмагничивающее поле Hc,называемое коэрцитивной силой.

Полный цикл перемагничивания ферромагнитного образцапредставляется петлей гистерезиса(рис. 7.3). Характерной особенностью этой кривой является то, что она нагляднопоказывает отставание процесса размагничивания от уменьшающегосянамагничивающего поля.

Это отставание показывает, что энергия, приобретеннаяферромагнетиком при намагничивании, не полностью отдается при размагничивании,а часть ее теряется. Величина магнитной энергии, потерянной в течение полногоцикла, пропорциональна площади, охватываемой петлей гистерезиса.

Потеримагнитной энергии связаны, главным образом, с преодолением препятствий движениюдоменных границ, т. е.

с величиной коэрцитивной силы Hc, которая чрезвычайно структурно-чувствительна: онарезко возрастает с уменьшением размера зерна, при наличии искажений решетки,дислокаций, частиц других фаз и других факторов, препятствующих смещениюдоменных границ. Величина коэрцитивной силы Hcможет меняться от сотен тысяч до нескольких единиц ампер на метр.

Таким образом, кривая, описывающая зависимость намагниченностиот напряженности поля , является весьма важной характеристикой магнитныхматериалов, поскольку она позволяет рассчитать энергетические потери вустройствах, где эти материалы используются.

По виду этой петли все ферромагнетикиподразделяются на две группы: ферромагнетики с узкой петлей гистерезиса инизкой коэрцитивной силой () относятся к магнитомягкимматериалам. Ферромагнетики, имеющие высокую коэрцитивную силу () и широкую петлю гистерезиса, называются магнитотвердыми.

При необходимостимаксимального снижения магнитных потерь коэрцитивная сила Hc не должна превышать нескольких десятков ампер наметр. Магнитомягкие ферромагнетики применяют для изготовления сердечниковтрансформаторов. Магнитотвердые – для получения постоянных магнитов.

Взависимости от химического и фазового составов магнитных материалов итехнологии их изготовления петли гистерезиса могут иметь различную форму (рис.7.18). Материалы с прямоугольной и квадратной формой петли гистерезисаиспользуют в элементах памяти электронных схем.

Рис. 7.18. Основные разновидности петель гистерезиса: а – пологая; б – крутая; в – прямоугольная; г – квадратная

Рассмотрим кратко основные положения теории ферромагнетизмаЛандау и Лифшица. По этой теории наличие ферромагнетизма и существованиеферромагнитных доменов является следствием нескольких конкурирующих факторов:

  • обменной энергии Eоб;
  • энергии кристаллографической магнитной анизотропии;
  • магнитострикционной деформации;
  • магнитостатической энергии;
  • магнитной энергии;
  • магнитоупругой энергии.

Полная энергияесть сумма этих компонент. Рассмотрим каждый из перечисленных видов энергииболее подробно.

1. Всоответствии с теорией Ландау и Лифшица, обменная энергия ферромагнетика можетбыть представлена в виде

,(7.38)

где  − результирующиеспиновые моменты двух атомов i иj, а N − число атомов в системе.

Если системасостоит из двух электронов, то обменный интеграл , где  и  − энергии в синглетном и триплетном состоянии соответственно.

Если , в основном триплетном состоянии находятся спины одинаковойориентации и обменный интеграл , это соответствует ферромагнитному упорядочению. Если обменныйинтеграл J < 0 (т.к. ), то ориентация спинов антипараллельна, т. е.

материалнаходится в антиферромагнитном состоянии. Домены отделены друг от другаграницами, в которых происходит изменение ориентации спинов (рис. 7.16).

2. Анализкривых намагниченности ферромагнитных кристаллов показал, что в ферромагнитноммонокристалле существуют направления(или оси) легкого и трудногонамагничивания. Например, в кубических кристаллах a-железакристаллографические направления [100] и [110] являются направлениями легкогонамагничивания, а направления [111] − направлениями трудного намагничивания(рис. 7.19).

Рис. 7.19. Примерный вид кривых намагничивания монокристалла a-железа в различных направлениях [52]

Существованиенаправлений легкого и трудного намагничивания связано с величиной перекрытияэлектронных орбит.

Спиновые моменты взаимодействуют с орбитальными из-заналичия спин-орбитальной связи, а орбитальные моменты, в свою очередь,взаимодействуют с кристаллической решеткой за счет существующих в нейэлектростатических полей и перекрытия волновых функций соседних атомов.

Толщинастенки Блоха бесконечно увеличивалась бы, если бы не магнитная анизотропия, которая этому препятствует. Поэтому доляэнергии анизотропии увеличивается примерно пропорционально толщине стенкиБлоха. Баланс между обменной энергией и энергией анизотропии определяет толщинудоменной стенки.

3. Магнитострикция – это изменения размеровтела при его намагничивании. Например, образец из никеля при намагничивании донасыщения сжимается в направлении поля и увеличивается в поперечномнаправлении. Железный образец, наоборот, удлиняется в направлении поля.

Для характеристикимагнитострикционного материала используют величину , называемую константоймагнитострикции (здесь Dl −изменение размеров тела при намагничивании до насыщения, а l – исходный размер). Энергию магнитной анизотропии определяют поформуле

,(7.39)

где  − модульобъемной упругости.

4. Некоторуючасть энергии ферромагнетика составляет магнитостатическаяэнергия. Эта энергия не связана с наличием стенок между доменами, но имеетнепосредственное отношение к доменной структуре. Магнитостатическую энергиюможно представить в виде

,(7.40)

где числовая величина  зависит от формыобразца и называется размагничивающимфактором. Магнитостатическая энергия уменьшается, если образец разбиваетсяна антипараллельные домены, и  стремится к нулю,если при образовании доменов они формируются так, что магнитный поток замыкаетсявнутри ферромагнитного вещества.

5. Магнитная энергия – это энергияферромагнетика во внешнем магнитном поле напряженностью , и она может быть представлена в виде

.(7.41)

Минимуму полной энергиисоответствует не насыщенная конфигурация, а некоторая доменная структура.

6. Кромемагнитострикции, магнитоупругое влияние проявляется также в изменениинамагниченности при деформации образца. Это магнитоупругийэффект, или эффект Виллари.

Изменение расстояния между частицами изменяет силу магнитного взаимодействиямежду ними, следовательно, при этом изменяются средний магнитный момент,температура Кюри и так далее.

Возникающая при намагничивании деформацияизменяет отдельные составляющие магнитной энергии, а следовательно, и полнуюэнергию магнитного взаимодействия. Различают изотропный и анизотропный вклады вэнергию магнитного взаимодействия.

Анизотропнаячасть приводит к изменению линейной магнитострикции, что проявляется визменении кристаллографической симметрии кристалла. Изотропный вклад приводит к изменению объемной магнитострикции и соответственно коэффициента объемногорасширения.

Дляферромагнетиков в линейном приближении по упругим деформациям и в квадратичномприближении по компонентам намагниченности энергия взаимодействия может бытьпредставлена как

,(7.42)

где  − тензормагнитоупругого взаимодействия,  − тензор упругойдеформации,  − направляющиекосинусы вектора намагниченности ().

Источник: http://solidstate.karelia.ru/p/tutorial/ftt/Part7/part7_4_3.htm

Доменная структура и магнитная анизотропия ферромагнетиков

Доменная структура ферромагнетика. Ильичева Е.Н

Все ферромагнетики (как металлические, так и не металлические) – вещества кристаллические. Обычно структура материалов, используемых для сердечников магнитных элементов автоматики, представляет собой совокупность зерен – кристаллов не правильной формы (кристаллитов). Иногда магнитные устройства изготовляют на одном кристалле, так называемом монокристалле.

Ферромагнетики в зависимости от температуры и материала могут иметь в основном три типа кристаллических решеток. При обычных температурах работы элементов железо имеет кубическую объемноцентрированную решетку (рисунок 2.4,а), никель (при любой температуре)–кубическую гранецентрированную (рисунок 2.4,б) и кобальт – гексагональную (рисунок 2.4,в).

Кристаллы ферритов также имеют структуру кубической или гексагональной симметрии, но значительно сложнее, чем у металлических ферромагнетиков. На рисунок 2.4,г приведены структуры так называемых шпинелей, присущие большинству ферритов.

Из предыдущего известно, что при температурах ниже точки Кюри ферромагнитное вещество всегда (независимо от того, есть или нет внешнее поле) характеризуется неизменной для данной температуры спонтанной намагниченностью Js. В то же время даже монокристалл ферромагнетика, у которого спины всех атомов расположены параллельно, может быть либо полностью размагниченным, либо намагниченным в той или иной степени.

Объясняет это явление доменная теория ферромагнетизма, основанная на положении, что устойчивому, состоянию равновесия соответствует минимум энергии.

Например, из двух состояний равновесия маятника, при которых центр тяжести лежит на вертикали, проходящей через ось подвеса, устойчивым будет состояние, когда центр тяжести лежит ниже, а не выше точки подвеса, так это состояние соответствует минимуму потенциальной энергии маятника. Другой пример: две магнитные стрелки имеют два состояния равновесия, показанные на рисунок 2.5,а и рисунок 2.5,б; однако они установятся в состояние б, которое соответствует минимуму магнитостатической энергии. По этой же причине полоска железа притягивается к подковообразному магниту, потому что при замыкании железом его полюсов магнитостатическая энергия системы будет минимальной.

Согласно этой теории каждое зерно (кристаллит) ферромагнитного тела, а в случае монокристалла – весь его объем делится на области, называемые доменами.

Величина вектора намагниченности каждого домена равна спонтанной, единственно возможной для данного ферромагнетика намагниченности, а направление векторов намагниченности соседних доменов различно и соответствует характерным для кристалла направлениям (например, ребру куба, диагонали куба).

а) б) в)

г) д)

Рисунок 2.4 Кристаллические решетки ферромагнетиков

а) б) г) д)

Рисунок 2.5 Доменные структуры

В полностью размагниченном ферромагнетике весь объем кристаллов разделен поровну между доменами с противоположно направленными векторами спонтанной намагниченности, поэтому его общая намагниченность относительно внешней среды равна нулю. Такому состоянию соответствует, например, деление монокристалла на домены (рисунок 2.5,г), при котором магнитные потоки замыкаются внутри образца и магнитостатическая энергия системы доменов минимальна.

При воздействии на подобный кристалл внешнего магнитного поля Н его доменная структура изменяется. Происходит увеличение объема доменов, вектор спонтанной намагниченности которых наиболее близок к направлению вектора Н, за счет сокращения объема других доменов (рисунок 2.5,д).

В результате этого появляется намагниченность кристалла в целом, возрастающая по мере увеличения поля, и все большая часть магнитного потока замыкается через воздух.

Такое смещение границ возможно, очевидно, до тех пор, пока наиболее выгодно ориентированные домены не поглотят полностью домены, ориентированные менее выгодно, и намагниченность J кристалла не станет равной спонтанной намагниченности вещества.

Между соседними доменами с различными направлениями намагниченности имеются переходные слои, называемые границами, или стенками доменов, в которых происходит постепенный поворот вектора намагниченности от одного направления к другому.

Процесс образования новых доменов в отсутствие внешнего поля способствует созданию структуры, в которой магнитные потоки замыкаются внутри образца, и поэтому сопровождается уменьшением магнитостатической энергии.

Однако этот процесс может продолжаться лишь до тех пор, пока уменьшение магнитостатической энергии покрывает возрастающую энергию, необходимую для создания в образце доменных стенок и пропорциональную общей площади стенок.

Поэтому для весьма мелких частиц и очень тонких слоев ферромагнетика энергетически выгодной может оказаться однодоменная структура, если размер частицы или толщина слоя ниже некоторой критической величины

Итак, перестройка доменной структуры под действием внешнего поля приводит к появлению и изменению общей намагниченности ферромагнетика, т.е. к его намагничиванию.

Исследования, проведенные на монокристаллах, показали раз личный характер зависимости J(H) в полях, направленных вдоль различных кристаллографических осей, что свидетельствует о существовании магнитной анизотропии ферромагнитных кристаллов. На рисунок 2.

6 приведены эти зависимости для железа (а), никеля (б) и кобальта (в). В то же время предельное значение намагниченности оказывается одинаковым для всех направлений поля и равным спонтанной намагниченности вещества.

При намагничивании ферромагнетика расходуется некоторое количество энергии, численно определяемое площадью, заштрихован ной на рисунок 2.6,г. Согласно кривым J(Н) на рисунок 2.6,а энергия на намагничивание вдоль ребра куба [100] (ср. рисунок 2.

4,а) для железа наименьшая, а вдоль пространственной диагонали [111] – наибольшая. Поэтому направление вдоль ребра куба для железа называют направлением легкого намагничивания, а вдоль пространственной диагонали — трудного намагничивания.

Таким образом, железо имеет шесть направлений (в обе стороны вдоль каждого из трех ребер, пересекающихся в одной вершине куба) легкого намагничивания.

У никеля (ср. рисунок 2.4,б и 2.6,б) – направление легкого намагничивания расположено вдоль пространственной диагонали.

Следовательно, у никеля восемь (в обе стороны вдоль каждой из четырех пространственных диагоналей) направлений легкого намагничивания. Кобальт (ср. рисунок 2.4,в и 2.

6,в) имеет лишь одну ось (два направления) легкого намагничивания вдоль его единственной гексагональной оси [0001].

Площадь, заключенная между кривыми легкого и трудного намагичивания, характеризует энергию магнитной анизотропии.

Если оси легкого намагничивания зерен в объеме материала ориентированы беспорядочно, то кривые намагничивания при различных направлениях поля практически совпадают и лежат между кривыми легкого и трудного намагничивания. Такой материал в целом называют магнитоизотропным.

Для улучшения магнитных свойств некоторые материалы подвергают особой технологической обработке, при которой одноименные кристаллографические оси отдельных зерен располагаются параллельно. Такие материалы называют текстурированными. Существует ряд способов создания текстуры.

а) б)
в) г)

Рисунок 2.6 Графики зависимости намагниченности монокристаллов ферромагнетиков от напряженности внешнего поля

Один из них заключается в изготовлении листового материала прокаткой в холодном состоянии. При этом способе отдельные кристаллы деформируются и ориентируются в направлении прокатки.

После холодной прокатки листы подвергают термической обработке (отжигу при температуре выше точки Кюри).

В результате термообработки в материале появляется четко выраженная ориентация кристаллов, при которой направление легкого намагничивания совпадает с направлением прокатки.

Другой способ создания текстуры не требует предварительной ориентации кристаллов методом холодной прокатки: нагретый выше точки Кюри материал охлаждают в постоянном магнитном поле. После охлаждения и удаления материала из поля оси легкого намагничивания кристаллов остаются ориентированными в направлении действовавшего поля.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/11_78101_domennaya-struktura-i-magnitnaya-anizotropiya-ferromagnetikov.html

Доменная структура ферромагнетиков

Доменная структура ферромагнетика. Ильичева Е.Н

Магнитные моментысоседних атомов ферромагнетиковориентированны параллельно, однако вкристалле достаточно большой величинывсе магнитные моменты не могут бытьориентированны параллельно.

В противномслучае вокруг кристалла появитсямагнитное поле и энергия системывозрастет.

Для снижения энергии системыкристалл разбивается на домены – областиспонтанной намагниченности, причемразбиение производится таким образом,чтобы внешнее магнитное поле отсутствовало(рис. 47).

Рис. 47. Разбиение кристалла на домены. Стрелками показаны направления векторов намагниченности в каждом домене.

Важно отметить, что награнице доменов магнитные моментыатомов не могут быть антипараллельными.В противном случае энергия атомовповысится на величину обменной энергии.Таким образом, на границе доменовпроисходит постепенный поворот магнитныхмоментов атомов из одного положения вдругое. Тем не менее, энергия атомов награницах доменов оказывается повышенной.Докажем это.

Как отмечалосьвыше, обменное взаимодействие соседнихатомов ферромагнитных материаловприводит к снижению энергии системы навеличину: Uобм= -А (s1s2),где А – обменный интеграл зависящий ототношения а/r.

Поскольку расстояниемежду атомами по различнымкристаллографическим направлениямразлично, то и значения обменной энергиипо различным направлениям различно.Таким образом, в ферромагнетикахпоявляется магнитнаяанизотропия.Очевидно,что внутри доменов магнитные моментыатомов ориентированы вдоль наиболееэнергетически выгодных направлений.

Такие направления принято называтьнаправлениями легкого намагничивания.На границах доменов магнитные моментыориентированы в менее выгодныхмагнитотвердых направлениях.

Итак, мы доказаличто на границах доменов энергия атомовповышена. Следовательно, для того чтобыэнергия материала была минимальнойнеобходимо, чтобы протяженность границдоменов была минимальной, или размердоменов был как можно большим.

В то же время, ростудоменов препятствует магнитострикция– деформациякристаллической решетки под воздействиеммагнитного поля. Обменное взаимодействиемежду атомами приводит к появлениюдополнительных сил взаимодействия икристаллическая решетка деформируется.

Рост домена ведет к увеличениюнапряженности локального поля внутридомена и возрастанию деформации решетки.При этом энергия системы увеличивается.Таким образом, противоборство магнитнойанизотропии и магнитострикции приводитк установлению оптимального размерамагнитных доменов.

Кривая намагничивания

При помещенииферромагнетика во внешнее магнитноеполе векторы намагниченности каких-либодоменов окажутся совпавшими или близкимик совпадению с вектором напряжённостивнешнего магнитного поля. Энергия такихдоменов будет минимальной, тогда какэнергия всех остальных доменов повысится.

Для того чтобы понизить энергию системыблагоприятно ориентированные доменырастут. При этом увеличиваетсянамагниченность (М)и, следовательно, возрастает индукция(В).Зависимость индукции от напряженностивнешнего магнитного поля принятоназывать кривой намагничивания (рис.48).

Рис. 48. Кривая намагничивания ферромагнетиков.

На начальном участке кривойнамагничивания увеличение напряженностивнешнего поля ведет к незначительномуросту индукции, причем при отключениивнешнего поля индукция снижается донуля. Этот участок принято называтьучастком обратимого намагничиванияили областью Релея (I).

На втором участкенезначительное изменение напряженностивнешнего поля ведет к заметным измененияминдукции. Этот участок принято называтьучастком резкого роста индукции илиобластью скачков Баркгаузена (II).

На третьем участкекривой намагничивания зависимостьиндукции от напряженности внешнегополя вновь ослабевает. Этот участокназывают участком замедленногонамагничивания или область намагничиванияза счет процессов вращения (III).

На четвертомучастке индукция растет пропорциональнонапряженности магнитного поля. Этотучасток называют участком насыщенияили областью парапроцесса (IV).

Для пониманияприроды изменения индукции при увеличениинапряженности внешнего поля необходимо,прежде всего, разобраться в том, какграницы доменов взаимодействуют соструктурными особенностями материала.

В любом материалеприсутствуют дислокации, в областиприлегающей к дислокации кристаллическаярешетка материала искажена. В том случае,если дислокация находится внутри домена,магнитные моменты атомов вблизидислокации оказываются направленнымив направлении трудного намагничивания.

Если дислокация находится на границедоменов, где происходит постепенныйповорот магнитных моментов от одногонаправления легкого намагничивания кдругому, искажение кристаллическойрешетки приводит к тому, что частьмагнитных моментов атомов оказываютсянаправленными в направлении легкогонамагничивания.

Следовательно, дислокациямэнергетически выгодно находится награницах доменов.

При наличии вматериале частиц чужеродных неферромагнитных фаз границам доменовэнергетически выгодно проходить черезчастицы этих фаз. Это связано с тем, чточужеродные частицы «вырезают» частьграницы домена следовательно, протяженностьи энергия границы домена снижается.

Таким образом,границы доменов притягиваются кструктурным неоднородностям материала- дислокациям и частицам чужеродныхфаз.

При попаданииферромагнетика во внешнее магнитноеполе начинается рост благоприятноориентированных доменов, то есть ихграницы смещаются. Однако структурныенеоднородности материала препятствуютсмещению границ доменов (то есть являютсяточками закрепления границ доменов) играницы изгибаются под действиемвнешнего поля.

Рис. 49. Изгиб границ доменов, закрепленных препятствиями, под действием внешнего поля.

Изгиб границ энергетическине выгоден, поскольку приводит кувеличению их поверхности, поэтому приотключении внешнего поля границы вновьвыпрямляются и намагниченность исчезает.Таким образом, при малых значенияхнапряженности внешнего поля реализуетсяучасток обратимого намагничивания илиобласть Релея.

При дальнейшемувеличении напряженности внешнего поляизгиб границ становится настолькобольшим, что энергия изогнутых границсовпадает с энергией границ оторвавшихсяот точек закрепления.

Дальнейший изгибграниц становится энергетическиневыгодным, границы отрываются от точекзакрепления и скачками перемещаютсядо следующего ряда точек закрепления.

При этом наблюдается участок резкогороста индукции или область скачковБаркгаузена.

После того каксмещение границ доменов приведет ктому, что благоприятно ориентированныедомены заполнят весь объем кристалла,и начинается рост намагниченности засчет поворота магнитных моментов атомовиз направления легкого намагничиванияв направления трудного намагничивания.Поскольку поворот магнитных моментовэнергетически не выгоден, то для егоосуществления требуется высокаянапряженность внешнего поля. Такимобразом, реализуется участок замедленногонамагничивания или область намагничиванияза счет процессов вращения.

Наконец, послетого как все магнитные моменты атомовбудут направлены по внешнему полю,прироста намагниченности происходитьне может, а рост индукции происходит засчет роста напряженности магнитногополя как в парамагнетиках. Наблюдаетсяучасток насыщения или областьюпарапроцесса.

Если посленамагничивания ферромагнетика донасыщения отключить внешнее магнитноеполе намагниченность ферромагнетикаполностью не снимается и сохраняетсяостаточная индукция (Вr).Это вызвано тем, что дефекты структуры,препятствующие перемещению границдоменов при намагничивании, препятствуютобратному смещению границ доменов приразмагничивании.

Для того чтобы снятьостаточную индукцию необходимо приложитьполе обратной полярности. При некоторомзначении напряженности поля, называемомкоэрцитивнойсилой(Нс),индукция исчезнет. Дальнейшее увеличениенапряженности поля в обратном направленииприведет к намагничиванию ферромагнетика.Естественно, что знак вектора магнитнойиндукции при этом поменяется.

Отключениевнешнего магнитного поля вновь приведетк появлению остаточной индукции, дляснятия которой необходимо приложитькоэрцитивную силу. Таким образом, принахождении ферромагнетика в переменноммагнитном поле появляется петлягистерезиса.

Чем больше в материаледефектов структуры, затрудняющихсмещение границ зерен, тем выше значениекоэрцитивной силы и шире петля гистерезиса.

Площадь петлигистерезиса характеризует затратыэнергии на перемагничивание материалаза один цикл:

Р=òНdB (3.3)

Важно отметить,что при нахождении магнитных материаловв переменном магнитном поле в нихвозникают вихревые токи. Это связано стем, что переменное магнитное полевызывает появление переменногоэлектрического поля.

Вихревые токивызывают нагрев материала и обуславливаютпоявление магнитного поля, ослабляющеговнешнее поле. В связи с этим появляютсяпотери энергии внешнего магнитногополя на вихревые токи.

Очевидно, чтоповышение электрического сопротивленияматериала ведет к снижению потерь навихревые токи.

Источник: https://studfile.net/preview/957748/page:2/

Природа ферромагнетизма, доменная структура. Техническая кривая намагничевания и петля гистерезиса

Доменная структура ферромагнетика. Ильичева Е.Н

Согласно принципу Паули, в каждом квантовом состоянии могут находиться два электрона с противоположными спинами. У таких электронов результирующая спиновых магнитных моментов равна нулю, и их называют спаренными или обобществленными электронами. В атомах диамагнетиков все электроны спарены и их результирующий спиновой магнитный момент равен нулю.

В атомах ферро-, антиферро-, ферри- и парамагнетиков имеются один или несколько неспаренных электронов, поэтому они обладают магнитным моментом, обусловленным некомпенсированным спиновым магнитным моментом неспаренных электронов (или иначе спиновым магнитным моментом атома). В связи с чем наличие в атомах электронов с нескомпенсированным спиновым магнитным моментом является необходимым, (но недостаточным) условием для возникновения ферромагнетизма.

Возникновение магнитных свойств у ферромагнетиков связано с их доменным строением. Домены — это области самопроизвольной намагниченности, возникающие даже в отсутствие внешнего магнитного поля, в которых магнитные моменты атомов ориентированы параллельно.

Атомы или ионы приобретают магнитный момент, как правило, если они имеют нескомпенсированные спины электронов. Например, в атомах железа на внутренней 3d- оболочке имеется четыре некомпенсированных спина. Так как самопроизвольная намагниченность относится к внутриатомным явлениям, то ее природа может быть установлена только на основе квантово-механических понятий.

По Я. И. Френкелю и В. Гейзенбергу главную роль в возникновении ферромагнитного состояния играют силы обменного взаимодействия между атомами, имеющие квантовый характер и по происхождению являющиеся электростатическими.

Энергию A, возникающую в результате обмена электронами родственных атомов, называют обменной энергией или интегралом обменной энергии.

При положительном интеграле обменной энергии A, что соответствует минимуму электростатической энергии, возникает параллельная ориентация спинов. При отрицательном знаке A энергетически выгодно антипараллельное расположение спинов.

Численное значение и знак интеграла A зависит от степени перекрытия электронных оболочек, то есть зависит от расстояния между атомами.

На рисунке 9.3 показано изменение интеграла обменной энергии в функции от отношения межатомного расстояния a к диаметру незаполненной электронной оболочки d. При a d >1,5 происходит переход от антиферромагнитного состояния к ферромагнитному. Эта зависимость позволила обнаружить ферромагнетизм у сплавов марганца с неферромагнитным висмутом, сурьмой, серой и т.д.

При a > d в 3–4 раза обменные силы не могут противодействовать тепловому движению и вызывать упорядоченное расположение спинов, и вещество является парамагнетиком.

Хотя максимум обменного взаимодействия в металлах носит более сложный характер, чем это следует из теории Френкеля-Гейзенберга, данная теория позволяет качественно объяснить причину самопроизвольной намагниченности, то есть критерием ферромагнетизма является существование незаполненных внутренних электронных оболочек, радиус которых должен быть мал по сравнению с расстоянием между ядрами в решетке.

Ферромагнетизм в металлах объясняется наличием обменного взаимодействия, которое образуется между соприкасающимися атомами, а также взаимной ориентацией спиновых магнитных моментов.

В ферримагнетиках магнитные моменты ионов ориентированы антипараллельно и обменное взаимодействие происходит не непосредственно, а через ион кислорода О2. Такое обменное взаимодействие называют косвенным обменом или сверхобменом. Оно увеличивается по мере приближения промежуточного угла к 180°.

Рис. 9.3. Зависимость интеграла обменной энергии А от отношения межатомного расстояния a к диаметру незаполненной электронной оболочки d

Доменная структура

Каждый реальный магнитный материал разделен по всему объему на множество замкнутых областей — доменов, в каждом из которых самопроизвольная намагниченность однородна и направлена по одной из осей легкой намагниченности.

Такое состояние энергетически выгодно и кристалл в целом немагнитен, так как магнитные моменты доменов ориентированы в пространстве равновероятно. Между соседними доменами возникают граничные слои (стенки Блоха). Внутри доменных стенок векторы намагниченности плавно поворачиваются (рисунок 9.4). Объем доменов может колебаться в широких пределах (10-1 ¸10-6 см3). Рис. 9.4. Стенка Блоха

Ширина границы между антипараллельными доменами для железа 13. 10-8 м, то есть около 500 элементарных ячеек. Толщина границы зависит главным образом от соотношения энергий: обменной, магнитной анизотропии и магнитоупругой. Размеры самих доменов зависят от неметаллических включений, границ зерен, скоплений дислокаций и других неоднородностей. Обычно домены имеют правильную форму.

На рисунках 9.5 и 9.6 показаны: идеализированная доменная структура кристаллического ферромагнетика и доменная структура поликристалла.

В магнитных материалах, предназначенных для устройств записи и хранения информации, создаются изолированные цилиндрические магнитные домены (ЦМД). На рисунке 9.

7 показаны ЦМД в тонкой магнитной пленке. Емкость отдельного ЦМД- элемента может достигать 105 бит.

В отсутствие внешнего магнитного поля смещения в ЦМД-материалах доменная структура имеет вид либо ЦМД-решетки, либо полосовой структуры.

Рис. 9.5. Идеализированная доменная структура кристаллического ферромагнетика по индукции и поле насыщения

Намагничивание магнитных материалов (кривая намагничивания) Если образец был размагничен, то зависимость индукции от напряженности внешнего магнитного поля называется кривой намагничивания. В процессе намагничивания образца основную роль играют два процесса — смещение доменных границ и вращение векторов намагниченности доменов. На рисунке приведена кривая намагничивания.

< Рис. 9.8. Намагничивание магнитного материала, 1 – слабое поле, 2 – среднее поле, 3 – сильное поле

Магнитный гистерезис Магнитный гистерезис вызывается необратимыми процессами намагничивания. Ход кривой намагничивания предварительно размагниченного образца на рисунке 9.9 показан стрелкой.

К основным параметрам петли гистерезиса относятся: Bs – индукция насыщения;

Br – остаточная индукция;

Hc – коэрцитивная сила (напряженность размагничивающего поля, при которой

Br становится равной нулю).

Для различных значений H можно получить семейство петель гистерезиса. Петля гистерезиса при Bs называется предельной.

Основные стадии технического намагничивания показаны на рисунке 9.10 (схематически).

I –Область очень слабых магнитных полей (H → 0) — линейная зависимость B от H и постоянное значение m (рисунок 9.11). Увеличение объема (рост) тех доменов, векторы намагниченности которых имеют наименьшие углы с направлением внешнего магнитного поля; их рост происходит за счет доменов, у которых эти углы наибольшие.

Рост доменов происходит путем обратимого смещения их границ. На этом участке суммарная намагниченность образца становится отличной от нуля, и материал характеризуется начальной магнитной проницаемостью μн которую экспериментально определяют в полях с H ≈ 0,1 А/м.

После снятия внешнего магнитного поля границы доменов снова возвращаются в прежнее положение и остаточная намагниченность не возникает.

II – Область слабых и средних магнитных полей — крутой рост B и m при увеличении H. В конце этого участка m проходит через максимум и представляет собой максимальную магнитную проницаемость mм Процесс перемещения границ доменов необратим, т. е.

после снятия внешнего магнитного поля доменная структура не возвращается в исходное состояние, и образец сохраняет какую-то техническую намагниченность. Переориентация магнитных моментов внутри доменов происходит не постепенно, а скачкообразно.

К концу этого участка границы доменов исчезают, и образец превращается (в идеале) однодоменный, вектор намагниченности которого совпадает с направлением легкого намагничивания и составляет наименьший угол с направлением внешнего магнитного поля.

III – Область сильных полей — небольшое увеличение В и значительное уменьшение m. [ ]. m = B m0H Постепенный поворот вектора намагниченности образца до полного совпадения с направлением внешнего магнитного поля H. В конце этого участка при H = Hs намагниченность

M материала достигает значения намагниченности технического насыщения Ms (M → ) M s или, можно сказать, что магнитная индукция B материала достигает значения индукции технического насыщения Bs (B → ). Bs

IV – Область насыщения — незначительное увеличение B (за счет парапроцесса, который заключается в гашении сильным полем дезориентирующего действия теплового поля) при увеличении Hs и приближение m к единице.

Абсолютно строгую ориентацию всех спиновых магнитных моментов атомов внутри домена можно получить только при 0ºК, когда отсутствует дезориентирующее действие теплового движения.

Рост температуры приводит к увеличению дезориентации спиновых магнитных моментов атомов. Дезориентирующее действие теплового движения компенсируется ориентирующим действием внешнего магнитного поля.

B этом и заключается парапроцесс. Парапроцесс имеет место и в слабых полях, но здесь он перекрывается процессами смещения и вращения.

В сильных полях, когда (B = Bs ), парапроцесс проявляется более отчетливо.

В реальных ферро- и ферримагнетиках различные виды процессов намагничивания накладываются друг на друга. На процесс намагничивания, кроме того, влияют магнитострикция, механические напряжения, дефекты структуры и ряд других причин.

Предыдущая23242526272829303132333435363738Следующая

Дата добавления: 2015-12-10; просмотров: 3593; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/6-15106.html

Biz-books
Добавить комментарий