Динамический расчет плоской рамы методом сил. Черный А.Н.

Динамический расчет плоских рам

Динамический расчет плоской рамы методом сил. Черный А.Н.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 9Следующая ⇒

I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим плоскую статически неопределимую раму с располо­женными на ней сосредоточенными массами . Пренебрегаем собственным весом стержней по сравнению с весом присоединенного груза. На систему действуют вибрационные гармонические нагрузки Pi , которые изменяются в одной фазе и с одинаковой частотой .

Рисунок 6.1 – Заданная система.

Длины стенок и ригелей имеют следующее величины:

h1= 4 м; h2= 3 м; l1 = 4 м; l2 = 5 м.

моменты инерции поперечных сечений стержней имеют следующие величины:

; ;

Т.к. внешняя нагрузка – гармоническая, то ; ; , амплитудные значения нагрузок имеют следующие значения: =30 кН, =30 кН, =40 кН, q0 = 5кН/м.

Вес масс mi обозначим , где = 20кН, = 40 кН, массы определяют по формуле : , где g – ускорение свободно падающего тела, g = 9,81 м/сек2. Круговая частота колебаний внешней нагрузки равна = 0,6 , где — круговая частота собственных системы.

Для динамического расчета необходимо выполнить следующее:

I. Определить динамическую степень свободы, указать направление

инерционных сил.

2. Записать вековое уравнение, определить спектр собственных частот

поперечных колебаний рамы

3. Определить формы главных или собственных колебаний ракш, построив

соответствующие эпюры изгибающих, моментов от инерционных сил.

4. Построить эпюры изгибающих моментов от амплитудных значений внешней вибрационной нагрузки.

5. Определить амплитудные значения инерционных сил,

6. Построить динамические эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

7. Определить динамический коэффициент .

6.1 Определение спектра частот собственных колебаний

Вначале необходимо определить степень свободы заданной системы.

Под степенью динамической свободы понимаем число независи­мых геометрических параметров, определяющих все перемещения в колеблющейся системе. Степень динамической свободы можно определить как минимальное количество добавленных связей, необходимое для закрепления масс от возможных смещений.

Деформации растяжения и сжатия изгибаемых элементов при определении всех возможных перемещений масс не учитываются. Поэтому несколько масс, расположенных на одном стержне рамы, в движении вдоль оси этого стержня ведут себя как одна суммарная масса.

Система на рисунке 1 имеет 3 степени свободы, т.к. необходимо 3 связи для закрепления 3-х масс от всевозможных смещений. На рисунке 2 указаны инерционные силы, вызывающие поперечные колебания стержней.

Рисунок 6.2.

Если упругая система в результате взаимодействия с каким-либо другим физическим телом оказывается выведенной из равновесия, то после прекращения указанного взаимодействия система будет совершать свободные колебания с частотой .

Число возможных свободных колебаний упругой системы равно числу степеней ее свободы. Каждой форме колебаний соответствует своя часто­та . Совокупность частот данной системы составляет ее спектр частот. Для системы рис.

1 спектр частот состоит из 3-х частот:

, , . Для практических целей часто бывает достаточно най­ти наименьшую частоту min представляющую наибольшую опасность в смысле возможности возникновения резонанса с вибрационной наг­рузкой. Дело в том, что, во-первых, резонанс на низшей частоте приво­дит к наибольшему динамическому эффекту.

Во-вторых, если даже частота возмущающей силы значительно превышает низшую частоту собственных колебаний системе, то резонанс на этой частоте все же будет возникать при разгоне машины во время пуска. Поэтому низшую частоту иногда называют частотой основного тона колебаний.

Следующий по порядку тон колебаний называют первым обертоном.

Вековое уравнение

Свободные периодические колебания, совершаемые по гармоническому закону с одной частотой, когда отношение перемещений двух любых точек в любой момент времени не меняется, называются собственными, а соответствующие им частоты называются собственными или главными.

Для определения собственных частот составляем характеристическое (векторное) уравнение (6.1). После раскрытия определителя уравнение (6.1) представляет собой кубическое уравнение относительно величины 1/ 2. Каждая из инерционных сил приложена к соответствующей массе (рисунок 6.2).

Силы инерции I1 и I3 приложены к массам, имеющим одинаковые значения, поэтому m3 = m1

= 0 ( 6.I )

В уравнении (6.1) ис представляет собой статическое перемещение по направлению “ i” инерционной силы, вызванное единичным значением «k» инерционной силы. Для симметричных систем с сим­метрично расположенными массаж возможны прямо симметричные и об­ратно симметричные формы колебаний, при которых силы инерции соответственно будут прямо симметричны и обратно симметричны.

В этом случае перемеще­ния вычисляются как групповые от парных прямо симметричных и обратно симметричных единичных сил. Побочные же перемещения, связы­вающие прямо симметричные и обратно симметричные силы инерции, обращаются в нуль. Это так же приводит к распаду уравнения частот (6.

I) на два независимых уравнения, из которых одно позволит найти частоты симметричных колебанийдругое — обратно симметричных.

При этом т.к. групповые перемещения находятся от парных единич­ных сил, то соответствующая масса должна входить в вековое урав­нение с коэффициентом ½. Сами массы определяются через вес:

Перемещения от единичных сия вычисляются с помощью интегралов Мора путем перемножения построенных от них эпюр изгибающих моментов M1, М2, М3. Каждая из этих эпюр строится статическим путем от единичного значения соответствующей инерционной силы I = I. Т.к.

заданная рама статически неопределима, то для построения эпюр М1, M2, М3 необходимо использовать метод сил или метод перемещений. В данном случае удобно использовать метод перемеще­ний. Построим эпюру M1 от I1 =I. На рис. 6.

3 а, указала основная система метода перемещений, единичные и грузовые эпюры представ­лены на рис. 6.3 б, рис. 6.3 в, рис. 6.3 г.

Рисунок 6. 3

Канонические уравнения метода перемещений для случая 2-х неизвестных Z1, Z2 имеют вид:

(6. 2 )

Коэффициенты и грузовые плены уравнений (6.2) определяютсяизэпюр, представленных на рис.6.3, статическим путем. Вырезая 1-й узелиз эпюры М, и рассматривая его равновесие, находим, что .Из этой же эпюры, вылезая второй узел и рассматривая его равновесие, находим, что . Аналогично из эпюры М2 находим, что

,

из грузовой эпюры определяем грузовой коэффициент ; .

Так как заданы отношения моментов инерции поперечных сечений стержней, то для упрощения дальнейших расчетов полагаем: EI1=1; EI2=1,5; EI3=2; EI4=2. Подставляя значения длин стержней получаем :

;

; ; .

Уравнения (6.2) можно переписать в виде :

3Z1+Z2+0,5=0; Z1+5,2Z2=0. (6.3)

Решая /3/, получаем Z1= — 0,178, Z2= 0,034. Окончательная эпюра М1 от единичной инерционной силы I1=1 строится путем суммирования

М1=М1Z1+M2Z2+

Эпюра M1 представлена на рисунке 5 а. аналогично строится эпюра М2 от I=1 и эпюра М3 от I3=1. Канонические уравнения имеют вид (6.2), коэффициенты при Z1 и Z2 остаются прежними, отличаются только грузовые члены. На рис. 4 а представлена грузовая эпюра от I2=1, а на рис. 6.4 б грузовая эпюра от I3=1.

Рисунок 6.4

Соответственно грузовые члены для случая /а/ равны:

; . Канонические уравнения имеют вид:

3Z1+Z2=0; Z1+5,2Z2+3/8=0. (6.4)

Соответственно получаем Z1=0,025; Z2= — 0,075.0кончательно эпюра

М2 от единичной инерционной силы I2=1 определяем суммированием:

М2=М1Z1+M2Z2+ = М10,025 — M20,075 +

Эпюра М2 представлена на рис. 6.5, б.

Из рис.6. 4 б определяем:

; .

Канонические уравнения имеют вид:

3Z1+Z2 — 0,5=0; Z1+5,2Z2+0,5=0. (6.5)

Решая эту систему, получаем: Z1=0,212; Z2= — 0,136. Эпюра М3 от единичной статически приложенной инерционной силы I3=1 определяем так же суммированием:

М3=М1Z1+M2Z2+ = М10,212 — M20,136 +

Эпюра М3 представлена на рис. 6.5, в.

Перемещения δ11, δ12= δ21, δ13= δ31, δ23= δ32, δ22, δ23. можно определить путем соответствующего перемещения эпюр М1, М2, М3 не между собой а с эпюрами построенными для основных систем метода сил и показателями на рис. 6.5.

И так, коэффициенты δ1К, векового уравнения (6.1) определяется по следующим формулам:

Рисунок 6.5

Рисунок 6.6

При вычислении интегралов на каждом участке можно воспользоваться таблицей 6.1.

Таблица 6.1

Эпюры М, М

И так, коэффициенты δ1К, векового уравнения (6.1) определяется по следующим формулам:

δ11=0,497; δ23= — 0,045; δ12= — 0,0383; δ13=0,216; δ33=0,3393; δ22= 0,1218.

Подставляя полученные значения перемещений в уравнение (6.1), получаем:

= 0 (6.6)

Обозначим 1/ω2 = Х, тогда определитель можно переписать в виде:

= 0 /7/

Раскрываем определитель:

(0,994·Х)[(0,4872·Х)(0,6786·Х)-0,18·0,09]+

+0,1532·[0,0766(0,6786·Х)+0,432·0,09]+

+0,432[0,0766·0,18-0,432(0,4872·Х)]=0.

Приведя дробные члены, получаем кубическое уравнение относительно Х:

Корни кубического уравнения можно определить по формуле, предварительно сделав замену:

Х=У- а/3

и приведя к виду:

у3+ру+q=0 р=в-(а2/3) q=2/27а3-1/3ав+с

для нашего случая имеем:

а = — 2,1598; в = 1,2855; с = — 0,2473; р = — 0,2694; q = — 0,068.

Дискриминант определяется по следующей формуле:

Если Д >0, уравнение имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня.

Если Д=0 уравнение имеет 3 действительных корня, из которых два равны.

Если Д 0, действительный корень определяется по формуле:

Если Д = 0 , то

;

Если Д

Источник: https://mydocx.ru/5-84786.html

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Динамический расчет плоской рамы методом сил. Черный А.Н.

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры Mок,Q, N со всеми проверками.

Дано: l=h=2 м, q=10 кН/м, F=20 кН, I1/I2=½

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I1=I  , тогда  второй I2=2 I

1) определим степень статической неопределимости системы:

 λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число  уравнений статики 

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:     

δ11∙Х1+ δ12Х2+ Δ1F=0,

δ21∙Х1+ δ22Х2+ Δ2F=0.

 2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами —  X1    ,   X2.

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

Построим грузовую эпюру моментов  (все значения откладываются на сжатых волокнах):

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х1=1 и  х2=1, строим единичные эпюры М1 и М2  

Построим эпюру M1   от действия x1=1.

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x1 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x14=0      RA=2

∑MА:  RД2- HD4=0     RD=2

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Теперь определим моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=22=4 (сжатые волокна сверху).  Строим эпюру M1

Построим эпюру M2   от действия x2=1.

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x2 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x22=0      RA=1

∑MА:  RД2- HD4+x22=0     RD=1

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x1 и x2 :

26,7X1 +17,33X2  -513, 33=0

17,33X1 +12X2  -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X2  (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

1,54X1 +X2  -29,62 =0

1,44X1 +X2  -27,28 =0

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

X1 =23,4

X2  = -6,4

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X1 ,  X2. 

Получим эпюры M1x1 и M2x2

При построении эпюры M2x2  следует обратить внимание на то, что значение x2  — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:  

Мок = M1x1+M2x2+MF

MFл= 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2  кНм  (сжатые волокна внизу)                      

MFпр= -40 кНм   (сжатые волокна внизу)

MFниз= 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм       (сжатые волокна справа)     

ME= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм  (сжатые волокна слева)  

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

Mср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

верно 

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

Эпюра Ms = M1 + M2     Это суммарная единичная эпюра: к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1.

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1  проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

верно

Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.

Ошибка составляет: , что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по Мок:

где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке.Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

 QAF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

Q=(0 – (-40))/2=20 кН

QDE=(0 — (-6))/2=3 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.

Мправ  =   -20,8  , Млев  =   6

Значение поперечной силы в точке E:

Значение в точке F найдём:

Строим эпюру Q

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком  (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы,   и рассматриваем равновесие данного узла.  Знаки у продольных сил —  от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

∑х = 0,    — 3 -3,4 + N = 0      N = 6,4 (растяжение)  

Рассмотрим узел F

∑х = 0,    — N1 + 23,4 = 0

              N1 = 23,4 кН  (сжатие –к узлу)

     ∑у = 0 ,  N2 – 9,6  – 20= 0

              N2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков),  и проверяется равновесие рамы в целом

Все проверки выполняются.

Источник: https://prosopromat.ru/zadachi/zadachi-na-metod-sil/raschet-staticheski-neopredelimoj-ramy-po-metodu-sil-2.html

Динамический расчет плоской рамы методом сил — pdf скачать бесплатно

Динамический расчет плоской рамы методом сил. Черный А.Н.

1 МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ УЛЬЯНОВСК

2 МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов строительного факультета Составитель: А.Н.Черный Ульяновск 00

3 УДК (076) Динамический расчет плоской рамы методом сил / Сост. А.Н.Черный. — Ульяновск, с. Настоящие методические указания составлены в соответствии с программой курса «Строительная механика» и предназначены для студентов строительных специальностей.

Приведенный материал может быть использован для выполнения студентами соответствующей расчетно-графической работы, а также инженерами, работающими в области расчета стержневых систем. Ил. 4, библиогр.: назв. Рецензент — доцент, к.т.н. Карпунина И.Н.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Ульяновский государственный технический университет, 00

4 3 СОДЕРЖАНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ…5.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЕТА КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОСТРОЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ ОТ ЕДИНИЧНЫХ СИЛ ИНЕРЦИИ МАСС ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ ПОСТРОЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА ОТ АМПЛИТУДНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ СТАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ПРИМЕР РАСЧЕТА…9 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…6

5 4. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Приведены основные понятия, определения и системы уравнений метода сил свободных и вынужденных колебаний плоской рамы…

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Упругая система, выведенная из состояния равновесия в результате взаимодействия с каким-либо другим физическим телом, совершает свободные (собственные) колебания после прекращения указанного взаимодействия.

Под степенью свободы упругой системы понимается количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в пространстве, т.е. число возможных форм свободных колебаний упругой системы равно числу степеней ее свободы. Каждой форме колебаний соответствует своя частота. Совокупность частот системы составляет ее спектр частот.

Наибольшую опасность, в связи с возможностью возникновения резонанса при вынужденных колебаниях, представляет наименьшая частота, т.к. резонанс на низшей частоте приводит к наибольшему динамическому эффекту. Поэтому низшую частоту называют частотой основного тона собственных колебаний. Следующую по порядку частоту называют первым обертоном и т.д.

Упругая система с двумя точечными массами и и с двумя линейными степенями свободы, очевидно, характеризуется двумя частотами свободных колебаний ϕ и ϕ. Для определения частот методом сил можно составить следующие выражения перемещения точек приложения масс под действием сил инерции этих масс [ ], [ ]: y y = δ = δ && y && y δ δ && y && y,. (.

) Решение этой системы дифференциальных уравнений позволяет получить следующую систему линейных однородных уравнений: ( δ / ϕ )A + δa = 0, δa + ( δ / ϕ )A. (. ) Перемещения от единичных сил, приложенных в сечениях, где находятся массы, т.е. в местах действия сил инерции, δ δ определяются обычным способом метода сил. Тривиальное решение системы уравнений (.) А = А = 0 соответствует случаю, когда система находится в покое.

6 5 Отличные от нуля значения амплитуд А и А в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений равен нулю, т.е. D = δ / ϕ δ δ δ / ϕ = 0. (.

3) Уравнение частот, полученное в результате раскрытия определителя второго порядка, представляет собой биквадратное уравнение, решение которого и определяет частоты свободных колебаний (корни векового уравнения)…

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ При расчете упругой системы на вынужденные колебания определяются амплитудные значения внутренних силовых факторов и напряжений, а также выполняется проверка системы на резонанс.

Если возмущающие силы, действующие на упругую систему, имеют одну и ту же частоту ω и изменяются в одной фазе, то силы инерции и, очевидно, внутренние силовые факторы достигают наибольших значений в одно и то же время. Для проверки на резонанс достаточно определить частоту основного тона свободных колебаний ϕ.

В этом случае частота вынужденных колебаний, как правило, принимается равной ω = 0,8 ϕ при которой и выполняется проверка на резонанс. Перемещение любой массы i в произвольный момент времени t выражается следующим образом: y i = δ i x + δ i x + + δ ii x i + + δ in x n + ip, (.

4) где x x n — силы инерции соответствующих масс; δ i δ in — перемещения по направлению силы x i, вызванные единичными силами x x n, приложенными в точках расположения соответствующих масс; ip — перемещение точки i от амплитудных значений вибрационной нагрузки. При гармонических вынужденных колебаниях с частотой ω выражение для силы инерции массы i может быть представлено в виде x i = i y i ω. (. 5) Тогда перемещение массы i будет y i = x i / i ω. (. 6)

7 6 Подставив (.6) в уравнение (.4), получим δ i x + δ i x + + δ ii x i + + δ in x n = 0, где δ ii = δ ii — / i ω. (.7) Аналогично составляются и другие уравнения. В связи с этим, для упругой системы с двумя степенями свободы уравнения совместности деформаций будут иметь вид δ δ x p x p + δ x + = 0, + δ x + = 0. (. 8) Решение системы (.

8) определяет амплитудные значения сил инерции масс по значениям которых строится эпюра динамических изгибающих моментов путем сложения единичных эпюр, предварительно умноженных на найденные значения соответствующих инерционных сил, с эпюрой от нагрузки, т.е. M д = Mx+ Mx + M p. (. 9) Эпюры поперечных и продольных сил строятся обычными способами по эпюре моментов..

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЕТА Рассматриваются основные этапы расчета на свободные и вынужденные колебания плоской рамы методом сил…

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ При динамическом расчете упругой системы не будем учитывать колебания масс, связанные с продольными деформациями стержней, а также будем рассматривать массы как точечные и, следовательно, положение масс не будет определяться их углами поворотов. Таким образом, учитываются только колебания масс, связанные с изгибом стержней (упругие деформации изгиба стержней).

Для определения числа степеней свободы масс упругой системы необходимо представить перемещения каждой массы вдоль и поперек оси стержня, на котором расположена данная масса. Если возможное перемещение массы вызывает изгиб какого-либо стержня упругой системы, то данная масса обладает степенью свободы по направлению этого перемещения.

8 7 Далее определяется статическая и кинематическая неопределимость задачи по известным зависимостям статики сооружений. На рис.. представлены варианты плоских рам с выполненным кинематическим анализом…

ПОСТРОЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ ОТ ЕДИНИЧНЫХ СИЛ ИНЕРЦИИ МАСС Эпюры изгибающих моментов строятся для заданной системы от безразмерных единичных сил инерции масс, приложенных по направлениям степеней свободы каждой массы. Очевидно, число этих единичных эпюр равно числу степеней свободы масс упругой системы.

Если упругая система статически (кинематически) неопределима, то необходимо раскрыть неопределимость задачи методом сил или методом перемещений. Трудоемкость решения задачи методом сил и методом перемещений примерно равна при Л = n..3.

ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ Для формирования системы уравнений свободных колебаний (. 3) необходимо вычислить единичные перемещения (податливости) путем перемножения соответствующих вспомогательных эпюр изгибающих моментов по правилу Верещагина.

Система уравнений представляет собой систему линейных однородных уравнений. Если порядок системы уравнений больше трех, то решать такую систему необходимо нахождением собственных значений матрицы Д. При порядке системы (Wq 3) уравнение частот (вековое уравнение) может быть решено строго непосредственно.

При этом раскрывают определитель по известному способу Саррюса. В результате решения системы уравнений определяются частоты собственных колебаний, т.е. выполнен расчет задачи на свободные колебания..4.

ПОСТРОЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА ОТ АМПЛИТУДНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ Эпюра изгибающего момента от амплитудных значений вибрационной нагрузки (грузовая эпюра) строится для заданной системы. Возмущающие силы (вибрационная нагрузка) приложены к массам упругой системы и по направлению их степеней свободы. На основе принципа независимости действия сил и линейной связи между нагрузкой и деформацией грузовая эпюра строится путем алгебраического сложения единичных эпюр изгибающих моментов, увеличенных на амплитудные значения возмущающих сил.

9 8 Л=0 n=4 Л= n=3 Л=3 n=3 Л= n= Л=6 Л= n=0 n= Л= Л=0 n=6 N=3 Рис… Примеры кинематического анализа вариантов рам

10 9.5. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ Для формирования системы уравнений вынужденных колебаний (.8) необходимо вычислить перемещения от амплитудных значений возмущающих сил путем перемножения грузовой эпюры на единичные эпюры изгибающих моментов для заданной системы.

Остальные коэффициенты определены при расчете на свободные колебания. Система уравнений представляет собой систему линейных неоднородных уравнений. Решение уравнений рекомендуется выполнять методом исключений Гаусса. В результате решения определяются амплитудные значения сил инерции масс..6.

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ На основе принципа независимости действия сил и линейной связи между нагрузкой и деформацией можно записать следующее выражение для построения эпюры изгибающего момента М д от действия вибрационной нагрузки M = M x + M x + L + M x + M, д n p где M M n — эпюры изгибающих моментов от действия сил инерции масс, равных единице, x x n — амплитудные значения сил инерции масс, Mp — эпюра изгибающего момента от действия амплитудных значений возмущающих сил, n — число степеней свободы масс упругой системы. Эпюра поперечной силы строится по известным приемам дифференцирования эпюры изгибающего момента, а эпюра продольной силы, в свою очередь, строится по эпюре поперечных сил путем поочередного вырезания узлов и составления уравнений равновесия..7. СТАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА Необходимым условием контроля решения задачи является статическая проверка: равенство нулю суммы амплитудных значений вибрационной нагрузки, амплитудных значений сил инерции масс и реакций опор, т.е. ΣX = 0, ΣY = ПРИМЕР РАСЧЕТА Приведен пример выполнения расчетно-графической работы. Выполнить динамический расчет рамы (рис. 3., а) на собственные и вынужденные колебания. Частоту возмущающих сил принять равной ω = 0,8ϕ

11 0 a) l l l 3 l P=,6 т; g=0 м/с l=8 м, l=3,5 м, = =P/g; l3= м, J=7650 см, Е= 0 кг/см 4 6 б) в) З С O C г) д) 0 M 8 M p е) ж) M x M Рис. 3.. Вспомогательные эпюры от действия силы инерции X = массы

12 . Кинематический анализ. Массы рамы имеют две степени свободы: вертикальную массы и горизонтальную массы, т.е. W д =. Тогда система уравнений свободных колебаний рамы будет D = δ / ϕ δ δ δ / ϕ = 0 (3. ) Рама раз статически неопределима и раз кинематически неопределима, т.е. Л =, n =..

Построение вспомогательных эпюр изгибающих моментов от единичных сил инерции масс.

Для определения коэффициентов определителя необходимо построить вспомогательные эпюры изгибающих моментов М и М от действия единичных сил инерции x = массы и x = массы, а для раскрытия статической неопределимости воспользуемся методом сил. Основная система рамы приведена на рис.3.

, в, для которой уравнение совместности деформации будет δ x + = 0. (3. ) p Вспомогательные эпюры для основной системы приведены на рис.3., г и рис. 3., д, соответствующим перемножением которых определяются коэффициенты δ = , 667 =, 3 88 = + = , 667 p ( ). Подставив эти коэффициенты в уравнение (3.

), получим x =,375. Искомая эпюра М определяется выражением M = M + x M p. (3. 3) Эпюра Mx приведена на рис. 3., е, а эпюра M на рис. 3., ж. Аналогично построены и вспомогательные эпюры изгибающих моментов от действия единичной силы инерции x = массы, которые приведены на рис.3.. В этом случае

13 а) б) З С O C в) г) 3,5 M 8 3,5 M p 5,5 д) е) 3,5,75 M x 3,5 M Рис. 3.. Вспомогательные эпюры от действия силы инерции X = массы

14 3 70, 667 δ =, p =, x = 06566,. Искомая опора M приведена на рис. 3., е. Очевидно, чтобы определить коэффициенты системы уравнений, необходимо перемножить соответствующие эпюры M и M, т.е. 0667, δ =, 4 δ =, (3. 4) 38, 79 δ =.

Следует отметить, что для статически неопределимых задач, какой и является заданная рама, при определении перемещений можно пользоваться и эпюрами от нагрузки для основной системы задачи, т.е. δ δ δ = M M, = M M = M M, p = M M. p p p Необходимо помнить, что линейные эпюры обладают свойствами коммутативности.

В связи с этим, при определении перемещений (коэффициентов векового уравнения) можно выбрать наиболее рациональный способ перемножения. 3. Формирование системы уравнений свободных колебаний и ее решение. Подставив найденные коэффициенты в определитель (3.

) и раскрыв его, получим следующее квадратное уравнение относительно величины, обратной частоте свободных колебаний. При этом 7933, 5603, + = 0. 4 ϕ ϕ ( )

15 4 P = = = 06, (т с /м), g Решив полученное уравнение относительно / ϕ, получим ϕ =, ϕ =. 4686, 3, 7478 Подставив = 0 7 0, = 350 (тм ), получим значения круговых частот свободных колебаний упругой системы: ϕ =8 сек -, ϕ = 9 сек -, ϕ in = 8 сек Построение вспомогательной эпюры изгибающего момента от амплитудных значений вибрационной нагрузки.

Для упругой системы с двумя степенями свободы уравнения совместности деформаций при расчете на вынужденные колебания будут δ δ x p x p + δ x + = 0, + δ x + = 0 ( 3. 5) где δ δ = δ = δ ω = 0,8ϕ ω ω,, = 4,4 (c — ) Амплитудное значение возмущающей силы равно P =,6 т, а схема нагружения рамы приведена на рис. 3.3,а. Очевидно, коэффициенты δ, δ, δ системы уравнений (3.

5) определены при расчете на собственные колебания (3.4). Для определения грузовых членов p, p необходимо построить вспомогательную эпюру изгибающего момента от статической нагрузки, равной амплитудам возмущающих сил, т.е. для рамы, представленной на рис. 3.3, а. Эту эпюру (рис.3.

3, б) можно построить, используя эпюры M, M на основе принципа независимости действия сил и линейной связи между нагрузкой и деформацией, т.е. M p = 6,( M + M).

16 5 а) P б) P 3, 5,6, P З С,4 P M p (тм) в) 8,44 г) 3,9 4,07 5,96 M x (тм) M x (тм) д) е) 37,664,344 4,07,6 + 7,06 6,3 M Д (тм) 8,83,6 5,67 9, 7,5 Q Д (т) 7,06,6 ж) 7,5 7,5 N Д (т),734,734 Рис Эпюры внутренних силовых факторов

17 6 5. Формирование системы уравнений вынужденных колебаний и ее решение. Выполнив перемножение эпюры М p с эпюрами M и M, получим p p 5333, =, 39, 667 =. Тогда система уравнений (3.

5) будет 0667, , 0 x, 06, 44, x = , 39, 667 0, x + x + = 06, 44, решение которой ( = 350 тм ) определяет амплитудные значения сил инерции масс x = 4,07 т, x = -9, т. 6. Построение эпюр внутренних силовых факторов Эпюра М д (рис. 3.3, д) строится по выражению M = M x + M x + M д p.

Далее строятся эпюры Q д (рис. 3.3, е) и N д (рис.3.3, ж) по известным зависимостям расчета рам при статическом нагружении. 7. Статическая проверка. ΣX = -,6-7,5 + 9, = 0 ΣY =,704 -,6-4,07-7,06 = 0. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. Клейн Г.К., Рекач В.Г., Розенблат Г.И.

Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. — М.: Высшая школа, с.. Снитко Н.К. Строительная механика. — М.: Высшая школа, с.

Источник: https://docplayer.ru/40676189-Dinamicheskiy-raschet-ploskoy-ramy-metodom-sil.html

Лекции

Динамический расчет плоской рамы методом сил. Черный А.Н.

14.6. Пример динамического расчета рамы

На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р0 =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой n= 600 об/мин.

Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т.е. Jx = 3,29×10-4 м4; Wx =0,157×10-2 м3. Рама изготовлена из стали с харак­теристиками Е = 2,1×105 МПа, = 190 МПа.

Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением мате­риала, требуется:

1. Составить канонические урав­нения по методу сил, определяющие свободные колебания рамы, и полу­чить значения частот и периодов соб­ственных колебаний рамы;

2. Вычислить отношения ампли­туд и графически изобразить возможные формы собственных ко­лебаний рамы;

3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний си­стемы;

4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изо­бразить примерный вид графика коэффициента динамичности;

5. Составить канонические уравнения по методу сил, определя­ющие вынужденные колебания системы, и определить амплитуд­ные значения инерционных сил;

6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции;

8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечно­го сечения рамы.

Решение:

Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совер­шает колебательное движение.

Рис.14.6

Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записы­ваются в виде:

                                                                  (14.32)

где  — перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i= 1,2; k = 1,2) по направле­нию соответствующей инерционной силы; ,  — перемеще­ния сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом: 

                                                                                                                    (14.33)

где

                                                                                                           (14.34)

С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m1 = m2 = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:

                                                                                       (14.35)

где .

Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные зна­чения инерционных нагрузок (способом Крамера):

,    (i = 1,2),                                                                                                 (14.36)

где приняты следующие обозначения:

.

Учитывая, что в данном случае P1 = P2, амплитуды динами­ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,…) сечении могут быть определены по формулам: 

                                                                                (14.37)

Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P1 = P2 = 0, принимают вид 

                                                                                                     (14.38)

Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

                                                                                                                      (14.39)

где  .

Здесь  — частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно ампли­туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше­ния. Очевидное решение  свидетельствует об отсутст­вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

.                                                                                                 (14.40)

Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно. После определения  с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты .

Первая частота называется частотой основного тона собст­венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить зна­чение (i = 1, 2), причем:

.                                                                                                           (14.41)

При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

,   (i = 1,2).                                                                                  (14.42)

После чего, задавая значение yii(i = 1,2), можно вычислить в долях , а  — в долях  и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого­нальности собственных форм записывается в виде:

,   (r,k = 1,2;   r ¹ k).                                                                             (14.43)

Определив собственные частоты ии вычислив частоту вынужденных колебаний , необходимо сопоставить  с ближай­шей из  или. Во избежание наступления резонансных колеба­ний рекомендуется, чтобы  отличалась от любой из частот , не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение или. Этого можно достичь путем:

— изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

— уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях ра­мы должны удовлетворять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы

Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

кН×м2.

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х1 = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил — на рис.14.8, аб.

Сначала рассчитываем раму на действие силы . Канони­ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

.                                                                                                                    (14.44)

Рис.14.7

Рис.14.8

Коэффициенты  и  находим перемножением эпюр и  по формуле Мора.       

Здесь  определяется как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) самой на себя, как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) с (рис.14.8, а).

                                                                   (14.45)

С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р1 =1 и Х1 = 5/16 изображена на рис.14.9, a.

Рис.14.9

Рассчитываем раму на действие силы Р2 = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:

.                                                                                                                    (14.46)

Здесь  определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7, б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:

.                                                                                   (14.47)

С учетом значения  из (14.45) и значения  из (14.47) и из (14.46) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р2 = 1 и Х1 = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.

Единичное перемещение  определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюры  самой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:

м/кН.

Единичное перемещение  определяется по формуле Мора перемножением эпюры  самой на себя (рис.14.9, б):

м/кН.

Единичное перемещение  определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюр  и , изображенных соот­ветственно на рис.14.9, аб:

м/кН.

Решив уравнение (14.40), получим:

,

откуда

.

Окончательно =166,75×10-6 м/кН; =10,.35×10-6 м/кН.

По формуле (14.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы:

c-1;

c-1.

Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения: c; c. 

2. Определение амплитуды собственных колебаний и графическое изображение собственных форм

Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (14.42), предварительно определив кН∙с2/м, имеем при = 1 и при = 1, соответственно:

Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изо­бражены на рис.14.10 (а — первая форма; б — вторая форма).

3. Проверка ортогональности собственных форм колебаний

Из условия ортогональности (14.43) имеем:

.

Рис.14.10

4. Определение круговой частоты вынужденных колебаний и изображение примерного вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вынужденных и собственных колебаний

В стационарном режиме круговая частота вынужденных колеба­ний системы имеет значение:

 c-1.

Сопоставим величину  с величиной ближайшей собственной частоты рамы :

.

Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину  или . В данном случае, принимая n = 900 об/мин, получим:

 c-1;

,

Рис.14.11

Следовательно, при  с-1 при­нятое условие во избежание резонансных колебаний выполняется.

Примерный вид графика коэффици­ента динамичности в зависимости от  изображен на рис. 14.11.

5. Определение амплитудных значений инерционных сил

В соответствии с принятым обозначением по формулам (14.34) и (14.35) последовательно определяем:

м/кН;

м/кН;

кН;

м/кН;

м/кН;

м2/кН;

м2/кН;

м2/кН.

По (14.33) определяем амплитудные значения инерционных сил:

= |D1/D |= |3,72/0.5| = 7,44 кН;

= |D2/D |= |9,64/0.5 |= 19,28 кН.

6. Определение эпюры изгибающих моментов от действия собственного веса вибраторов и амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном стационарном режиме колебания рамы

Значение изгибающих моментов, возникающих от действия собственного веса вибраторов, в произвольном сечении опреде­ляется по формуле:

.

Определяем значение  в характерных сечениях (0; 1; 2; 3) рамы (см. рис.14.9):

сечение 0:  = 20×(9/8 — 3/2) = -7,5 кН×м;

сечение 1: = 20×(-15/16 + 3/4) = -3,75 кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: = 20×(0 + 3) = 60 кН×м.

Эпюра изгибающих моментов  приведена на рис.14.12.

Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерци­онных нагрузок в соответствии с (14.37) определяются:

.

Рис. 14.12

Согласно последней формуле  в характерных сечениях имеет

следующие значения:

сечение 0: кН×м;

сечение 1:  кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3:    кН×м.

Эпюра  изображена на рис.14.12 (пунктиром).

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции

Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сечениях при одновременном действии статических и динамических нагрузок, определяется по формуле:

.

Эпюра Mk, как и эпюры  и , изображены на рис.14.12.

Из рис.14.12 согласно эпюре М следует, что наиболее опасным яв­ляется сечение 3.

8. Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении

кН/м2 = 53,2МПа 

Источник: http://www.stroitmeh.ru/lect53.htm

Biz-books
Добавить комментарий