Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В

1 ББК 22.161 я7 Учебное издание Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Типовой расчет по высшей математике Составители: АНКИЛОВ Андрей Владимирович ГОРЯЧЕВА

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В

Книги по всем темам Министерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ АНКИЛОВ А. В.

СОСТАВИТЕЛИ:

ГОРЯЧЕВА Н. Я.

РАСПУТЬКО Т. Б.

Ульяновск 2004 УДК 519.2 (076) ББК 22.161 я7 Д 50 Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа УлГПУ М. С. Чунаева.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных:

Д 50 типовой расчет по высшей математике / Сост.: А. В. Анкилов, Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 32 с.

Настоящий типовой расчет составлен в соответствии с программами математических дисциплин для инженерно-технических специальностей вузов, утвержденных Главным учебно-методическим управлением высшего образования 7 июля 2000 года.

Изложена методика выполнения типового расчёта по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», приведены варианты типового расчета и даны образцы решения задач с предварительными пояснениями.

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ.

УДК 519.2 (076) ББК 22.161 я7 Учебное издание Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Типовой расчет по высшей математике Составители: АНКИЛОВ Андрей Владимирович ГОРЯЧЕВА Наталья Яковлевна РАСПУТЬКО Татьяна Борисовна Редактор Н.А. Евдокимова Подписано в печать 10.06.2004. Формат 6084/16.

Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,87.

Тираж 450 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

© Оформление. УлГТУ, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение …………………………………………………………………….. 4 1. Теоретические вопросы ……………………………………………………. 2. Теоретические упражнения ………………………………………………… 3. Методические рекомендации к решению задач ………………………….. 4.

Расчетные задания ………………………………………………………….. Библиографический список.………………………………………………..

-3- ВВЕДЕНИЕ Настоящий типовой расчет (ТР) предлагается студентам 1-го курса для более глубокого самостоятельного изучения темы «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

Студент, выполняющий ТР, должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, решать теоретические упражнения, а также решить задачи одного из вариантов (номер варианта указывается преподавателем). В четвертой части ТР даны методические указания и приведены образцы решения задач типового расчета.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Определение функций двух переменных, ее области определения.

Геометрическое истолкование этих понятий. Понятие функции трех переменных.

2. Понятие предела функции двух и трех переменных в точке. Понятие непрерывной функции нескольких переменных.

3. Частные производные функции двух и трех переменных.

4. Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал первого порядка функции двух и трех переменных.

5. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

6. Частные производные сложной функции нескольких независимых переменных. Полная производная.

7. Дифференцирование неявных функций одной и нескольких независимых переменных.

8. Определение частных производных высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных функции двух переменных.

Дифференциал второго порядка функций двух и трех переменных.

9. Формула Тейлора и формула Маклорена для функции двух переменных.

10. Понятие точки экстремума функции двух и трех переменных.

11. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

12. Необходимые и достаточные условия экстремума функции трех переменных.

13. Понятие точки условного экстремума функции двух переменных.

14. Необходимые и достаточные условия условного экстремума функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа.

15. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области. Теорема Вейерштрасса.

-4- 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Доказать, что если функция f (x, y) непрерывна в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке и по каждой из переменных x и y в отдельности.

2. Доказать утверждение: если функция f (x, y) имеет частную производную f (x, y) в некоторой окрестности точки M (a,b), причем x существует предел lim f (a + h,b)= c, то этот предел равен f (a, b).

x x h3. Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности является функцией трех переменных: долготы точки, ее широты и момента времени t.

Указать физический смысл частных производных T,T,Tt.

4. Доказать утверждение: если функция f (x, y) удовлетворяет неравенству | f (x, y) |< x2 + y, то она дифференцируема в точке (0,0).

x3 y 5. Доказать, что функция f (x, y)= (x6 + y ), если x6 + y2 0, и f (x, y) = 0, если x = y = 0, – разрывна при x = y = 0, но имеет частные производные в точке (0, 0).

y y 6. Доказать, что функция z = x g + y g удовлетворяет x x соотношению x2zxx + 2xyzxy + y2zyy = 0.

7. Доказать, что U = g(z)U, где U = f (z), а z – функция от x и y, y x определяемая из уравнения z = x + y g(z).

8. Доказать, что касательная плоскость к поверхности xyz = a3 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.

9. Сумма нескольких положительных чисел, имеющих данное произведение, оказывается наименьшей тогда и только тогда, когда все эти числа равны между собой. Доказать.

10. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x2 + y имеет экстремум в точке (0,0).

11. Пользуясь определением, доказать, что функция U = sin (x + y + z) имеет экстремум в точке (0,0).

12. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x2 — y в точке (0,0) экстремума не имеет (причем точка (0,0) является стационарной для функции z).

13. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x2 + y в точке (0,0) имеет экстремум. Доказать, что в точке (0,0) частные производные z x и z y не существуют.

-5- 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЗАДАЧА №1. Найти и изобразить на плоскости область определения x2 + y2 y функции z = ln + arcsin + x.

xРешение. Область определение функции z есть пересечение областей определения слагаемых функций.

Первая функция: для того, чтобы квадратный корень имел вещественное значение, его подкоренное выражение должно быть x2 + y неотрицательным, т. е. ln.

Если значение логарифмической функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, x2 + y должно быть больше или равно единице, т. е. 1, отсюда x2 + y 4.

Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной y y окружности. Вторая функция arcsin определена при -1 1, x 0.

xxСледовательно, — x2 y x2, x 0. Имеем две параболы с вершиной в начале координат y = x2 и y = -x2. Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при x 0.

Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых (рис. 1).

Рис. 1. Область определения функции z(x,y) ЗАДАЧА № 2.1. Найти производные сложной функции u z = ln(xy2 — 2×2 y), где x =, y = u sin v.

vРешение. Выполняя действия в соответствии с формулами:

zu = zxxu + zy yu, zv = zxxv + zy yv, -6- y2 — 4xy 1 2xy — 2x получим: zu = + sin v, xy2 — 2×2 y v2 xy2 — 2×2 y y2 — 4xy 2u 2xy — 2x zv = — + u cosv.

xy2 — 2×2 y v3 xy2 — 2×2 y Вместо x и y подставим их выражения через u и v. После несложных преобразований получим:

3 2v2 sin v(v cos v — sin v)+ 8sin v — 2v cos v zu =, zv =.

u v sin v(v2 sin v — 2) ЗАДАЧА № 2.2. Продифференцировать сложную функцию u = x3 yz2, где x = sint, y = t, z = t2.

Решение. Так как u является функцией одной независимой переменной, то речь идет о вычислении обыкновенной производной ut. Выполняя действия в соответствии с формулой ut = ux xt + uy yt + uz zt, получим:

x3z ut = 3×2 yz2 cost + + 2×3 yz2t.

2 t Вместо x, y и z подставим их в выражения через t:

t.

ut = 3sin2 t cost t4 t + sin3 t + 4sin3 t t3 t = 0.5t3 t sin2 t(6t cost + 9sin t) 2 t ЗАДАЧА № 3. Найти все частные производные и полные дифференциалы первого и второго порядка от функции z = (2×3 + y2 )2.

Решение. Находим все частные производные 1-го и 2-го порядков:

zx =12×2(2×3 + y2), zy = 4y(2×3 + y2), zxx = 24x(2×3 + y2) + 12×2 6×2 =120×4 + 24xy2, zxy = 24×2 y, zyy = 8×3 + 12y2.

Находим дифференциалы:

dz = zxdx + zydy =12×2(2×3 + y2)dx + 4y(2×3 + y2)dy, d2z = zxxdx2 + 2zxydxdy+ zyydy2 = (120×4 + 24xy2)dx2 + 48x2ydxdy+ (8×3 +12y2)dy2.

y x ЗАДАЧА № 4. Доказать, что функция z = e удовлетворяет соотношению:

z 2z x2 — y2 = 0.

x x yРешение. Находим производные:

y y y z y z 1 2z, x x x = e — = e, = e ;

x y x x2 y2 x-7- далее получаем y y y z y y x x2 = x2e — = — ye = e.

x x x x x x x2 x Подставляя в левую часть соотношения, получаем:

y y z 2z y x x x2 — y2 = e — y2 e = 0, x x x y2 x что и требовалось доказать.

ЗАДАЧА № 5.1. Найти первую и вторую производные неявной функции, заданной уравнением ln(2x + 3y) — 2x — y3 = 0.

Решение. Производная неявной функции y=y(x), заданной с помощью dy F F уравнения F(x,y)=0, может быть вычислена по формуле = — при dx x y F условии, что 0. В данном случае F(x, y) = ln(2x + 3y) — 2x — y3 = 0.

y Находим F x u F y :

F 2 F = — 2, = — 3y2.

x 2x + 3y y 2x + 3y Производная неявной функции равна:

F — y 2x + 3y 2 — 4x — 6y x = — = — = -. (3.1) F x — 3y2 3 — 6xy2 9yy 2x + 3y Производную второго порядка можно найти последовательным дифференцированием последнего соотношения, рассматривая при этом y как функцию от x. Получаем:

2 y 2 — 4x — 6y — = = x x2 3 — 6xy2 — 9y (-4 — 6y )(3 — 6xy2 — 9y3) — (2 — 4x — 6y)(-6y2 -12xyy — 27 y2 y ) = -.

(3 — 6xy2 — 9y3) dy Подставляя в это соотношение выражение для = y из формулы (3.1), dx получим производную второго порядка для функции y:

6x + 9y + 72×2 y2 +108xy3 + 54y4 + 6y2 + 6xy4 + 9y5 +12xy -16×2 y — 60xy -54y3 -16x3y yxx =12.

(3- 6xy2 -9y3) -8- ЗАДАЧА № 5.2. Найти первые и вторые частные производные неявной функции, заданной уравнением z2x — x2 y + y2z + 2x — y = 0. (3.2) Решение. Будем дифференцировать по x и по y равенство (3.2), понимая под z неявную функцию двух переменных. Дифференцируем равенство (3.2) по x:

2zzx x + z2 — 2xy + y2zx + 2 = 0. (3.3) 2xy — z2 — Найдем.

zx = 2xz + yДифференцируем равенство (3.2) по y:

2zzy x — x2 + 2yz + y2zy -1 = 0. (3.4) x2 — 2yz +Найдем.

zy = 2xz + yЧтобы найти производные второго порядка, продифференцируем равенство (3.3) сначала по x, потом по y, а равенство (3.4) по y:

2x(zx )2 + 2xzzxx + 4zzx — 2 y + y2zxx = 0, (3.5) 2xzx zy + 2xzzxy + 2zzy — 2x + 2yzx + y2zxy = 0, (3.6) 2x(zy )2 + 2xzzyy + 2z + 2yzy + y2zyy + 2yzy = 0. (3.7) Из (3.5), (3.6), (3.7) соответственно найдем:

2x — 2yzx — 2zzy — 2xzxzy 2y — 4zzx — 2(zx )2 x (3.8) zxx =, zxy =, 2zx + y2 2xz + y — 2(zy) x — 2z — 4yzy (3.9) zyy =.

2xz + y Подставляя в (3.8), (3.9) выражения для zx и zy, получим zxx, zyy, zxy, зависящие от x, y, z:

2y5 + 6xz4 + 12xz2 + 4y2z3 + 8y2z — 8×3 y2 + 16×2 y — 8x zxx =, (2xz + y2) 6x3z2 +6x2y2z -2xy4 +4xyz3 +6y3z2 +4y3 -2xz2 -2y2z -4x4y +4y3 -4x2y +4x zxy =, (2xz+ y2) x5 + 2×3 yz + 2×3 + x + 4x2z3 — 3y4z + 2×2 y3 + 2 y.

zyy = -(2xz + y2) y ЗАДАЧА № 6. Разложить функцию z = x в окрестности точки M (1,1) по формуле Тейлора, ограничиваясь членами третьего порядка включительно.

Решение. В данном случае формула Тейлора принимает вид 2 df (1,1) d f (1,1) d f (1,1) f (x, y)= f (1,1)+ + + + R3, (3.10) 1! 2! 3! -9- где R3 – дополнительный член формулы Тейлора.

1) Найдем все частные производные функции до 3-го порядка включительно:

y -1 y y -2 y fx = yx, f = x ln x, fxx = y(y -1)x, f = x (ln x)2, y yy y -1 y -1 y -3 y fxy = x + yx ln x, fxxx = y(y -1)(y — 2)x, f = x (ln x)3, yyy y -2 y -2 y -1 y — fxxy = (2y -1)x + y(y -1)x ln x, fxyy = 2x ln x + yx (ln x)2.

2) Вычислим значения функции и ее частных производных в точке М(1, 1):

f (1,1)=1, fx(1, 1)=1, f (1,1)= 0, fxx(1,1)= 0, fxy(1,1)=1, f (1,1)= 0, y yy fxxx(1,1)= 0, fxxy(1,1)=1, fxyy(1,1)= 0, f (1,1)= 0.

yyy 3) Составим дифференциалы функций, участвующие в формуле (3.10) df (1,1)= fx(1,1)dx + f (1,1)dy = dx, y d f (1,1)= fxx(1,1)dx2 + 2 fxy(1,1)dxdy + f (1,1)dy2 = 2dxdy, yy d f (1,1)= fxxx(1,1)dx3 + 3 fxxy(1,1)dx2dy + 3 fxyy(1,1)dxdy2 + f (1,1)dy3 = 3dx2dy.

yyy Учитывая, что x0 = y0 = 1, dx = x — x0 = x -1, dy = y — y0 = y -1, подставим найденные значения в (3.10). Получим:

y x =1 + (x -1)+ (x -1)(y -1)+ (x -1)2(y -1)+ R3.

ЗАДАЧА № 7.1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к 1, поверхности z = excos y в точке M,.

e Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме z = f (x, y), то уравнение касательной плоскости в точке M (x0, y0, z0) имеет вид z — z0 = fx(x0, y0)(x — x0)+ f (x0, y0)(y — y0), y а уравнение нормали x — x0 y — y0 z — z= =.

fx(x0, y0 ) f (x0, y0 ) -y Найдем частные производные fx, f :

y fx = ex cos y cos y, f = ex cos y(- xsin y).

y Найдем значения частных производных в точке N(1, ): fx(1, )= -, e f (1, )= 0. Подставляя найденные значения и координаты точки М в y уравнения касательной плоскости и нормали, соответственно получим:

1 x -z — = — или x + ez — 2 = 0 – уравнение касательной плоскости, e e x -1 y — z -1 e x -1 y — z -1 e = = или = = – уравнение нормали.

-1 e 0 -1 1 0 e -10ЗАДАЧА № 7.2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 + 2y2 — 3z2 + xy + yz — 2xz + 16 = 0 в точке M (1; 2; 3).

Решение. Если уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z) = 0 (т. е.

поверхность задана неявно), то уравнение касательной плоскости в точке M (x0, y0, z0) есть:

Fx(x0, y0, z0 )(x — x0 )+ Fy(x0, y0, z0 )(y — y0 )+ Fz (x0, y0, z0 )(z — z0 )= 0.

Уравнение нормали:

x — x0 y — y0 z — z= = Fx(x0, y0, z0) Fy(x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0).

Обозначив через F(x, y, z) левую часть уравнения поверхности, найдем частные производные и их значения в точке М:

Fx = 2x + y — 2z, Fy = 4y + x + z, Fz = -6z + y — 2x, Fx(1; 2; 3)= -2, Fy(1; 2; 3)=12, Fz(1; 2; 3)= -18.

Окончательно получаем уравнение касательной плоскости:

— 2(x -1) + 12( y — 2) -18(z — 3) = 0 или x — 6y + 9z = 0, а уравнение нормали:

x -1 y — 2 z — 3 x -1 y — 2 z — = = или = =.

— 2 12 -18 1 — 6 ЗАДАЧА № 8. Найти точки экстремума функции двух переменных z = x2 + xy + y2 — 2x — y.

Решение. Необходимое условие экстремума функции двух переменных состоит в следующем: если дифференцируемая функция z = f (x, y) достигает экстремума в точке M (x0, y0), то в этой точке частные производные первого порядка обращаются в ноль: zx(x0, y0)= 0, zy(x0, y0) = 0. Точки, в которых выполняются эти условия, называются стационарными.

Найдем стационарные точки функции z. Для этого решим систему:

zx = 2x + y — 2 = 0, z x + 2y -1 = 0.

= y Получим стационарную точку М(1; 0).

Применим достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Пусть M (x0, y0) – стационарная точка функции z = f (x, y), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки М, тогда все ее вторые частные производные непрерывны в точке М. Введем обозначения:

A = zxx(x0, y0 ), B = zyy(x0, y0 ), C = zxy(x0, y0 ), D = AB — C2.

Тогда:

1) если D > 0, то функция z = f (x, y) имеет в точке M(x0, y0) экстремум, а именно – максимум, если A < 0 (C < 0 ), и минимум, если A > 0 (C > 0 );

-112) если D < 0, то экстремума в точке M (x0, y0) нет;

3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

Вычислим вторые производные данной функции: A = zxx(1; 0)= 2, B = zyy(1; 0)= 2, C = zxy(1; 0)=1. Найдем D = AB — C2 = 3 > 0, и так как A > 0, то можно сделать вывод, что в точке М(1; 0) функция z = x2 + xy + y2 — 2x — y имеет минимум. Значение функции в точке минимума равно: zmin = -1.

ЗАДАЧА №9. Найти точки экстремума функции трех переменных:

Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/2597-1.php

Анкилов Высшая математика т

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников

Высшая математика

Часть 2

Учебное пособие 2-е издание

УДК 51 (075) ББК 22.311 я7 А67

Рецензенты: кафедра прикладной математики УлГУ (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор А. А. Бутов); д-р физ.-мат. наук, профессор УлГУ А. С. Андреев.

Под общей редакцией д-ра физ.-мат. наук, профессора П. А. Вельмисова

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия.

Анкилов, А. В.

A 67

Высшая математика : учебное пособие. В 2 ч. Ч. 2 /

А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников; под общей

редакцией П. А. Вельмисова. – 2-е изд.– Ульяновск : УлГТУ, 2011.. – 272 с.

ISBN 978-5-9795-0899-3

Пособие предназначено для бакалавров всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика».

Пособие является Лауреатом Первого Всероссийского конкурса Научнометодического совета по математике Министерства образования и науки Российской Федерации «Лучшее учебное издание по математике» в номинации «Математика в технических вузах».

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. Печатается в авторской редакции.

УДК 51 (075)

ББК 22.311 я7

Анкилов А. В., Вельмисов П. А.,

Решетников Ю. А., 2008

Анкилов А. В., Вельмисов П. А.,

Решетников Ю. А., 2011

ISBN 978-5-9795-0899-3

Оформление. УлГТУ, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………………………………………………..

7

Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных…….

8

1.1. Определение, предел и непрерывность функций нескольких переменных……………..

8

1.1.1. Определение функции нескольких переменных……………………………………………….

8

1.1.2. Предел функции нескольких переменных………………………………………………………..

9

1.1.3. Непрерывность функции нескольких переменных…………………………………………

10

1.2. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных..

12

1.2.1. Частные производные……………………………………………………………………………………

12

1.2.2. Дифференцируемость функции, полный дифференциал…………………………………

13

1.2.3. Производные сложных функций……………………………………………………………………

15

1.2.4. Производные неявных функций…………………………………………………………………….

17

1.2.5. Частные производные высших порядков……………………………………………………….

18

1.3. Экстремумы функций нескольких переменных …………………………………………………..

19

1.3.1. Необходимые условия экстремума………………………………………………………………..

19

1.3.2. Достаточные условия экстремума………………………………………………………………….

20

1.3.3. Условный экстремум…………………………………………………………………………………….

21

1.3.4. Метод наименьших квадратов……………………………………………………………………….

24

1.4. Основные термины…………………………………………………………………………………………….

26

1.5. Вопросы для самоконтроля…………………………………………………………………………………

27

1.6. Задачи для самостоятельного решения………………………………………………………………..

27

1.7. Итоговый контроль…………………………………………………………………………………………….

30

1.7.1. Тест………………………………………………………………………………………………………………

30

1.7.2. Задачи…………………………………………………………………………………………………………..

32

Глава 2. Кратные интегралы…………………………………………………………………………………..

37

2.1. Двойной интеграл………………………………………………………………………………………………

37

2.1.1. Определение и условие существования двойного интеграла…………………………..

37

2.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла…………………………………………………..

38

2.1.3. Свойства двойного интеграла………………………………………………………………………..

39

2.1.4. Вычисление двойного интеграла……………………………………………………………………

40

2.1.5. Замена переменных в двойном интеграле………………………………………………………

43

2.1.6. Приложения двойного интеграла…………………………………………………………………..

46

2.2. Тройной интеграл……………………………………………………………………………………………….

50

2.2.1. Определение и вычисление тройного интеграла…………………………………………….

50

2.2.2. Замена переменных в тройном интеграле………………………………………………………

52

2.2.3. Приложения тройного интеграла…………………………………………………………………..

55

2.3. Основные термины…………………………………………………………………………………………….

56

2.4. Вопросы для самоконтроля…………………………………………………………………………………

56

2.5. Задачи для самостоятельного решения………………………………………………………………..

57

2.6. Итоговый контроль…………………………………………………………………………………………….

59

2.6.1. Тест………………………………………………………………………………………………………………

59

2.6.2. Задачи…………………………………………………………………………………………………………..

62

Глава 3. Криволинейные и поверхностные интегралы……………………………………….

67

3.1. Криволинейные интегралы…………………………………………………………………………………

67

3.1.1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода………

67

3.1.2. Определение криволинейного интеграла первого рода, его физический

и геометрический смысл……………………………………………………………………………………..

68

3.1.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода……………………………………

69

3.1.4. Криволинейный интеграл второго рода и его физический смысл……………………

70

3.1.5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода ……………………………………

72

3.1.6. Формула Грина……………………………………………………………………………………………..

73

3.1.7. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования….

76

3.2. Поверхностные интегралы………………………………………………………………………………….

78

3.2.1. Поверхностный интеграл первого рода………………………………………………………….

78

3.2.2. Поверхностный интеграл второго рода………………………………………………………….

81

3.2.3. Формула Остроградского-Гаусса…………………………………………………………………..

84

3.2.4. Формула Стокса……………………………………………………………………………………………

86

3.3. Основные термины…………………………………………………………………………………………….

87

3.4. Вопросы для самоконтроля…………………………………………………………………………………

87

3.5. Задачи для самостоятельного решения………………………………………………………………..

88

3.6. Итоговый контроль…………………………………………………………………………………………….

89

3.6.1. Тест………………………………………………………………………………………………………………

90

3.6.2. Задачи…………………………………………………………………………………………………………..

91

Глава 4. Элементы теории поля………………………………………………………………………………

97

4.1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент скалярного поля………..

97

4.2. Векторное поле…………………………………………………………………………………………………..

99

4.2.1. Понятие векторного поля. Векторные линии………………………………………………….

99

4.2.2. Поток векторного поля………………………………………………………………………………..

101

4.2.3. Дивергенция векторного поля……………………………………………………………………..

102

4.2.4. Циркуляция векторного поля……………………………………………………………………….

104

4.2.5. Ротор векторного поля…………………………………………………………………………………

106

4.2.6. Простейшие векторные поля……………………………………………………………………….

107

4.2.7. Оператор Гамильтона………………………………………………………………………………….

109

4.3. Основные термины…………………………………………………………………………………………..

110

4.4. Вопросы для самоконтроля……………………………………………………………………………….

110

4.5. Задачи для самостоятельного решения………………………………………………………………

111

4.6. Итоговый контроль…………………………………………………………………………………………..

112

4.6.1. Тест…………………………………………………………………………………………………………….

113

4.6.2. Задачи…………………………………………………………………………………………………………

115

Глава 5. Ряды……………………………………………………………………………………………………………

120

5.1. Числовые ряды…………………………………………………………………………………………………

120

5.1.1. Определение ряда и его сходимость…………………………………………………………….

120

5.1.2. Свойства сходящихся рядов ………………………………………………………………………..

122

5.1.3. Знакоположительные ряды………………………………………………………………………….

123

5.1.4. Знакопеременные ряды ……………………………………………………………………………….

126

5.2. Степенные ряды……………………………………………………………………………………………….

129

5.2.1. Степенной ряд. Область сходимости……………………………………………………………

129

5.2.2. Разложение функций в степенные ряды……………………………………………………….

132

5.3. Ряды Фурье………………………………………………………………………………………………………

136

5.3.1. Тригонометрический ряд. Ортогональность основной

тригонометрической системы…………………………………………………………………………….

136

5.3.2. Ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье……………………………………………………………..

137

5.3.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций…………………………………………………

141

5.3.4. Ряд Фурье для 2l-периодической функции …………………………………………………..

143

5.3.5. Ряд Фурье для непериодической функции……………………………………………………

144

5.4. Основные термины…………………………………………………………………………………………..

146

5.5. Вопросы для самоконтроля……………………………………………………………………………….

147

5.6. Задачи для самостоятельного решения………………………………………………………………

148

5.7. Итоговый контроль…………………………………………………………………………………………..

149

5.7.1. Тест…………………………………………………………………………………………………………….

150

5.7.2. Задачи…………………………………………………………………………………………………………

151

Глава 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения…………………………………..

156

6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка………………………………………………..

156

6.1.1. Основные понятия ………………………………………………………………………………………

156

6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными……………………………………………….

157

6.1.3. Однородные уравнения первого порядка……………………………………………………..

158

6.1.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли……………………….

160

6.1.5. Уравнения в полных дифференциалах…………………………………………………………

162

6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков……………………………………………..

163

6.2.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка – основные понятия…………………

163

6.2.2. Уравнения, допускающие понижения порядка……………………………………………..

164

6.3. Линейные дифференциальные уравнения………………………………………………………….

166

6.3.1. Основные понятия ………………………………………………………………………………………

166

6.3.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами….

168

6.3.3. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных……………………………………………………….

170

6.3.4. Понятие о краевой задаче…………………………………………………………………………….

172

6.4. Системы дифференциальных уравнений……………………………………………………………

172

6.4.1. Основные понятия ………………………………………………………………………………………

172

6.4.2. Метод исключения неизвестных………………………………………………………………….

174

6.4.3. Метод Эйлера……………………………………………………………………………………………..

174

6.5. Основные термины…………………………………………………………………………………………..

176

6.6. Вопросы для самоконтроля……………………………………………………………………………….

176

6.7. Задачи для самостоятельного решения………………………………………………………………

177

6.8. Итоговый контроль…………………………………………………………………………………………..

179

6.8.1. Тест…………………………………………………………………………………………………………….

179

6.8.2. Задачи…………………………………………………………………………………………………………

182

Глава 7. Численные методы и их реализация в системе MathCAD………………….

189

7.1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса………………………………………

190

7.1.1. Постановка задачи ………………………………………………………………………………………

190

7.1.2. Задание на лабораторную работу…………………………………………………………………

192

7.1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе………………………………….

193

7.1.4. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример………………………………

194

7.1.5. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера……………….

200

7.1.6. Основные термины……………………………………………………………………………………..

202

7.1.7. Вопросы для самоконтроля………………………………………………………………………….

202

7.2. Решение нелинейных уравнений……………………………………………………………………….

204

7.2.1. Постановка задачи ………………………………………………………………………………………

204

7.2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод……………………………………….

204

7.2.3. Метод половинного деления………………………………………………………………………..

205

7.2.4. Метод Ньютона…………………………………………………………………………………………..

205

7.2.5. Метод хорд …………………………………………………………………………………………………

206

7.2.6. Комбинированный метод…………………………………………………………………………….

207

7.2.7. Задание на лабораторную работу…………………………………………………………………

208

7.2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе………………………………….

209

7.2.9. Программа в системе MathCAD и тестирующий пример………………………………

210

7.2.10. Расчетная часть лабораторной работы для тестирующего примера……………..

216

Источник: https://studfile.net/preview/3309379/

Biz-books
Добавить комментарий