Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И.

1 ББК 38.112 я7 © Куканов Н. И.,составление, 2011 © Оформление. УлГТУ, 2011 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение

Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И.

Книги по всем темам МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Часть 1 Методические указания Составитель Н.

И. Куканов Ульяновск УлГТУ 2011 УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я7 Ч-67 Рецензент доктор технических наук, профессор В. К. Манжосов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч.

Ч. 1 : методические указания / сост. Н. И. Куканов.

– Ульяновск :

Ч-67 УлГТУ, 2011. – 23 с.

Указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Аналитические и численные методы решения задач математической физики» для магистратуры по направлению «Строительство», профиль подготовки «Теория проектирования зданий и сооружений». В методических указаниях рассматриваются основные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

методы конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов. Приведены примеры решения задач.

Методические указания предназначены для магистрантов направления «Строительство». Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я7 © Куканов Н. И.,составление, 2011 © Оформление. УлГТУ, 2011 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………………………………… 3 1. Метод конечных разностей…………………………………………………….. 5 1.1. Конечно-разностные аппроксимации производных……….. 5 1.2.

Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей……………………………………………………………. 7 2. Метод конечных элементов……………………………………………………. 2.1. Аппроксимация базисными функциями………………………… 2.2. Взвешенные невязки……………………………………………………..

2.3. Понятие конечного элемента………………………………………… 2.4. Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента…………………………………………………………………………….. 2.5. Формирование системы уравнений на примере решения задачи…………………………………………………………………………..

……. 3. Метод граничных элементов………………………………………………….. 3.1. Понятие фундаментального решения дифференциального уравнения……………………………………………. 3.2. Пример решения задачи поперечного изгиба стержня……. Заключение………………………………………………………………………………..

Библиографический список………………………………………………………..

ВВЕДЕНИЕ Настоящие учебно-методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 27010068 «Строительство» (профиль подготовки «Теория и проектирование зданий и сооружений»), изучающих дисциплину «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики».

При поиске количественного описания физического явления обычно вводят в рассмотрение некоторую систему дифференциальных уравнений, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия. На этой стадии математическая модель построена, и для практического применения требуется найти решение для исходного множества исходных данных.

Здесь возникают основные трудности, так как точному решению поддаются лишь уравнения простого вида внутри области с геометрическими тривиальными границами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним из немногих примеров, для которых имеются стандартные процедуры решения, но даже здесь при большом числе зависимых переменных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность воспользоваться вычислительной техникой, необходимо преобразовать задачу к чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметические операции.

Для достижения этой цели могут быть использованы различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями.

При такой дискретизации бесконечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, заменяется конечным числом неизвестных параметров, и для этого процесса требуется некоторая форма аппроксимации искомых функций.

При численном решении уравнений математической физики широко применяются следующие методы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).

1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 1.1. Конечно-разностные аппроксимации производных Предположим, что решается одномерная краевая задача, т. е. требуется определить функцию x, удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке 0 x вместе с надлежащими краевыми условиями при x 0 и x.

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной x, т. е. строится множество (сетка) N 1 дискретных равноотстоящих точек xi (i 0, 1, 2,…, N ) на отрезке 0 x с x0 0, xN и x xi1 xi N.

Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование, членами, в которых используются только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

Пользуясь разложением по формуле Тейлора, можно записать 1 d 1 d xi1 xi x x x2…, 1! dx 2! dxx xi x xi используя нижний индекс i для значения функции в точке x xi, это соотношение можно переписать в виде d 1 d i1 i x x2…, или ( 1 ) dx dxi i d i1 i 1 d x…

dx x dxi i Это приведет к аппроксимации разностью вперед для первой производной функции d i1 i.

( 2 ) dx x i Погрешность данной аппроксимации имеет порядок Ox.

Аналогичным образом, пользуясь разложением по формуле Тейлора, получим d 1 d i1 i x x2…, или ( 3 ) dx dxi i d i i1 1 d x…

dx x dxi i Получим аппроксимацию разностью назад для первой производной функции d i i1, ( 4 ) dx x i которая имеет порядок погрешности Ox.

Обе аппроксимации (2) и (4) имеют один и тот же порядок погрешности Ox, который можно повысить, вычтя (3) из (1) d 1 di1 i1 2x x3…, dx 3! dxi i тем самым получим аппроксимацию центральной разностью d i1 i1, ( 5 ) dx 2x i порядок погрешности которой Ox2.

Это представление должно быть лучше, чем аппроксимация разностями вперед и назад, т. е. чем меньше выбран шаг x, тем численное решение будет ближе к точному решению.

Сложим (1) и (3) 2 d i1 2i i1 1 d x2, 4! dx2 x2 dxi i тем самым получим аппроксимацию второй производной функции d i1 2i i1, ( 6 ) dx2 xi погрешность которой имеет порядок Ox2.

Аппроксимации производных более высоких порядков, если они потребуются, можно получить аналогичным образом.

1.2. Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения [1].

Распределение изгибающего момента M в балке под действием распределенной нагрузки qx на единицу длины удовлетворяет уравнению d M qx. Балка единичной длины свободно оперта (т. е. M 0 ) на dxобоих концах и несет нагрузку qx sinx на единицу длины. Вычислить распределение изгибающего момента конечно-разностным методом, используя шаг сетки x 0,25.

d M Записывая уравнение qx в выбранной точке сетки xi, имеем dxd M точное равенство qi и, используя аппроксимацию (6) для второй dxi производной, приходим к уравнению для произвольной точки xi Mi1 2Mi Mi1 x2qi.

( 7 ) Записывая это уравнение для внутренних точек x1 x0 x 0,25, x2 x1 x 0,5 и x3 x2 x 0,75, получим систему уравнений M2 2M1 M0 x2q M 2M2 M1 x2q M 2M3 M2 x2q С учетом краевых условий M0 0 при x0 0 и M4 0 при x4 1, а также значений распределенной нагрузки во внутренних точках q1 sin0,25 1 2, q2 sin0,5 1 и q3 sin0,75 1 2, получим следующую систему уравнений 2M 1 M 2 x 2q1 M 0 x 2 M 2M M x 2q2 x 1 2 2M x q3 M x 2, M 2 3 которую можно записать в матричном виде AM B, 2 1 0 M1 1 где A 1 2 1, M M2, B x2 1.

1 0 1 2 M Таким образом, исходная задача определения неизвестной функции изгибающего момента Mx заменяется задачей решения матричного уравнения относительно дискретного множества значений M1, M2, M3.

Решение системы 3 2 1 1 2 1 2 2 0, 1 xM A1B 1 0,10609.

2 4 2 1 2 2 1 2 31 2 1 2 0, Точное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид M x sinx, которое дает следующие значения в тех же точках:

1 M1 sin 0,07165, 2 1 M2 sin 0,10132, 2 1 3 M3 sin 0,07165.

2 Конечно-разностный метод дает информацию о значениях функции в узлах сетки, но не дает никакой информации о значениях функции между этими точками. В действительности дифференциальное уравнение аппроксимируется только в дискретном числе точек, а не на всем интервале.

2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 2.1. Аппроксимация базисными функциями Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функцию x на некотором отрезке 0 x. В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями, необходимо найти решение, удовлетворяющее определенным краевым условиям.

Построим аппроксимирующую функцию, которая в точках x 0 и x принимает те же значения, что и x. Если найти некоторую функцию x, принимающую одинаковые с x значения на концах отрезка, т. е. 0 0 и, и ввести систему линейно независимых базисных функций Nmm 0,1,…

, M, таких, что Nm0 Nm 0 для всех m, то на можно предложить аппроксимацию для :

M x x x ( 8 ) a Nmx, m mгде amm 0, 1,…, M — некоторые параметры, вычисляемые таким образом, чтобы получить хорошее приближение. Базисные функции этого типа иногда называют функциями формы, или пробными функциями.

Способ определения и системы базисных функций автоматически обеспечивает тот факт, что аппроксимация обладает свойством 0 и для любых значений параметровam. Ясно, что система базисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантировать улучшение аппроксимации при возрастании числа M используемых базисных функций.

Параметры am выбираются на основании требования, что аппроксимация должна совпадать с функцией в M различных произвольно выбранных точках. Это требование приводит к системе линейных уравнений относительно набора параметров amm 0, 1,…, M. Например, можно выбрать такие наборы базисных функций на отрезке 0 x :

Nm x m11x ; Nm sinm 1x.

2.2. Взвешенные невязки Введем погрешность (невязку) Rx в аппроксимации M Rx x x x x ( 9 ) a Nmx.

m mЧтобы уменьшить невязку на всем отрезке, потребуем равенства нулю соответствующего числа интегралов от погрешности, взятых с различными весами, т. е.

( 10 ) l W xRxdx 0 l 0, M, где Wlx — множество линейно независимых весовых функций.

Подставив в (10) выражение (9), получим систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов am, которую запишем в матричном виде KA F, ( 11 ) где A a0, a1,…, aM T ;

K klm, klm Nmdx l,m 0, M ;

l W F f0, f1,…, fM T, fl dx l 0, M.

l W На практике используются различные виды систем весовых функций Wlx l 0, M, ведущие к разным методам аппроксимации посредством взвешенных невязок.

Приведем наиболее известные виды весовых функций:

1. Поточечная коллокация Весовые функции задаются в виде дельта-функции Дирака 0, x xl, Wlx x xl, x xl, которая обладает свойством gxx xl dx gxl.

Согласно (10), выбор таких весовых функций эквивалентен тому, что невязка Rx полагается равной нулю (т. е. ) в ряде заданных точек xl. Тогда матрица K и вектор F в (11) имеют элементы klm Nmxl ; fl xl xl.

2. Коллокация по подобластям При данном подходе весовые функции принимаются в виде 1, x xl, xl 1, Wlx x xl xl 1 x 0, x xl, xl, 1, x где x — функция Хевисайда («ступенчатая» функция).

0, x В этом случае элементы матрицы K и вектора F принимают вид xl1 xlklm Nmxdx ; fl dx.

xl xl 3. Метод Галеркина В этом наиболее популярном методе взвешенных невязок вместо привлечения новой системы функций в качестве весовых множителей выбираются сами базисные функции, т. е.

Wl Nl.

В этом случае в системе (11) матрица K и вектор F имеют элементы klm Nl Nmdx ; fl Nl dx, 0 что приводит к симметрии матрицы K и обеспечивает методу вычислительные преимущества.

Кроме того, если базисные функции Nm подобраны таким образом, что выполняется условие ортогональности Nl Nmdx 0 при l m1, то матрица K принимает диагональный вид и коэффициенты am можно выразить в явном виде.

При выборе весовых и базисных функций в виде синус-рядов N sinmx, получим разложение функции m в ряд Фурье.

2.3. Понятие конечного элемента Аппроксимация функции в виде (8) предполагает, что базисные функции Nm определены одним выражением для всей области (0 x ), а интегралы (10) вычисляются сразу по всей области.

Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд неперекрывающихся подобластей или элементов e ( xe1 x xe ) и построении затем аппроксимации кусочным образом, т. е. отдельно на каждой подобласти.

Тогда используемые в процессе аппроксимации базисные функции также могут быть определены кусочным образом с применением различных выражений для разных подобластей e, из которых составлена вся область.

В таком случае входящие в аппроксимирующие уравнения определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу:

xe E ( 12 ) l l W xRxdx W xRxdx 0, e0 xeE при условии, что. Здесь E – общее количество элементов.

e eВ пределах каждого элемента базисные функции можно определять простыми зависимостями (полиномами нулевого, первого, второго и т. д.

порядка), тем самым искомая функция кусочно аппроксимируется в пределах каждого элемента. В этом состоит идея метода конечных элементов. Кусочное определение базисных функций означает, что аппроксимирующие функции или их производные могут иметь разрывы на стыках двух соседних элементов, что допустимо.

2.4. Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента Рассмотрим использование метода конечных элементов для аппроксимации произвольной функции x на отрезке 0 x. Разбиение отрезка на E непересекающихся подотрезков e осуществляется простым выбором подходящего множества точек xl l 0, 1,…, M при x0 и xM. В качестве элемента e берется отрезок xe1 x xe. В данном случае E M.

Используя метод поточечной коллокации для аппроксимации заданной функции x, получим постоянные значения функции x на каж дом элементе. Получаемая аппроксимация является разрывной со скачками в точках сопряжения элементов xl. В качестве точек коллокации выбираются средние точки элементов. Эти точки называются узлами. В конечно-элементных процессах узлы и элементы нумеруются.

Функция x может быть записана в стандартной форме (8) путем сопоставления каждому узлу m кусочно-постоянной разрывной и одинаковой для всех элементов глобальной базисной функции Nm, по определению принимающей единичное значение на элементе m и нулевое значение на всех других элементах M x x ( 13 ) Nmx, m mгде am m – значение функции в узле m.

Произвольная функция x из (8) здесь опущена, и, следовательно, эта аппроксимация не будет равна значению функции x в граничных точках отрезка x0 0, xM. Однако в данном представлении эти значения приближаются сколь угодно точно при уменьшении длин элементов, прилегающих к границам x0 0 и xM.

На каждом элементе e глобальная аппроксимация (13) может быть выражена через значения e в узле элемента и базисной функции e элемента N e e eN x e, N x x xe1xe x на элементе e, ( 14 ) e где N x определена для элемента e и принимает на этом элементе единичное значение.

Рассмотрим случай аппроксимации функцией, линейно меняющейся по длине каждого элемента. В этом случае (нумерованными) узлами яв ляются точки сопряжения элементов, и аппроксимация осуществляется путем сопоставления каждому узлу i кусочно-линейной глобальной базисной функции Nix.

Эти глобальные базисные функции обладают тем свойством, что Ni отлично от нуля только на элементах, ассоциируемых с узлом i, причем Ni 1 в узле i и равно нулю во всех других узлах. Можно заметить, что с узлами некоторого элемента ассоциируются только те глобальные базисные функции, которые на нем отличны от нуля.

Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/23343-1.php

Численные методы решения задач математической физики – pdf скачать бесплатно

Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И.

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Часть Методические указания Составитель Н. И. Куканов Ульяновск УлГТУ

2 УДК (7) ББК 8. я7 Ч-7 Рецензент доктор технических наук, профессор В. К. Манжосов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Ч-7 Численные методы решения задач математической физики. В ч. Ч. : методические указания / сост. Н. И. Куканов. Ульяновск : УлГТУ,. с.

Указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Аналитические и численные методы решения задач математической физики» для магистратуры по направлению «Строительство», профиль подготовки «Теория проектирования зданий и сооружений».

В методических указаниях рассматриваются основные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: методы конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов. Приведены примеры решения задач. Методические указания предназначены для магистрантов направления «Строительство».

Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики. УДК (7) ББК 8. я7 Куканов Н. И.,составление, Оформление. УлГТУ,

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение…. Метод конечных разностей Конечно-разностные аппроксимации производных Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей Метод конечных элементов Аппроксимация базисными функциями Взвешенные невязки…..

Понятие конечного элемента Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента Формирование системы уравнений на примере решения задачи Метод граничных элементов Понятие фундаментального решения дифференциального уравнения Пример решения задачи поперечного изгиба стержня…

9 Заключение… Библиографический список… 4

4 ВВЕДЕНИЕ Настоящие учебно-методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 78 «Строительство» (профиль подготовки «Теория и проектирование зданий и сооружений»), изучающих дисциплину «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики».

При поиске количественного описания физического явления обычно вводят в рассмотрение некоторую систему дифференциальных уравнений, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия.

На этой стадии математическая модель построена, и для практического применения требуется найти решение для исходного множества исходных данных. Здесь возникают основные трудности, так как точному решению поддаются лишь уравнения простого вида внутри области с геометрическими тривиальными границами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним из немногих примеров, для которых имеются стандартные процедуры решения, но даже здесь при большом числе зависимых переменных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность воспользоваться вычислительной техникой, необходимо преобразовать задачу к чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметические операции. Для достижения этой цели могут быть использованы различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями.

При такой дискретизации бесконечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, заменяется конечным числом неизвестных параметров, и для этого процесса требуется некоторая форма аппроксимации искомых функций. При численном решении уравнений математической физики широко применяются следующие методы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ). 4

5 . МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ.. Конечно-разностные аппроксимации производных Предположим, что решается одномерная краевая задача, т. е. требуется определить функцию, удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке вместе с надлежащими краевыми условиями при и.

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной, т. е. строится множество (сетка) N дискретных равноотстоящих точек (,,,…, N ) на отрезке с, и N.

Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование, членами, в которых используются только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

Пользуясь разложением по формуле Тейлора, можно записать d d!!… используя нижний индекс для значения функции в точке, это соотношение можно переписать в виде, N d d…, или ( ) d d… Это приведет к аппроксимации разностью вперед для первой производной функции d. ( ) 5

6 Погрешность данной аппроксимации имеет порядок O. Аналогичным образом, пользуясь разложением по формуле Тейлора, получим d d…, или ( ) d d… Получим аппроксимацию разностью назад для первой производной функции d, ( 4 ) которая имеет порядок погрешности O.

Обе аппроксимации () и (4) имеют один и тот же порядок погрешности O, который можно повысить, вычтя () из () d d…,! тем самым получим аппроксимацию центральной разностью d, ( 5 ) порядок погрешности которой O. Это представление должно быть лучше, чем аппроксимация разностями вперед и назад, т. е.

чем меньше выбран шаг, тем численное решение будет ближе к точному решению. Сложим () и () d 4 d, 4 4! тем самым получим аппроксимацию второй производной функции

7 d, ( ) погрешность которой имеет порядок O. Аппроксимации производных более высоких порядков, если они потребуются, можно получить аналогичным образом… Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения [].

Распределение изгибающего момента M в балке под действием распределенной нагрузки d M q q на единицу длины удовлетворяет уравнению. Балка единичной длины свободно оперта (т. е. M ) на обоих концах и несет нагрузку q sn на единицу длины. Вычислить распределение изгибающего момента конечно-разностным методом, используя шаг сетки, 5.

Записывая уравнение точное равенство d M d q M q в выбранной точке сетки, имеем и, используя аппроксимацию () для второй производной, приходим к уравнению для произвольной точки M M M q.

( 7 ) Записывая это уравнение для внутренних точек, 5,,5 и, 75, получим систему уравнений M M M 4 M M M M M M q q q С учетом краевых условий M при и M 4 при 4, а также значений распределенной нагрузки во внутренних точках 7

8 q sn,5, q sn,5 и q sn,75 следующую систему уравнений M M qm M M M q M M q M 4, которую можно записать в матричном виде где A, M M M, M AM B, B., получим Таким образом, исходная задача определения неизвестной функции изгибающего момента M заменяется задачей решения матричного уравнения относительно дискретного множества значений M, M, M.

Решение системы M,7544,9, M A B Точное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид, которое дает следующие значения в тех же точках: sn M sn,75, 4 M sn,, M sn,75. 4 Конечно-разностный метод дает информацию о значениях функции в узлах сетки, но не дает никакой информации о значениях функции между этими точками.

В действительности дифференциальное уравнение аппроксимируется только в дискретном числе точек, а не на всем интервале. 8

9 . МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.. Аппроксимация базисными функциями Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функцию на некотором отрезке. В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями, необходимо найти решение, удовлетворяющее определенным краевым условиям. Построим аппроксимирующую функцию, которая в точках.

Если найти некоторую функцию значения на концах отрезка, т. е. и принимает те же значения, что и, принимающую одинаковые с, и ввести и систему линейно независимых базисных функций N m m,,…, M, таких, что m N m N для всех m, то на можно предложить аппроксимацию для : amnm где a m m,,…

, M M ˆ, ( 8 ) m некоторые параметры, вычисляемые таким образом, чтобы получить хорошее приближение. Базисные функции этого типа иногда называют функциями формы, или пробными функциями. Способ определения и системы базисных функций автоматически обеспечивает тот факт, что аппроксимация обладает свойством и a.

Ясно, что система ба- для любых значений параметров m зисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантировать улучшение аппроксимации при возрастании числа M используемых базисных функций. Параметры a m выбираются на основании требования, что аппроксимация ˆ должна совпадать с функцией в M различных произвольно выбранных точках.

Это требование приводит к системе линейных уравнений относительно набора параметров a m m,,…, M можно выбрать такие наборы базисных функций на отрезке N m m ; m N m sn.. Например, : 9

10 .. Взвешенные невязки Введем погрешность (невязку) R R в аппроксимации amnm M ˆ. ( 9 ) m Чтобы уменьшить невязку на всем отрезке, потребуем равенства нулю соответствующего числа интегралов от погрешности, взятых с различными весами, т. е.

где W l R l, M, ( ) W l множество линейно независимых весовых функций. Подставив в () выражение (9), получим систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов a m, которую запишем в матричном виде KA F, ( ) где a a…, T A,, a M ; K k lm, k lm Wl Nm l, m, M ; F f f…

, f T,, M, fl Wl l, M. На практике используются различные виды систем весовых функций W l l, M, ведущие к разным методам аппроксимации посредством взвешенных невязок. Приведем наиболее известные виды весовых функций:.

Поточечная коллокация Весовые функции задаются в виде дельта-функции Дирака W l l, l,, l, которая обладает свойством g g l l.

11 Согласно (), выбор таких весовых функций эквивалентен тому, что невязка R полагается равной нулю (т. е. ˆ ) в ряде заданных точек l. Тогда матрица K и вектор F в () имеют элементы k N ; f lm где m l l.. Коллокация по подобластям l l При данном подходе весовые функции принимаются в виде, l, l, W l l l, l, l,, функция Хевисайда («ступенчатая» функция).

, В этом случае элементы матрицы K и вектора F принимают вид l l k N ; lm m. Метод Галеркина l l l f. В этом наиболее популярном методе взвешенных невязок вместо привлечения новой системы функций в качестве весовых множителей выбираются сами базисные функции, т. е. Wl N l.

В этом случае в системе () матрица K и вектор F имеют элементы klm Nl Nm ; f Nl l, что приводит к симметрии матрицы K и обеспечивает методу вычислительные преимущества.

Кроме того, если базисные функции N m подобраны таким образом, что выполняется условие ортогональности Nl Nm при l m, то матрица K принимает диагональный вид и коэффициенты a m можно выразить в явном виде. При выборе весовых и базисных функций в виде синус-рядов sn m в ряд Фурье. N m, получим разложение функции

12 .. Понятие конечного элемента Аппроксимация функции в виде (8) предполагает, что базисные функции N m определены одним выражением для всей области ( ), а интегралы () вычисляются сразу по всей области. Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд неперекрывающихся подобластей или элементов ( ) и построении затем аппроксимации ˆ кусочным образом, т. е.

отдельно на каждой подобласти. Тогда используемые в процессе аппроксимации базисные функции также могут быть определены кусочным образом с применением различных выражений для разных подобластей, из которых составлена вся область.

В таком случае входящие в аппроксимирующие уравнения определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу: W l R Wl R при условии, что E E, ( ). Здесь E общее количество элементов. В пределах каждого элемента базисные функции можно определять простыми зависимостями (полиномами нулевого, первого, второго и т. д.

порядка), тем самым искомая функция кусочно аппроксимируется в пределах каждого элемента. В этом состоит идея метода конечных элементов. Кусочное определение базисных функций означает, что аппроксимирующие функции или их производные могут иметь разрывы на стыках двух соседних элементов, что допустимо..4.

Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента Рассмотрим использование метода конечных элементов для аппроксимации произвольной функции. Разбиение на отрезке отрезка на E непересекающихся подотрезков осуществляется простым выбором подходящего множества точек l l,,…, M при

13 и M. В качестве элемента берется отрезок. В данном, получим постоянные значения функции случае E M. Используя метод поточечной коллокации для аппроксимации заданной функции ˆ на каждом элементе. Получаемая аппроксимация является разрывной со скачками в точках сопряжения элементов l. В качестве точек коллокации выбираются средние точки элементов.

Эти точки называются узлами. В конечно-элементных процессах узлы и элементы нумеруются.

Функция ˆ может быть записана в стандартной форме (8) путем сопоставления каждому узлу m кусочно-постоянной разрывной и одинаковой для всех элементов глобальной базисной функции N m, по определению принимающей единичное значение на элементе m и нулевое значение на всех других элементах где am M mnm m ˆ, ( ) m значение функции в узле m.

Произвольная функция из (8) здесь опущена, и, следовательно, в граничных эта аппроксимация не будет равна значению функции точках отрезка, M. Однако в данном представлении эти значения приближаются сколь угодно точно при уменьшении длин элементов, прилегающих к границам и M.

На каждом элементе глобальная аппроксимация () может быть выражена через значения элемента N ˆ N, N N в узле элемента и базисной функции на элементе, ( 4 ) где определена для элемента и принимает на этом элементе единичное значение. Рассмотрим случай аппроксимации функцией, линейно меняющейся по длине каждого элемента. В этом случае (нумерованными) узлами яв-

14 ляются точки сопряжения элементов, и аппроксимация осуществляется путем сопоставления каждому узлу кусочно-линейной глобальной базисной функции N. Эти глобальные базисные функции обладают тем свойством, что отлично от нуля только на элементах, ассоциируемых с узлом, причем N в узле и равно нулю во всех других узлах.

Можно заметить, что с узлами некоторого элемента ассоциируются только те глобальные базисные функции, которые на нем отличны от нуля. Если в качестве точек коллокации взять узлы, то глобальную аппроксимацию можно записать в виде M mnm ˆ, m где m в узле m.

Подстановка соответствующих значений в узлах и M гарантирует, что это представление автоматически принимает нужные значения в двух граничных точках отрезка и явное использование функции значения не требуется.

На каждом элементе с узлами и j аппроксимация выражается с помощью двух линейных базисных функций элемента где N, j N j и узловых значений, j j по правилу ˆ N N на элементе, ( 5 ) N j j, N j. j Из этих двух примеров видно, что характерной особенностью метода конечных элементов является нумерация узлов и элементов..5.

Формирование системы уравнений на примере решения задачи d Решим уравнение и N при с краевыми условиями. Разобьем отрезок на три элемента ( E ) равной длины E. Количество узлов M равно четырем, коор- динаты которых (,,, ). 4

15 В соответствии с выражением (), можно записать d ˆ W l ˆ, при l,,,, ( ) где искомая функция аппроксимируется следующим выражением: m ˆ N, ( 7 ) m m где m значения искомой функции в узловых точках. Примем линейную базисную функцию N m на элементе по (5), а весовую функцию W l примем по методу Галёркина, т. е. в виде Wl Nl.

Тогда после интегрирования по частям () с учетом (7) получим выражение dn ˆ ˆ l d d Nlˆ Nl, l,,,. ( 8 ) Получаемую систему уравнений (8) представим в матричном виде K F, ( 9 ) где K k, k lm dnl dnm lm Nl Nm,, m,,, f f f f T,,, F,,, T,.

f dˆ l Nl,,,, l ; l ; Вклад в эти коэффициенты элемента, узлы которого имеют номера и j, может быть вычислен в общей форме, и полезность применения правила суммирования () становится очевидной. Единственными отличными от нуля на элементе глобальными базисными функциями будут N и N j, и, таким образом, N l на элементе, если l не равно или j, т. е.

если узел l не принадлежит элементу. Поскольку k 4 lm k lm, для построения матрицы K достаточно оценить вклад произвольного элемента: 5

16 lm k, j m l,, ; N N dn dn k k j j j j j ; N dn k k j jj. Таким образом, для каждого из трех элементов матрицы примут вид k ; k ; k. Просуммировав эти матрицы от вкладов каждого из элементов, получим матрицу коэффициентов системы уравнений K

17 По свойствам базисных функций получаем f f, а вектор правых частей F примет вид dˆ F. dˆ Из краевых условий известно, что и, т. е.

из системы уравнений (9) можно вычеркнуть первую и последнюю строчки, и в итоге получим разрешающую систему уравнений относительно неизвестных и , ,98 Определив значения функции в узлах, можно подставить их в первую и последнюю строчки системы уравнений (9), тем самым получив значения первой производной функции в начальной и конечной точках отрезка. 7

18 . МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.. Понятие фундаментального решения дифференциального уравнения Представим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в виде где L d d f, ( ) L дифференциальный оператор; f произвольная функция.

искомая функция; Любое обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение G,, которое определяется решением уравнения d L G,, ( ), где дельта-функция Дирака.

Фундаментальное решение G, представляется в виде, ( ),, sgn G,, где sgn функция знака; решение соответствующего однородного дифференциального уравнения L краевыми условиями при n d d… и n d d n, где n порядок старшей производной оператора L.

Фундаментальное решение определяется с точностью до решения однородного уравнения, и тем самым, является обобщенной функцией. Функция знака и функция Дирака связаны дифференциальной зависимостью n, с 8

19 d sgn.

( ) Если известно фундаментальное решение какого-либо дифференциального уравнения, то решение этого дифференциального уравнения с произвольной правой частью можно записать в виде где G f d R,, ( 4 ) R решение, зависящее от значений функции и ее производных на границах области определения… Пример решения задачи поперечного изгиба стержня Рассмотрим в качестве примера получение фундаментального решения дифференциального уравнения поперечного изгиба стержня длиной 4 d w EJ q,, ( 5 ) 4 где EJ жесткость стержня при поперечном изгибе; w функция перемещений точек стержня; q произвольная поперечная нагрузка. Дифференциальным оператором уравнения (5) является выражение 4 d d L EJ, 4 соответственно решением однородного дифференциального уравнения d L w является функция EJw dw EJ ; C C C C4 d w EJ C. C C C ; EJ d w C C ; 9

20 Удовлетворяя условиям получения фундаментального решения (), получим систему уравнений относительно постоянных интегрирования С : EJw C C C C 4 dw EJ C C C ; d w EJ C C ; C EJ ; ; C 4 ; EJ C ; EJ d w C ; C EJ EJ.

По () получим фундаментальное решение уравнения (5) и его производные G, sgn dg, 4 sgn, ; ( ) EJ EJ 4EJ ; d G, ; EJ d G, 4 EJ подставив в () убедимся в тождестве.

Функцию перемещений точек стержня w G q d Q G, где Q, M, и M, Q, d G, sgn EJ w будем искать в виде dg, dg, QG, M, ( 7 ) M некоторые параметры на границах отрезка при. Необходимо учитывать тот факт, что выбранная точка всегда должна быть внутри области определения, т.

е. на границах области следует брать значения при определении функции в точке и при определении функции в точке. Здесь положительная малая величина. ;

21 Для определения неизвестных Q, M, M используются граничные условия закрепления стержня: dw w, жесткая заделка; Q, d w w, M EJ шарнирное закрепление; ( 8 ) d w d w M EJ, Q EJ свободный край. Распределенная нагрузка q может принимать следующие типы: q p ab a q постоянная нагрузка p на участке b ; P a M сосредоточенная сила P в точке a ; a q сосредоточенный момент M в точке a.

Рассмотрим изгиб жесткозаделанного с обоих концов стержня длиной под действием сосредоточенной силы P, приложенной в точке. Граничные условия имеют вид Решение ищется в виде (7) w dw w, w EJ EJ 4EJ P Q M sgn dw Q M sgn ; EJ 4EJ dw. Psgn 4EJ 4EJ EJ Q sgn M Q sgn.

M 4EJ EJ Удовлетворяя граничным условиям, получим разрешающие системы уравнений относительно неизвестных величин Q, M, w P 9EJ ; EJ 4EJ Q M Q, M

22 dw P EJ Q M ; 4EJ EJ P w Q M ; 9EJ EJ 4EJ dw P Q M. EJ 4EJ EJ Решением системы будут искомые параметры Q Q P ; M M P. 8 Например, перемещение в точке составит значение P w, что соответствует значению, полученному другими известными 48EJ методами.

23 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Среди существующих на данный момент времени численных методов решения задач математической физики нельзя выделить ни одного универсального метода, так как каждый из них обладает своими преимуществами и недостатками.

В случае, если требуется определить всего лишь некоторых набор значений искомой функции в области определения задачи с простыми геометрическими формами, то в таком случае удобно использовать метод конечных разностей.

В случае областей с произвольной геометрией, наиболее удобен метод конечных элементов для определения конечного набора значений искомой функции. Если требуется знать функцию в произвольных точках области определения, то удобно применять метод граничных элементов.

Метод граничных элементов требует большой предварительной теоретической подготовки, в том числе знать заранее фундаментальное решение исходного дифференциального уравнения, что в свою очередь является трудоемкой процедурой.

24 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган ; пер. с англ. под ред. Н. С. Бахвалова. М. : Мир, с.. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ; пер. с англ. под ред. Б. Е. Победри. М. : Мир, с.. Бреббия, К.

Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Телес, Л. Вроубел ; пер. с англ. под ред. Э. И. Григолюка. М.: Мир, с. 4. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд ; пер. с англ. под ред. Р. В. Гольдштейна. М. : Мир, с.

Учебное издание ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Часть Методические указания Составитель КУКАНОВ Николай Иванович Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать 8… Формат 84/. Усл. печ. л.,4. Тираж 5 экз. Заказ 4.

Ульяновский государственный технический университет 47, Ульяновск, Сев. Венец,. Типография УлГТУ, 47, Ульяновск, Сев. Венец,. 4

Источник: https://docplayer.ru/32804113-Chislennye-metody-resheniya-zadach-matematicheskoy-fiziki.html

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Часть 1 Методические указания Составитель Н. И. Куканов Ульяновск УлГТУ 2011 УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я7 Ч-67 …»

Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Часть 1. Куканов Н.И.

— [ Страница 1 ] —

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Часть 1

Методические указания Составитель Н. И. Куканов Ульяновск УлГТУ 2011 УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я7 Ч-67 Рецензент доктор технических наук, профессор В. К. Манжосов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч.

Ч. 1 : методические указания / сост. Н. И. Куканов. – Ульяновск :

Ч- УлГТУ, 2011. – 23 с.

Указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Аналитические и численные методы решения задач математической физики» для магистратуры по направлению «Строительство», профиль подготовки «Теория проектирования зданий и сооружений». В методических указаниях рассматриваются основные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

методы конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов. Приведены примеры решения задач.

Методические указания предназначены для магистрантов направления «Строительство». Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я © Куканов Н. И.,составление, © Оформление. УлГТУ,

Содержание

Введение

1.

Метод конечных разностей

1.

1. Конечно-разностные аппроксимации производных……….. 1.2. Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей

2. Метод конечных элементов

2.1. Аппроксимация базисными функциями

2.2. Взвешенные невязки

2.3. Понятие конечного элемента

2.4. Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента

2.5. Формирование системы уравнений на примере решения задачи

3. Метод граничных элементов

3.1. Понятие фундаментального решения дифференциального уравнения

3.2. Пример решения задачи поперечного изгиба стержня……. Заключение

Библиографический список

Введение

Настоящие учебно-методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 27010068 «Строительство» (профиль подготовки «Теория и проектирование зданий и сооружений»), изучающих дисциплину «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики».

При поиске количественного описания физического явления обычно вводят в рассмотрение некоторую систему дифференциальных уравнений, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия.

На этой стадии математическая модель построена, и для практического применения требуется найти решение для исходного множества исходных данных. Здесь возникают основные трудности, так как точному решению поддаются лишь уравнения простого вида внутри области с геометрическими тривиальными границами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним из немногих примеров, для которых имеются стандартные процедуры решения, но даже здесь при большом числе зависимых переменных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность воспользоваться вычислительной техникой, необходимо преобразовать задачу к чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметические операции.

Для достижения этой цели могут быть использованы различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями.

При такой дискретизации бесконечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, заменяется конечным числом неизвестных параметров, и для этого процесса требуется некоторая форма аппроксимации искомых функций.

При численном решении уравнений математической физики широко применяются следующие методы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).

1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

1.1. Конечно-разностные аппроксимации производных Предположим, что решается одномерная краевая задача, т. е. требуется определить функцию x, удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке 0 x вместе с надлежащими краевыми условиями при x 0 и x.

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной x, т. е. строится Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование, членами, в которых используются только алгебраические операции.

Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

Пользуясь разложением по формуле Тейлора, можно записать используя нижний индекс i для значения функции в точке x xi, это соотношение можно переписать в виде Это приведет к аппроксимации разностью вперед для первой производной функции Погрешность данной аппроксимации имеет порядок Ox.

Аналогичным образом, пользуясь разложением по формуле Тейлора, получим Получим аппроксимацию разностью назад для первой производной функции которая имеет порядок погрешности Ox.

Обе аппроксимации (2) и (4) имеют один и тот же порядок погрешности Ox, который можно повысить, вычтя (3) из (1) тем самым получим аппроксимацию центральной разностью порядок погрешности которой O x 2.

Это представление должно быть лучше, чем аппроксимация разностями вперед и назад, т. е. чем меньше выбран шаг x, тем численное решение будет ближе к точному решению.

Сложим (1) и (3) тем самым получим аппроксимацию второй производной функции погрешность которой имеет порядок O x 2.

Аппроксимации производных более высоких порядков, если они потребуются, можно получить аналогичным образом.

1.

2. Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения [1].

Распределение изгибающего момента M в балке под действием распределенной нагрузки q x на единицу длины удовлетворяет уравнению q x. Балка единичной длины свободно оперта (т. е. M 0 ) на обоих концах и несет нагрузку q x sin x на единицу длины. Вычислить распределение изгибающего момента конечно-разностным методом, используя шаг сетки x 0,25.

Записывая уравнение точное равенство производной, приходим к уравнению для произвольной точки xi Записывая это уравнение для внутренних точек x1 x0 x 0,25, x2 x1 x 0,5 и x3 x2 x 0,75, получим систему уравнений также значений распределенной нагрузки во внутренних точках следующую систему уравнений которую можно записать в матричном виде AM B, Таким образом, исходная задача определения неизвестной функции изгибающего момента M x заменяется задачей решения матричного уравнения относительно дискретного множества значений M 1, M 2, M 3.

Решение системы Точное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид M x 2 sin x, которое дает следующие значения в тех же точках:

Конечно-разностный метод дает информацию о значениях функции в узлах сетки, но не дает никакой информации о значениях функции между этими точками. В действительности дифференциальное уравнение аппроксимируется только в дискретном числе точек, а не на всем интервале.

2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Аппроксимация базисными функциями Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функцию x на некотором отрезке 0 x. В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями, необходимо найти решение, удовлетворяющее определенным краевым условиям.

Построим аппроксимирующую функцию, которая в точках x 0 и x принимает те же значения, что и x. Если найти некоторую функцию x, принимающую одинаковые с x значения на концах отрезка, т. е. 0 0 и, и ввести систему линейно независимых базисных функций N m m 0,1,…

, M, таких, что N m 0 N m 0 для всех m, то на можно предложить аппроксимацию для :

где am m 0, 1,…, M — некоторые параметры, вычисляемые таким образом, чтобы получить хорошее приближение.

Базисные функции этого типа иногда называют функциями формы, или пробными функциями.

Способ определения и системы базисных функций автоматически обеспечивает тот факт, что аппроксимация обладает свойством 0 и для любых значений параметров am. Ясно, что система базисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантировать улучшение аппроксимации при возрастании числа M используемых базисных функций.

Параметры am выбираются на основании требования, что аппроксимация должна совпадать с функцией в M различных произвольно выбранных точках. Это требование приводит к системе линейных уравнений относительно набора параметров am m 0, 1,…, M. Например, можно выбрать такие наборы базисных функций на отрезке 0 x :

2.2. Взвешенные невязки Введем погрешность (невязку) R x в аппроксимации Чтобы уменьшить невязку на всем отрезке, потребуем равенства нулю соответствующего числа интегралов от погрешности, взятых с различными весами, т. е.

где Wl x — множество линейно независимых весовых функций.

Подставив в (10) выражение (9), получим систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов am, которую запишем в матричном виде На практике используются различные виды систем весовых функций Wl x l 0, M, ведущие к разным методам аппроксимации посредством взвешенных невязок.

Приведем наиболее известные виды весовых функций:

1.

Поточечная коллокация Весовые функции задаются в виде дельта-функции Дирака которая обладает свойством Согласно (10), выбор таких весовых функций эквивалентен тому, что невязка R x полагается равной нулю (т. е.

) в ряде заданных точек xl. Тогда матрица K и вектор F в (11) имеют элементы 2. Коллокация по подобластям При данном подходе весовые функции принимаются в виде где x — функция Хевисайда («ступенчатая» функция).

В этом случае элементы матрицы K и вектора F принимают вид 3. Метод Галеркина В этом наиболее популярном методе взвешенных невязок вместо привлечения новой системы функций в качестве весовых множителей выбираются сами базисные функции, т. е.

В этом случае в системе (11) матрица K и вектор F имеют элементы что приводит к симметрии матрицы K и обеспечивает методу вычислительные преимущества.

Кроме того, если базисные функции N m подобраны таким образом, что выполняется условие ортогональности матрица K принимает диагональный вид и коэффициенты am можно выразить в явном виде.

При выборе весовых и базисных функций в виде синус-рядов N m sin mx, получим разложение функции в ряд Фурье.

2.3. Понятие конечного элемента Аппроксимация функции в виде (8) предполагает, что базисные функции N m определены одним выражением для всей области ( 0 x ), а интегралы (10) вычисляются сразу по всей области.

Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд неперекрывающихся подобластей или элементов e ( xe 1 x xe ) и построении затем аппроксимации кусочным образом, т. е. отдельно на каждой подобласти.

Тогда используемые в процессе аппроксимации базисные функции также могут быть определены кусочным образом с применением различных выражений для разных подобластей e, из которых составлена вся область.

В таком случае входящие в аппроксимирующие уравнения определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу:

Источник: http://www.knigi.konflib.ru/8mehanika/148997-1-chislennie-metodi-resheniya-zadach-matematicheskoy-fiziki-chast-metodicheskie-ukazaniya-sostavitel-kukanov-ulyanovs.php

Biz-books
Добавить комментарий