Анализ линейных электрических цепей

Анализ электрических цепей

Анализ линейных электрических цепей

Методические указания по разделам курса

Электрические цепи постоянного тока. Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для получения, передачи и преобразования в другие виды электрической энергии.

Она состоит из источника и приемника электрической энергии, связанных соединительными проводами. Кроме этих элементов цепь включает в себя коммутационно-защитную аппаратуру и электроизмерительные приборы.

Эти устройства служат для управления и контроля за работой цепи, а также для защиты ее элементов от перегрузок.

Основной задачей анализа электрических цепей является определение токов всех ветвей при заданной конфигурации цепи и известных параметрах всех ее элементов. При расчете токов часто изображают не реальную цепь, а ее схему замещения.

Схема замещения — это графическое изображение реальной цепи с помощью идеальных элементов, параметрами которых являются параметры реальных элементов, входящих в цепь.

На схеме замещения не указывают измерительные приборы, аппаратуру защиты и аппаратуру включения-выключения.

На схеме замещения различают ветви, узлы и контуры. Ветвь — это участок цепи, в любом сечении которого течет один и тот же ток. Узел — это точка, в которой сходится не менее трех ветвей. Контур — любой замкнутый путь для электрического тока.

Контур называется независимым, если он имеет хотя бы один элемент, принадлежащий только ему.

Элементы цепи могут включаться последовательно и параллельно. При последовательном включении во всех элементах протекает один и тот же ток. При параллельном включении элементы цепи подключаются к одной паре узлов.

Для расчета токов в ветвях цепи применяют законы Кирхгофа и Ома.

Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит:

алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

где i — номер тока;

n — количество токов, сходящихся в узле.

Второй закон Кирхгофа относится к контуру, он гласит:

алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре.

где i — номер ветви контура;

n — число ветвей, входящих в контур.

Законы Кирхгофа применяют для расчета сложных разветвленных цепей, включающих в себя несколько источников энергии. При этом необходимо составить p = m + (n-1) уравнений, где m — число независимых контуров, n — число узлов.

При расчете рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

Выбрать направление обхода контуров (ошибок в дальнейшем будет меньше, если направление будет во всех контурах одинаковым).

Произвольно указать направление токов в ветвях цепи.

Составить необходимые уравнения по первому закону Кирхгофа.

Составить необходимые уравнения по второму закону Кирхгофа, считая положительными токи и ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура.

Решить полученную систему уравнений любым известным методом.

Провести проверку правильности решения путем составления баланса мощностей.

Пример решения 1.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1.1., по данным значениям ЭДС источников и сопротивлениям резисторов найти величины токов во всех ветвях и их направления.

Е1=45 В ; Е2=60 В; R01=0,1 Ом; R02=0,15 Ом; R1=R2=R5=2 Ом; R3=10 Oм; R4= 4 Ом.

Так как резисторы R1, R5 и R4 включены последовательно, то I4=I5=I1; аналогично I3=I02=I2.

На основании первого закона Кирхгофа для узла “а” имеем I1+I01-I2=0.

На основании второго закона Кирхгофа для контура R1-R5-R4-Е1- R01-R1 получаем I1(R1+R5+R4)-I01R01=-E1.

Аналогично, для контура R2-R01 -Е1- R3- Е2-R02-R2:

I2(R3+R02+R2)+I01R01=E1- Е2.

Подстановка значений ЭДС и сопротивлений дает систему уравнений:

I1+I01-I2=0

8I1-0,1I01+0I2=-45

0I1+0,1I01+12,15I3=-15

Решение системы уравнений дает:

I1=-5,57 A, I01=4,30 A, I2=-1,27 A.

Отрицательные значения токов I1 и I2 означают, что первоначально их направления были выбраны неверно и их направления на схеме надо сменить на противоположные.

https://www.youtube.com/watch?v=bR_cJDOMjxo

Для проверки правильности решения необходимо составить баланс мощностей

Произведение EiIi берется со знаком “+”, если направления ЭДС и тока в ветви “i” совпадают. E1I01+E2I2=I12(R1+R5+R4)+I22(R3+R02+R2)+I012R01. Подстановка значений ЭДС, токов и сопротивлений и расчет дают: 269,7=269,7, т.е. задача решена верно.

При расчете сложных цепей с большим количеством источников энергии рациональнее использовать метод контурных токов, позволяющий почти вдвое сократить количество уравнений.

В методе контурных токов независимыми переменными являются контурные токи, условно замыкающиеся по элементам независимых контуров.

Чтобы найти контурные токи каждого независимого контура, необходимо составить уравнения второго закона Кирхгофа и решить полученную систему линейных уравнений. При расчете рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

Выделить все независимые контуры.

Указать направления обхода контуров (лучше, если направления обхода всех контуров будет одним и тем же).

Указать направления контурных токов в каждом контуре (чтобы избежать ошибок при составлении уравнений, рекомендуется направления контурных токов выбирать совпадающими с направлениями обхода).

Для всех независимых контуров составить уравнения второго закона Кирхгофа.

Решить полученную систему уравнений.

Произвести проверку правильности ее решения.

По вычисленным значениям контурных токов определить величины токов в ветвях и их направления.

Составить баланс мощностей.

Рассмотрим решение на примере предыдущей задачи (рис.1.2.).

По признакам, данным в определении независимого контура, можно выделить следующие независимые контуры: R1-R5-R4-E1-R01-R1 и R2-R01-E1-R3-E2-R02-R2. В соответствии с выбранными направлениями обхода и контурных токов запишем уравнения второго закона Кирхгофа

Ik1(R01+R1+R5+R4)-Ik2R01=-E1

-Ik1R01+Ik2(R01+R3+R02+R2)=E1-E2.

Подстановка значений сопротивлений и ЭДС и решение полученной системы уравнений дает: Iк1=-5,57 А, Iк2=-1,27 А.

Так как в наружной ветви R1-R5-R4 протекает только контурный ток Iк1, то I1=I4=I5=5,57 A, а направление их противоположно направлению Iк1. Аналогично I2=I3=1,27 A.

В ветви R01-E1 протекают два контурных тока в противоположных направлениях, поэтому для нахождения тока I01 необходимо из большего контурного тока вычесть меньший и принять направления большего, т.е.

I01=Ik2-Ik1=-1,27-(-5,57)=4,3 A.

Баланс мощностей составляется как в предыдущей задаче.

Цепи с одним источником энергии можно рассчитать, пользуясь только законом Ома путем эквивалентного преобразования цепи.

Пример решения 2.

Рассмотрим расчет на примере цепи, представленной на рис. 1.3.

Для цепи, представленной на рис. 1.3, найти токи во всех ветвях, определить ЭДС источника Е и показания приборов, если: R0=0,15 Ом; R1=0,7 Oм; R2=40 Ом; R3=8 Ом; R4=4 Ом; R5=2,4 Ом; R6=4 Ом; I2=0,25 А.

Решение.

1. В соответствии с положительным направлением ЭДС-Е укажем направления токов во всех ветвях.

2. По закону Ома для участка цепи найдем напряжение на резисторе R2

U2=I2R2=0,25*40=10 В.

3. Так как R3 и R2 подключены к одной паре узлов a-b, то напряжение на резисторе R3 равно U2, и тогда I3 можно найти по закону Ома для участка цепи.

4. На основании первого закона Кирхгофа для узла”b” имеем:

IА=I2+I3=0,25+1,25=1,5 A.

5. Если сопротивлением амперметра пренебречь, то напряжение на участке R4-R5 будет равно U2 и тогда

6. На основании первого закона Кирхгофа для узла “a” можно записать:

I6=I2+I3+I4=0,25+1,25+1,56=3,06 A.

7. На участке R1-R0-E-R6 все элементы включены последовательно и тогда

I6=I1=3,06 А.

8. Напряжение на резисторе R6 найдем на основании закона Ома

U6=I6R6=3,06*4=12,24 B.

9. На основании второго закона Кирхгофа показание вольтметра Uv=U6+U2=12,24+10=22,24 B.

10. На основании второго закона Кирхгофа ЭДС источника

E=I1R0+I1R1+Uad=3,06*0,15+3,06*0,7+22,24=24,84.

Проверка правильности решения осуществляется по балансу мощностей как указано ранее.

Электрические цепи переменного тока. Ток, величина и направление которого изменяются во времени, называется переменным. Из всего многообразия переменных токов наибольшее распространение получил ток, изменяющийся по синусоидальному закону. Синусоидальные токи возникают в цепях под действием синусоидальных ЭДС и напряжений.

https://www.youtube.com/watch?v=LzqkLKOyid8

Значение синусоидального тока в данный момент времени называется мгновенным (обозначается i).

Максимальное значение синусоидального тока называется амплитудным (обозначается Im).

Действующим значением синусоидального тока называется такой постоянный ток, который за время одного периода выделяет такое же количество тепла, что и данный переменный ток (обозначается I). В действующих значениях градуированы вольтметры и амперметры. Действующие и амплитудные значения связаны следующим соотношением:

При анализе электрического состояния цепей расчет токов ведут либо для действующих, либо для амплитудных значений.

Наиболее общим методом расчета цепей синусоидального тока является символический.

В этом случае синусоидальная величина изображается вращающимся вектором, положение которого на комплексной плоскости в данный момент времени описывается комплексным числом (символом).

Существует три формы записи комплексного числа: алгебраическая, показательная и тригонометрическая.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде многочлена, например

A=a+jb,

где a — проекция вектора на ось действительных величин;

b — проекция вектора на ось мнимых величин;

j — мнимая единица.

Алгебраическая форма записи удобна для сложения и вычитания комплексных чисел.

В показательной форме комплексное число записывается в виде

A=Aejj,

где — модуль комплексного числа.

j=arctg b/a — угол, образуемый вектором с положительным направлением оси действующих величин.

Показательная форма записи удобна для умножения и деления комплексных чисел.

В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде многочлена

A=ACosj+jASinj.

Тригонометрическая форма записи позволяет легко перейти от показательной формы записи к алгебраической. При символическом расчете все уравнения для цепей постоянного тока остаются справедливыми и для цепей переменного тока с той только разницей, что все величины, входящие в них, берутся в комплексной форме.

Пример решения 3.

Для цепи, изображенной на рис. 1.4., по данным значениям напряжения и сопротивлений определить показания приборов, а также полную и реактивную мощности, построить векторную диаграмму.

Начальную фазу напряжения принимают равной нулю, тогда комплекс приложенного напряжения будет равен

U=127 ejo В.

Комплекс полного сопротивления последовательно соединенных элементов R, L и C

Z=R+j(XL-Xc).

Отсюда комплексы полного сопротивления ветвей

Z1=jXL1=j5=5ej90 Ом

Z2=R2-jXc2=3-j4=5e-j53 Ом.

По закону Ома определяют комплексы токов в ветвях

I1=U/Z1=127ej0/(5ej90)=25,4e-j90= -j25,4 A.

I2=U/Z2=127ej0/(5e-j53)=25,4ej53 A.

По первому закону Кирхгофа находят ток в неразветвленной части цепи

I=I1+I2=16,3e-j19 A. .

Определяют комплексную мощность цепи. Комплексной мощностью S называется произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока I*. Сопряженные комплексы: ; .

Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность Р, а мнимая часть — реактивная мощность Q.

Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба по току и напряжению.

В выбранных масштабах откладывают векторы напряжения и токов в соответствии с рассчитанными значениями. Отсчет углов ведут от оси +1. Положительные углы откладывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Вектор тока в неразветвленной части цепи находят сложением векторов тока I1 и I2.

Пример решения 4.

В цепи, представленной на рис.1.6., действует напряжение u=UmSinwt, частотой 50 Гц. Найти показания приборов, реактивную и полную мощности, построить векторную диаграмму, если Um=282 B, R=3 Ом, L=19,1 мГн, С=1592,4 мкФ.

Решение.

1. Так как вольтметр градуирован в действующих значениях, напряжение на зажимах цепи будет равно:

2. Реактивное сопротивление индуктивности L

XL=2pfL=

Комплекс индуктивного сопротивления

jXL=j6=6ej90 Ом.

3. Реактивное сопротивление емкости С

Комплекс емкостного сопротивления

-jXc=-j2=2e-j90 Ом.

4. Комплекс полного сопротивления цепи

Z=R+j(XL-Xc)=3+j(6-2)=3+j4=5ej arctg4/3=5ej53 Ом.

5. Начальную фазу напряжения, приложенного к зажимам цепи, принимают равной нулю, тогда комплекс напряжения на зажимах цепи

U=200ejo B.

6. Комплекс тока находится по закону Ома

I=U/Z=200ej0/(5ej53)=40e-j53 A.

Показание амперметра IA=40 A.

7. Комплекс напряжения на участке R

Показание вольтметра на участке R

UR=120 B.

8. Комплекс напряжения на участке L

UL=IjXL=40e-j536ej90=240ej37 B.

Показание вольтметра на участке L

UL=240 B.

9. Комплекс напряжения на участке С

Uc=I(-jXc)=40e-j532e-j90=80e-j143 B

Показание вольтметра на участке С

UC=80 B.

10. Комплексная полная мощность цепи:

Полная мощность S=8000 ВА.

Действительная часть комплексной полной мощности есть показание ваттметра

Р=4814,5 Вт.

Мнимая часть комплексной полной мощности есть мощность реактивная

Q=6389 Вар.

11. Разность фаз между напряжением и током:

j=jU- jI=0-(-53)=530.

12. Показание фазометра

Cosj=Cos53= 0,602.

При построении векторной диаграммы в выбранных масштабах тока и напряжения строят векторы тока и напряжений, комплексы которых рассчитаны. Положительные углы отсчитываем от оси действительных величин в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Вектор напряжения, приложенного к зажимам цепи, находится путем сложения UR, UL и Uc по правилам сложения векторов.

Трехфазные электрические цепи.

Совокупность электрических цепей, в которых одним источником энергии создаются три синусоидальные электродвижущие силы одинаковой частоты и амплитуды, векторы которых сдвинуты относительно друг друга на угол 1200, называется трехфазной системой или трехфазной цепью. Каждая из цепей, входящих в трехфазную систему, называется фазой; обозначения фаз — А, В,С. Токи, протекающие в фазах приемника, называются фазными.

Трехфазные приемники могут быть включены звездой или треугольником; они могут быть симметричными или несимметричными. Приемник называется симметричным, если комплексы полных сопротивлений его фаз равны, т.е. Za=Zb=Zc.

Звезда — это такое соединение, при котором концы фаз, обозначаемые буквами x, y, z, соединяются в один узел, который называется нейтральной точкой, а начала фаз, обозначаемые буквами a, b, c, соединяются с источником. Нейтральная точка приемника соединяется с нейтральной точкой источника.

Провода, соединяющие начала фаз приемника и источника, называются линейными; в них протекают линейные токи. Провод, соединяющий нейтральные точки, называется нейтральным, или нулевым.

Треугольник — это такое соединение, при котором конец предыдущей фазы соединяется с началом последующей.

Одним из достоинств трехфазных систем является наличие двух рабочих напряжений — фазного и линейного.

Фазным напряжением называется напряжение между началом и концом одной и той же фазы.

Линейным напряжением называется напряжение между началами двух фаз.

Для приемников, включенных по схеме ”звезда” с нейтральным проводом, выполняются следующие соотношения:

Iл=Iф Uл= .

Ток в нейтральном проводе может быть найден также из векторной диаграммы.

Для приемников, включенных по схеме “треугольник”, выполняются соотношения:

Uл=Uф Iл= .

Однако, если приемник несимметричный, линейные токи указанному соотношению не подчиняются и могут быть найдены либо аналитически, как разности комплексов фазных токов

, , ,

либо из векторной диаграммы.

Здесь , , — комплексы токов в линейных проводах;

, , — комплексы фазных токов в фазах приемника.

При расчете комплексов токов в фазах приемника, они определяются отдельно для каждой фазы на основании закона Ома.

Ia=Ua/Za; Ib=Ub/Zb; Ic=Uc/Zc.

Здесь , , — комплексы фазных напряжений,

Za, Zb, Zc — комплексы полных сопротивлений фаз.

Пример решения 5.

Для активно-индуктивного приемника, включенного по схеме “звезда” с нейтральным проводом (рис.1.8.) в сеть с линейным напряжением Uл=380 В, найти фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, активные мощности отдельных фаз и активную мощность приемника, если Ra=3 Ом, Rb=4 Ом, Rс=6 Ом, Xа=4 Ом, Xb=3 Ом, Xс=8 Ом.

1. Находят действующее значение фазного напряжения

2. Начальную фазу напряжения в фазе “а” принимают равной нулю, тогда комплексы фазных напряжений будут:

; ; .

3. Определяют комплексы полных сопротивлений фаз приемника

.

4. Вычисляют комплексы фазных токов

Ia=Ua/Za=220ej0/(5ej53)=44e-j53 A.

Ib=Ub/Zb=220e-j120/(5ej37)=44e-j157 A.

Ic=Uc/Zc=220ej120/(10ej53)=22ej67 A..

5. Так как приемник включен “звездой”, линейные токи равны фазным.

; ; .

6. Находят ток в нейтральном проводе

Действующее значение тока в нейтральном проводе:

7. Определяют комплексные полные мощности фаз приемника

Активная мощность фазы “а”: Ра=5825 Вт.

Реактивная мощность фазы “а”: Qа=7730 Вар.

Активная мощность фазы “b”: Рb=7730 Вт.

Реактивная мощность фазы “b”: Qb=5825 Вар.

Активная мощность фазы “c”: Рc=2912 Вт.

Реактивная мощность фазы “c”: Qc=3865 Вар.

8. Вычисляют активную мощность приемника.

Активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз.

Р=Ра+Рb+Рc=5825+7730+2912=16469 Вт.

Для удобства построения векторной диаграммы поворачивают оси координат на 900 в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

В выбранном масштабе откладываются векторы фазных напряжений. Векторы фазных напряжений строят в соответствии с расчетными значениями комплексов фазных токов. Положительные углы откладывают в сторону, противоположную движению часовой стрелки, от оси действительных величин. Вектор тока в нейтральном проводе находится сложением векторов фазных токов по правилам сложения векторов.

Источник: https://studopedia.su/15_191347_analiz-elektricheskih-tsepey.html

Методы анализа линейных электрических цепей

Анализ линейных электрических цепей

Существуют следующие основные методы анализа простейших (с небольшим числом ветвей) цепей: метод наложения, метод эквивалентного источника, метод уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов.

3.7.1. Метод наложения

Метод наложения основан на принципе суперпозиции (справедлив лишь для линейных цепей): в линейной цепи реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие.

При использовании в качестве воздействий источников тока или напряжения, а в качестве откликов — тока или напряжения в одной из ветвей, метод наложения можно сформулировать следующим образом: ток или напряжение в i-ой ветви равен алгебраической сумме токов или напряжений, создаваемых каждым источником в отдельности, при условии, что все остальные источники заменены своими внутренними сопротивлениями. Таким образом, о методу наложения каждый из токов может быть представлен в виде суммы токов от всех источников. Рассмотрим данный метод на примере следующей цепи.

где i11, i21, i31 – частичные токи от источника Е1(вторая цифра указывает на источник); при этом источники тока I и напряжения Е2 заменены своими внутренними сопротивлениями R=∞ (разрыв цепи) и R=0 (короткое замыкание) соответственно; и так далее для других источников. Тогда можно найти эти частичные токи, используя закон Ома и три частные схемы замещения, учитывающие замены источников их внутренними сопротивлениями.

Так, для источника Е1:

; ; ;

где ; i11 – общий ток источника; используем закон Ома и правило делителя тока.

Для источника тока I:

; ;

;

где

При этом знаки i22 и i32 берутся со знаком «-«, так как направление источника I противоположно выбранному направлению этих токов.

Для источника Е2:

; ;

;

Объединив полученные результаты для частичных токов источников, можно получить искомые токи ветвей.

Метод наложения является очень громоздким, поэтому его применение целесообразно, когда электрическое состояние цепи уже известно для заданных источников и необходимо проанализировать его при изменении ЭДС или тока одного из источников, т.е.

тогда достаточно просчитать лишь частичные токи для этого источника. И, кроме того, этот метод не применим для расчета мощностей элементов, т.к. , а квадраты есть нелинейная зависимость.

3.7.2. Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника позволяет определить ток в одной из ветвей (или нагрузке) в соответствии с принципом компенсации, согласно которому любой пассивный участок цепи (ветвь или ее часть) может быть заменен источником ЭДС с тем же напряжением; а любая ветвь с известным током – источником тока с таким же значением.

Таким образом, любую сложную активную электрическую цепь в произвольных точках подключения нагрузки a,b можно заменить простой схемой эквивалентного источника напряжения с параметрами (напряжение холостого хода), (внутреннее сопротивление) или эквивалентного источника тока с параметрами (ток короткого замыкания) и Rab.

Параметры эквивалентных источников определяются:

1. – напряжение в точках эквивалентного преобразования a и b при отключении нагрузки в этих точках, определяемое при нескольких источниках в цепи обычно по методу наложения;

. — ток в точках эквивалентного преобразования a и b при коротком замыкании, определяемый также по методу наложения;

3. — сопротивление цепи в точках a и b при условии замены всех источников их внутренними сопротивлениями.

При этом в соответствии с условием эквивалентности преобразования источников можно определить только одну из пар параметров: либо Uxx и , либо и .

Суть метода состоит в том, что к ветви, в которой необходимо определить ток или напряжение, в точках a и b подключается схема эквивалентного источника тока или напряжения с заранее определенными параметрами. Для нее используются правила делителей тока и напряжения, закон Ома. Пусть необходимо определить ток и напряжение в ветви 3 той же схемы.

1. Решение методом эквивалентного источника напряжения

Чтобы найти и , временно удалим . Для оставшейся схемы по методу наложения получим: = + + — как сумму частичных напряжений от каждого источника. Тогда:

Для источника Е1 по правилу делителя напряжения для последовательной схемы:

(16)

Для источника I по закону Ома для параллельной схемы:

(17)

Для источника Е2, поскольку в этой схеме ток через R1 и R2 не протекает:

(18)

Внутреннее сопротивление определится как:

(19)

Тогда, используя (16)-(19), из простой схемы с эквивалентным источником напряжения искомый ток по закону Ома можно определить как:

2. Решение методом эквивалентного источника тока

Сопротивление определится так же, как и в первом случае. Параметр по методу наложения можно определить как сумму частичных токов от всех источников:

= + + .

Тогда, используя те же схемы замещения для трех источников, получим:

; ; . (20)

Искомый ток, объединяя (19) и (20), определим по правилу делителя тока из простой схемы замещения с эквивалентным источником тока:

.

Таким образом, любую часть активной линейной цепи можно заменить эквивалентным источником ЭДС с = или источником тока с = и эквивалентным внутренним сопротивлением . Этот метод наиболее эффективен в сравнении с другими в случае, когда необходимо провести не общий, а частичный анализ цепи, связанный с определением тока в одной из ветвей при изменении её ЭДС и/или сопротивления.

3.7.3. Метод уравнений Кирхгофа

Для электрических цепей с большим число ветвей применение методов наложения и эквивалентных источников становится неэффективным. Универсальным методом анализа является использование законов Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь токов для любого узла. И поскольку в любой электрической цепи, состоящей из p-ветвей и q-узлов, число независимых узлов m=q-1, то число линейно независимых уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, также равно m.

2-ой закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь напряжений в любом контуре цепи. Число независимых контуров n=p–m будет определять число линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа.

Тогда общее число линейно независимых уравнений, составленных по двум законам Кирхгофа: p= m + n, то есть соответствует общему числу неизвестных токов во всех ветвях. При этом направления токов в ветвях и обхода контуров выбираются произвольно.

Так, для мостовой схемы типа «конверт»: p = 6; q = 4; m = q – 1 = 3; n = p – m = 3; получим две системы уравнений:

(21)

По закону Ома для любой к-ветви:

Uk = ikRk. Подставляя эти соотношения в (21), получим 6 уравнений для токов, решив которые, можно определить токи и напряжения во всех ветвях. Так как решение системы из шести уравнений достаточно трудоемко, такие задачи удобнее выполнять на ЭВМ. Для этого полученное уравнение форматируют, то есть приводят к матричной форме.

Составим редуцированную матрицу соединений для узлов 1-3:

Тогда система уравнений (21) для токов в матричной форме примет вид:

.

При этом наличие в активной линейной цепи источников тока учитывается как отдельные ветви в редуцированной матрице соединений и дополнительные строки в матрице-столбце токов.

Перепишем уравнения для напряжений в контурах из (21) в виде:

.

Для этой системы, аналогично редуцированной матрице соединений, можно записать матрицу контуров N, состоящей из n-строк по числу независимых контуров и p— столбцов по количеству ветвей; при этом на пересечении i-ой строки и j-го столбца будут находиться:

+1, если направление тока в j-ой ветви i-го контура совпадает с направлением обхода;

-1, если направления противоположны;

0, если j-я ветвь в этот контур не входит.

Если в j-ой ветви имеется источник ЭДС, то напряжение этой ветви:

, причем знак «-» ставится при совпадении направлений ЭДС источника и падения напряжения ветви, а знак «+» при противоположных направлениях. Так, в данной схеме: для 1-го контура ; для 2-го контура . Тогда редуцированная матрица контуров и соответствующая система уравнений будут иметь вид:

; .

3.7.4. Метод контурных токов

Использует n = p – m уравнений по числу независимых контуров (т.е. каждый из них должен содержать хотя бы одну ветвь, не входящую в остальные). Уравнения составляются только по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов.

Наличие в цепи идеальных источников тока (ИИТ) упрощает задачу анализа, так как сокращается число необходимых уравнений, поскольку ток ИИТ сразу определяет соответствующий контурный ток. ИИТ должен входить только в один из независимых контуров.

При наличии в схеме реальных источников тока (РИТ) необходимо либо:

1. Заменить РИТàРИН ;

2. Рассматривать РИТ как отдельный контур с ИИТ, контурный ток которого определяется током источника.

Метод контурных токов использует следующие основные понятия:

  • Контурный ток — условный ток произвольного направления, протекающий в каждом независимом контуре ;
  • Собственное сопротивление контура — алгебраическая сумма сопротивлений всех элементов контура ;
  • Взаимное сопротивление смежных контуров — сопротивление общего для двух контуров элемента , i,j — номера смежных контуров, причем Rij = Rji; берется со знаком «+», если направления контурных токов совпадают на общем элементе, и с «-«, если противоположны;
  • Контурная ЭДС — алгебраическая сумма всех ЭДС каждого независимого контура ; берется со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением контурного тока.

Алгоритм метода контурных токов состоит из четырех основных этапов:

1. Выбор n-независимых контуров, произвольное обозначение направления контурных токов и токов ветвей; при этом ИИТ должны входить только в один какой-либо контур, поскольку они определяют величину контурного тока.

2. Запись системы стандартизованных линейных уравнений для всех независимых контуров, нахождение собственных и взаимных сопротивлений и контурных ЭДС для данной системы.

3. Решение системы в матричной форме или по методу Крамера относительно контурных токов.

4. Определение токов в ветвях по методу наложения полученных значений контурных токов.

Рассмотрим этот алгоритм на примере данной схемы, произвольно выбирая направления контурных токов и токов в ветвях.

1. В схеме 4 независимых контура, причем Ik4 = I (или можно было заменить РИТ на РИН с E = IR2).

2. Для трех оставшихся независимых контуров получим следующую систему уравнений:

где R11 = R1+R3+R6; R22 = R2+R3+R4; R33 = R4+R5+R6;

R12=R21= — R3; R14=0; R23=R32= — R4; R24=R2; R13=R31= — R6; R34=0.

3. Полученные значения сопротивлений и ЭДС необходимо подставить в исходную систему уравнений и решить ее матричными или другими известными способами. Для этого необходимо последнее слагаемое из левой части перенести в правую:

Тогда решение в матричной форме: ;

где ; i=1,…,n; ∆ — определитель матрицы [R]; ∆I – определитель, в котором вместо i-го столбца стоит матрица-столбец [E].

4. Токи ветвей: i1 = Ik1; ; ; ; ; .

Таким образом, для внешних ветвей значения токов совпадают с контурными; для смежных – равны разности контурных токов соответствующих контуров.

3.7.5. Метод узловых потенциалов (напряжений)

Метод узловых потенциалов использует m=q-1 линейно независимых уравнений по числу независимых узлов. Он основан на первом законе Кирхгофа. В качестве неизвестных выступают потенциалы узлов, по которым при помощи закона Ома находят токи ветвей.

Наличие в цепи идеального источника напряжения упрощает задачу анализа, так как сокращает количество необходимых уравнений, поскольку идеальный источник напряжения определяет (с учетом направления) узловое напряжение узла, к которому он подключен.

При наличии в схеме реальных источников напряжения (РИН) их необходимо заменить эквивалентными реальными источниками тока (РИТ), используя (15).

МУП (МУН) использует следующие основные понятия:

  • Опорный узел – это узел, который заземляется, т.е. его потенциал . В качестве опорного следует выбирать узел, к которому примыкает наибольшее количество ветвей или подключен идеальный источник напряжения;
  • Узловое напряжение – напряжение данного узла относительно опорного, обозначается и всегда направлено к опорному узлу;
  • Собственная проводимость узла – алгебраическая сумма проводимостей ветвей, подключенных к данному узлу ;
  • Взаимная проводимость между смежными узлами – это проводимость ветви между двумя смежными узлами ; всегда берется со знаком «-»;
  • Узловой ток – алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу: ; при суммировании берется со знаком «+», если ток направлен к узлу, и «-», если ток направлен от узла.

Алгоритм метода узловых потенциалов состоит из четырех основных этапов:

1. Выбор опорного узла; обозначение направлений узловых напряжений и токов в ветвях. При наличии РИН будем заменять их эквивалентными РИТ.

2. Запись системы линейных уравнений в общем виде; нахождение всех коэффициентов: собственных и взаимных проводимостей и узловых токов.

3. Решение полученной системы и нахождение узловых напряжений.

4. Определение токов в ветвях через узловые напряжения по закону Ома.

Рассмотрим данный метод на примере той же схемы:

1. РИН → РИТ: — эквивалентная замена ЭДС источником тока. В качестве опорного выбираем узел 1, так как к нему примыкает наибольшее число ветвей. Остальные узловые напряжения направляем к опорному узлу.

2. Система стандартизованных уравнений для этой схемы будет иметь вид:

;

где ;

; ;

; ;

.

3. Решение системы уравнений, определение — узловых напряжений.

4. Определяем токи в ветвях по закону Ома:

; ; ; ; ; .

Выбор того или иного метода определяется поставленными задачами и порядком получаемой для их решения системы уравнений. Так, при одинаковом количестве уравнений МКТ предпочтительнее, т.к. не требует дополнительного использования закона Ома. МУП (МУН) удобен при расчетах многофазных цепей, но не эффективен при расчете цепей с взаимной индуктивностью.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/8_58212_ekvivalentnie-preobrazovaniya-elektricheskih-tsepey.html

Лекция 2. методы анализа линейных электрических цепей постоянного тока

Анализ линейных электрических цепей

Реальные электротехнические устройства и системы имеют сложные схемы. Перед специалистами стоят задачи расчета их параметров. Процесс расчета параметров в теории электротехники принято называть «анализом схем».

Электрические схемы любой сложности подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Однако применение только этих законов часто приводит к неоправданно сложным решениям.

Поэтому был разработан ряд методов анализа, адаптированных к топологии электрических цепей и упрощающих процесс расчета их параметров. В лекции рассматриваются некоторые из таких методов.

1. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИМЕНЕНИЕМ ЗАКОНОВ КИРХГОФА

При анализе электрических цепей определяют значение токов в их ветвях, падение напряжения на элементах или потребляемую мощность по заданному значению Э.Д.С., а также значение сопротивлений, проводимостей или других параметров по заданным значениям тока или напряжения. Для определенности будем полагать, что расчету подлежит значение токов ветвей схемы, приведенной на рис. 2.1.

Суть анализа электрических цепей применением законов Кирхгофа

заключается в составлении системы из N независимых линейных уравнений,

причем

N = (n — 1) + к,

где: n – число сложных потенциальных узлов, к – число независимых контуров.

По первому закону Кирхгофа составляется (n — 1) уравнение, по второму закону – к уравнений.

Схема рис. 2.1 содержит 5 ветвей (N=5), 3 cложных потенциальных узла (n = 3) и 3 независимых контура (к=3). Значит, в систему необходимо включить два уравнения по первому закону Кирхгофа (например, для узлов 1 и 2) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров I, II, III).

Обозначим на схеме стрелками условно принятые положительные направления токов ветвей и направления обхода контуров. Будем полагать, что индексы токов ветвей совпадают с индексами пассивных приемников электрической энергии. Тогда система уравнений по законам Кирхгофа принимает вид:

.

Далее необходимо решить систему из пяти уравнений относительно токов. Точность расчетов может быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источников и приемников электрической энергии:

В левой части уравнения слагаемые имеют знак плюс, если направления Э.Д.С. и токов совпадают. В противном случае они имеют знак минус.

2. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Когда в состав электрической цепи входит только один источник Э.Д.С., его ток определяется общим сопротивлением пассивных приемников электрической энергии. Такое сопротивление называют эквивалентным Rэкв.

Очевидно, что если известно Rэкв, то цепь можно представить в виде двух последовательно соединенных элементов – источника Э.Д.С. и Rэкв, а определение тока источника сводится к применению закона Ома.

Процесс перехода от электрической цепи с произвольной топологией к цепи с Rэкв называется эквивалентным преобразованием. Такое преобразование и положено в основу рассматриваемого метода анализа.

Приемы преобразования электрической цепи определяются способами соединения пассивных элементов. Различают четыре основных способа соединения: последовательное, параллельное, треугольником и звездой. Рассмотрим сущность эквивалентных преобразований при каждом из названных способов.

2.1. Последовательное соединение элементов.

Электрическая схема с последовательным соединением элементов приведена на рис. 2.2, а. Такая цепь имеет только один контур. Через все элементы контура протекает один и тот же ток I. Согласно второму закону Кирхгофа, можно записать

R1 × I + R2 × I +¼+ Rn × I = Rэкв × I,

откуда

Rэкв = R1 + R2 +¼+ Rn, (2.1)

а

I = U / Rэкв.

Таким образом, видим, что схема из n последовательно соединенных резистивных элементов может быть заменена схемой с одним элементом, сопротивление которого определяется по (2.1).

2.2. Параллельное соединение элементов.

Параллельным называют соединение, при котором все элементы цепи присоединяются к двум сложным потенциальным узлам и находятся под воздействием одного и того же напряжения. Схема такой цепи приведена на рис. 2.3. Ток каждой к – ой ветви этой цепи определяется напряжением источника U и проводимостью соответствующей ветви:

Iк = Gк × U. (2.2)

Определим правило эквивалентной замены разветвленной схемы рис.2.3, а на простейшую схему рис 2.3, б. Условием эквивалентности схем

https://www.youtube.com/watch?v=fiOVrDkUWBI

является равенство токов на зажимах 1 – 1′, т. е.:

I = I1 + I2 + ∙∙∙ + In. (2.3)

Подставляя в (2.3) значение токов из (2.2), получим:

(2.4)

откуда

или в единицах проводимости

(2.5)

Таким образом, цепь, состоящая из n параллельных резистивных элементов, может быть заменена простейшей цепью, эквивалентное сопротивление которой определяется выражением (2.5).

При параллельном соединении двух резистивных элементов с сопротивлениями R1 и R2 их эквивалентное сопротивление равно:

(2.6)

а эквивалентная проводимость

(2.7)

Токи двух ветвей при их параллельном соединении определяются по правилу деления токов:

(2.8)

2.3. Соединение элементов звездой или треугольником.

Соединение трех сопротивлений в виде трехлучевой звезды (рис. 2.4, а),

называют соединением «звезда», а соединение, при котором элементы образуют стороны треугольника (рис. 2.4, б), – «треугольник».

Очень часто при расчете электрических цепей оказывается целесообразным преобразовать треугольник в звезду. Полезность преобразования наглядно видна на примере схемы рис. 2.5. На рис. 2.5, а приведена схема до преобразования. Пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.5, б приведена та же схема после преобразования. Расчет токов в ней значительно проще.

При преобразовании треугольника в звезду следует пользоваться выражениями:

`(2.9)

2.4. Метод эквивалентных преобразований.

Суть метода:

1.Участки электрической цепи с последовательно и параллельно

соединенными элементами заменяют одним эквивалентным элементом. Рядом последовательно выполненных преобразований схему упрощают до элементарного вида.

2.Применением закона Ома находится ток упрощенной схемы. Его значение определяет ток ветви, ближайшей к источнику Э.Д.С. (ток первой ветви). Это позволяет легко вычислить токи остальных ветвей.

Рассмотрим возможность применения метода на примере анализа схемы рис. 2.6, а. Будем полагать, что в схеме известны значение Э.Д.С. – Е и значения сопротивлений всех ветвей. Необходимо определить токи всех ветвей цепи.

Решение:

А) Выполняем ряд эквивалентных преобразований.

Для этого:

1) Выделяем участок с параллельно соединенными сопротивлениями R4 и R5. Находим эквивалентное сопротивление этого участка:

Приводим схему рис. 2.6, а к схеме рис. 2.6, б.

2) Находим эквивалентное сопротивление цепи относительно узлов а и б:

Теперь схема представляет контур с последовательно соединенными Е, R1 и Rа, б элементами (рис. 2.6, в), т. е. приведена к простейшему виду.

Б) Определяем токи ветвей.

Для этого:

1) Находим ток простейшей схемы (ток первой ветви – I1):

I1 = Е / (R1 + Rа,б).

2) Возвращаемся к схеме рис. 2.6, б. Учитывая, что теперь в схеме известен ток I1, находим токи ветвей R2 и R3..Для этого достаточно применить правило деления токов (2.8):

Очевидно, что после определения тока I2, ток I3 легко вычислить и по первому закону Кирхгофа, т. е. I3 = I1 – I2.

3) Возвращаемся к схеме рис. 2.6, а. Так как теперь в схеме известны

токи I1,I2 и I3, токи I4 и I5 находим по (2.8):

Таким образом, анализ электрической цепи рис. 2.6 проведен без составления и решения системы из N = 5 линейных уравнений по законам Кирхгофа. В этом и заключается его основное достоинство.

3. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов оказывается полезным, когда схема электри-

ческой цепи содержит несколько источников электрической энергии. Он позволяет выполнить анализ такой цепи решением системы из К канонических

уравнений, где К равно числу независимых контуров.

Напомним, что канонические уравнения удобны для матричной формы представления системы. В электротехнике матрицы применяют для сокращенной записи системы уравнений и для упорядочения их решения.

Члены канонических уравнений снабжаются двумя индексами, причем первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столбца. Если ввести понятия контурных токов, контурных сопротивлений и Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное каноническое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим метод на примере схемы, приведенной на рис. 2.7, а. Схема имеет два независимых контура. Для ее анализа методом контурных то-

ков необходимо составить систему из двух канонических уравнений:

, (2.10)

где: I11, I22 – контурные токи, Е11, Е22 – контурные Э.Д.С., R11, R22 – контурные сопротивления, R12, R21 – взаимные сопротивления контуров.

Определим введенные понятия.

Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. На рис 2.7, а направление контурных токов показано стрелками в контурах. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке.

Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что

значение контурных токов совпадает со значением действительных токов

только во внешних ветвях:

I11 = I1, I22 = I4.

Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров:

I5 = I11 – I22.

Таким образом, по известным контурным токам легко найти действительные токи всех ветвей. Следовательно, решение системы уравнений (2.10) относительно контурных токов отвечает целям анализа электрической цепи.

Для решения системы уравнений (2.10) определим понятия контурных сопротивленийR11, R22, контурных Э.Д.С. – Е11, Е22 и взаимных сопротивленийR12, R21:

R11 = R1 + R2 + R5, R22 = R3 + R4 +R5;

Е11 = Е1 + Е5, Е22 = Е4 −Е5.

Теперь уравнения системы (2.10) полностью соответствуют параметрам схемы рис. 2.7, а. Значение взаимных сопротивлений контуров в (2.11) определено с обратным знаком. Это обусловлено необходимостью привести канонические уравнения (2.

10) в соответствие с уравнениями, составленными по второму закону Кирхгофа. Взаимное сопротивление контуров, не имеющих общих ветвей, равно нулю.

Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: I1, I2, I3, I4, I5.

Если бы схема содержала три контура, как на рис. 2.7, б, то система канонических уравнений имела бы вид:

.

Таким образом, метод контурных токов более экономен по вычислительной работе. Он позволяет формализовать процесс анализа и упрощает применение ЭВМ к анализу сложных электрических цепей.

4. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

МЕЖДУУЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ

В реальных электрических цепях часто источники и приемники электрической энергии включаются параллельно. Схемы таких цепей имеют только два узла.

Если напряжение между узлами известно, то определение токов в ветвях цепи сводится к применению закона Ома. Этот факт и положен в основу метода.

На первом этапе определяют междуузловое напряжение, а затем, применяя закон Ома, вычисляют токи ветвей.

Пусть анализу подлежит схема рис. 2.8, а. Схема содержит активные и пассивные ветви, соединенные параллельно. Определим токи всех ветвей цепи, применив метод междуузлового напряжения.

Формулу для междуузлового напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции. Следуя этому принципу, сначала определим напряжение, создаваемое между узлами одним источником тока и одним источником Э.Д.С. Полученные выражения распространим на общий случай, когда в цепи действует m источников Э.Д.С. и к источников тока.

Обозначим сложные потенциальные узлы схемы индексами А и В. Напряжение UIАВ между узлами А и В, создаваемое только источником тока I, определим по схеме рис. 2.8, б. Согласно первому закону Кирхгофа, ток источника I равен сумме токов всех ветвей:

(2.12)

где:gi – проводимость i-ой ветви (кроме ветви с источником тока).

Отсюда

(2.13)

Напряжение между узлами А и В, создаваемое только источником Э.Д.С. Е1, найдем по схеме рис.2.8, в. Заменим в схеме рис.2.8, в источник Э.Д.С. Е1 эквивалентным источником тока. Схема примет вид рис.2.8, г. Теперь напряжение , создаваемое источником Э.Д.С. Е1, можно определить по (2.13):

(2.14)

Напряжение от действия источника Э.Д.С. Е2 найдем аналогично (2.14):

(2.15)

Результирующее напряжение UАВ, определим как сумму от воздейст-вия источников I, Е1 и Е2. Значения знаменателей в выражениях (2.13), (2.14), (2.15) одинаковы. Поэтому

Если схема содержит к источников тока и m источников Э.Д.С., то напряжение UАВ между узлами равно алгебраической сумме напряжений, создаваемых источниками тока и источниками Э.Д.С., т. е.

(2.16)

В выражении (2.16) произведения gi,Ei и Ii берут со знаком плюс, когда направления Еi и Ii противоположны выбранному условно – положи тельному направлению напряжения UАВ, и со знаком минус, когда эти

направления совпадают.

Зная междуузловое напряжение UАВ, легко найти токи, как в пассивных, так и в активных ветвях цепи рис. 2.8, а:

5. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ АКТИВНОГО

ЭКВИВАЛЕНТНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

При анализе сложных электрических цепей часто интересуются элек-трическим состоянием лишь одной ветви. В таком случае полезен метод эк-вивалентного генератора (метод активного эквивалентного двухполюсника).

Обоснованием данного метода является теорема об активном эквивалентном двухполюснике. Теорема утверждает, что любую, сколь угодно сложную электрическую цепь или ее часть, можно представить активным эквивалентным двухполюсником с параметрами Еэкв и Rэкв.

Режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

Пусть анализу подлежит схема электрической цепи, приведенной на рис. 2.9, а. Предположим, что в этой цепи нас интересуют напряжение и ток только одной ветви – R3.

Решим задачу применением метода активного эквивалентного двухполюсника. Для этого всю схему, кроме ветви R3, представим активным двухполюсником (рис. 2.9, б).

К зажимам двухполюсника а и б присоединим ветвь R3.

Параметры двухполюсника Rэкв и Еэкв определяются составом и топологией схемы цепи рис. 2.9, а. Поэтому режим работы ветви R3 не изменился. Но теперь для определения тока в ней достаточно применить закон Ома:

(2.17)

В этом и заключается преимущество рассматриваемого метода.

Для решения (2.17) необходимо определить значения Еэкв и Rэкв. Значение Еэкв определяют исходя из того, что напряжение Uхх на разомкнутых зажимах источника равно значению его Э.Д.С. – Еэкв.

Разомкнем зажимы а, б. Схема рис. 2.9, а примет вид рис. 2.10, а. Напряжение между разомкнутыми узлами а, бUхх = Еэкв. Схема рис. 2.10, а позволяет определить это напряжение, используя принцип суперпозиции. Для этого последовательно определяем напряжение узла а, затем узла б, а затем вычисляем разность напряжений.

Напряжение узла а:

= I1 ∙ R2 = E ∙ R2/(R1 + R2).

Напряжение узла б:

Uб = I ∙ R4.

Тогда

Эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – Rэкв находится также относительно разомкнутых зажимов а, б. Однако дополнительно требуется исключить источники электрической энергии. Правила

исключения источников заключаются в следующем.

При исключении источника Э.Д.С. полагают, что напряжение на его зажимах и внутреннее сопротивление равны нулю. Поэтому зажимы источника Э.Д.С. замыкают накоротко.

При исключении источника тока полагают, что ток источника равен нулю, а внутреннее сопротивление – бесконечности. Поэтому зажимы источника тока разрываются.

После исключения источников электрической энергии схема рис. 2.10, а приходит к виду рис. 2.10, б (полагаем, что между узлами а, б сохраняется режим холостого хода). Теперь очевидно, что эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – Rэкв определится выражением:

.

Подставляя выражения, полученные для Еэкв и Rэкв в (2.17), получим:

Таким образом, метод активного эквивалентного двухполюсника существенно упрощает процесс анализа, но требует определенных навыков в преобразовании топологии схемы к удобному и наглядному виду.

7. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В практике электротехники часто встречаются цепи с R и L элементами, например, цепи с электродвигателями, трансформаторами, электромагнитными реле и т. д. Схема замещения таких цепей имеет вид рис. 2.11, а.

При подключении к цепи источника постоянного напряжения, в ней возникает переходной процесс. К анализу переходных процессов применяют классический, операторный методы или метод с использованием интеграла Дюамеля.

Рассмотрим классический метод анализа переходного процесса.

После замыкания ключа К в положение 1 электрическое состояние цепи определяется выражением (1.16). Это линейное дифференциальное уравнение. Общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение находят с учетом законов коммутации (ток через индуктивность в момент коммутации не изменяется). Поэтому решение имеет вид:

. (2.18)

Результат частного решения называют принужденной составляющей тока.

Однородное уравнение получают из (1.16) с учетом до коммутационных начальных условий:

. (2.19)

Общим решением (2.19) является показательная функция вида ,

причем А – постоянный коэффициент, p – корень характеристического уравнения. Результат общего решения называют свободной составляющей тока, т. е.:

.

Так как при Е = 0 iпр = 0, то выражение (2.19) принимает вид

Rк + L∙P = 0,

откуда

.

Общее решение определяется как сумма составляющих:

. (2.20)

Согласно первому закону коммутации при t = 0 ток i(t) также равен нулю. Поэтому (2.20) приходит к виду

,

откуда

.

Подставляя значение А в (2.20) получаем окончательное решение:

(2.21)

где τ = L/Rк – постоянная цепи.

Выражение (2.21) показывает, что ток в цепи с индуктивностью нарастает по экспоненциальному закону, стремясь к значению U/R. Скорость изменения тока определяется постоянной цепи τ. Эта зависимость показана на графиках рис. 2. 11, б. На графиках τ1 = L/Rк, τ2 = 2L/Rк.

Напряжение на резистивном элементе пропорционально току (рис. 2.11, в)

а на индуктивности

Рассмотрим переходный процесс при отключении источника постоянного напряжения от цепи рис. 2.11, а.

Допустим, что ключ К находится в положении 1 достаточно долго, так, что цепь перешла в установившейся режим.

В установившемся режиме сила тока ограничена только сопротивлением провода катушки индуктивности – Rк, и равна . Переведем ключ К в положение 2.

Согласно закону коммутации ток через индуктивность после отключения источника остается равным i0. Выражение (1.16) принимает вид:

Так как источник отсутствует, принужденной составляющей тока нет. В цепи протекает только свободная составляющая тока

, (2.22)

где τ′ = L/(R + Rk) – постоянная цепи после переключения ключа К, А = i0.

Если R = n∙Rk, то падение напряжения на нем в первый момент после коммутации окажется в n раз больше напряжения источника. Такой бросок напряжения может привести к аварийной ситуации в цепи. Это следует иметь в виду при проектировании, расчете и эксплуатации цепей с индуктивностью.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

2.1. Как определяются знаки членов уравнений, составленных:

а) по первому закону Кирхгофа,

б) по второму закону Кирхгофа?

2.2. Составьте уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы рис. 2.7, б.

2.3. Составьте уравнения по второму закону Кирхгофа для всех контуров схемы рис. 2.6, б.

2.4. Какое соединение участков электрической цепи называется последовательным? Приведите соотношение для эквивалентного сопротивления цепи из n последовательно соединенных сопротивлений.

2.5. Какое соединение участков электрической цепи называется параллельным? Приведите соотношение для эквивалентного сопротивления цепи из n параллельно соединенных сопротивлений.

2.6. Приведите схемы соединений треугольником и звездой. Определите значение элементов эквивалентного соединения треугольником, если в схеме рис. 2.4, а R1 = R2 = R3 = 10 Ом.

2.7. В каких случаях возможно и целесообразно применять к анализу электрических цепей метод эквивалентных преобразований? В чем состоит суть этого метода?

2.8. В схеме рис. 2.6, б определите значение источника Э.Д.С. Е, если известно, что R1 = R3 =2 Ом, R2 = R4,5 = 10 Ом, а I3 = 2 А.

2.9. В каких случаях целесообразно применение метода контурных токов? Как определяются значения контурных сопротивлений и контурных Э.Д.С., взаимных сопротивлений?

2.10. В чем состоит суть междуузлового метода анализа электрической цепи? Как определяются знаки Э.Д.С. в выражении для междуузлового напряжения?

2.11. Определите UАВ и токи всех ветвей схемы рис. 2.8, в, если известно: Е1 = 10 В; R1 = 2 Ом, R2 = 10 Ом,а R3 = 20 Ом.

2.12. Для каких случаев расчета электрических цепей применяется метод активного эквивалентного двухполюсника?

2.13. Сформулируйте правила определения параметров активного эквивалентного двухполюсника.

2.14. В схеме рис. 2.6, б известно: Е = 32,8 В, R1 = R3 = 2 Ом, а R2 = R4,5 = 10 Ом. Определите ток I3 методом активного эквивалентного двухполюсника.

2.15. В схеме рис. 2.11 известно: Е = 10 В, Rк = 2 Ом, R = 20 Ом, а L = 0,1 Гн. Постройте график изменения тока цепи после замыкания ключа К до установившегося значения. Определите бросок напряжения на резистре R в момент размыкания ключа К после установившегося режима.

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 2838; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/3-86832.html

Biz-books
Добавить комментарий