Анализ электронных схем модифицированным методом узловых потенциалов

Модифицированный метод узловых потенциалов (ММУП)

Анализ электронных схем модифицированным методом узловых потенциалов

Модифицированный метод узловых потенциалов (ММУП) — modified nodal analysis (MNA) — широко применяется в различных программах анализа режимов работы электрических цепей. В этом материале кратко описывается принцип составления уравнений ММУП методом поэлементного вклада.

Для начала кратко опишем принцип составления уравнений классическим методом узловых потенциалов. Рассмотрим следующий участок цепи, содержащий только ветви с проводимостями и источники тока:

Принимая за положительные направленные от узла токи, запишем для узлов n, m и p уравнения по 1-му закону Кирхгофа:

.

Подставляя в данные уравнения выражения для токов ветвей по закону Ома получаем:

.

После приведения подобных членов и переноса токов источников в правую часть уравнений получаем следующие выражения

.

Представляя полученные выражения в матричной форме, имеем

     (1)

Эти выражения и есть уравнения МУП для узлов n, m и p. Полное число уравнений, которое можно составить таким способом, равно числу узлов в схеме. Однако нужно учитывать, что для получения линейно-независимой системы число уравнений должно быть на одно меньше числа узлов в цепи.

Поэтому потенциал одного из узлов принимается известным, чаще всего равным нулю, такое допущение вполне допустимо так как в выражение закона Ома входит разность потенциалов, а не абсолютная величина потенциала узла.
В системе (1) слева представлен фрагмент матрицы узловых проводимостей, а справа — часть вектора правой части (RHS) уравнений.

На матрице узловых проводимостей выделена часть для узлов n, m и p расчетного участка цепи.

На примере ветви k, которая присоединена к узлам выделенного участка цепи, рассмотрим принцип составления уравнений методом поэлементного вклада. Для ветви k известны ее параметры: проводимость Gk и ток источника Jk, а так же узлы n и m, к которым она присоединена в цепи. При составлении уравнений по МУП мы должны для ветви k:

  • 1. Прибавить проводимость ветви Gk к элементам матрицы узловых проводимостей с индексами n, n и m, m.
  • 2. Вычесть проводимость ветви Gk из элементов матрицы узловых проводимостей с индексами n, m и m, n.
  • 3. Ток источника Jk необходимо вычесть из элемента с индексом n — номер узла, от которого направлен источник — и прибавить к элементу с индексом m — номер узла, к которому направлен источник.

Если ветвь содержит последовательно соединенные сопротивление и источник ЭДС, то для применения МУП достаточно выполнить эквивалентное преобразование

Если в цепи имеются ветви нулевым сопротивлением: короткозамкнутые ветви, ветви с идеальными источниками ЭДС, то очевидно, что в уравнениях по классическому МУП появляются элементы, имеющие бесконечно большую проводимость.

В таком случае приходится предварительно выполнять преобразование цепи для исключения подобных ветвей — объединение узлов короткозамкнутых ветвей, перенос идеальных источников ЭДС в смежные ветви и т.п.

Также возможно введение в такие ветви небольших сопротивлений.

Избежать предварительных преобразований в указанных случаях позволяет переход в ММУП. Покажем его особенности на примере того же расчетного участка цепи, в котором внесем изменения в ветви k.

Запишем уравнения 1-го закона Кирхгофа для узлов n и m, не раскрывая ток Ik по закону Ома для ветви

.

Как видно из приведенных выражений в системе уравнений появляется кроме потенциалов узлов появляется еще одно неизвестное — ток Ik. Для получения решаемой системы необходимо дополнить ее еще одни уравнением, для этого может быть использован закон Ома для ветви k

.

Переходя к матричной форме, имеем

  (2)

Таким образом мы получили систему уравнений по модифицированному МУП. Как видно из (2) матрица коэффициентов и вектор RHS при ММУП являются гибридными, содержащими элементы различной размерности. Одним из решений этой системы будет значение тока в ветви k.

При составления уравнений для ветви с идеальным источником ЭДС необходимо в системе (2) принять Rk=0. Для короткозамкнутой ветви без источника ЭДС приравниваем нулю и Ek в RHS.

В этих случаях получаем систему уравнений с нулевым диагональным элементом, которая иногда требует реорганизации матрицы коэффициентов. В пакете Sparse1.

4 имеется соответствующая процедура spMNA_Preorder, которой следует обрабатывать исходную матрицу после формирования перед процедурой факторизации.

В качестве помощи в представлении различных элементов при составлении матриц ММУП будет полезна таблица, представленная в следующем материале.

К началу

Источник: http://electroanalysis.ucoz.net/publ/na_palcakh/mna/2-1-0-1

Метод узловых потенциалов

Анализ электронных схем модифицированным методом узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех В ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома ( 1.12).

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 1.16.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е. jз = 0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов

Токи в ветвях согласно закону Ома

где — потенциалы узлов 1 и 2.

После подстановки (1.29) в (1.28) и группировки членов получим

Дополнительно по теме

В этих уравнениях — суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; — сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (1.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.

Уравнения (1.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1.16, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла.

Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения

Принимая, как и раньше, j3 = 0 напишем выражения для токов ветвей:

для узла 1

для узла 2

После подстановки (1.32) в (1.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (1.30).

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1.

30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными — от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1.17, при j4 = 0 получим соответственно следующие уравнения:

где

Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов (У — любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У — 1 потенциалов остальных узлов получается У — 1 уравнений:

или в более общей форме для любого узла р при jу = О

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1.

30), проводимость gрр (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость gjp = gpj с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток Jp равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, ток — узловой ток — равен алгебраической сумме Jр и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Про водимости таких ветвей в выражения вида gрр и gjp не входят.

Решив уравнения (1.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома (1.12а).

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие.

Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений.

В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.

Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 1.18, а), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1.

18, а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю.

Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1.18,6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1.

33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1.18,6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = 0 (рис. 1.18, а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1.

18, а) j4 = 0, то потенциал j2 узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов j1 и j3 нужно составить уравнения (1.

33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1.18,6).

Полезно еще рассмотреть применение уравнений (1.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рис. 1.19). Найдем напряжение U12, записав уравнение (1.33) для первого узла

откуда

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (1.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

Пример 1.3.

На рис. 1.20, к изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е1 = 6 В, Е2 = 12 В, Е3 = 18 В; сопротивления ветвей: r1 = r2 = r3 = 2 Ом и r4 = r5 = r6 = 6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

Решение.

Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами j1, j2 и j3:

или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС

Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: j1 = -9 В; j2 = 3 В; j3 = 6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1.20, а)

Матричные уравнения узловых потенциалов.

Уравнения узловых потенциалов (1.33) можно записать в матричной форме:

где

— квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

— матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец узловых токов, причем по (1.33а) , при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к i-му узлу.

Умножив слева уравнение (1.35) на получим уравнение для определения потенциалов узлов схемы в виде

где — матрица, обратная матрице .

Ниже показано, что матрицу узловых проводимостей можно составить непосредственно по соответствующей схеме цепи по формуле

где А — матрица соединений (узловых проводимостей ветвей схемы) или ее направленного графа; g — диагональная матрица проводимостей ветвей; — транспонированная матрица соединений.

Для иллюстрации применения формулы (1.39) рассмотрим схему рис. 1.20, а, для которой на рис. 1.20,6 построен направленный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов (для узлов 1, 2, 3):

Диагональная матрица проводимостей ветвей

Произведение матриц А и g

Матрица узловых проводимостей цепи (1.39) получается после перемножения матриц Ag и :

Матрица-столбец потенциалов узлов

Матрица-столбец узловых токов

Пользуясь выражением (1.35), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1.3.

Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по (1.

39) получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю.

После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.

Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали.

Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле

где положительное направление напряжения Ujp совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждой ветви. Например, для схемы по рис. 1.20

Из этого выражения следует

как и должно быть.

Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

Источник: http://www.ess-ltd.ru/elektro/uzl-pot.php

Модифицированный метод узловых потенциалов

Анализ электронных схем модифицированным методом узловых потенциалов

3.8 Модифицированный метод узловых потенциалов

(Расширенное узловое уравнение)

В расширенном узловом уравнении переменными являются потенциалы узлов и токи Z-ветвей.

Компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения Y- и Z-ветвей:

IY=Y×UY+KI×IZ-J

UZ=Z×IZ+KU×UY-E.

Если первые номера присваиваются Y-, а последующие Z-ветвям, то матрица соединений и вектор-столбец токов могут быть представлены двумя подматрицами:

; ,

а уравнение по первому закону Кирхгофа примет вид:

. (3.22)

Преобразуем это уравнение с учетом закона Ома для Y-ветвей:

.

Тогда, принимая во внимание , получим:

. (3.23)

Закон Ома для Z-ветвей:

с учетом  приводит к уравнению

. (3.24)

Уравнения (3.23) и (3.24) объединяются в одно уравнение, получаем расширенное узловое уравнение (РУУ):

. (3.25)

Поставив I1 и I3 в первое уравнение, получим расширенное узловое уравнение:

или в матричной форме:

.

Учитывая, что ветви 1, 2, 3, 4 – Y-ветви, а 5, 6 – Z-ветви, запишем матрицу соединений, разделив ее на Ay- и Az-подматрицы:

= [Ay, Az].

Приведем матрицы проводимостей ветвей Y, сопротивлений Z и коэффициентов передачи КI и КU:

, , , .

Найдем необходимые произведения матриц:

.

Теперь расширенные узловые уравнения: имеют вид:

.

3.9 Вычисления с комплексными числами в MathCAD

В MathCAD определена мнимая единица j: ,  и, следовательно, определены комплексные числа и операции с ними. Для того, чтобы ввести в MathCAD мнимую единицу, следует набрать на клавиатуре (в рабочем документе будет отображен символ i, который MathCAD при таком способе ввода воспринимает как мнимую единицу).

Комплексные числа записывают в MathCAD в общепринятой математической нотации. Это означает, что выражение z=a+bj, где а и b – действительные числа, воспринимается как комплексное число, действительная часть которого равна а, а мнимая – b.

В MathCAD можно определять комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной форме; однако при символьных вычислениях (с помощью знака символьных преобразований ® или ключевого слова complex) комплексное число все равно отображается в алгебраической форме.

Для вычислений с комплексными числами в MathCAD определены все арифметические операции, а также специфические для комплексной арифметики операции:

u  Re(z) – действительная часть комплексного числа z;

u  Im(z) – мнимая часть комплексного числа z;

u  аrg(z) – главное значение аргумента комплексного числа z;

u   – модуль  комплексного числа Z;

u  =a-jb – число, комплексно сопряженное к числу z.

В MathCAD можно вычислять значения элементарных функций, как действительного, так и комплексного аргумента. Однако при вычислении значений многозначных функций вычисляются только главные значения. Для того, чтобы вычислить все значения многозначных функций, пользователь должен определить их в рабочем документе соответствующими выражениями.

Если уравнение имеет комплексные корни, то MathCAD вычисляет не только действительные, но и комплексные корни.

3.10 Расчет электрических цепей с трансформаторами

Уравнения двухобмоточного трансформатора

Рис. 3.14

могут быть представлены в виде уравнений четырехполюсника в Z-форме:

(3.26)

При выбранном направлении токов и напряжений

.

Цепь с каскадным соединением трансформаторов

Если известно сопротивление вторичной цепи , можно из второго уравнения (3.26) выразить I2 через I1 и таким образом пересчитать сопротивление вторичной цепи в первичную:

. (3.27)

Пересчет сопротивления Z2 из вторичной цепи в первичную дает возможность при известном напряжении на входе трансформатора определить ток первичной цепи. Для определения тока и напряжения вторичной цепи можно воспользоваться уравнением четырехполюсника в В-форме:

, (3.28)

Литература

1.    Теоретические основы электротехники: В 3 т. Учебник для вузов. Том 1, 2. – 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПБ Питер, 2004. – 463, 576 с.

2.    Основы теории цепей: Учебник для вузов. Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

3.    К.С. Демирчян, П.А. Бутырин. «Моделирование и машинный расчет электрических цепей». – М.: ВШ., 1988. – 335 с.

4.    И. Влах, К. Сингхал. Машинные методы анализа и проектирование электронных схем. – М.: Радиосвязь, 1988. – 560 с.

5.    Данилов Л.В. и др. Теория нелинейных электрических цепей (Л.В. Данилов, П.Н. Матханов, Е.С. Филиппов). – Л.: Энергоатомиздат, Ленинград. отд-ие, 1999. – 256 с.

6.    Леон О. Чуа и Пен-Мин Лиин. Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). – М.: Энергия, 1980. – 640 с.

7.    Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD. Математический практикум для инженеров и экономистов: учеб. Пособие – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.

8.    Шабалин В.Д. Машинное моделирование электрических цепей. – Кострома: Изд. Костромской ГСХА, 200. – 80 с.

9.    Шабалин В.Д. Пересчет сопротивления нагрузки трехфазной цепи, содержащей трансформатор. / Актуальные проблемы науки в агропромышленном комплексе: материалы 58-й международной научно-практической конференции: в 3 т. Т. 3. – Кострома: КГСХА, 2007. с. 184–185.

… колебаний Ом — резистор Ом — резистор Ом — резистор Ом — резистор Ом — резистор Ом — резистор Гц — линейная частота с. — текущее время с. — текущее время  Рад — фаза   1.3 Описание работы электрической цепи В начальный момент времени ключ находится в положении . При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю . Происходит первое переключение ключа, …

… хода 4х-П представляет собой частный случай входного сопротивления (1.5) при Сопротивление короткого замыкания получается из (1.5) при   1.4 Передаточная функция четырехполюсника При проектировании радиотехнических устройств широко применяются электрические фильтры, которые удобно рассматривать как 4х-П, предназначенные для передачи сигналов от входа к выходу с определенной …

… — вгруппе переменных,«зажатых вкулак», но этот«кулак», какмы уже отмечали,легко разжать,выводя на дисплейнайденныезначения с«первородной»размерностьюмассы (kg),длины (m)и времени(sec):пакет MathCAD «разжимает»и сам вектор,м составныеразмерности,приписываяк числам комбинацииосновных физическихединиц. Но нетолько этимхороша размерностьв задачах. Главноето , что она …

… полезных сигналов, а также динамический диапазон сигналов на выводе РПрУ не должно превышать 10 дБ.

4 Анализ и моделирование структуры РПУ Так как для общих характеристик радиоприемного устройства исходными данными для расчета являются не только диапазон рабочих частот, но и параметры приемной антенны, такие как емкость, индуктивность, активное сопротивлении и тд. Следовательно будем …

Источник: https://www.KazEdu.kz/referat/132062/7

Biz-books
Добавить комментарий