4.1. Механические колебания

Механические колебания и волны – FIZI4KA

4.1. Механические колебания

ЕГЭ 2018 по физике ›

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

  • повторяемость движения;
  • возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

  • наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
  • наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

  • Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

  • Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​\( x \)​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​\( A \)​ – амплитуда колебаний; ​\( \omega t+\varphi_0 \)​ – фаза колебаний; ​\( \omega \)​ – циклическая частота; ​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​\( v \)​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​\( a \)​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​\( F \)​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​\( W_k \)​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

  • потенциальная энергия равна нулю;
  • кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

  • кинетическая энергия равна нулю;
  • потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​\( A\, (X_{max}) \)​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​\( \varphi \)​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза колебаний.

Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​\( T \)​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​\( u \)​, единицы времени – с-1 или Гц (Герц).

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​\( \omega \)​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​\( h \)​, определяется по формуле:

где ​\( l \)​ – длина нити, ​\( \alpha \)​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

Условие резонанса:

​\( v_0 \)​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​\( \lambda \)​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

  • наличие источника звука;
  • наличие упругой среды между источником и приемником звука;
  • наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
  • мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

  • инфразвук (​\( u \)​ < 16 Гц);
  • звуковой диапазон (16 Гц < \( u \) < 20 000 Гц);
  • ультразвук (\( u \) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

  • от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

  • Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
  • Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
  • Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/mehanicheskie-kolebanija-i-volny-2.html

4. Колебания и волны – Виктор Цекунов

4.1. Механические колебания

google.com/+ВикторЦекунов
Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович.

Высшая математика и физика для студентов.Профессиональный репетитор окажет помощь в решении задач, подготовит к экзаменам. Занятия в Серебрянке, индивидуально. (90 мин)= 20 $.

Тел: +375(29) 127 61 86.___________________________________________________________________________________
Оказываюплатные услуги: решение задач по физике. Оплата WebMoney.

Заказы направляйте сюда: Платные услуги

___________________________________________________________________________________

      4.1.Механические колебания.

            4.1.1. Гармонические колебания.
            4.1.2. Свободные затухающие колебания.
            4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

     4.2. Электрические колебания.
     4.3. Упругие волны. Акустика.
     4.4. Электромагнитные волны. Излучение._______________________________________________________________________________________________

      4.1. Механические колебания.            4.1.1. Гармонические колебания.

4.1.1-1.Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с.Найти время t₁ , закоторое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:
Т = 12 с х(0) = 0

х(

t₁) =А/2                                           (1)
t₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по законусинуса с начальной фазой ϕ₀ = 0:
x = Asin(ωt + ϕ₀) или
x = Asinωt,                                          (2)
где ω = 2π/T –круговая частота. С учётом условия (1), запишем (2) в виде:

х(

t₁) = Asin(ωt₁);   А/2 = Asin( (2π/T)t₁ );   1/2 = sin(2πt₁/T);    2πt₁/T = π/6. Отсюда
t₁ = T/12.
t₁= 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2.Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.


Решение:

R = 0,4м
T − ?
В данном случае диск − это физический маятник, период колебаний которогоопределим по формуле:

,                   Iмомент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвесаА (см. рис.

); x = AO = R −расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m −масса диска; g = 9,8м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I₀ диска относительно оси симметрии диска:
I₀ = mR
²/2.
Потеореме Штейнера: I = I₀ + mR².    Имеем I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2.  Тогда по (1)

4.1.1-3.Материальная точка движется согласно уравнению r(t) = A(icosωt + jsinωt), гдеA = 0,5м, ω = 5с⁻¹. Изобразите на рисунке траекторию движения. Определите модуль скорости имодуль нормального ускорения.

Решение:

r(t) = A(icosωt + jsinωt)                                   (1)
A = 0,5м
ω = 5с⁻¹
v − ?
an − ? Представим (1) в виде: r(t) = iAcosωt + jAsinωt                                  (1*)
Радиус вектор r(t)точки: r(t) = ix + jy, где x, y −проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY; i, j −единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY.Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt, отсюда получим два уравнения x = Acosωt,                                                       (*)
y = Asinωt.                                                       (**) Возведём их в квадрат x² = A²cos²ωt,
y² = A²sin²ωtx² + y² = A²cos²ωt + A²sin²ωt или x² + y² = A²(cos²ωt + sin²ωt).Отсюда, т.к. cos²ωt + sin²ωt = 1,получим уравнение траектории движения точки
x² + y² = A².                                                        (2)
Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости vx и vy. Для этого продифференцируем x и y из(*) и (**) по времени t:
vx = xtʹ = (Acosωt)tʹ = – Aωsinωt;
vy = ytʹ = (Asinωt)tʹ = Aωcosωtv² = vx² + vy² или v² = (-Aωsinωt)² + (Aωcosωt)² илиv² = A²ω²(sin²ωt + cos²ωt) или v² = A²ω².Отсюда модуль скорости v:
v = Aω.                                                               (3)
v =0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения an:   an = v²/R или, с учётом (3) и R = A, получим an = A²ω²/A или
an = Aω².
an =0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², an = Aω² = 12,5 м/с².
_______________________________________________________________________________________________

            4.1.2. Свободные затухающие колебания.


4.1.2-1.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β?

Решение:

t = 15 c
n = 100
A = A₀/n                                           (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t:
A = A₀e-βt,                                        (1)
где A₀ –начальная амплитуда; β – коэффициент затухания. Имеем из (1) и (*): A₀/n = A₀e-βt;   1/n = e-βt;   eβt = n;   βt = ln(n)отсюда
β = ln(n)/t.
β =ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2.Найтилогарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один изего концов, если за промежуток времени t = 5мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4·10² раз. Длинастержня L = 50 см.

Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT
,                                        (1)
где β –коэффициент затухания,  T− период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания

β.
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² – β².                                (2)
ω –частота затухающих колебаний;  ω₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е =
E₀e-2βt,
где E₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е₀/Е = Е₀/(E₀e-2βt) = 1/(e-2βt) =e2βt.
Получили n = e2βt.Прологарифмируем это равенство Ln(n) = 2βt. Отсюда
β = Ln(n)/(2t).                                (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.

Оценим коэффициент β2 по (3).
β = Ln(400)/(2·300)= 0,009986, отсюда
β² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:
,                                  (4)
где J = mL²/3 –момент инерции стержня относительно оси вращения, m –масса стержня, g – ускорение свободного падения, d = L/2 –расстояние от точки подвеса до центра тяжести стержня.
Подставим всё в (4) и, после упрощения, получим
.                                    (4*)
По (4*) оценим ω₀2:
ω₀2 = 3·9,8/(2·0,5) = 29,9.
Так как β²

Источник: https://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/fizika/4-kolebania-i-volny

Решение задач по теме «Механические колебания и волны. Звук» (Ерюткин Е.С.). урок. Физика 9 Класс

4.1. Механические колебания

Здравствуйте! Наш завершает тему «Механические колебания и волны», поэтому он будет посвящен контрольной работе. Наша контрольная работа так и называется «Механические колебания и волны. Звук». Мы рассмотрим различные задачи, посвященные этой теме. Первая задача, которую будем рассматривать, посвящена колебаниям обыкновенного нитяного маятника, звучит она следующим образом.

Задача 1

По представленному графику определите амплитуду и период колебаний нитяного маятника.

Решение:Ответ: А = 10-2 м, Т = 1 с.

Мне бы хотелось отметить, что такого рода задачи часто встречаются в контрольных работах. Именно по графику определить характеристики колебаний. Давайте обратимся к записи, посмотрим на график и ответим на поставленный вопрос.

Итак, в данном случае график представлен на рисунке и выглядит он следующим образом. Сначала мы должны отметить точку равновесия. В данной точке тело когда находилось, оно находилось в положении равновесия. Дальше начинается движение маятника. С течением времени у нас смещение произошло сначала в одну сторону, затем в другую.

Таким образом, мы представляем себе движение маятника в сочетании с осью времени. Мы знаем, что амплитудой является максимальное смещение от положения равновесия. Посмотрите, в данном случае смещение произошло на 1, на 1 в одну сторону относительно положения равновесия.

И относительно положения равновесия в другую сторону тоже на 1. Если вы посмотрите, то смещение, обозначенное буквой х, измеряется в сантиметрах. По всему представленному графику смещение в данном случае максимальное постоянно, равно 1, т.е. 1 см. Это и есть амплитуда колебаний.

Обратите внимание: необходимо сразу записать, что А = 1 см, или в системе интернациональной А = 1 см = 10-2 м.

Чтобы определить период колебаний, нам надо рассмотреть все колебания, представленные на этом графике. Что такое одно полное колебание? Это когда тело сходило в противоположную точку и вернулось обратно.

Этот промежуток времени будет соответствовать периоду колебаний маятника. Таких движений за указанное время маятник совершил 2, таким образом, мы должны отметить, что число колебаний равно 2, а время этих колебаний составляет 2 с.

Воспользуемся уравнением для определения периода колебаний: .

Обязательно необходимо записать ответ этой задачи. Ответ: А = 10-2 м, Т = 1 с.

Следующая задача, которую мы будем разбирать, – задача, посвященная колебаниям пружинного маятника. Звучит текст этой задачи следующим образом.

Задача 2

Пружинный маятник совершил за 4 с 16 полных колебаний. Необходимо определить период и частоту колебаний этого маятника.

Давайте посмотрим на краткую запись этой задачи и рассмотрим ее решение. Посмотрите, краткое условие следующее.

Дано: Решение:
N =16Ответ: Т = 0,25 с, ν = 4 Гц.
t = 4 c
Найти:n – ?T – ?

Решение этой задачи тоже достаточно простое. Мы воспользуемся уравнением, которое дает возможность определить период, тем более, что мы рассматривали его уже в предыдущей задаче – . .

Что касается частоты, то в данном случае мы можем воспользоваться не одной, а двумя формулами. По выбору, кому какая формула больше нравится, как удобней вычислять эту величину.

Можно воспользоваться уравнением, которое связывает у нас частоту и период. Посмотрите, мы записали это уравнение: . А мы определим частоту, используя те данные, которые у нас есть, т.е.

формулу используем определения частоты .

Обязательно надо сказать об ответе. Ответ: Т = 0,25 с, ν = 4 Гц.

Здесь мне бы хотелось обратить внимание на одну особенность, соответствующую механическим колебаниям. В данном случае получается довольно любопытная ситуация, что если мы частоту умножим на период, то получим 1. Обратите внимание на то, что для механических колебаний это довольно характерная особенность.

Следующая задача, которую мы рассмотрим, будет посвящена волнам. В данном случае условие задачи звучит следующим образом.

Задача 3

Длина океанической волны составляет 270 м, период составляет 13,5 с. Определите скорость распространения волн.

Такая задача, связанная с механическими волнами, в частности, с волнами океаническими. Давайте посмотрим на запись и на ее решение. Она тоже не будет представлять собой какой-либо сложности. Конечно, при условии, что мы помним уравнение для вычисления указанных величин. Итак, посмотрите.

Дано:Решение:
l = 270 мОтвет:.
Т = 13,5 с
Найти:V = ?

Если мы помним, что надо определить скорость распространения волн, то в решении мы должны записать следующее уравнение: V = l * ν. Рассматривая вот это уравнение, мы можем записать следующее: скорость распространения волны может быть определена как .

Если вместо частоты мы подставим выражение , то получим уравнение, которое здесь записано: . Подставляя теперь цифры, мы получим . Обратите внимание на запись ответа. Ответ: . Тоже хотелось бы обратить ваше внимание на то, какова скорость распространения океанических волн. Ведь = 72 км/ч.

Так что обратите внимание, какая величина этой скорости.

Следующая задача, которую мы рассмотрим, относится к звуковым волнам. Текст задачи звучит следующим образом.

Задача 4

Определите, во сколько раз будет отличаться длина звуковой волны при переходе из воздуха в воду. Считать, что скорость распространения звука в воздухе 340 м/с, в воде 1450 м/с.

Давайте посмотрим на краткую запись и на решение задачи. Посмотрите, в данном случае условие небольшое.

Дано:Решение:
ν1 =  ν2Т1 = Т2; Ответ:n ≈ 4,3 раза.
Найти: 

Определить нам надо, во сколько раз изменилась длина волны при переходе. Надо разделить длину волны в воде к длине волны в воздухе. Итак, что предпримем? Обращаю внимание, что здесь после слова «решение» написано достаточно важное выражение ν1 = ν2.

Когда мы обсуждали это явление, мы говорили, что волна переходит из одной среды в другую, но при этом сохраняется частота колебаний. Меняется, скорость меняется, длина волны меняется, а частота колебания частиц остается прежней.

Посмотрите, в данном случае мы записываем, что частота колебаний частиц волны в воздухе ν1 = ν2 частоте колебаний частиц, которые составляют волну в воде. Обратите внимание: если частоты равны, то будут равны и периоды колебаний этих частиц ν1 = ν2 Þ Т1 = Т2.

Дальше, мы используем уравнение, которое нам встречалось в предыдущей задаче

l= V * Т. Записываем длину волны для воздуха l1 = V1 * Т и для воды l2 = V2 * Т. Почему в данном случае мы обозначили период Т и Т, т.е. без индексов? Разговор идет о том, что периоды у нас одинаковые, поэтому мы их обозначили одной величиной, одной буквой. Теперь разделим .

В этом случае период колебаний сократится, и мы получаем значение отношения длин волн .

Мы обозначили это отношение буквой n и в ответе записываем следующее, что n≈4,3 раза. Во столько будет отличаться длина волны.

Следующая задача, которую мы рассмотрим, будет посвящена также звуку, и мы должны обязательно рассмотреть вопрос, связанный с эхом. Итак, условия задачи следующие.

Задача 5

В результате выстрела было услышано эхо через 20 с после произведенного выстрела. Определите расстояние до преграды, если скорость звука составляла .

В данной задаче мы должны учесть, что эхо – это отраженная волна, значит, звук дошел до преграды и вернулся обратно к наблюдателю, т.е. как раз в то место, где и был произведен выстрел. Итак, давайте посмотрим на решение задачи.

Посмотрите, пожалуйста, мы запишем, что время от момента выстрела до того момента, когда было услышано эхо, 20 с. Скорость звука составляло. Определить надо расстояние S до преграды.

Дано:Решение:
t = 20 c  S1 = V * t;Ответ: S=3400 м = 3,4 км.
Найти: S – ?

Давайте определимся с тем, что именно за это время, за 20 с, волна прошла определенное расстояние. Это расстояние мы определим простым способом: как расстояние, пройденное телом за определенное время с постоянной скоростью.

В данном случае у нас волна, поэтому мы определяем S1 = V * t, полное расстояние, прошедшее волной. Теперь мы должны отметить то, что это расстояние мы должны разделить обязательно пополам, . Почему? Дело в том, что эхо – это отраженная волна.

Значит, волна звуковая дошла до преграды и вернулась обратно, следовательно, . Теперь подставив сюда значение для вычисления , мы получаем расстояние до преграды .

Ответ, который мы здесь запишем: S=3400 м = 3,4 км. Расстояние достаточно большое, но выстрел – это достаточно громкий звук, и интенсивности его хватит, чтобы дойти до преграды и вернуться обратно.

В заключение контрольной работы мы рассмотрим задачу из ЕГЭ. Условие будет таким. Указан маятник, который совершает колебания между точками 1 и 3, как показано на рисунке.

Надо определить, в каких точках кинетическая энергия маятника является минимальной. Обращаю ваше внимание, что эта задача связана с превращением энергии при колебательных процессах. Такая задача и выбирается в ЕГЭ.

Давайте посмотрим на это условие и решим эту задачу.

Задача 6

В каких точках кинетическая энергия маятника является минимальной?

Рисунок

1. В точках 1 и 2.

2. В точках 1 и 3.

3. В точках 2 и 3.

4. Во всех точках одинаково.

Ответ: пункт 2.

Во-первых, нам надо рассмотреть сам рисунок. Представленный рисунок указывает цифру 2 – это положение равновесия нитяного маятника. И две крайних точки, точка 1 и 3. В условии задачи сказано, что именно между точками 1 и 3 совершаются колебания маятника. Дальше представлены 4 ответа. В каждом – определенный вид ответа, нам надо выбрать правильный. Давайте обсудим это решение.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Стало быть, это энергия тела в тот момент, когда тело обладает скоростью. В данном случае тело в точке 1 и в точке 3 на некоторую долю секунды замирает и обладает только потенциальной энергией относительно выбранной системы отсчета. Так что в точке 1 и 3 кинетическая энергия будет минимальна, т.е. она будет равна 0.

Мы должны выбрать ответ из указанных, там, где именно эти цифры. Посмотрите, в первом ответе говорится точка 1 и 2, вторая точка в данном случае не подходит. Второй ответ: в точках 1 и 3. Соответствует правильному ответу. Ответ так и надо записать: пункт 2. Если мы посмотрим в пункт 3, там указывается точка 2 и 3, и в последнем, четвертом, говорится, что везде энергия одинакова.

Конечно, эти ответы являются в данном случае неправильными.

Итак, мы рассмотрели контрольную работу, вариант контрольной работы, и следующий урок будет посвящен новой теме – электромагнитным явлениям. Тема закончена. До свидания.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/reshenie-zadach-po-teme-mehanicheskie-kolebaniya-i-volny-zvuk

Механические колебания

4.1. Механические колебания

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания – это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания – это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия – это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела – это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний – это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний – это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Уравнение гармонических колебаний

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

. (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

. (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий – по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник

Пружинный маятник – это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

или

.

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

. (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

Математический маятник

Математический маятник – это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

,

и спроектируем его на ось :

.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

.

Итак, при любом положении маятника имеем:

. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

,

или

.

Это – уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания – это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

.

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний.

Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими.

Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс – явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе.

При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/mexanicheskie-kolebaniya/

Biz-books
Добавить комментарий