3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

3. Электродинамика — Виктор Цекунов

3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

google.com/+ВикторЦекунов

Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович.

Высшая математика и физика для студентов.Профессиональный репетитор окажет помощь в решении задач, подготовит к экзаменам. Занятия в Серебрянке, индивидуально. (90 мин)= 20 $.
Тел: +375(29) 127 61 86._______________________________________________________________________________________________

Оказываюплатные услуги: решение задач по физике. Оплата WebMoney.
Заказы направляйте сюда: Платные услуги

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

     3.1.Постоянное электрическое поле в вакууме.    3.2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле.    3.3. Электроёмкость. Энергия электрического поля.     3.4. Электрический ток.    3.5. Постоянное магнитное поле. Магнетики.    3.6. Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла.

    3.7. Движение заряжённых частиц в электрическом и магнитном полях.

_______________________________________________________________________________________________     3.1. Постоянное электрическое поле в вакууме.

3.1-1.Что такое отрицательные ионы и как сделать их в доме?

Решение:

Если Вы имеете в виду отрицательные аэроионы (т.е. ионы воздуха), то подайтевысокое напряжение (>10 kB) небольшой мощности на острый металлическийпредмет, например иглу. С иглы будут истекать электроны, которые, соединяясь смолекулами воздуха, образуют отрицательные аэроионы. Воздух, обогащённыйотрицательными аэроионами (в горах, вблизи моря), благотворно влияет наздоровье и самочувствие. В тридцатые годы 20-го столетия советский учёныйЧижевский занимался этой проблемой. Он создал великолепные изобретения (люстраЧижевского или ионизатор Чижевского). Берёте гимнастический обруч, натяните нанего металлическую сетку из тонкого провода. В пересечении проводов приваритетонкие стальные иглы, направленные одинаково и перпендикулярно плоскости обруча– люстра Чижевского готова. Осталась электрическая схема. Если Вы когда-нибудьработали с паяльником, то это не проблема. Спаяйте высоковольтный выпрямитель.Электрическая схема проста (поищите в поисковиках). Выход с выпрямителясоедините проводом с металлической сеткой. Повесьте люстру Чижевского (острымииглами вниз) в комнате и дышите воздухом, обогащённым отрицательнымиаэроионами.3.1-2.Найти напряженность E(2,3,4), если известен потенциал
ϕ = A exp(-x² — y² — 5z²).  A = 2 B.

Решение:
ϕ = 2exp(- x² — y² — 5z²)
E(2,3,4)– ?
Связь вектора напряжённости E электрического поля  спотенциалом ϕ
E = -gradϕ  или
E = (-∂ϕ/∂x, -∂ϕ/∂y, -∂ϕ/∂z ).               (1)
Вычислим частные производные в точке M(2,3,4).
-∂ϕ/∂x|ᴍ =-(∂/∂x)( 2exp(-x²-y²-5z²) )|ᴍ =-2(-2x)exp(-x²-y²-5z²)|ᴍ =
= -2(-2·2)exp(-2²-3²-5·4²)= 8/e⁹³.
-∂ϕ/∂y|ᴍ =-(∂/∂y)( 2exp(-x²-y²-5z²) )|ᴍ =-2(-2y)exp(-x²-y²-5z²)|ᴍ =
= -2(-2·3)exp(-2²-3²-5·4²)= 12/e⁹³.
-∂ϕ/∂z|ᴍ =-(∂/∂z)( 2exp(-x²-y²-5z²) )|ᴍ =-2(-10z)exp(-x²-y²-5z²)|ᴍ =
= -2(-10·4)exp(-2²-3²-5·4²)= 80/e⁹³.
Модуль вектора E в точке M(2,3,4)
E = √((-∂ϕ/∂x|ᴍ)² +(-∂ϕ/∂y|ᴍ)² +(-∂ϕ/∂z|ᴍ)² ) =
= √( (8/e⁹³)² +(12/e⁹³)² +(80/e⁹³)² )= 4√(413)/e⁹³.
Ответ:  E =4√(413)/e⁹³.

3.1-3.Кольцо радиуса 10 см равномерно заряжено с линейной плотностью 10⁻⁷ Кл/м.Определить силу взаимодействия заряда кольца с зарядом 10⁻⁸ Кл, находящимся наоси кольца на расстоянии 10 см от его центра.


Решение:

R = 0,1м
τ =10⁻⁷ Кл/м (линейная плотность заряда кольца)
q₀ =10⁻⁸ Кл
a = 0,1м
Ԑ₀ =8,85·10⁻¹² Ф/м (электрическая постоянная)
F − ?
Выделим на кольце элементарный участок длиной dy (см.рис.) с зарядом dq = τdy.

Этот заряд в точке А создаёт силу dF,действующую на заряд q₀. Проекции силы dF наоси x и zсоответственно равны:
dFₓ = dF·sinα;    dFz = dF·cosα.

Для каждого участка dy найдётся на противоположном конце диаметра кольцаучасток dy₁ , сравным зарядом и равной по модулю, но противоположной по направлению силой dFₓʹ,действующей на заряд q₀ в точке А (см. рис.). Поэтому суммарная сила сиксовой проекцией, действующая на заряд q₀,равна нулю.

Следовательно сила F взаимодействия заряда кольца с зарядом q₀ ,
F = Fz = ∫dFz = ∫dF·cosα.                                      (1)
По закону Кулона, сила взаимодействия dF зарядов dq и q₀
dF = q₀dq/(4πԐ₀r²) = q₀τdy/( 4πԐ₀(R² + a²) ).     (*) Из рисунка ясно

с

osα = a/r = a/√(R² + a²).                                  (**)
Подставим (*) и (**) в (1) и проинтегрируем по y от 0до 2πR:
   2πR                                                                                                       2πR
F = ∫q₀τdy/( 4πԐ₀(R² + a²) )·(a/√(R² + a²) ) =( q₀τa/( 4πԐ₀(R² + a²)3/2) ) ∫dy =
     0                                                                                                            0

( q₀τa/( 4πԐ₀(R² + a²)3/2)·2πR = q₀τaR/( 2Ԑ₀(R² + a²)3/2). Итак,
F = q₀τaR /( 2Ԑ₀(R² + a²)3/2).
F =10⁻⁸·10⁻⁷·0,1·0,1 /( 2·8,85·10⁻¹²·(0,1² + 0,1²)3/2 ) ≈ 2·10⁻⁴ Н.
Ответ: F = q₀τaR/( 2Ԑ₀(R² + a²)3/2) ≈ 2·10⁻⁴ Н._______________________________________________________________________________________________

     3.2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле.

3.2-1.Приведите примеры полярных и неполярных диэлектриков.

Решение:
Полярные диэлектрики: H₂O, HCl, NH₃ , CH₃Cl.

Неполярные диэлектрики: H₂ , O₂ , CCl₄.

3.2-2.В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью Ԑ смещение имеетзначение D.

Чему равна поляризованность Р в этой точке?

Решение:

Ԑ, D
Р − ?
По определению вектора электрического смещения D:
D = Ԑ₀E + P,                                                  (1)
где Ԑ₀ − электрическая постоянная, E − вектор напряжённости электрического поляв диэлектрике.

Связь между векторами D и E:
D = Ԑ₀ԐE,
отсюда E = D/Ԑ₀Ԑ и подставим в (1)
D = Ԑ₀(D/Ԑ₀Ԑ) + P или D = D/Ԑ + P,
отсюда P = (1 — 1/Ԑ)D.
Ответ: P = (1 — 1/Ԑ)D.

_______________________________________________________________________________________________

     3.3. Электроёмкость. Энергия электрического поля.

3.3-1.Найти ёмкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того жезвена, состоящего из двух одинаковых конденсаторов, каждый ёмкости С (рис. 1).

Решение:C Cₓ − ? Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, можно заменитьёмкостью Cₓ , равной искомой (рис. 2). Ёмкость С₂ двух параллельно соединённых конденсаторов (С и Cₓ): С₂ = С + Cₓ .

                                         (1) Искомая ёмкость Cₓ равна ёмкости последовательно соединенных верхнегоконденсатора ёмкости С и конденсатора ёмкость С₂ : или, с учётом (1),отсюда получаем квадратное уравнение для Cₓ : Cₓ² + CCₓ — C² = 0, корни которого:Второй (отрицательный) корень отбросим.

Следовательно, искомая ёмкость:
_______________________________________________________________________________________________

     3.4. Электрический ток.3.4-1.Двегруппы из трех последовательно соединенных элементов соединены параллельно. ЭДСкаждого элемента Ԑ = 1,2 В, внутреннее сопротивление r = 0,2Ом. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление R = 1,5 Ом.Найти силу тока во внешней цепи.

Решение:
Ԑ = 1,2 В
r = 0,2Ом
R = 1,5Ом
k = 3
n = 2
I − ?
В каждой группе, состоящей из k последовательно соединенных одинаковых элементов,общее внутреннее сопротивление r₀ группы равно r₀ = kr,общая ЭДС Ԑ₀группы − Ԑ₀ = kԐ.
Каждая группа представляет собой источник тока с ЭДС Ԑ₀ ивнутренним сопротивлением r₀. Силу тока I во внешней цепи найдём по закону Ома для nодинаковых источников тока, включённых параллельно
I = Ԑ₀/(R + r₀/n) или
I = kԐ/(R + kr/n).
I =3·1,2/(1,5 + 3·0,2/2) = 2 A.
Ответ: I = kԐ/(R + kr/n) = 2 A.

3.4-2. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ, подключенный кисточнику ЭДС, начинает заряжаться, причем его энергия возрастает со временемпо закону W = At² + Bt + D, где А = 0,5 Дж/с², В = 4 Дж/с, D = 8 Дж. Найти ток, текущий по подводящим проводам.Решение:
C = 10⁻⁶ Ф W = At² +Bt + D A = 0,5 Дж/c² B = 4 Дж/с D = 8 Дж I − ? W(t) = q²(t)/2C, отсюда q(t) = √(2CW(t)).I = qʹ(t) = √(2C)·(1/2)·Wʹ/√(W) = √(2C)·(1/2)·(2At + B)/√(At² +Bt + D).
I = √(2·10⁻⁶)·(1/2)·(2·0,5·t+4)/√(0,5t²+4t+8) = 0,5·10⁻³(t+4)/√(0,25t²+2t+4) =
0,5·10⁻³(t+4)/√( 0,25(t²+4t+8) ) = 0,5·10⁻³(t+4)/√( 0,25(t+4)² ) = 0,5·10⁻³(t+4)/( 0,5(t+4) ) = 0,001 A .
Ответ: I = 0,001 A.

 
_______________________________________________________________________________________________

     3.5. Постоянное магнитное поле. Магнетики.

3.5-1. Момент силы, действующий на виток, по которому протекает электрический ток.

Решение:

Очевидно, Вы имеете в виду вектор момента силы М, действующий на виток со стороны магнитного поля:
М = [pB],где [ ] – векторное произведение,

B – вектор магнитной индукции поля,

p = ISn – магнитный момент витка
( I – сила тока в витке, S – площадь поверхности, ограниченной витком, n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S).

3.5-2. Бесконечно длинный проводник с током I=5 A расположен в воздухе. Найти B и H на расстоянии 10 см от проводника.

Решение:
I = 5 Ar = 0,1 мμ = 1

μ₀ = 12,566

·10⁻⁷ Гн/мB – ?H – ?Магнитная индукция проводника с токомB = μ₀μI/(2πr).

B = 12,566

·10⁻⁷·1·5/(2·3,14·0,1) = 1·10⁻⁵ Тл.
Напряжённость магнитного поля проводника с токомH = I/(2πr).

H = 5/(2

·3,14·0,1) = 7,96 А/м.
Ответ: B = 1·10⁵ Тл,     H =  7,96 А/м.
 

3.5-3. Как найти магнитный момент катушки если известно число витков и сторона сечения?

Решение:
Вслучае плоского контура с электрическим током магнитный момент Pвычисляется как
P = ISn,
где I —сила тока в контуре, S — площадь контура, n —единичный вектор нормали к плоскости контура.
Магнитный момент соленоида равен векторной сумме магнитных моментов всех N еговитков:
P = NISn.

Модуль магнитного момента:  P=NIS.
Ответ:  P = NIS.

3.5-4. В однородном магнитном поле с индукцией B=0,5 Тл находится прямоугольная рамка длиной 8 см и шириной 5см, содержащая 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке 1 А, а плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определить магнитный момент рамки. Определить вращающий момент, действующий на рамку.Решение:

B = 0,5 Тл а = 0,08 м в = 0,05 м N = 100
I = 1 A
α = 90⁰
p – ?
M – ?
Магнитный момент p (здесь p – вектор) рамки
p = NISn,
где N –число витков в рамке, S = ab – площадь рамки, I –сила тока в рамке, n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S,ограниченной контуром с током (см. рис.).
Модуль магнитного момента p рамки
p = NIS,имеем
p = NIab.                                         (1)
p =100·1·0,08·0,05 = 0,4 A·м².      (*)
Вращающий момент М, действующий на рамку со стороны магнитного поля
М = [pB ],
здесь [pB ] –векторное произведение векторов p и B. Модуль вращающего момента М

М =

pBsinα,                                     (2)
где α –угол между векторами n и B (если плоскость рамки параллельна вектору магнитнойиндукции B, тоугол α =90⁰). Вычисления по формуле (2) с учётом (*)

М = 0,4·0,5·

sin90⁰ =0,4·0,5·1 = 0,2 Н·м.
Ответ:   p = 0,4 A·м²;   М = 0,2 Н·м.
___________________________________________________________________________________     3.6. Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла.3.6-1. Проводниксогнут в точке О под углом 90°. Вдоль биссектрисы этого угла с постояннойскоростью v = 2м/с движется прямой проводник, образуя замкнутый равнобедренный проводящийконтур. Перпендикулярно плоскости этого контура создано однородное постоянноемагнитное поле с индукцией В = 2 Тл. Найти величину ЭДС электромагнитнойиндукции в контуре в тот момент, когда движущийся проводник находится нарасстоянии b = 2 мот вершины угла О.

Решение:

V = 2 м
α = 0⁰(угол между векторами В и нормалью n к плоскости контура)
B = 2Тл
b = 2 м
E − ?
Пустьчерез время tдвижущийся проводник АВ окажется в положении, указанном на рисунке.
Тогда b = AC = CB = OC = Vt.                                (*)
и AB = AC + CB = Vt + Vt = 2Vt.
Площадь Sзамкнутого равнобедренного проводящего контура (треугольник ОАВ)
S = AB·OC/2 = 2Vt ·Vt/2 = V²t².
Магнитный поток Ф через площадь S
Ф = BScosα = BV²t²cos0⁰ или
Ф = BV²t².                                                                (1)
Дифференцируя (1) по времени t, найдём ЭДС E, возникающую в контуре
E = Фʹ= (BV²t²)ʹ = BV²·2t = 2BV·Vt = (согласно (*) ) = 2BV·b. Итак,
E = 2BVb.
E =2·2·2·2 = 16 В.
Ответ: E = 2BVb = 16 В.___________________________________________________________________________________     3.7. Движение заряжённых частиц в электрическом и магнитном полях.

3.7-1. Протонвлетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам соскоростью V₀ = 10⁶ м/с. Напряжение между пластинами конденсатора U =2000 В, расстояние между ними d = 2 мм, длина конденсатора L = 1см, масса протона m = 1,672∙10⁻²⁷ кг.Найдите кинетическую энергию протона при вылете из конденсатора.

Решение:
V₀ =10⁶ м/с
U =2000 В
d =0,002 м
L =0,01 м
m =1,672∙10⁻²⁷ кг (масса протона)
e =1,6·10⁻¹⁹ Кл (элементарный заряд)
W − ?
Направим оси OX и OY (см.рис.). Напряжённость электрического поля в конденсаторе E = U/d. Напротон в конденсаторе действует постоянная электрическая сила F
F = eE = eU/d,                                 (1)
под действием которой протон получит ускорение a(векторы F и aнаправлены против оси Y)
a = F/m = eU/(md).                             (2)
Силой тяжести протона mg в данной задаче пренебрегаем, так как она значительноменьше силы F (mg = 1,672∙10⁻²⁷∙9,8= 1,7∙10⁻²⁶ Н L , то вычисляют W поформуле (5).
_______________________________________________________________________________________________

Источник: https://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/fizika/3-elektrodinamika

3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Электромагнитнаясила, действующая на заряженную частицу,складывается из сил, действующих состороны электрического и магнитногополей:

. (3.2)

Силу,определяемую формулой (3.2), называютобобщенной силой Лоренца. Учитываядействие двух полей, электрического имагнитного, говорят, что на заряженнуючастицу действует электромагнитноеполе.

Рассмотримдвижение заряженной частицы в одномтолько электрическом поле. При этомздесь и далее предполагается, что частицанерелятивистская, т.е. еескорость существенно меньшескорости света. На частицу действуеттолько электрическая составляющаяобобщенной силы Лоренца .Согласно второму закону Ньютона частицадвижется с ускорением:

, (3.3)

котороенаправленно вдоль вектора в случае положительного заряда и противвекторав случае отрицательного заряда.

Разберемважный случай движения заряженнойчастицы в однородном электрическомполе. В этом случае частица движетсяравноускоренно ().Траектория движения частицы зависитот направления ее начальной скорости.Если начальная скорость равна нулю илинаправлена вдоль вектора,движение частицы прямолинейное иравноускоренное.

Если же начальнаяскорость частицы направлена под угломк вектору,то траекторией движения частицы будетпарабола.

Траектории движения заряженнойчастицы в однородном электрическомполе такие же, как и траектории свободно(без сопротивления воздуха) падающихтел в гравитационном поле Земли, котороевблизи поверхности Земли можно считатьоднородным.

Пример3.1. Определитьконечную скорость частицы массой и зарядом,пролетевшей в однородном электрическомполерасстояние.Начальная скорость частицы равна нулю.

Решение. Так как поле однородно, а начальнаяскорость частицы равна нулю, движениечастицы будет прямолинейным равноускоренным.Запишем уравнения прямолинейногоравноускоренного движения с нулевойначальной скоростью:

.

Подставимвеличину ускорения из уравнения (3.3) иполучим:

.

Воднородном поле (см. 1.21). Величинуназывают ускоряющей разностью потенциалов.Таким образом, скорость, которую набираетчастица, проходя ускоряющую разностьпотенциалов:

. (3.4)

Придвижении в неоднородных электрическихполях ускорение заряженных частицпеременное, и траектории будут болеесложными. Однако, задачу о нахождениискорости частицы, прошедшей ускоряющуюразность потенциалов ,можно решить исходя из закона сохраненияэнергии. Энергия движения заряженнойчастицы (кинетическая энергия) изменяетсяза счет работы электрического поля:

.

Здесьиспользована формула (1.5) для работыэлектрического поля по перемещениюзаряда .Если начальная скорость частицы равнанулю ()или мала по сравнению с конечнойскоростью, получим:,откуда следует формула (3.4).

Таким образом,эта формула остается справедливой и вслучае движения заряженной частицы внеоднородном поле. В этом примерепоказаны два способа решения физическихзадач. Первый способ основан нанепосредственном применении законовНьютона.

Если же действующие на телосилы переменны, бывает более целесообразнымиспользование второго способа, основанногона законе сохранения энергии.

Теперьрассмотрим движение заряженных частицв магнитных полях. Изменение кинетическойэнергии частицы в магнитном поле моглобы произойти только за счет работы силыЛоренца: .

Но работа силы Лоренца всегда равнанулю, значит кинетическая энергиячастицы, а вместе с тем и модуль еескорости не изменяются. Заряженныечастицы движутся в магнитных полях спостоянными по модулю скоростями.

Еслиэлектрическое поле может быть ускоряющимпо отношению к заряженной частице, томагнитное поля может быть толькоотклоняющим, т. е. изменять лишь направлениеее движения.

Рассмотримварианты траекторий движения заряда воднородном поле.

1.Вектор магнитной индукции параллеленили антипараллелен начальной скоростизаряженной частицы. Тогда из формулы(3.1) следует .Следовательно, частица будет двигатьсяпрямолинейно и равномерно вдоль линиймагнитного поля.

2.Вектор магнитной индукцииперпендикулярен начальной скоростичастицы (на рис. 3.2 вектор магнитнойиндукции направлен за плоскость чертежа).Второй закон Ньютона для частицы имеетвид:

или.

СилаЛоренца постоянна по величине и направленаперпендикулярно скорости и векторумагнитной индукции. Значит, частицабудет двигаться все время в однойплоскости.

Кроме того, из второго законаНьютона следует, что и ускорение частицыбудет постоянно по величине иперпендикулярно скорости. Это возможнотолько тогда, когда траектория частицы– окружность, а ускорение частицы центростремительное.

Подставляя вовторой закон Ньютона величинуцентростремительного ускорения и величину силы Лоренца,находим радиус окружности:

. (3.5)

Отметим,что период вращения частицы не зависитот ее скорости:

.

3.В общем случае вектор магнитной индукцииможет быть направлен под некоторымуглом к начальной скорости частицы (рис. 3.3).Прежде всего, отметим еще раз, чтоскорость частицы по модулю остаетсяпостоянной и равной величине начальнойскорости.Скоростьможно разложить на две составляющие:параллельную вектору магнитной индукциии перпендикулярную вектору магнитнойиндукции.

Ясно,что если бы частица влетела в магнитноеполе, имея только составляющую ,то она в точности как в случае 1 двигаласьбы равномерно по направлению вектораиндукции.

Еслибы частица влетела в магнитное поле,имея одну только составляющую скорости,то она оказалась бы в тех же условиях,что и в случае 2. И, следовательно,двигалась бы по окружности, радиускоторой определяется опять-таки извторого закона Ньютона:

.

Такимобразом, результирующее движение частицыпредставляет собой одновременноравномерное движение вдоль векторамагнитной индукции со скоростью и равномерное вращение в плоскости,перпендикулярной вектору магнитнойиндукции со скоростью.Траектория такого движения представляетсобой винтовую линию или спираль (см.рис. 3.3). Шаг спирали– расстояние, пролетаемое частицейвдоль вектора индукции за время одногооборота:

.

Откудаизвестны массы мельчайших заряженныхчастиц (электрона, протона, ионов)? Какимобразом удается их «взвесить» (ведь, навесы их не положишь!)? Уравнение (3.5)показывает, что для определения массызаряженной частицы нужно знать радиусее трека при движении в магнитном поле.

Радиусы треков мельчайших заряженныхчастиц определяют с помощью камерыВильсона, помещенной в магнитное поле,или с помощью более совершеннойпузырьковой камеры. Принцип их работыпрост. В камере Вильсона частица движетсяв пересыщенном водяном паре и являетсяядром конденсации пара.

Микрокапельки,конденсирующиеся при пролете заряженнойчастицы, отмечают ее траекторию. Впузырьковой камере (изобретенной лишьполвека назад американским физиком Д.Глейзером) частица движется в перегретойжидкости, т.е. нагретой выше точки еекипения.

Это состояние неустойчиво ипри пролете частицы происходит вскипание,вдоль ее следа образуется цепочкапузырьков.Подобнуюкартину можно наблюдать, бросив в стаканс пивом крупинку поваренной соли: падая,она оставляет след из пузырьков газа.

Пузырьковые камеры являются важнейшиминструментом для регистрации мельчайшихзаряженных частиц, являясь по сути,основными информативными приборамиэкспериментальной ядерной физики.

Источник: https://studfile.net/preview/2665219/page:2/

II. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Удельным зарядом называют отношение заряда частицы к её массе . Заряд и масса частицы являются её важнейшими характеристиками.

Благодаря наличию заряда, частица испытывает действие сил со стороны электрического и магнитного полей. Масса является мерой её инерционных свойств.

Таким образом, заряд и масса определяют вектор ускорения частицы, приобретаемого в заданных электрическом и магнитном полях, т.е. характер её движения.

Заряд не зависит от скорости движения и является инвариантом во всех инерциальных системах отсчёта. Масса частицы зависит от скорости её движения. Согласно теории относительности, при скоростях движения частицы близких к скорости света, масса частицы равна

где — масса покоя, — масса частицы, движущейся со скоростью , — скорость света в вакууме.

Поэтому удельный заряд также будет зависеть от скорости движения частиц :

.

В наших опытах частицы имеют скорости , поэтому релятивистским эффектом вполне можно пренебречь и считать удельный заряд, не зависящим от скорости движения частицы.

Определение удельного заряда имеет большое практическое значение, в частности, для идентификации и изучения свойств элементарных частиц и изотопов.

В данной работе определяется удельный заряд электрона на основе исследования его движения в скрещенных электрическом и магнитном полях.

II. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

На движущиеся заряженные частицы могут действовать электрическое и магнитное поля. В общем случае при наличии и электрического и магнитного полей результирующая сила, действующая на частицу, определяется по принципу суперпозиции полей

, (1)

где — результирующая сила, сила Лоренца, — заряд частицы; — напряжённость электрического поля; — скорость частицы; — индукция магнитного поля.

Первое слагаемое определяет воздействие электрической составляющей, второе — воздействие магнитной составляющей электромагнитного поля. Часто именно называется силой Лоренца.

Сила зависит от величины и знака движущегося заряда и напряжённости электрического поля (рис. 1). Для положительных зарядов действие силы совпадает с направлением напряженности .

Если заряженная частица движется вдоль силовой линии электрического поля, то электрическое поле влияет на величину скорости движения и, следовательно, изменяет её кинетическую энергию.

Если скорость направлена под углом к направлению напряженности, то поле изменяет и величину, и направление скорости . В этом случае изменяется не только энергия частицы, но и наблюдается искривление траектории движения частицы .

Сила со стороны магнитного поля

зависит от знака и величины заряда час-

тицы, а также от направления и величины ско-

рости движения и от величины и направле-

ния магнитного поля (рисю2). Направле-

ние силы Лоренца находят по правилу левой

руки: четыре пальца левой руки располагают по направлению скорости движения положительно заряженной частицы , при этом силовые линии магнитного поля входят в открытую ладонь, тогда как большой отогнутый палец показывает направление действия силы Величина силы определяется как модуль векторного произведения векторов и .

, (2)

где — угол между направлением движения частицы и вектором .

Из уравнения (1) следует, что сила всегда перпендикулярна к скорости движения частицы , поэтому скорость изменяется лишь по направлению, но не по величине. Следовательно, кинетическая энергия частицы в магнитном поле остается постоянной, а импульс частицы изменяется лишь по направлению. Эта сила не совершает работы, а вызывает лишь искривление траектории движения.

В зависимости от угла между направлением скорости и вектором индукции возможны следующие траектории движения положительных зарядов.

а) Заряженная частица движется вдоль силовой линии. Скорость совпадает с вектором , т.е. (рис. 3). Как видно из уравнения (2), , т.е. магнитное поле не действует на такие частицы.

б) Заряженная частица движется перпендикуляр-

но к силовым линиям. Скорость движе ния перпенди-

кулярна к вектору , т.е. (рис. 4).

Из формулы (1) следует, что сила Лоренца всег-

да направлена перпендикулярно к скорости движения

частицы и, поэтому, может сообщать ей только центро-

стремительное ускорение и модуль скорости в процессе

движения меняться не будет.

Исходя из второго закона Ньютона, данная сила

вызывает ускорение , совпадающее с силой по направлению.

С учётом формулы (1) уравнение второго закона Ньютона запишется:

. (3)

Из рис.4 следует, частица, влетающая в однородное магнитное поле перпендикулярно к силовым линия, будет двигаться по окружности радиусом с постоянным периодом обращения .

Для однородного магнитного поля ( = const) уравнение (3) с учётом формулы (2) примет вид: , (4)

где — центростремительное ускорение.

Тогда формула (4) будет выглядеть следующим образом:

. (5)

Радиус окружности, по которой движется частица, определяют исходя формулы (5) . (6)

Период обращения заряда по траектории находят по определению с учетом формулы (6):

(7)

где — удельный заряд частицы.

Из формулы (7) следует, что период обращения частицы по окружности зависит только от удельного заряда частицы и индукции магнитного поля .

г) Частица движется в магнитном поле под углом (рис. 5). Такое движение может быть рассмотрено как два движения с составляющими скорости и . Движение вдоль оси соответствует рассмотренной ситуации (а), а движение вдоль оси — ситуации (б). В результате частица будет двигаться по сложной кривой — винтовой линии.

Эта линия характеризуется радиусом и шагом h винтовой линии (шаг винтовой линии h — расстояние между соседними витками).

Исходя из уравнения (6) и скорости движения , радиус винтовой линии определяют по формуле:

(8)

Шаг винтовой линии определяют по формуле :

. (9)

С учётом формулы (7) и скорости , формула (9) примет следующий вид:

. (10)

Дата добавления: 2016-03-10; просмотров: 6246; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/7-35001.html

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

1. В данном вопросе мы ограничимся рассмотрением движения заряженной частицы в однородных постоянных полях.

В магнитном поле сила Лоренца будет иметь только одну магнитную составляющую

[],

которая всегда перпендикулярна траектории движения и поэтому работы не совершает, а только искривляет траекторию, не изменяя величину скорости. Такого рода силы называются гироскопическими.

В общем случае скорость частицы составляет угол с вектором(рис. 3) и ее можно разложить на два вектора (параллельно и перпендикулярно вектору )

,

где , , а само движение частицы можно представить в виде наложения двух движений с этими скоростями.

Рассмотрим сначала движение частицы со скоростью , параллельной вектору магнитной индукции. В этом случае , и частица движется вдоль силовой линии магнитного поля.

Во втором движении со скоростью сила Лоренца не изменяется по величине и создает нормальное ускорение в плоскости, перпендикулярной вектору . Поэтому траектория такого движения пред-ставляет собой окружность радиуса r в этой плоскости. Условие движения по окружности, записанное на основе второго закона Ньютона,

позволяет найти радиус окружности и угловую скорость вращения частицы

,

,

которые называются циклотронным радиусом и циклотронной частотой.

Циклотронный радиус пропорционален импульсу частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и магнитной индукции. Циклотронная частота обратно пропорциональна массе частицы и пропорциональна ее заряду и магнитной индукции.

Направления вращения частиц с положительным и отрицательным зарядом взаимно противоположны из-за различия в направлениях силы Лоренца (рис. 2). В векторной форме циклотронную частоту можно записать в виде формулы

. (7)

Для положительно заряженной частицы направление угловой скорости противоположно направлению вектора , для отрицательно заряженной частицы – совпадает с вектором .

2.

В общем случае, когда частица участвует во вращательном движении вокруг направления вектора и в поступательном параллельно силовой линии, результирующее движение частицы будет происходить по винтовой линии. Для положительно заряженных частиц винтовая линия соответствует левому винту, для отрицательно заряженных – правому (рис. 4). Если векторы и направлены противоположно друг другу, то наоборот.

Данное движение используется в системах, фокусирующих электронный пучок в электронно-лучевых трубках. Дело в том, что шаг винтовой линии, определяемый произведением и периода обращения ,

для электронов, вылетающих из электронной пушки под разными углами к оси пучка, не зависит от угла из-за его малости ().

Поэтому все электроны, вылетевшие из электронной пушки под небольшими, но разными углами соберутся в одной точке через период обращения. Шаг винтовой линии можно изменять, варьируя величину магнитной индукции, что позволяет осуществлять фокусировку электронного луча на экране электронно-лучевой трубки.

Выводы.

1) Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, работы не совершает. Она вызывает вращательное движение частиц вокруг направления вектора магнитной индукции с угловой скоростью .

2) В общем случае заряженная частица движется по винтовой линии.

3. Магнитное поле двигающегося заряда

1. Пусть заряженная частица движется со скоростью относительно лабораторной системы отсчета K. В системе , которая движется вместе с частицей, магнитное поле отсутствует (), а электрическое поле описывается формулой

.

Это обычное электростатическое поле неподвижного точечного заряда.

В неподвижной системе отсчета , в соответствии с преобразованиями (5), (6), находим

(),

.

Отсюда следует, что при медленных движениях заряженная частица создает в окружающем пространстве электрическое поле такое же, как неподвижная и магнитное с индукцией

. (8)

При этом радиус-вектор проводится от заряда в точку наблюдения.

Проанализируем данное выражение. Величина вектора магнитной индукции

зависит обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда до рассматриваемой точки поля, прямо пропорционально величине заряда и его скорости. Но пространственное распределение магнитной индукции вокруг заряда сложнее, чем для электрического поля.

В формулу магнитной индукции входит синус угла между направлениями скорости и радиус-вектора , проведенного от заряда в точку наблюдения (рис. 5).

Магнитная индукция обращается в нуль на линии, проходящей через заряд параллельно вектору скорости (), и максимальна в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно вектору ().

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно вектору скорости и радиус-вектору (рис. 5).

Если, сохраняя угол a и длину вектора, повернуть радиус-вектор вокруг вектора скорости, то его конец опишет окружность. В каждой точке этой окружности вектор будет направлен по касательной к ней. Следовательно, такая окружность будет являться линией вектора (силовой линией магнитного поля).

Опыт показывает, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции полей

.

Магнитная индукция результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых различными источниками в этой точке.

2.

Рассмотрим теперь магнитное поле, создаваемое в произвольной точке бесконечно малым отрезком тонкого проводника длины , по которому идет ток силой I.

Величина называется элементом тока. Направление вектора совпадает с направлением тока. Так как сила тока по определению , где S является площадью поперечного сечения проводника, то элемент тока можно выразить через плотность тока , где является объемом выделенного участка проводника. Здесь учтено, что векторы и совпадают по направлению.

Все носители заряда, находящиеся в этом элементе тока, движутся упорядоченно со средней скоростью и создают в данной точке пространства одинаковую магнитную индукцию.

Поэтому результирующую магнитную индукцию, создаваемую всеми носителями заряда в произвольной точке, можем получить, умножив число носителей в элементе тока , где n – концентрация носителей заряда в проводнике, на магнитную индукцию , создаваемую одним носителем в этой точке

. (9)

Здесь плотность тока выражена через среднюю скорость упорядоченного движения носителей заряда. Радиус–вектор проводится от элемента тока в точку наблюдения.

Полученное выражение называется законом Био-Савара-Лапласа. Оно позволяет рассчитать магнитное поле любой системы проводников, используя принцип суперпозиции

. (10)

Штрихованные переменные относятся к точке интегрирования.

Сравнение формул (8) и (9) показывает, что конфигурация и распределение в пространстве магнитных полей элемента тока и движущегося заряда идентичны (рис. 6).

Величина вектора магнитной индукции, создаваемого элементом тока, пропорциональна величине элемента тока, синусу угла между направлением тока и направлением на точку наблюдения и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения

.

Элемент тока создает максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной элементу тока, и не создает на прямой, проходящей через элемент тока, параллельно вектору . Линии вектора напряженности – суть окружности вокруг этой прямой.

Выводы.

1) Магнитное поле движущегося заряда является следствием движения заряженной частицы и ее электрического поля.

2) Магнитное поле элемента тока и движущегося заряда имеют одинаковое распределение силовой характеристики в пространстве. Это обусловлено тем, что электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц.

3) Элемент тока и движущийся заряд создают максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной направлению движения зарядов. Силовые линии в обеих случаях представляют собой окружности, перпендикулярные касательной к траектории движения. Магнитное поле не создается на прямой, касательной к траектории движения зарядов.

4) Магнитная индукция обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Это обусловлено распределением в пространстве электрического поля заряженной частицы и преобразованием его в магнитное поле при движении.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_42811_dvizhenie-zaryazhennih-chastits-v-elektricheskih-i-magnitnih-polyah.html

Biz-books
Добавить комментарий