2. Молекулярная физика. Термодинамика

Основные формулы термодинамики и молекулярной физики, которые вам пригодятся

2. Молекулярная физика. Термодинамика

Основные формулы термодинамики и молекулярной физики, которые вам пригодятся. Еще один отличный день для практических занятий по физике. Сегодня мы соберем вместе формулы, которые чаще всего используются при решении задач в термодинамике и молекулярной физике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Итак, поехали. Попытаемся изложить законы и формулы термодинамики кратко.

Идеальный газ

Идеальный газ – это идеализация, как и материальная точка. Молекулы такого газа являются материальными точками, а соударения молекул – абсолютно упругие. Взаимодействием же молекул на расстоянии пренебрегаем. В задачах по термодинамике реальные газы часто принимаются за идеальные. Так гораздо легче жить, и не нужно иметь дела с массой новых членов в уравнениях.

Итак, что происходит с молекулами идеального газа? Да, они движутся! И резонно спросить, с какой скоростью? Конечно, помимо скорости молекул нас интересует еще и общее состояние нашего газа. Какое давление P он оказывает на стенки сосуда, какой объем V занимает, какая у него температура T.

Для того, чтобы узнать все это, есть уравнение состояния идеального газа, или уравнение Клапейрона-Менделеева

Здесь m – масса газа, M – его молекулярная масса (находим по таблице Менделеева), R – универсальная газовая постоянная, равная 8,3144598(48) Дж/(моль*кг).

Универсальная газовая постоянная может быть выражена через другие константы (постоянная Больцмана и число Авогадро)

Массу, в свою очередь, можно вычислить, как произведение плотности и объема.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Как мы уже говорили, молекулы газа движутся, причем, чем выше температура – тем быстрее. Существует связь между давлением газа и средней кинетической энергией E его частиц. Эта связь называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории и имеет вид:

Здесь n – концентрация молекул (отношение их количества к объему), E – средняя кинетическая энергия. Найти их, а также среднюю квадратичную скорость молекул можно, соответственно, по формулам:

Подставим энергию в первое уравнение, и получим еще один вид основного уравнения МКТ

Первое начало термодинамики. Формулы для изопроцессов

Напомним Вам, что первый закон термодинамики гласит: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа U и на совершение газом работы A. Формула первого закона термодинамики записывается так:

Как известно, с газом что-то происходит, мы можем сжать его, можем нагреть. В данном случае нас интересуют такие процессы, которые протекают при одном постоянном параметре. Рассмотрим, как выглядит первое начало термодинамики в каждом из них.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре. Тут работает закон Бойля-Мариотта: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. В изотермическом процессе:

Изохорный процесс протекает при постоянном объеме. Для этого процесса характерен закон Шарля: При постоянном объеме давление прямо пропорционально температуре. В изохорном процессе все тепло, подведенное к газу, идет на изменение его внутренней энергии.

Изобарный процесс идет при постоянном давлении. Закон Гей-Люссака гласит, что при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре. При изобарном процессе тепло идет как на изменение внутренней энергии, так и на совершение газом работы.

Адиабатный процесс. Адиабатный процесс – это такой процесс, который проходит без теплообмена с окружающей средой. Это значит, что формула первого закона термодинамики для адиабатного процесса выглядит так:

Теплоемкость

Удельная теплоемкость равна количеству теплоты, которое необходимо для нагревания одного килограмма вещества на один градус Цельсия.

Помимо удельной теплоемкости, есть молярная теплоемкость (количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля вещества на один градус) при постоянном объеме, и молярная теплоемкость при постоянном давлении. В формулах ниже, i – число степеней свободы молекул газа. Для одноатомного газа i=3, для двухатомного – 5.

Тепловые машины. Формула КПД в термодинамике

Тепловая машина, в простейшем случае, состоит из нагревателя, холодильника и рабочего тела. Нагреватель сообщает тепло рабочему телу, оно совершает работу, затем охлаждается холодильником, и все повторяется вновь. Типичным примером тепловой машины является двигатель внутреннего сгорания.

Коэффициент полезного действия тепловой машины вычисляется по формуле

Вот мы и собрали основные формулы термодинамики, которые пригодятся в решении задач. Конечно, это не все все формулы из темы термодинамика, но их знание действительно может сослужить хорошую службу. А если возникнут вопросы  – помните о студенческом сервисе, специалисты которого готовы в любой момент прийти на выручку.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/osnovnye-formuly-termodinamiki-i-molekulyarnoj-fiziki-kotorye-vam-prigodyatsya/

2. Молекулярная физика. Термодинамика

2. Молекулярная физика. Термодинамика

Основные формулы

Количество вещества тела (системы)

\(u  = \frac{N}{{{N_A}}},\)

где \(N\) — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); \({N_A}\) — по­стоянная Авогадро (\({N_A} = 6,02 \cdot {10{23}}\) моль-1).

Молярная масса вещества

\(M = \frac{m}{u },\)

где \(m\) — масса однородного тела (системы); \(u \) — коли­чество вещества этого тела.

Относительная молекулярная масса вещества

\({M_r} = \sum {n_i}{A_{r,i}},\)

где \({n_i}\) — число атомов \(i\)-гo химического элемента, входя­щих в состав молекулы данного вещества; \({A_{r,i}}\) — относи­тельная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

Связь молярной массы \(M\) с относительной молекуляр­ной массой вещества

\(M = {M_r}k,\)

где \(k = {10{ — 3}}\) кг/моль.

Количество вещества смеси газов

\(u  = {u _1} + {u _2} + … + {u _n} = \frac{{{N_1}}}{{{N_A}}} + \frac{{{N_2}}}{{{N_A}}} + … + \frac{{{N_n}}}{{{N_A}}},\) или \(u  = \frac{{{m_1}}}{{{M_1}}} + \frac{{{m_2}}}{{{M_2}}} + … + \frac{{{m_n}}}{{{M_n}}},\)

где \({u _i},{N_i},{m_i},{M_i}\) — соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса \(i\)-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева — Клапейрона (уравнение со­стояния идеального газа)

\(pV = \frac{m}{M}RT = u RT,\)

где \(m\) — масса газа, \(M\) — молярная масса газа, \(R\) — мо­лярная газовая постоянная, \(u \) — количество вещества, \(T\) — термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными слу­чаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопро­цессов:

а) закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс: \(T = const,m = const\))

\(pV = const,\)

или для двух состояний газа

\({p_1}{V_1} = {p_2}{V_2};\)

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: \(p = const,m = const\))

\(\frac{V}{T} = const,\)

или для двух состояний

\(\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}};\)

в) закон Шарля (изохорный процесс: \(u  = const,m = const\))

\(\frac{p}{T} = const,\)

или для двух состояний

\(\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}};\)

г) объединенный газовый закон (\(m = const\))

\(\frac{{pV}}{T} = const,\) или \(\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}},\)

где \({p_1},{V_1},{T_1}\) — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; \({p_2},{V_2},{T_2}\) — те же величины в ко­нечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

\(p = {p_1} + {p_2} + … + {p_n},\)

где \({p_i}\) — парциальные давления компонентов смеси; \(n\) — число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

\(M = \frac{{{m_1} + {m_2} + … + {m_n}}}{{{u _1} + {u _2} + … + {u _n}}},\)

где \({m_i}\) — масса \(i\)-го компонента смеси; \({u _i} = \frac{{{m_i}}}{{{M_i}}}\) — количество вещества \(i\)-го компонента смеси; \(n\) — число ком­понентов смеси.

Массовая доля \(i\)-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

\({\omega _i} = \frac{{{m_i}}}{m},\)

где \(m\) — масса смеси.

Концентрация молекул

\(n = \frac{N}{V} = \frac{{{N_A}\rho }}{M},\)

где \(N\) — число молекул, содержащихся в данной системе; \(\rho \) — плотность вещества; \(V\) — объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агре­гатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

\(p = \frac{2}{3}n\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle ,\)

где \(\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle \) — средняя кинетическая энергия поступатель­ного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного дви­жения молекулы

\(\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle  = \frac{3}{2}kT,\)

где \(k\) — постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

\(\left\langle {{\varepsilon _i}} \right\rangle  = \frac{i}{2}kT,\)

где \(i\) — число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

\(p = nkT.\)

Скорость молекул:

\(\left\langle {{v_{KB}}} \right\rangle  = \sqrt {\frac{{3kT}}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}} \) — средняя квадратичная;

\(\left\langle v \right\rangle  = \sqrt {\frac{{8kT}}{{\pi {m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{8RT}}{{\pi M}}} \) — средняя арифметическая;

\({v_B} = \sqrt {\frac{{2kT}}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{2RT}}{M}} \) — наиболее вероятная,

где \({m_i}\) — масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

\(u = \frac{v}{{{v_B}}},\)

где \(v\) — скорость данной молекулы.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (\({c_V}\)) и постоянном давлении (\({c_p}\))

\({c_V} = \frac{i}{2}\frac{R}{M},\) \({c_p} = \frac{{i + 2}}{2}\frac{R}{M}.\)

Связь между удельной \(c\) и молярной \(C\) теплоемкос­тями

\(c = C/M,\) \(C = cM.\)

Уравнение Майера

\({C_p} — {C_V} = R.\)

Внутренняя энергия идеального газа

\(U = \frac{m}{M}\frac{i}{2}RT = \frac{m}{M}{C_V}T.\)

Первое начало термодинамики

\(Q = \Delta U + A,\)

где \(Q\) — теплота, сообщенная системе (газу); \(\Delta U\) — из­менение внутренней энергии системы; \(A\) — работа, совер­шенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

\(A = \int\limits_{{V_1}}{{V_2}} {pdV} \) в общем случае;

\(A = p({V_2} — {V_1})\) при изобарном процессе;

\(A = \frac{m}{M}RT\ln \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}\) при изотермическом процессе;

\(A =  — \Delta U =  — \frac{m}{M}{C_V}\Delta T,\) или \(A = \frac{{R{T_1}}}{{\gamma  — 1}}\frac{m}{M}\left( {1 — {{\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)}{\gamma  — 1}}} \right)\)

при адиабатном процессе, где \(\gamma  = {c_p}/{c_V}\) — показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры иде­ального газа при адиабатном процессе:

\(p{V\gamma } = const,\) \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right){\gamma  — 1}}\)

\(\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)\gamma },\) \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right){(\gamma  — 1)/\gamma }}\)

Термический КПД цикла

\(\eta  = \frac{{{Q_1} — {Q_2}}}{{{Q_1}}},\)

где \({Q_1}\) — теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; \({Q_2}\) — теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

\(\eta  = \frac{{{Q_1} — {Q_2}}}{{{Q_1}}} = \frac{{{T_1} — {T_2}}}{{{T_1}}},\)

где \({T_1}\) и \({T_2}\) — термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.

Коэффициент поверхностного натяжения

\(\alpha  = \frac{F}{l},\) или \(\alpha  = \frac{{\Delta E}}{{\Delta S}},\)

где \(F\) — сила поверхностного натяжения, действующая на контур \(l\), ограничивающий поверхность жидкости; \(\Delta E\) — изменение свободной энергии поверхностной плен­ки жидкости, связанное с изменением площади \(\Delta S\) поверхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление \(p\), созда­ваемое сферической поверхностью жидкости:

\(p = \frac{{2\alpha }}{R},\)

где \(R\) — радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

\(h = \frac{{2\alpha \cos \theta }}{{\rho gR}},\)

где \(\theta \) — краевой угол (\(\theta  = 0\) при полном смачивании сте­нок трубки жидкостью; \(\theta  = \pi \) при полном несмачивании); \(R\) — радиус канала трубки; \(\rho \) — плотность жидкости; \(g\) — ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями

\(h = \frac{{2\alpha \cos \theta }}{{\rho gd}},\)

где \(d\) — расстояние между плоскостями.

{{{N_A}}},\) где \(N\) — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); \({N_A}\) &#»,»word_count»:942,»direction»:»ltr»,»total_pages»:1,»rendered_pages»:1}

Источник: https://zzapomni.com/paragrafy/2-molekulyarnaya-fizika-termodinamika

Тема 2. Молекулярная физика и термодинамика. — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

2. Молекулярная физика. Термодинамика

Основные понятия Количество вещества измеряется в молях (n). n — число молей

1 моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же частиц, сколько атомов содержится в 0,012 кг углерода . Число молекул в одном моле вещества численно равно постоянной Авогадро NA. 

NA=6,022 1023 1/моль.

1 моль любого газа при нормальных условиях занимает объем V=2,24 10-2  м3. М – молярная масса (масса моля) – величина, равная отношению массы вещества m к количеству вещества n:
mo – масса одной молекулы, m – масса взятого количества вещества
 — число молекул в данном объеме.

Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

Основным уравнением молекулярно-кинетической теории газа является уравнение:

, р – давление газа на стенки сосуда, n – концентрация молекул, — средняя квадратичная скорость движения молекул. Давление газа р можно определить по формулам:
,- средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, Т – абсолютная температура, K=1,38 10-23 Дж/К – постоянная Больцмана., где =8,31 Дж/моль × К,   R – универсальная газовая постоянная
Т=373+to С,  to С – температура по Цельсию.
Например, t=27o С, Т=273+27=300 К.
Смесь газов Если в объеме V находится не один газ, а смесь газов, то давление газа р определяется законом Дальтона: смесь газов оказывает на стенки давление, равное сумме давлений каждого из газов, взятых в отдельности:, — давление, оказываемое на стенки 1-ым газом р1, вторым р2 и т.д. n — число молей смеси, .

Уравнение Клапейрона-Менделеева, изопроцессы.

Состояние идеального газа характеризуют давлением р, объемом V, температурой Т. [p]=Паскаль (Па), [V]=м3, [T]=Кельвин (К).

Уравнение состояния идеального газа:

, для одного моля газа const=R – универсальная газовая постоянная. — уравнение Менделеева-Клапейрона. Если масса m постоянная, то различные процессы, происходящие в газах, можно описать законами, вытекающими из уравнения Менделеева-Клапейрона.

1. Если m=const, T=const – изотермический процесс.

Уравнение процесса: 

График процесса: 

 

 2. Если m=const, V=const – изохорический процесс.

Уравнение процесса: .

График процесса: 

 3. Если m=const, p=const – изобарический процесс.

Уравнение процесса: 

График процесса:

4. Адиабатический процесс – процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Это очень быстрый процесс расширения или сжатия газа.

 Насыщенный пар, влажность.

Абсолютная влажность – давление р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре. Относительная влажность – отношение давления р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре, к давлению ро насыщенного водяного пара при той же температуре:

рo – табличное значение.
Точка росы – температура, при которой находящийся в воздухе водяной пар становится насыщенным.

Термодинамика

Термодинамика изучает наиболее общие закономерности превращения энергии, но не рассматривает молекулярного строения вещества.

Всякая физическая система, состоящая из огромного числа частиц – атомов, молекул, ионов и электронов, которые совершают беспорядочное тепловое движение и при взаимодействии между собой обмениваются энергией, называется термодинамической системой. Такими системами являются газы, жидкости и твердые тела.

Внутренняя энергия.

Термодинамическая система обладает внутренней энергией U. При переходе термодинамической системы из одного состояния в другое происходит изменение ее внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии идеального газа равно изменению кинетической энергии теплового движения его частиц.

Изменение внутренней энергии DU при переходе системы из одного состояния в другое не зависит от процесса, по которому совершался переход.

Для одноатомного газа:

 — разность температур  в конце и начале процесса. Изменение внутренней энергии системы может происходить за счет двух различных процессов: совершения  над системой работы А/ и передачи ей теплоты Q.

Работа в термодинамике.

Работа зависит от процесса, по которому совершался переход системы из одного состояния в другое. При изобарическом процессе (p=const, m=const):  , — разность объемов   в конце и в начале процесса.Работа, совершаемая над системой внешними силами, и работа, совершаемая системой против внешних сил, равны по величине и противоположны по знаку: .

Первый закон термодинамики.

Закон сохранения энергии в термодинамике называют: первый закон термодинамики. Первый закон термодинамики:

А/ — работа, совершенная над системой внешними силами, А – работа, совершенная системой,  — разность внутренних энергий  конечного и начального состояний. — первый закон термодинамики. Первый закон термодинамики формулируется следующим образом: Количество теплоты (Q), сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами. Применим первый закон термодинамики к различным изопроцессам. а)  Изотермический процесс (T=const, m=const).

Так как , то , т.е. изменение внутренней энергии не происходит, значит:

— все сообщенное системе тепло затрачивается на работу, совершаемую системой против внешних сил. б) Изохорический процесс (V=const, m=const).
Так как объем не изменяется, то работа системы равна 0 (А=0) и  — все сообщенное системе тепло затричивается на изменение внутренней энергии. в) Изобарический процесс (p=const, m=const). г) Адиабатический процесс (m=const, Q=0). — работа совершается системой за счет уменьшения внутренней энергии.

КПД тепловой машины.

Тепловой машиной называется периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне количества теплоты.

Тепловая машина должна состоять из трех частей: 1) рабочего тела – газа (или пара), при расширении которого совершается работа; 2) нагревателя – тела, у которого за счет теплообмена рабочее тело получает количество теплоты Q1; 3) холодильника (окружающей среды), отбирающего у газа количество теплоты Q2.

Нагреватель периодически повышает температуру газа до Т1, а холодильник понижает до Т2. Отношение полезной работы А, выполненной машиной, к количеству теплоты, полученной от нагревателя, называется коэффициентом полезного действия машины h:

Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины: Т1 – температура нагревателя, Т2 – температура холодильника. — для идеальной тепловой машины.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

  1. Какое число молекул содержит 1 моль кислорода?
  2. Получите из уравнения Менделеева-Клапейрона уравнение изобарического процесса.
  3. По графикам изопроцессов в координатных осях V-T постройте графики тех же процессов в координатных осях p-V.

     

  4. Определите температуру в состоянии В, если в состоянии А Т=200 К. 
  5. Два сосуда объемами V1 и V2 заполнены идеальным газом при давлении р1 и р2. Какое установится давление в сосудах, если их соединить между собой? Температура не изменяется.

  6. Докажите, что удельная теплоемкость газа при постоянном давлении больше, чем при постоянном объеме.
  7. Идеальному газа передается количество теплоты таким образом, что в любой момент времени переданное количество теплоты Q равно работе А, совершенной газом.

    Какой процесс осуществлен?

  8. Идеальный газ переходит из состояния М в состояние N тремя различными способами, представленными на диаграмме p-V. В каком случае работе будет минимальной?
  9. Идеальному газу передано количество теплоты 5 Дж и внешние силы совершили над ним работу 8 Дж.

    Как изменится внутренняя энергия газа?

  10.  Каково максимально возможное КПД тепловой машины, использующей нагреватель с температурой 427о С и холодильник с температурой 27о С.

Ответы и решения

  1. Моль любого вещества содержит одинаковое число молекул, равное числу Авогадро: 
  2. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для двух состояний с p=const и m=const, т.к. процесс перехода из одного состояния в другое изобарический:            (1)                (2)             Разделим (1) на (2), получаем: — уравнение изобатического процесса.
  3. Для определения температуры применим уравнение Менделеева-Клапейрона. Из графика: для состояния А -, для состояния В -. , из первого уравнения -,              тогда -.
  4. Давление смеси . Запишем уравнение изотермического процесса:,  — давление газов после расширения.
  5. Для решения задачи запишем первое начало термодинамики. Для изобарического процесса:.                                                                         Для изохорического процесса:.                                                                            Т.к.                                                                               Ср – удельная теплоемкость при постоянном давлении,                                                                                                       СV – теплоемкость при постоянном объеме.                                                                                                                   Т.к. ,                                                  , т.е. 
  6.  — первое начало термодинамики. По условию Q=А, т.е.  дельта U=0, значит, процесс протекает при постоянной температуре (процесс изотермический).
  7. А1 – численно равна площади фигуры А1В  ,. Т.к. меньше остальных площадей, то работа А1 минимальна. 
  8. Q=5 Дж, А/ =8 Дж – работу совершают внешние силы. Первое начало термодинамики запишем так:.10.

Источник: https://www.sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/fizika/tema-2

Biz-books
Добавить комментарий