2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

Молекулярно-кинетическая теория, распределения Максвелла и Больцмана — задачи по физике с решениями

2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

Бесплатные решения задач из сборника Игоря Евгеньевича Иродова «Задачи по общей физике». Full texts of problems from this section in English on page Kinetic Theory of Gases. Boltzmann's Law and Maxwell's Distribution.

2.62. Современные вакуумные насосы позволяют получать давления до p = 4*10-15 атм (при комнатной температуре). Считая, что газом является азот, найти…

2.63. В сосуде объемом V = 5,0 л находится азот массы m = 1,4 г при температуре Т = 1800 К. Найти давление газа, имея в виду, что при этой температуре η…

2.64. Плотность смеси гелия и азота при нормальных условиях ρ = 0,60 г/л. Найти концентрацию атомов гелия в данной смеси.

2.65. Параллельный пучок молекул азота, имеющих скорость v = 400 м/с, падает на стенку под углом ϑ = 30° к ее нормали. Концентрация молекул в пучке…

2.66. Найти число степеней свободы молекулы газа, если при нормальных условиях плотность газа ρ = 1,3 мг/см3 и скорость распространения звука…

2.67. Определить отношение скорости v звука в газе к средней квадратичной скорости молекул газа, если молекулы: а) одноатомные; б) жесткие двухатомные.

2.68. Газ, состоящий из N-атомных молекул, имеет температуру Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные)…

2.69. Пусть газ нагрет до температуры, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти молярную теплоемкость…

2.70. Идеальный газ, состоящий из N-атомных молекул, расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные…

2.71. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если известны его удельные теплоемкости: cV = 0,65 Дж/(г * К) и cp =…

2.73. Вычислить показатель адиабаты γ для смеси, состоящей из ν1 молей одноатомного газа и ν2 молей двухатомного газа из жестких…

2.75. Вычислить при температуре t = 17 °С: а) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода; б)…

2.76. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в η =…

2.77. Азот массы m = 15 г находится в закрытом сосуде при температуре T = 300 К. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная…

2.79. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в η = 5,0 раза по объему. Найти среднюю кинетическую…

2.80. Во сколько раз изменится число ударов жестких двухатомных молекул газа о поверхность стенки в единицу времени, если газ адиабатически расширить в η…

2.81. Объем газа, состоящего из жестких двухатомных молекул, увеличили в η = 2,0 раза по политропе с молярной теплоемкостью С = R. Во сколько раз изменилась…

2.82. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость…

2.85. Определить температуру газа, для которой: а) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с;…

2.86. Найти для газообразного азота: а) температуру, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые…

2.89. При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале v, v + dv будет максимально? Масса каждой молекулы равна m.

2.92. Найти с помощью распределения Максвелла — среднее значение квадрата vx-проекции скорости молекул газа при…

2.95. Воспользовавшись распределением Максвелла, найти — среднее значение обратной скорости молекул идеального газа, находящегося при температуре…

2.100. Идеальный газ, состоящий из молекул массы m с концентрацией n, имеет температуру Т. Найти с помощью распределения Максвелла число молекул, падающих в единицу…

2.103. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми h = 40 мкм, отличается друг…

2.104. Пусть η0 — отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а η — соответствующее отношение…

2.105. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m1 и m2, причем m2 > m1…

2.106. В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится…

2.107. Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти среднее значение потенциальной энергии молекул…

2.109. Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси концентрация этих частиц на расстоянии…

2.110. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через один из…

Источник: http://exir.ru/2/molekulyarno_kineticheskaya_teoriya.htm

Распределение Максвелла-Больцмана

2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

Закон (или распределение) Максвелла—Больцмана устанавливает распределение молекул газа по координатам и скоростям, если на систему действует внешнее потенциальное поле. Это распределение получают из так называемого распределения Гиббса(1):

где $W_p$- вероятность одного из состояний системы с энергией ${\varepsilon }_{p\ }$— полная энергия, которой обладают частицы (кинетическая плюс потенциальная). Наиболее часто используют следующие формы распределения Максвелла-Больцмана.

Формы распределения Максвелла-Больцмана

Первая для концентрации частиц:

\[dn\left(v;x,y,z\right)=\frac{4n_0}{\sqrt{\pi }{v_{ver}}3}{exp \left[-\frac{1}{{v_{ver}}2}\left(v2+\frac{2U\left(x,y,z\right)}{m_0}\right)\right]\ }v2dvdV\left(2\right),\]

где $dn\left(v;x,y,z\right)$- число частиц, которые находятся в выделенном объеме газа $dV$, вблизи точки с координатами (x,y,z) и скорости этих молекул лежат в интервале от $v\ до\ v+dv;$ $v_{ver}$- наиболее вероятная скорость молекул, $m_0$- масса молекулы газа, $U\left(x,y,z\right)$- потенциальная энергия частицы в точке $\left(x,y,z\right)$; $n_0$- концентрация частиц газа в точке, которой потенциальную энергию приняли равной нулю.

Вторая для вероятности импульса и координаты:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

\[dw\left(p_x,p_y,p_z,x,y,z\right)=\] \[=A\cdot \frac{1}{{\left(2\pi m_0kT\right)}{\frac{3}{2}}}{exp \left(-\frac{{p_x}2+{p_y}2+{p_z}2}{2m_0kT}\right)\ }{dp}_xdp_ydp_zex{p \left(-\frac{U\left(x,y,z\right)}{kT}\right)\ }dxdydz\ \left(3\right),\]

где $dw\left(p_x,p_y,p_z,x,y,z\right)-\ \ $вероятность нахождения частицы в фазовом объеме $dxdydzdp_xdp_ydp_z$, около фазовой точки $\left(x,y,z,p_x,p_y,p_z\right)$, $U\left(x,y,z\right)$- потенциальная энергия молекулы во внешнем поле.

В виде (3) распределение Максвелла-Больцмана можно рассматривать как произведение двух вероятностей независимых событий.

Вероятности $dw\left(p_x,p_y,p_z\right)$того, что молекула обладает импульсом $\left(p_x,p_y,p_z\right)$ и вероятности $dw\left(x,y,z\right)$того, что она находится в точке $\left(x,y,z\right).$ Тогда уравнение (3) распадается на распределение Максвелла:

\[dw\left(p_x,p_y,p_z\right)=\frac{1}{{\left(2\pi m_0kT\right)}{\frac{3}{2}}}{exp \left(-\frac{{p_x}2+{p_y}2+{p_z}2}{2m_0kT}\right)\ }{dp}_xdp_ydp_z\ \left(4\right)\]

и распределение Больцмана:

\[dw\left(x,y,z\right)=Aex{p \left(-\frac{U\left(x,y,z\right)}{kT}\right)\ }dxdydz\ (5)\]

Итак, распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Энергия молекул, которые движутся в поле тяжести вверх, уменьшается, однако при распределении Максвелла по скоростям средняя энергия при этом постоянна.

Сохранение средней энергии частиц, при уменьшении энергии отдельно взятой молекулы осуществляется благодаря выбыванию молекул с меньшей энергией из потока при увеличении высоты.

Средняя энергия молекул, которые движутся вниз, не изменяется в результате присоединения к потоку молекул, которые выбыли из потока направленного вверх.

Сходство между распределениями Максвелла и Больцмана

Между распределениями Максвелла и Больцмана имеется существенное сходство: в обоих случаях эти законы содержат экспоненту, показатель которой в числителе содержит энергию молекулы (кинетическую у Максвелла, потенциальную у Больцмана) в знаменателе имеют величину —kT, которая определяет среднюю энергию теплового движения молекул. Это сходство в том числе, и позволяет объединить эти два распределения в один закон Максвела — Больцмана.

Пример 1

Задание: Некоторый газ с неизменной массой переводят из одного равновесного состояния в другое. Изменяется ли в распределении молекул по скоростям: 1) положение максимума кривой в распределении Максвелла; 2) площадь под этой кривой?

Решение:

Рис. 1

Запишем распределение Максвелла молекул по модулю скорости:

\[\frac{dN}{Ndv}=4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v2}{2kT}\right)v2\ (1.2)\]

Если газ переводят из одного состояния равновесия в другое, следовательно, изменяется температура газа. Соответственно, положение максимума кривой Максвелла изменится.

Причем, если температура растет, максимум сдвигается в сторону больших скоростей, причем величина пика (высота по вертикальной оси) уменьшается (рис.1).

Площадь фигуры, которая ограничена кривой и осью скоростей на рис 1., равна 1 и не изменяется при изменении температуры.

Пример 2

Задание: Найти число молекул кислорода, скорости которых заключены в пределах от 195 м/c до 205 м/c при температуре T=273 K. Масса водорода (m) 0,1 кг.

Решение:

Интервал скоростей заданных в условии небольшой, можно использовать теорему о среднем, и тогда мы имеем:

\[\frac{\triangle N}{N}\approx 4\pi {\left(\frac{m_{O_2}}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}{exp \left(-\frac{m_{O_2}v2}{2kT}\right)\ }v2\triangle v\ \] \[\triangle N\approx 4\pi {N\left(\frac{m_{O_2}}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}{exp \left(-\frac{m_{O_2}v2}{2kT}\right)\ }v2\triangle v\ \left(2.1\right),\]

где $v=$200 м/c, $\triangle v=10$ м/c, $\ \frac{m_{O_2}}{{\mu }_{O_2}}=\frac{1}{N_A}\to m_{O_2}=\frac{{\mu }_{O_2}}{N_A}$. $\frac{m}{{\mu }_{O_2}}=\frac{N}{N_A}\to N=\frac{mN_A}{{\mu }_{O_2}}$.

Подставим полученное в (2.1): $\triangle N\approx 4\pi {\frac{mN_A}{{\mu }_{O_2}}\left(\frac{\frac{{\mu }_{O_2}}{N_A}}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}{exp \left(-\frac{\frac{{\mu }_{O_2}}{N_A}v2}{2kT}\right)\ }v2\triangle v\ \left(2.2\right)$

Подставим в (2.2) численные значения, проведем расчет:

\[\triangle N\approx \approx \frac{4\cdot 3,14\cdot 0,1\cdot 6\cdot {10}{23}}{32\cdot {10}{-3}}{\left(\frac{\frac{32\cdot {10}{-3}}{6\cdot {10}{23}}}{2\cdot 3,14\cdot 1,38\cdot {10}{-23}\cdot 273}\right)}{\frac{3}{2}}{exp \left(-\frac{\frac{32\cdot {10}{-3}}{6\cdot {10}{23}}{\cdot \left(200\right)}2}{2\cdot 1,38\cdot {10}{-23}\cdot 273}\right)\ }{\cdot \left(200\right)}2\cdot 10\approx 2,3\cdot {10}{22}\]

Ответ: Количество молекул кислорода при заданных условиях порядка $2,3\cdot {10}{22}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/molekulyarnaya_fizika/raspredelenie_maksvella-bolcmana/

3.5. Распределение Максвелла — Больцмана

2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

Мы установили функцию, описывающую распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла), и зависимость, характеризующую распределение молекул по значениям потенциальной энергии (распределение Больцмана). Обе зависимости можно объединить в одно обобщенное распределение.

Рассмотрим бесконечно малый объем dV газа, расположенный в точке с радиусом-вектором в большой системе, представляющей идеальный газ при постоянной температуре во внешних силовых полях. Число молекул в выделенном объеме есть n( ) d3r.

Поскольку объем невелик, в его пределах плотность частиц можно считать постоянной. Это означает, что выполнено условие справедливости распределения Максвелла.

Тогда для числа молекул dN, имеющих скорости от v до v + dv и находящихся в объеме d3r, в результате объединения зависимостей (3.11) и (3.27), получаем следующую формулу:

(3.54)

Но концентрация молекул n(r) зависит от расположения этого объема во внешних силовых полях:

(3.55)

где n0 — концентрация молекул в точке, где Еp = 0. Тогда

(3.56)

Поскольку выражение

(3.57)

представляет собой полную энергию частицы во внешнем потенциальном силовом поле, мы приходим к обобщенному распределению Максвелла — Больцмана по энергиям молекул:

(3.58)

где N — полное число частиц в системе, a dN — число частиц с координатами между r и r + dr и (одновременно) со скоростями между v и v + dv.  

Средняя энергия квантового осциллятора.

Распределение Максвелла — Больцмана было получено в классической физике, но оно оказалось справедливым и в квантовой механике, где были подвергнуты пересмотру многие казавшиеся незыблемыми положения.

В качестве примера рассмотрим задачу о грузе массой т, закрепленном на конце пружинки с жесткостью k. Уравнение движения хорошо известно, и его решением являются гармонические колебания тела с круговой частотой

Классическая энергия системы, моделирующей колебания атомов в молекуле дается формулой (3.62) и может принимать любые значения в зависимости от амплитуды колебаний. Как нам известно из квантовой механики, энергия колебаний квантуется, то есть принимает дискретный ряд значений, определяемых формулой:

В соответствии с общими принципами статистической физики вероятность Рn найти осциллятор в состоянии, характеризуемом неким значением n колебательного квантового числа, определяется формулой

(1)

где А — нормировочная постоянная. Для ее определения надо воспользоваться условием нормировки вероятности

(2)

Для этого в известную формулу для геометрической прогрессии

(3)

подставим значение

Получаем тогда вместо (2)

(4)

откуда следует выражение для постоянной А. Используя его в выражении (1), приходим к вероятности

(5)

Видно, что чем больше значение квантового числа n, тем меньше вероятность обнаружить осциллятор в таком состоянии. Чем выше температура, тем большие значения n становятся практически значимыми для системы. При

к нулю стремятся все вероятности Рn с n > 1, и лишь

Иными словами, при нулевой температуре нет тепловых возбуждений, и осциллятор совершает «нулевые колебания» — находится в основном состоянии с наименьшей энергией

Распределение осцилляторов по энергиям в зависимости от температуры системы показано на рис. 3.9

Рис. 3.9. Примерное распределение N = 30 квантовых осцилляторов по энергетическим уровням в зависимости от температуры. Показаны только основной и пять первых возбужденных уровней энергии.

При Т = 0 все осцилляторы находятся в основном состоянии.

По мере роста температуры становятся доступными все более высокие энергии, и распределение осцилляторов по уровням становится все более равномерным

Для наглядности мы взяли систему из небольшого (N = 30) числа осцилляторов (строго говоря, статистические законы применимы к системам с гораздо большим числом частиц).

Возникает вопрос: каково среднее значение колебательного квантового числа n при некоторой температуре T? Для ответа мы должны подсчитать сумму:

(6)

Чтобы сделать это, продифференцируем по q обе части равенства (3.67) для геометрической прогрессии:

откуда получаем

(7)

Используя (7) при

получаем из (6) выражение для искомого среднего

(8)

Теперь легко получить среднюю энергию осциллятора

(9)

где функция cth — гиперболический котангенс определена соотношением

(10)

На рис. 3.10 сплошной линией изображена средняя энергия квантового осциллятора, измеренная в единицах ħω,

в зависимости от «безразмерной температуры»

Рис. 3.10. Средняя энергия квантового осциллятора в зависимости от температуры

Пунктирная линия

соответствует результату классической физики. Действительно, энергия

приходящаяся на одну степень свободы, является средним значением как кинетической, так и потенциальной энергий классического осциллятора, так что среднее значение полной энергии как раз равно

Видно, что квантовые поправки важны при низких температурах: при q < 0,3 средняя энергия осциллятора близка к энергии основного состояния ħω/2.

В таком случае говорят, что колебательные степени свободы «заморожены», то есть тепловой энергии недостаточно для возбуждения колебаний. Но уже при q = 2 обе энергии практически совпадают, то есть квантовые поправки малы.

Значение q = 1 можно принять за условную границу между квантовой и классическими областями. Ее смысл прозрачен: при

тепловая энергия равна минимальной энергии возбуждения осциллятора, то есть разности между энергией

первого возбужденного состояния и энергией

основного состояния осциллятора.

Какие же температуры можно считать низкими для осциллятора, моделирующего реальную систему, например молекулу водорода Н2? Характерные частоты молекулярных колебаний располагаются обычно в инфракрасной области и имеют порядок n = 1014 Гц. Этому соответствуют энергия

и температура

Средняя энергия квантового ротатора. Таким образом, привычные для нас комнатные температуры оказываются достаточно низкими с точки зрения возбуждения колебаний молекул. Посмотрим, что происходит с молекулами при температурах Т < ТК0Л.

Так как колебания отсутствуют, двухатомную молекулу можно представить в виде «гантели» — двух атомов, жестко соединенных между собой. Такая система называется ротатором и, как мы видели ранее, имеет пять степеней свободы — три поступательных (движение центра масс) и две вращательных.

Энергия вращательного движения классического ротатора имеет вид (3.61). Учитывая связь

между угловой частотой вращения ω, моментом инерции I и моментом импульса L, записываем классическую энергию вращения молекулы как

В квантовой механике квадрат момента импульса квантуется,

Здесь J — ротационное квантовое число, поэтому квантуется и энергия вращательного движения молекулы

Используя это соотношение и распределение Максвелла — Больцмана, можно получить выражение для средней энергии квантового ротатора. Однако в этом случае формулы достаточно сложны, и мы ограничимся качественными результатами.

При высоких температурах средняя энергия стремится к классическому значению kBТ, соответствующему двум степеням свободы (вращение вокруг двух ортогональных осей). При низких температурах ротатор будет находиться в основном состоянии, соответствующем значению J = 0 (отсутствие вращения).

«Переход» между двумя этими предельными случаями осуществляется, очевидно, при такой температуре ТВР когда тепловое движение способно возбудить вращательные степени свободы. Минимальная (отличная от нуля) энергия вращения равна

как это следует из формулы для ЕВР при J = 1. Поэтому

Для момента инерции молекулы можно принять оценку

где mр = 1,67·10–27 кг (масса протона), а аВ = 5·10–11 м — радиус Бора. Получаем тогда

Полученные оценки подтверждаются измерениями молярной теплоемкости при постоянном объеме сnV, которые мы уже обсуждали в предыдущей главе. При температурах ниже 100 К в тепловом движении участвуют только поступательные степени свободы молекулы.

Средняя энергия молекулы равна 3kBТ/2, а энергия одного моля — 3NAkBT/2=3RT/2, откуда следует выражение для теплоемкости сnV = 3R/2.

В диапазоне температур от 100 К до 200 К молярная теплоемкость увеличивается до значения сnV = 5R/2, что свидетельствует о «размораживании» двух дополнительных (вращательных) степеней свободы (то есть о добавлении kBT энергии на молекулу).

В районе температур от 4 000 К до 5 000 К молярная теплоемкость снова увеличивается, на этот раз до значения сnV = 7R/2. Это «разморозилась» колебательная степень свободы, что принесло дополнительную энергию kBT на молекулу.

Скорость химических реакций. У химиков есть эмпирическое правило, что при повышении температуры на 10 °С скорость реакции удваивается. Это — всего лишь грубое обобщение, из него есть множество исключений, но все же в целом оно более или менее верно. Объяснение можно и здесь дать на основе распределения Максвелла — Больцмана.

Для протекания многих химических реакций необходимо, чтобы энергия участвующих в них частиц превышала некое пороговое значение, которое мы обозначим Е0. Чем больше таких частиц, тем выше скорость реакции. Из формул (3.28), (3.29) следует распределение частиц по энергиям. В них надо лишь выразить скорость частицы v через ее кинетическую энергию Е

и учесть, что

В результате получаем распределение частиц по энергиям

(11)

Отсюда находим число частиц с энергией Е > Е0:

(12)

где мы сделали замену переменных интегрирования

Для численных оценок мы примем пороговую энергию равной энергии возбуждения колебаний молекулы: Е0 = 6·10–20 Дж. Тогда для комнатной температуры Т1 = 300 К получаем величину E0/kBT1 = 14,5, а для температуры Т2 = 310 К это отношение равно Е0/kBТ2 = 14,0. Числа частиц, участвующих в реакции, определяются соотношениями

Действительно, повышение температуры всего на 10 градусов привело к увеличению на 60 % числа частиц, энергия которых превышает пороговое значение.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.5.1.html

Формула распределения для концентрации частиц

dn(ν; x, y, z)=4n0πννer3exp-1ννerν2+2U(x, y, z)m0ν2dvdV (2).

Здесь dn(v; x; y; z) – количество частиц, присутствующих в выделенном объеме газа dV. Около точки, имеющей координаты (x, y, z), скорости молекул будут находиться в интервале от v до v+dv.

В указанной формулеvver есть наиболее вероятная скорость молекул; m0 – является массой молекулы газа; U(x, y, z) – это потенциальная энергия частицы в точке с соответствующими координатами и, наконец, n0 есть концентрация частиц газа в точке с потенциальной нулевой энергией.

Формула распределения для вероятности импульса и координаты

dw(px, py, pz, x, y, z) ==A·1(2πm0kT)32exp-px2+py2+pz22m0kTdpxdpydpzexp-U(x, y, z)kTdxdydz (3).

В данном выражении dw(px, py, pz, x, y, z) – переменная, показывающая вероятность нахождения частицы в фазовом объеме dxdydzdpxdpydpz возле фазовой точки x, y, z, px, py, pz; U(x, y, z) – потенциальная энергия молекулы внешнего поля.

В данной формуле распределение Максвелла-Больцмана рассматривается в виде произведения двух вероятностей событий, не зависящих друг от друга: вероятность dw(px, py, pz), что молекула имеет импульс (px, py, pz) и вероятность dw(x, y, z) нахождения молекулы в точке (x, y, z).

В таком случае выражение (3) разложится на распределение Максвелла:

dw(px, py, pz)=12πm0kT32exp-px2+py2+pz22m0kTdpxdpydpz (4),

и распределение Больцмана:

dwx, y, z=Aexp-U(x, y, z)kTdxdydz (5).

Таким образом, распределения Максвелла и Больцмана служат составляющими элементами распределения Гиббса. Энергия молекул, движущихся в поле тяжести вверх, получает уменьшение, но в распределении Максвелла-Больцмана по скоростям средняя энергия при этом неизменна.

Сохранность средней энергии частиц, когда происходит уменьшение энергии отдельно взятой молекулы, возможно благодаря выбыванию молекул с меньшей энергией из потока при увеличении высоты.

Средняя энергия молекул, движущихся вниз, постоянна из-за присоединения к потоку молекул, выбывших из потока, направленного вверх.

Сходство между распределениями Максвелла и Больцмана

Распределения Максвелла и Больцмана обладают общей чертой: и в том и в другом случае законы включают в себя экспоненту, чей показатель в числителе содержит энергию молекулы (кинетическую у Максвелла, потенциальную у Больцмана), а в знаменателе имеют величину -kT, определяющую среднюю энергию теплового движения молекул. Собственно, именно эта схожая черта и дает возможность объединять два распределения в один закон Максвелла-Больцмана.

Рассмотрим практические задачи на распределение Максвелла-Больцмана.

Пример 1

Пусть задан некий газ, имеющий неизменную массу, переводимый из одного равновесного состояния в другое. Необходимо определить, происходит ли изменение в распределении молекул по скоростям: 1) положение максимума кривой в распределении Максвелла; 2) площадь под этой кривой?

Решение

Рисунок 1

Составим запись распределения Максвелла по модулю скорости:

dNBdv=4πm02πkT32exp-m0v22kTv2.

При переводе газа из одного равновесного состояния в другое имеет место изменение температуры газа. Таким образом, положение максимума кривой Максвелла изменится.

При этом в случае, когда температура увеличивается, максимум получит сдвиг в сторону больших скоростей, а величина пика (высота по вертикальной оси) уменьшится (рисунок 1).

Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью скоростей на рисунке 1, равна единице и останется постоянной при изменении температуры.

Пример 2

Необходимо определить количество молекул кислорода, чьи скорости находятся в пределах от 195 м/с до 205 м/с при температуре Т=273 К. Масса водорода (m)=0,1 кг.

Решение

Заданный условием скоростной интервал невелик, т.е. допустимо применять теорему о среднем, и тогда:

∆NN≈4πmO22πkT32exp-mO2v22kTv2∆v;∆N≈4πNmO22πkT32exp-mO2v22kTv2∆v (2.1).

В данном выражении v=200 м/с, Δv= 10 м/с, mO2μO2=1NA→mO2=μO2NA, mμO2=NNA→N=mNAμO2.

Подставим полученное в (2.1):

∆N≈4πmNAμO2μO2NA2πkT32exp-μO2NAv22kTv2∆v (2.2).

Теперь в выражении (2.2) применим конкретные числовые значения и осуществим расчет:

∆N=4·3,14·0,1·6·102332·10-332·10-36·10232·3,14·1,38·10-23·27332exp-32·10-36·1023·(200)22·1,38·10-23·273

Ответ: искомое количество молекул кислорода в заданных условиях равно порядка 2,3⋅1022.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/molekuljarno-kineticheskaja-teorija/raspredelenie-maksvella-boltsmana/

Распределения Максвелла и Больцмана

2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

В равновесном состоянии параметры газа (давле­ние, объем и температура) остаются неизменными, однако микро­состояния — взаимное расположение молекул, их скорости — не­прерывно изменяются.

Из-за огромного количества молекул прак­тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной слу­чайной величиной, указать распределение молекул по скоростям.

Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости ux молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:

(2.28)

где т0 — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Аналогичные выражения могут быть получены для f(uу ) и f(uz).

На основании формулы (2.15) можно записать вероятность то­го, что молекула имеет проекцию скорости, лежащую в интервале от ux до ux + duх:

(2.29)

(2.30)

аналогично для других осей

(2.31)

Каждое из условий (2.29) и (2.30) отражает независимое событие. Поэтому вероятность того, что молекула имеет скорость, проекции которой одновременно удовлетворяют всем условиям, можно найти по теореме умножения вероятностей [см. (2.6)]:

(2.32)

Используя (2.28), из (2.31) получаем:

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ­цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

(2.33)
(2.34)

и вероятность того, что скорость молекулы имеет значение, лежа­щее в интервале от u до u + du:

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей uв. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

или

откуда

(2.35)

(2.36)

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож­но найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ¥ (математические подробности опущены):

где М = т0 NA — молярная масса газа, R = k NA— универсальная газовая постоянная, NA — число Авогадро.

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по u видоизменяется (рис. 2.6; Т1 < Т2). Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле­кул, скорости которых лежат в определенном интервале Du. Полу­чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро­ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле­кул, скорости которых заключены в некотором интервале du, к общему числу N молекул:

(2.37)

Из (2.34) и (2.37) следует, что

(2.38)

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от и: до i>2. Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

(2.39)

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от u1 до u2 (рис. 2.7).

Если интервал скоростей du достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием du.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю (du = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е.

ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной.

Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана.

Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ловых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы mgh:

(2.40)

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо­положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен­циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

В первом распределении в показателе степени отношение кине­тической энергии молекулы к kT, во втором — отношение потен­циальной энергии к kT.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_96158_raspredeleniya-maksvella-i-boltsmana.html

Biz-books
Добавить комментарий