1.6 Элементы механики жидкостей

Элементы механики жидкостей и газов

1.6 Элементы механики жидкостей

Лекция 6

Элементы механики жидкостей и газов

План

1. Давление. Закон Паскаля. Гидростатическое давление. Сила Архимеда.

2. Уравнение неразрывности.

3. Уравнение Бернулли.

4. Вязкость (внутренне трение).

5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.

6. Методы определения вязкости: метод Стокса; формула Пуазейля.

1. Давление – это сила, действующая на единицу площади:

, или, точнее: . (6.1)

Размерность давления .

По закону Паскаля давление в любой точке покоящегося газа или жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передаётся по всему объёму.

Гидростатическое давление жидкости на глубине h под свободной поверхностью жидкости, обусловленное её весом, равно:

. (6.2)

Закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

, (6.3)

где – объём погружённой в жидкость части тела. Действие силы Архимеда обусловлено разностью гидростатического давления на разной глубине.

Далее будем рассматривать движущуюся жидкость (газ).

Гидроаэромеханика – это раздел механики, в котором изучаются законы равновесия и движения жидкой (и газообразной) среды и её взаимодействия с телами, обтекаемыми этой средой.

Плотность жидкости практически не зависит от давления, поэтому жидкость в гидродинамике считаем несжимаемой. Для газа, вообще говоря, это не так, но опыт показывает, что при не слишком больших скоростях потока сжимаемостью газа можно пренебречь.

Гидроаэромеханика использует единый подход для описания поведения жидкостей и газов.

В гидроаэродинамике отвлекаются от молекулярного строения жидкости и рассматривают её как сплошную, непрерывную среду. Частицей среды будем называть малый элемент объёма среды, размеры которого много больше межмолекулярных расстояний, но в то же время столь малы, что в пределах её параметры потока (давление, скорость течения) можно считать одинаковыми.

Для описания течения жидкости задают поле скоростей частиц жидкости, то есть зависимость скоростей частиц от координат (радиус-вектора) и времени: . В случае установившегося (стационарного) течения скорость потока в данной точке от времени не зависит.

Линией тока называется мысленно проведённая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частиц .

Трубка тока – это поверхность, образованная линиями тока, проведёнными через все точки замкнутого контура. При установившемся течении линии тока не изменяются, и частицы жидкости не пересекают поверхность трубки тока, так как линия тока – это, по существу, траектория частицы.

2. Уравнение неразрывности.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости. Возьмём трубку тока, ограниченную перпендикулярными к направлению скорости сечениями S1 и S2 (рис.6.

1), достаточно малыми, чтобы в пределах сечения скорость частиц жидкости можно было считать постоянной: в сечении S1 скорость равна , в сечении S2 – .

Поскольку жидкость несжимаема (ρ=const), то объём жидкости, поступающий через первое сечение, равен объёму жидкости, вытекающей через второе сечение за тот же промежуток времени :

, (6.4)

или

, (6.5)

где и – путь, пройденный частицами жидкости в соответствующем сечении за время . Тогда получим:

,

или

. (6.6)

Соотношение (6.6) – это уравнение неразрывности струи.

Объёмным расходом жидкости называется объём, протекающий через сечение за единицу времени:

. (6.7)

Размерность

.

Если сечения трубки тока нельзя считать малыми, то для вычисления объёмного расхода нужно интегрировать по сечению трубки тока:

.

Уравнение неразрывности, по существу, означает равенство объёмного расхода в любом сечении трубки тока, если течение стационарно.

Массовым расходом называется масса жидкости, протекающая через сечение за единицу времени:

, (6.8)

.

3. Уравнение Бернулли.

В реальных жидкостях между отдельными слоями потока есть внутренне трение (вязкость). Но в ряде случаев влиянием вязкости жидкости можно пренебречь (вязкость воды и спирта, например, в обычных условиях очень невелика), а вязкость газа вообще очень незначительна.

Идеальной жидкостью называется жидкость без внутреннего трения (без вязкости).

Рассмотрим стационарно текущую идеальную жидкость (рис.6.2). Сечения опять будем считать достаточно малыми, так что скорости частиц жидкости в пределах сечения одинаковы, а кроме того, размеры сечения много меньше его высоты h над выбранным уровнем. За время dt жидкость, находящаяся между сечениями, проходящими через точки А и В, заполнит участок между точками A` и B`.

Поскольку течение стационарно, состояние жидкости между сечениями, проходящими через точки A` и B, не изменяется, так что этот участок можно не рассматривать и считать, что масса жидкости () за время dt переместилась из положения АА` с высоты h1 в положение ВВ` на высоту h2. Внутреннего трения нет, поэтому работа внешних сил давления идёт только на увеличение механической энергии массы жидкости dm:

. (6.9)

Работа силы давления в сечении S1 при перемещении на dl1:

, (6.10)

так как сила давления , а объём протекшей жидкости . Аналогично работа в сечении S2 при перемещении на dl2:

. (6.11)

Знак «минус» указывает на то, что в этом сечении направления силы давления и перемещения противоположны. Работа сил давления, действующих на боковую поверхность цилиндра, равна нулю, так как эти силы перпендикулярны поверхности, а следовательно, и перемещению частиц жидкости.

Далее, начальная механическая энергия массы dm, движущейся со скоростью v1 и находящейся на высоте h1, равна

. (6.12)

Механическая энергия через dt на высоте h2 аналогично:

, (6.13)

тогда из (6.9):(6.13):

Плотность равна , поэтому

,

или:

. (6.14)

Это – уравнение Бернулли.

Его можно записать так:

, (6.14а)

то есть сумма статического давления p, динамического и гидростатического в любом сечении трубки тока остаётся постоянной. Отсюда, в частности, следует, что в горизонтальной трубе в местах сужения, где скорость потока больше, статическое давление падает.

4. Вязкость (внутренне трение).

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила.

Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис.6.3) площади , отстоящих друг от друга на расстояние , движутся со скоростями v1 и v2 соответственно, Δv=v2–v1. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

, (6.15)

где – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.

Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 площади слоев.

Эта единица называется паскаль-секундой (Па. с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ.

Это отношение получило название коэффициента кинематическойвязкости :

. (6.16)

Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (6.16), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению (6.16)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например, растворы полимеров.

Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.

вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

, (6.17)

где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3).10-20 Дж, поэтому, согласно формуле (16.3), при нагревании жидкости на 100С вязкость её уменьшается на 20÷30%.

Значения коэффициентов вязкости газов существенно меньше, чем жидкостей. С повышением температуры вязкость газа увеличивается (рис.6.4) и при критической температуре становится равной вязкости жидкости.

Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. Молекулярно-кинетическая теория объясняетвязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса вещества при хаотическом движении молекул газа.

В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с большей скоростью, замедляется.

С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу.В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (6.15). Величину импульса , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в другой слой за время Δt, можно найти из второго закона Ньютона:

. (6.18)

Из (16.1) и (16.4) получим:

. (6.19)

Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус» показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более медленный.

5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.

Различают два режима течения: ламинарное (слоистое) – без перемешивания слоёв (рис.6.5) и турбулентное (вихревое) – с перемешиванием, то есть в отдельных точках потока скорости отдельных частиц перпендикулярны потоку (рис.6.6).

На рис.6.7 видно, как с увеличением скорости обтекания тела ламинарное течение становится неустойчивым, хаотичным и переходит в турбулентное.

Для того, чтобы оценить характер течения жидкости, вводится безразмерная величина , называемая числом Рейнольдса.

(6.20)

Здесь – средняя скорость потока, – кинематическая вязкость, – характерный размер (в случае течения жидкости в трубе это диаметр трубы ).

Опытные данные показывают, что существует критическое число Рейнольдса, при превышении которого происходит переход из ламинарного режима в турбулентный.

Но сама величина не универсальна – она зависит от геометрии системы. Для случая течения жидкости в трубе .

Число Рейнольдса имеет огромное значение при моделировании реальных процессов в лабораторных масштабах. Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в них явления могут быть получены одно из другого изменением масштаба.

6. Методы определения вязкости.

а) метод Стокса

При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления. Происхождение этого сопротивления двояко.

При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды. Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы прилипая к телу.

Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т. д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна скорости тела: .

Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарикав вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к формуле Стокса:

, (6.21)

где – радиус шарика, – скорость его движения, – коэффициент динамической вязкости среды.

Второй механизм сил сопротивления включается при больших скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри.

Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию.

При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела: .

Метод Стокса основан на измерении скорости установившегося движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.

Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.6.8):

1. сила вязкого трения FС по закону Стокса (16.6), направленная вверх, навстречу скорости: ;

2. сила тяжести, направленная вниз:

, (6.22)

где – масса шарика; – плотность шарика; – ускорение свободного падения; – объем шарика, равный:

; (6.23)

3. выталкивающая сила FАрх, согласно закону Архимеда, равная весу вытесненной жидкости:

, (6.24)

где – плотность жидкости.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:

ma=Fтяж–FАрх–FС. (6.25)

Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости. Поэтому на некотором начальном участке l0 (рис.6.

8) падения шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка можно оценить из уравнения движения.

По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента достижения равенства

FС = Fтяж – FАрх (6.26)

сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью. По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости жидкости η.

После подстановки в (6.26) выражений (6.22-6.24) получим:

.

Сократим на радиус и сделаем замену ( – диаметр шарика):

;

. (6.27)

Из (6.27) выразим коэффициент динамической вязкости:

. (6.28)

Далее скорость v шарика выражаем через пройденный путь и время падения : :

. (6.29)

Выведенная формула (6.29) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса (6.21), получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема.

б) формула Пуазейля

Ламинарный параллельный поток имеет место, например, при медленном протекании газа в цилиндрической трубе (капилляре) – в этом случае слои представляют собой совокупность бесконечно тонких цилиндрических поверхностей, вложенных одна в другую, имеющих общую ось, совпадающую с осью трубы.

Выделим в капилляре воображаемый цилиндрический объем жидкости (или газа) радиусом и длиной , как показано на рисунке 6.9. Обозначим давления на его торцах и . При установившемся течении суммарная сила давления на цилиндр

уравновесится силой внутреннего трения , которая действует на боковую поверхность цилиндра со стороны внешних слоев газа:

. (6.30)

Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона (6.15). Учитывая, что (площадь поверхности цилиндра) и скорость уменьшается при удалении от оси трубы, т. е., можно записать:

(6.31)

В этом случае условие стационарности (5.30) запишется в виде:

(6.32)

Интегрируя это равенство, получим

,

где – постоянная интегрирования, которая определяется граничными условиями задачи. При скорость жидкости должна обратиться в нуль:, поскольку сила внутреннего трения о стенку капилляра тормозит смежный с ней слой жидкости. Тогда

. (6.33)

Рис.6.5 иллюстрирует получившуюся квадратичную (параболическую) зависимость скорости частиц жидкости от расстояния до оси капилляра при ламинарном течении.

Подсчитаем объемный расход жидкости , т. е. объем, который протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы. Через кольцевую площадку с внутренним радиусом и внешним за время протекает объем жидкости, равный произведению площади этой кольцевой площадки на перемещение частиц жидкости за это время :

;

.

Тогда

;

,

или

. (6.34)

Формулу (6.34) называется формулой Пуазейля. Она позволяет экспериментально определить динамическую вязкость жидкости (газа), измерив объёмный расход и зная разность давлений на концах капилляра и его геометрические параметры.

Источник: https://pandia.ru/text/79/385/44761.php

Элементы механики жидкостей

1.6 Элементы механики жидкостей

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Элементы механики жидкостей.

  1. Давление в жидкости и газе.

  2. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли.

  3. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей.

  1. Давление в жидкости и газе.

Молекулы газа, двигаясь хаотически,почти или вообще не связаны между собойсилами взаимодействия, поэтому онидвижутся свободно и в результатесоударений стремятся во все стороны,заполняя весь предоставленный им объем,т.е. объем газа определяется объемомтого сосуда, который газ занимает.

Как и газ, жидкость принимаетформу того сосуда, в котором находится,но среднее расстояние между молекуламиостается практически постоянным, поэтомуобъем жидкости практически не меняется.

Хотя свойства жидкостей и газовво многом отличаются, в ряде механическихявлений их поведение описываетсяодинаковыми параметрами и идентичнымиуравнениями. Поэтому гидроаэромеханика- раздел механики, изучающий движениежидкостей и газов, их взаимодействие собтекаемыми ими твердыми телами, -использует единый подход к изучениюжидкостей и газов.

Основные задачи современнойгидроаэромеханики:

  1. выяснение оптимальной формы тел, движущихся в жидкостях или газах;

  2. оптимальное профилирование проточных каналов различных газовых и жидкостных машин;

  3. подбор оптимальных параметров самих жидкостей и газов;

  4. исследование движения атмосферного воздуха, морских и океанских течений.

Вклад отечественных ученых:

  1. Эйлер в 17 веке впервые записал уравнение гидродинамики идеальной жидкости, что позволило решитьмногие практические задачи.

  2. Генерал артиллерии Маиевский первым исследовал теоретически сопротивление воздуха летящим снарядам.

  3. Основоположник современной гидроаэродинамики — Николай Егорович Жуковский — рассчитал подъемную силу крыла самолета, разработал теорию гидравлического удара, вихревую теорию воздушного винта, определил оптимальные профили крыльев и лопастей винта самолета.

Если в покоящуюся жидкостьпоместить тонкую пластинку, то частижидкости, находящиеся по разные стороныот нее, действуют на пластинку с силами,равными по модулю и направленными площадке Sнезависимо от ее ориентации, т.к. наличиекасательных сил привело бы частицыжидкости в движение.

Давление жидкости— это физическая величина, равнаяотношению нормальной силы, действующейсо стороны жидкости на некоторую площадь,к этой площади.

1 Па равен давлению, создаваемомусилой 1 Н, равномерно распределенной понормальной к ней поверхности площадью1м2.

Давление при равновесии жидкостейподчиняется закону Паскаля:давление, оказываемое внешними силамина жидкость (или газ), передается по всемнаправлениям без изменений.

Гидростатическое давление

— гидростатическое давление

Согласно полученной формуле,сила давления на нижние слои жидкостибудет больше, чем на верхние, поэтомуна тело, погруженное в жидкость, действуетвыталкивающая сила, определяемая закономАрхимеда.

Закон Архимеда:на тело, погруженное в жидкость (илигаз) действует выталкивающая сила,направленная вертикально вверх и равнаявесу жидкости, вытесненной телом.

Подъемной силойназывают разность между выталкивающейсилой и силой тяжести.

.

  1. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности.

Идеальная жидкость— это абстрактная жидкость, не обладающаявязкостью, теплопроводностью, способностьюк электризации и намагничиванию.

Такое приближение допустимо длямаловязкой жидкости. Течение жидкостиназывается стационарным, если векторскорости в каждой точке пространстваостается постоянным.

Графически движение жидкостейизображается с помощью линий тока.

Линиитока жидкости — это линии,в каждой точке которых вектор скоростичастиц жидкости направлен по касательной(рис. 4).

Линии тока проводят так, чтобычисло линий, проведенных через некоторуюединичную площадку, потоку, было численно равно илипропорционально скорости жидкости вданном месте.

Часть жидкости, ограниченнаялиниями тока, называется трубкойтока.

Т.к. скорость частиц жидкостинаправлена по касательной к стенкамтрубки тока, частицы жидкости не выходятиз трубки тока, т.е. трубка — как жесткаяконструкция. Трубки тока могут сужатьсяили расширяться в зависимости от скоростижидкости, хотя масса жидкости, протекающейчерез некоторое сечение, ее течению, за определенный промежутоквремени будет постоянной.

Т.к.жидкость несжимаема, через S1и S2пройдет за tодинаковая масса жидкости (рис. 5).

— уравнение неразрывности струиили теорема Эйлера.

Произведение скорости течениянесжимаемой жидкости и площади поперечногосечения одной и той же трубки токапостоянно.

Теоремао неразрывности широко применяется прирасчетах, связанных с подачей жидкоготоплива в двигатели по трубам переменногосечения.

Зависимость скорости потокаот сечения канала, по которому течетжидкость или газ, используется приконструировании сопла ракетногодвигателя. В месте сужения сопла (рис.

6) скорость истекающих из ракеты продуктовсгорания резко возрастает, а давлениепадает, благодаря чему возникаетдополнительная сила тяги.

Уравнение Бернулли.

Пустьжидкость движется в поле сил тяжеститак, что в данной точке пространствавеличина и направление скорости жидкостиостаются постоянными. Такое течениеназывается стационарным. В стационарнотекущей жидкости кроме сил тяжестидействуют еще и силы давления. Выделимв стационарном потоке участок трубкитока, ограниченный сечениями S1и S2(рис.7)

За время tэтот объем переместится вдоль трубкитока, причем сечение S1переместится в положение 1',пройдя путь ,а S2— в положение 2',пройдя путь .В силу неразрывности струи выделенныеобъемы (и их массы) одинаковы:

,.

Энергия каждой частицы жидкостислагается из ее кинетической ипотенциальной энергий в поле сил земноготяготения.

Вследствие стационарноститечения частица, находящаяся через tв любой из точек незаштрихованной частирассматриваемого объема, имеет такуюже скорость, и, следовательно Wк,какую имела частица, находившаяся в тойже точке в начальный момент времени.Поэтому изменение энергии всегорассматриваемого объема можно вычислитькак разность энергий заштрихованныхобъемов V1и V2.

Возьмем сечение трубки тока иотрезки настолько малыми, чтобы всем точкамкаждого из заштрихованных объемов можнобыло приписать одно и то же значениескорости, давления и высоты. Тогдаприращение энергии равно:

В идеальной жидкости трениеотсутствует, поэтому Wдолжно равняться работе, совершеннойнад выделенным объемом силами давления:

(«-» т.к. направлена в сторону,противоположную перемещению )

, ,

,

,

.

Сократим на Vи перегруппируем члены:

,

сечения S1и S2были выбраны произвольно, поэтому можноутверждать, что в любом сечении трубкитока

(1)

Выражение (1) представляет собойуравнение Бернулли.В стационарно текущей идеальной жидкостивдоль любой линии тока выполняетсяусловие (1).

Для горизонтальной линии тока,

Уравнение Бернулли достаточнохорошо выполняется для реальныхжидкостей, внутреннее трение в которыхне очень велико.

Уменьшение давления в точках,где скорость потока больше, положено воснову устройства водоструйного насоса.

Выводы этого уравнения учитываютсяпри расчетах конструкций насосов системподачи жидкого топлива в двигатели.

  1. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей.

Сила внутреннего трения.

Вязкостью жидкостейи газов называется свойство их оказыватьсопротивление перемещению одних слоевотносительно других.

Вязкость обусловлена возникновениемсил внутреннего трения между слоямидвижущихся жидкостей и газов, имеющихэлектромагнитное происхождение.

Уравнениегидродинамики вязкой жидкости былоустановлено Ньютоном в 1687 г.

— модуль силы внутреннего трения

Градиент скорости показывает, как быстро меняется скоростьпри переходе от слоя к слою в направленииz,перпендикулярном направлению движенияслоев.

— вязкость или динамическаявязкость.

Физическийсмысл

Величина зависит от молекулярного строениявещества и температуры:

У газов с ростом температуры увеличивается, т.к. возрастают скоростидвижения молекул и усиливается ихвзаимодействие. В результате возрастаетобмен молекулами между движущимисяслоями газа, которые переносят импульсот слоя к слою. Поэтому медленные слоиускоряются, а быстрые замедляются, -увеличивается.

У жидкостей с ростом температурыослабевает межмолекулярное взаимодействиеи увеличивается расстояние междумолекулами, — уменьшается.

— коэффициент кинематическойвязкости

.

Вязкость жидкостей и газовопределяют с помощью вискозиметров.

От величины вязкости топливазависит скорость его течения потрубопроводу, а так же величина теплоотдачижидкости или газа стенкам трубопровода,поэтому топлива и охладителей учитывается приконструировании систем подачи топливаи охлаждающих систем двигателей.

Ламинарный и турбулентныйрежимы течения.

В зависимости от скорости потокатечение жидкости или газа может бытьламинарным или турбулентным.

Ламинарное течение(лат. «ламина» — полоска) — течение, прикотором жидкость или газ перемещаютсяслоями, параллельными направлениютечения, причем это слои не перемешиваютсядруг с другом.

Ламинарное течение стационарно,бывает либо при большой ,либо при малой .

Турбулентнымназывается течение, при котором вжидкости (или газе) образуютсямногочисленные вихри различных размеров,вследствие чего давление, плотность искорость течения непрерывно изменяется.

Турбулентное течение нестационарно,преобладает на практике.

Источник: https://works.doklad.ru/view/mf8USqXqc7c.html

Трофимова Т.И. Курс физики — файл n1.doc

1.6 Элементы механики жидкостей
приобрести
Трофимова Т.И. Курс физики
скачать (9070 kb.)Доступные файлы (1):

n1.doc9070kb.22.08.2012 18:50скачать

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   …

  37 Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результа­те соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставлен­ный им объем, т. е.

объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. Жидкость же, имея определенный объем, принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекула­ми остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неиз­менным объемом.

Единица давления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м2(1 Па=1 Н/м2).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля*: давле­ние в любом месте покоящейся жидкости одинаково по воем направлениям, при­чем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкос­тью.

* Б. Паскаль (1623—1662) — французский ученый.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящей­ся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия.

Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления.

Тогда при поперечном сечении S столба жид­кости, его высоте h и плотности вес P=gSh, а давление на нижнее основание

(28.1)

т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление gh называется гидростатичес­ким давлением.

Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определя­емая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

FА=PgV,

где р — плотность жидкости, V— объем погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жид­кости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпен­дикулярные направлению скорости (рис. 46).

За время t через сечение S проходит объем жидкости Svt; следовательно, за 1 с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1.

Через сечение S2 за 1 с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость течения жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна.

Если жидкость несжимаема (=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.

(29.1)

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на попереч­ное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотноше­ние (29.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление p1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени t жидкость перемеща­ется от сечения S1 к сечению , от S2 к .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

E2E1 = А,(30.1)

где E1 и E2 полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответст­венно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени t.

Для перенесения массы m отS1 до жидкость должна переместиться на расстояние l1=v1t и от S2 до на расстояние l2=v2t. Отметим, что l1 и l2 настоль­ко малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.

47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F1l1 +F2l2, (30.2)

где F1=p1S1 и F2= – p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противополож­ную течению жидкости; рис. 47).

Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(30.3)

(30.4) Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

(30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на V, получим

где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

(30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб­ликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к устано­вившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина v2/2 динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина gh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1 =h2) выражение (30.6) принимает вид

(30.7)

где p+v2/2 называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения нераз­рывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давле­ние больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.

Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 48).

В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикреп­ленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого приме­няется трубка Пито — Прандтля (рис. 49).

Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью дру­гой — статическое (р).

Манометром измеряют разность давлений:

(30.8)

где ро — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давле­нию:

(30.9)

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью.

В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавлива­ется и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.

=133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51).

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р12, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v2/v1=S1/S2, где S1 и S2 площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом v/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли.* * Э. Торричелли (1608—1647) — итальянский физик и математик.

Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротив­ление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявля­ется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медлен­нее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S (рис. 52), и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоянии x и движущиеся со скоростями v1 и v2. При этом v1—v2=v.

Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направле­нию движения слоев, и называется градиентом скорости.

Таким образом, модуль силы внутреннего трения

(31.1)

где коэффициент пропорциональности , зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью).

Единица вязкости — паскаль-секунда (Пас): 1 Пас равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев (1 Пас= 1 Нс/м2).

Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают.

Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличе­нием температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел.

Например, вязкость касторового масла в интервале 18—40°С падает в четыре раза. Российский физик П. Л. Капица (1894—1984; Нобелевская пре­мия 1978 г.) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверх­текучее состояние, в котором его вязкость равна нулю.

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоис­тым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скоро­сти последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы. При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоро­стей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверх­ности трубы, затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличают­ся. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей.

Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис. 53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения. Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса (О. Рейнольдс (1842—1912) — английский ученый):

где = /pкинематическая вязкость;р—плотность жидкости; —средняя по сечению трубы скорость жидкости; d характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное тече­ние, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области а при (для гладких труб) течение—турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.

1. Метод Стокса.* Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы. * Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик.

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести Р=4/3r3g ( плотность шарика), сила Архимеда Р=4/3r3'g (' — пло­тность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F=6rv, где r— радиус шарика, vего скорость. При равномерном движении шарика

откуда Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа).

2. Метод Пуазейля.* Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис. 54). Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

* Ж. Пуазейль (1799—1868) — французский физиолог и физик. Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис. 53).

За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость
Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (Rx) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), — лобовое сопротивление, а вторая (Ry) перпен­дикулярна этому направлению — подъемная сила (рис. 55).

Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления.

Если рассмотреть движение цилиндра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки А и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. с.

результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверх­ности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончающейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости (газа), направ­ленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, сле­дуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 57).

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления Сx, определя­емым экспериментально:

(33.1)

где плотность среды; v скорость движения тела; S наибольшее поперечное сечение тела.

Составляющую Rx можно значительно уменьшить, подобрав тело такой формы, которая не способствует образованию завихрения.

Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (33.1):

где Су безразмерный коэффициент подъемной силы.

Для крыла самолета требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки  (угол к потоку); см. рис. 55).

Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше величина К=Суx называемая качеством крыла.

Большие заслуги в конструировании требу­емого профиля крыла и изучении влияния геометрической формы тела на коэффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).

Задачи

6.1. Полый железный шар ( =7,87 г/см3) весит в воздухе 5 Н, а в воде (' = 1 г/см3) — 3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определить объем внутренней полости шара. [139 см3]

6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S= 1 м2 и объемом V = 3 м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить время t, необходимое для опусто­шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью S1 =10 см2.

6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой H = 5 м, имеет форму усеченного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения d1 = 6 см, верхнего — d2 = 2 см. Вы­сота сопла h = 1 м.

Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определить: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность р давления в нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды =1 г/см3.

[1) d2/4 = 3,1 х 10-3 м3/с; 2) p = pgh + pgH (1– d/d=58,3 кПа]

6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхности которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше поперечного сечения самого сосуда.

Отверстие расположено на расстоянии h1 = 64 см ниже уровня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии h2 = 25 см от дна сосуда.

Пренебрегая вязкостью воды, определить, на каком расстоянии по горизонтали от сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]

6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность =1,2 г/см3), падает с устано­вившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик (' = 2,7 г/см3) диаметром 1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина. [1,6 Пас]

6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высоте h1 = 5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d= 2 мм и длиной l= 1 см.

В сосуде поддерживается постоянный уровеньмашинного масла (плотность =0,9 г/см3 и динамичес­кая вязкость = 0,1 Пас) на высоте h2 = 80 см выше капилляра.

Определить, на каком расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя масла, вытекающая из отверстия.

6.7. Определить наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий в воз­духе (=1,29 г/см3) стальной шарик (' = 9 г/см3) массой m= 20 г. Коэффициент Сх принять равным 0,5. [94 см/с]

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   …   37
Глава 6 Элементы механики жидкостей

Источник: https://nashaucheba.ru/v31091/%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82.%D0%B8._%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8?page=7

Biz-books
Добавить комментарий