1.5 — Момент импульса

Сорокина т.п., сорокин б.п. и др. физика

1.5 - Момент импульса

1.5.1. Разделение поступательных и вращательных движений твердого тела

1.5.2. Движение центра инерции (центра масс) твердого тела

1.5.3. Момент силы

1.5.4. Момент импульса МТ. Закон сохранения момента импульса

1.5.5. Уравнение динамики вращательного движения

1.5.6. Момент инерции. Теорема Штайнера

1.5.7. Работа и кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

Тест 1.5. (вопр 1-47)

1.5.1. Разделение поступательных
и вращательных движений твердого тела

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, поэтому скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы полностью охарактеризовать его движение.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Любое движение твердого тела может быть представлено как суперпозиция двух вышеуказанных основных видов движения.

Покажем это на примере плоского движения, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Таким образом, например, происходит качение цилиндра по плоскости.

Элементарное перемещение какой-либо точки тела можно разложить на два — «поступательное» и «вращательное»:

(1.5.1)

причем для всех точек тела одно и то же. Разделив на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки:

(1.5.2)

где — одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и — различная для разных точек тела скорость вращательного движения.

Линейная скорость точки с радиус-вектором , обусловленная вращением твердого тела, равна:

(1.5.3)

Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела имеет значение:

(1.5.4)

1.5.2. Движение центра инерции
(центра масс) твердого тела

Разбив тело на элементарные массы Δmi, можно представить его как систему МТ, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием внутренних и внешних сил. Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона:

(1.5.5)

где — результирующие всех внутренних и всех внешних сил, действующих на данную элементарную массу. Суммируя, для всех элементарных масс имеем:

(1.5.6)

Однако сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Поэтому (1.5.5) можно упростить так:

(1.5.7)

Используя определение центра инерции, можно записать:

(1.5.8)

Дифференцируя (1.5.7) дважды по времени, можно получить:

(1.5.9)

Подставляя (1.5.8) в (1.5.6), имеем:

(1.5.10)

Следовательно, центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы МТ с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

1.5.3. Момент силы

Рассмотрим схему установки на Рис. 1.5.1.

Рис. 1.5.1. Схема установки для исследования

равно-ускоренного вращательного движения

Под действием груза Р крестовина будет вращаться с возрастающей угловой скоростью, и вращение будет равно-ускоренным. Варьируя величину груза Р, радиус шкива l, массу грузов m и их расстояние R от оси вращения, можно прийти к заключению, что угловое ускорение β:

  1. прямо пропорционально натяжению нити f и радиусу шкива l;
  2. обратно пропорционально массе грузов m и квадрату их расстояния R от оси вращения.

Следовательно, ускорение вращательного движения зависит не только от величины действующей на тело силы, но и от расстояния l от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Произведение fl дает величину так называемого момента силы относительно оси вращения.

Из этого опыта следует также, что на величину углового ускорения влияет не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, которая это учитывает, называется моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом силы относительно некоторой точки О называется величина , равная векторному произведению:

(1.5.11)

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы (Рис. 1.5.2).

Рис. 1.5.2. К определению момента силы

Вектор , по определению, перпендикулярен плоскости векторов и и направлен от нас. Это — аксиальный вектор. Модуль вектора равен:

(1.5.12)

где α — угол между направлениями векторов и , а l = r sinα — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Эта длина называется плечом силы относительно точки О.

Если можно представить силу в виде суммы сил, имеющих общую точку приложения , то формулу (1.5.10) можно записать так:

(1.5.13)

Парой сил называются две равные по величине и противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной и той же прямой (Рис. 1.5.3). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары сил.

Рис. 1.5.3. Момент пары сил

Покажем, что момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Пусть точка лежит в плоскости, в которой действуют силы, и выполняется . Момент силы равен fl1 и направлен к наблюдателю, момент силы равен fl2 и направлен от наблюдателя. Результирующий момент силы направлен от наблюдателя и равен:

(1.5.14)

Полученное выражение не зависит от положения точки О на плоскости, в которой лежит пара сил.

Суммарный момент внутренних сил Силы, с которыми взаимодействуют друг с другом две любые элементарные массы, лежат на одной и той же прямой (Рис. 1.5.4).

Рис. 1.5.4. Момент внутренних сил

Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы МТ, в частности, для твердого тела, всегда равна нулю.

1.5.4. Момент импульса материальной точки.
Закон сохранения момента импульса

Аналогично моменту силы введем момент импульса МТ относительно некоторой точки О:

(1.5.15)

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку пространства, в которой находится МТ (Рис. 1.5.5).

Рис. 1.5.5. К определению момента импульса

Введя плечо l = rsinα, можно получить модуль вектора момента импульса в виде:

(1.5.16)

Продифференцируем (1.5.16) по времени:

(1.5.17)

Первое слагаемое равно нулю в силу того, что оно представляет собой векторное произведение векторов одинакового направления: . Вектор . Поэтому соотношение (1.5.17) можно переписать так:

(1.5.18)

где — момент приложенных к МТ сил, взятый относительно той же точки О, относительно которой рассчитан момент импульса . Для замкнутой системы из N материальных точек легко получить аналогичное (1.5.18) соотношение.

В отсутствие или при взаимной компенсации внешних сил их суммарный момент , действующий на тела системы, равен нулю. В результате этого суммарный момент импульса не зависит от времени.

Таким образом, формулируется закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

1.5.5. Уравнение динамики
вращательного движения

Если МТ вращается по окружности радиуса r (Рис.1.5.6), то момент ее импульса относительно оси вращения О равен:

(1.5.19)

Рис. 1.5.6. К выводу уравнения динамики вращательного двмжения

Пусть ω — угловая скорость вращения, тогда v = ωr, и (1.5.18) будет иметь вид:

(1.5.20)

Если вокруг оси О вращается система МТ с одной и той же угловой скоростью ω, то:

(1.5.21)

где, момент инерции системы МТ относительно оси вращения, равный сумме произведений масс МТ на квадраты их расстояний до оси вращения.

Если угловая скорость и момент инерции — переменные величины, то, подставляя (1.5.21) в (1.5.18), получим:

(1.5.22)

где М — момент внешних сил относительно оси вращения. Соотношение (1.5.22) — это основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы МТ или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции I остается постоянным при вращении, и уравнение (1.5.22) будет иметь вид:

(1.5.23)

Сопоставляя уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы исполняет момент силы, роль массы — момент инерции и т д. (Табл. 1.5.1).

Таблица 1.5.1

Сопоставление закономерностей
поступательного и вращательного движений
— сила — момент силы
— масса — момент инерции
— линейная скорость — угловая скорость
— линейная скорость — угловая скорость
— линейное ускорение — угловое ускорение
— импульс — момент импульса

Предположим, что твердое тело может изменять свою конфигурацию в результате перераспределения масс. Пусть в результате происходит изменение момента инерции от значения I1 до I2. Если такое перераспределение осуществляется при отсутствии моментов внешних сил, то согласно закону сохранения момента импульса должно выполняться равенство:

(1.5.24)

где ω1 — исходное, а ω2 — конечное значение угловой скорости тела. Следовательно, изменение момента инерции влечет за собой соответственное изменение угловой скорости тела. Этим объясняется такое явление: человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться медленнее, а, прижимая руки к туловищу, будет вращаться быстрее.

1.5.6. Момент инерции. Теорема Штайнера

Из определения момента инерции:

(1.5.25)

следует, что момент инерции — величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью физической величины, называемой плотностью. Если тело однородно, то его плотность может быть вычислена так:

(1.5.26)

где m — масса, V — объем тела. Для тела с неравномерно распределенной массой соотношение (1.5.26) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае так:

(1.5.27)

Уменьшение объема в (1.5.27) следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, который достаточно мал, чтобы в его пределах макроскопические свойства вещества можно было считать одинаковыми, и достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность (атомарное строение) вещества.

Согласно (1.5.27), элементарная масса тела может быть вычислена так:

(1.5.28)

Следовательно, момент инерции следует записать в виде:

(1.5.29)

Если плотность постоянна, ее можно вынести за знак суммы:

(1.5.30)

Устремляя ΔVi к нулю, можно в (1.5.30) перейти к интегрированию:

(1.5.31)

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (Рис. 1.5.7).

Рис. 1.5.7. К расчету момента инерции диска

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя равен:

(1.5.32)

где b — толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность можно вынести за знак интеграла:

(1.5.33)

где R0 — радиус диска. Применяя обозначение для массы диска , получим для момента инерции однородного диска:

(1.5.34)

В данном случае вычисление момента инерции упрощалось благодаря однородности и симметричности тела. Если бы нужно было отыскать момент инерции относительно оси О'О' (Рис. 1.5.7), перпендикулярной к диску и проходящей через его край, вычисления оказались бы значительно сложнее.

В таких случаях отыскание момента инерции облегчается, если воспользоваться теоремой Штайнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(1.5.35)

В соответствии с теоремой Штайнера момент инерции диска относительно оси О'О' равен:

(1.5.36)

1.5.7. Работа и кинетическая энергия
вращающегося твердого тела

Если МТ вращается по окружности с радиусом r, то элементарная работа при повороте на угол dφ равна:

(1.5.37)

Такое же выражение получится и для твердого тела, так как его можно рассматривать как систему МТ, вращающихся с общей угловой скоростью ω. Роль силы в (1.5.37) играет момент внешних сил, роль линейного перемещения — угловой поворот.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω, может быть записана так:

(1.5.38)

Это выражение напоминает соответствующую формулу для кинетической энергии МТ и может быть получено из нее формальной заменой m → I, v → ω.

Источник: http://www.kgau.ru/distance/2013/et4/001/01_05.htm

5.2. Момент импульса

1.5 - Момент импульса

В классической механике момент импульса частицы (его также называют моментом количества движения или угловым моментом) выражается в виде векторного произведения радиуса-вектора на импульс частицы:

То же соотношение верно для операторов в квантовой механике:

или по компонентам

(5.1)

и аналогично для других компонент

Ранее обсуждалось, почему оператор проекции момента количества движения на какую-то ось связан с производной по углу поворота вокруг этой оси (см. уравнение (4.16)). В сферических координатах поворот вокруг оси z эквивалентен сдвигу по азимутальному углу , и потому оператор (4.1) имеет особенно простой вид

(5.2)

Рис. 5.2. Проекция момента импульса определяется азимутальной составляющей импульса

Выражения для других компонент  и  в сферических координатах довольно сложны, и мы выпишем здесь лишь оператор квадрата момента импульса

(5.3)

Выражение (5.3) также достаточно сложно, и мы его практически использовать не будем. Но, даже только глядя на него, уже можно сделать важные выводы

  • В оператор входит не сам угол , а лишь производная по нему. Это означает, что оператор коммутирует с оператором .
  • Так как ось z ничем не выделена, то оператор квадрата момента импульса коммутирует и с операторами проекции момента импульса на любую другую ось (в частности, с  и ).
  • Из выражений для ,  и  следует, что все эти операторы не коммутируют между собой.

Вместо формального математического доказательства последнего утверждения укажем источник этого свойства. Напомним, что ,  и  являются операторами поворота системы вокруг осей x, y, z соответственно. Но результат двух таких поворотов зависит от их последовательности (рис. 5.3), поэтому и операторы не коммутируют между собой.

Рис. 5.3. Иллюстрация факта некоммутации операторов , , ;
Г-образная фигура (1) сначала поворачивается на 90° вокруг оси х (2), затем — вокруг оси у (3).
При обратной последовательности тех же поворотов конечный результат получается другим (4)

Из сказанного вытекает важное следствие: одновременно измеримы лишь квадрат момента импульса и одна из его проекций (в качестве таковой обычно выбирают ). Это значит, что вектор L в квантовой механике не имеет определенного направления и его нельзя считать классическим вектором с тремя определенными компонентами.

Таким образом, «квантовый момент импульса» можно условно представить себе как вектор фиксированной длины (определенное значение квадрата момента импульса), направленный под фиксированным углом к оси z (определенное значение проекции), но прецессирующий вокруг этой оси (другие компоненты не определены).

Это не более чем механическая аналогия (так называемая векторная модель), но она верно отражает существенные свойства момента импульса в квантовой механике.

Рис. 5.4. Модель прецессирующего квантового момента импульса

Найдем теперь собственные функции и значения оператора . Имеем уравнение

откуда

Заметим, что здесь  (без шляпки) — число, а не оператор.

При повороте на угол  система возвращается в первоначальное состояние. Чтобы волновая функция  не изменилась, необходимо выполнение условия

где m — целое (не обязательно положительное) число. Константа А определяется условием нормировки: интеграл от функции

по углу , изменяющемуся от 0 до , должен быть равен единице

откуда следует, что

Таким образом, мы приходим к условию квантования проекции момента импульса:

Проекция момента импульса  может принимать лишь целые значения в единицах постоянной Планка
(5.4)

Число m называют магнитным квантовым числом. Собственная волновая функция оператора , соответствующая данному значению m,  имеет вид

По сути дела, волновая функция  описывает плоскую волну, бегущую по окружности. Роль координаты играет угол , роль волнового вектора — магнитное квантовое число m.

Но значения переменной  ограничены пределами 0 и . Наша «круговая» волна как бы заключена в потенциальную яму и совершает финитное движение.

Отсюда — квантование проекции момента импульса в соответствии с установленными выше законами квантовой механики.

Найдем теперь правила квантования квадрата момента импульса. Решение соответствующего уравнения для собственных функций оператора  достаточно сложно, и мы заменим его не очень строгими, но простыми соображениями.

Пусть в какой-то системе максимальная величина магнитного квантового числа т равна целому неотрицательному числу l.

Тогда минимальное значение n, очевидно, равно –l, так что т пробегает 2l + 1 возможных значений:

В классическом случае максимально возможная проекция момента импульса совпадает с модулем вектора . Но не следует ожидать, что оператор   будет иметь собственные значения .

Мы уже знаем, что даже при максимальной величине проекции момент импульса не параллелен оси z (иначе были бы известны все три компоненты момента).

Стало быть, собственные значения оператора  должны быть больше . Чему же они равны?

Если в пространстве нет выделенного направления, то любое значение n равновероятно, и среднее значение квадрата проекции момента на ось z равно

При выводе использовалась известная формула для суммы квадратов целых чисел.

Заметим, что все три координатные оси равноправны, следовательно, тот же результат справедлив для средних значений квадратов остальных операторов проекции момента импульса:

Но их сумма дает квадрат оператора момента импульса, среднее значение которого равно, таким образом,

(5.5)

Именно этой формулой описываются собственные значения оператора квадрата момента импульса, так что условно можно считать, что длина вектора  в квантовой механике равна

Целое неотрицательное квантовое число l называют азимутальным квантовым числом.

Для сравнения получим тем же способом классический ответ. Если l — максимальное значение  для классического вектора, то  пробегает непрерывный ряд значений от –l до l с равной вероятностью dm/2l. Разница в том, что из-за непрерывности сумма заменяется интегралом, и мы получаем

и аналогичные выражения для двух других средних. Складывая их, приходим к обычному результату классической физики

При больших значениях l оба результата совпадают (опять — принцип соответствия Бора).

Главный итог этого раздела — знакомство с правилами квантования момента импульса: собственное значение квадрата момента импульса определяется величиной азимутального квантового числа l, а проекция момента импульса — величиной магнитного квантового числа m, которое может принимать любое из значений

Если все-таки пытаться представить себе «квантовый вектор» момента количества движения как обычный вектор, то можно сказать, что при данной длине этого вектора он составляет с выделенной осью лишь строго определенные углы (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Возможные ориентации вектора момента импульса при l = 1:
длина вектора равна 1.41, а его проекция на выделенную ось может принимать только значения 0 и +1 (в единицах )

Подчеркнем еще раз, что эта картинка — всего лишь попытка изобразить квантовые свойства в классических образах.

Пример. Покажем, что согласно квантовой механике направление момента импульса  не может совпадать с выделенным в пространстве направлением и что в пределе больших азимутальных чисел  восстанавливаются классические свойства.

Поскольку модуль вектора момента импульса принимает значения

а его проекция на выделенное направление равна

то можно ввести угол  между направлением момента импульса и выделенной осью, так что  будет принимать лишь определенные значения

Отсюда следует, что минимальное значение угла  определяется максимальным значением его косинуса, достигаемым при m = l:

Видно, что при любом конечном значении l  угол не равен нулю. Например, для состояний с l = 1 получаем

то есть , а для состояний с l = 3 имеем

и . Видно, что с ростом l  минимальный угол между моментом импульса и осью уменьшается, и в пределе

получаем . Это и есть классическое свойство момента импульса: способность быть в точности параллельным любому выделенному направлению.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/5/5.2.html

Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения момента импульса. Изменение импульса

1.5 - Момент импульса

Моме?нт и?мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси.

Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.

Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

отсюда или .

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:

— если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0 , откуда

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:

— если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если Mz = 0, то dLz / dt = 0, откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы.

Умножая уравнение (1.7) слева векторно на радиус-вектор , Получаем

(1.8)

Где вектор называется Моментом импульса материальной точки, а вектор — Моментом силы. Изменение момента импульса материальной точки вызывается моментом действующей на нее силы.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек.

Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14) ,

Величина (1.15)

Называется Импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль.

Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль.

Поэтому равна нулю и сумма для всех сил.

В результате получим:

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют Изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки запи­сываются уравнения (1.8) моментов импульсов

(1.17)

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точ­кам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается Закон изменения момента импуль­са системы материальных точек:

(1.18)

Где введены обозначения: — момент импульса системы мате­риальных точек, — момент внешних сил. Изменение момен­та импульса системы материальных точек вызывается внешними силами, действующими на систему. Для замкнутой системы мате­риальных точек момент импульса сохраняется

.

Вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на силу,
называется моментом силы.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/14_67842_moment-impulsa-moment-sili-zakon-sohraneniya-momenta-impulsa-izmenenie-impulsa.html

Biz-books
Добавить комментарий