1.5. Динамика твердого тела

Лекция 4 Динамика твердого тела

1.5. Динамика твердого тела

План:

1. Неинерциальные системы отсчета.

2. Понятие абсолютно твердого тела. Момент силы и момент инерции твердого тела. Момент импульса. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера.

Тезисы

1. Неинерциальные системы отсче­та – системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы.

Если же учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета. Си­лы инерции – силы, обусловленные ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы отсчета.

Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета

Произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции) , где а – ускорение тела в инерциальной системе отсчета.

Есть три возможных случая проявления сил инерции: силы инерции при ускоренном поступательном дви­жении системы отсчета; силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вра­щающейся системе отсчета; силы инер­ции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

1)Силы инерции при ускоренном поступа­тельном движении системы отсчета (рис. 40) Пусть на тележке к штативу подвешен на нити шарик массой т.

Если тележку привести в поступательное движение с некоторым ускорением а0, то нить начнет откло­няться от вертикали назад до такого угла , пока результирующая сила не обеспе­чит ускорение шарика, равное а0.

Таким обра­зом, результирующая сила F направлена в сто­рону ускорения тележки а0 и равна , откуда (чем больше ускорение тележки, тем больше угол отклонения нити). Таким образом, на шарик действует сила инерции .

2)Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (рис. 41) Пусть диск равномерно вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр.

На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установ­лены маятники, на нитях подвешены шарики массой m. При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.

41).

В инерциальной системе отсчета, связан­ной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окруж­ности радиусом R (расстояние от точки крепле­ния маятника к диску до оси вращения). Следо­вательно, на него действует сила , направленная перпендикулярно оси вращения диска.

Она является равнодействую­щей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: .Когда движение шарика установится, то , откуда , т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояниеот шари­ка до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается рав­ной и противоположно направленной ей силой Fи, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют.

Сила Fц, называемая центробеж­ной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна .

Центро­бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиу­са R, но не зависит от скорости тел относитель­но вращающихся систем отсчета.

3)Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (рис. 42) Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью вдоль радиуса ОА равномерно вращающегося диска.

Если диск не вращается, то шарик, направлен­ный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указан­ном стрелкой, то шарик катится по кривой (рис. 42, а), причем его скоростьотноситель­но диска изменяет свое направление.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь­зуем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без тре­ния равномерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42,б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F.

Относи­тельно диска шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове­шивается приложенной к шарику силой инер­ции FK, перпендикулярной скорости v'. Эта си­ла называется кориолисовой силой инерции, или силой Кориолиса .

Вектор fk перпендикулярен векторам скорости тела и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта. Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся систе­мы отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета В неинерциальных системах отсчета третий закон Ньютона, а также законы сохранения импуль­са, энергии и момента импульса не выполняются!!!

2.Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого при любых условиях остается постоянным.

Момент силы F относительно неподвиж­ной точки О — физическая вели­чина, определяемая векторным произведе­нием радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25): .

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно­го движения правого винта при его враще­нии от г к F.

Модуль вектора момента силы , где a — угол между г и F; rsina = l — кратчайшее расстояние между линией дей­ствия силы и точкой О — плечо силы.

Момент силы относительно непод­вижной оси z скалярная вели­чина Мz, равная проекции на эту ось век­тора М момента силы, определенного от­носительно произвольной точки О данной оси Z (рис.

26). Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси.

Если ось Z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью

Уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно непод­вижной оси . Если ось враще­ния совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то , где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Момент инерции тела отно­сительно оси вращения — физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси Момент инерции – величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы mтела на квадрат расстояния а между осями

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела , где — момент инерции тела относительно оси Z.

Кинетическая энергия тела при его плоском движении складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/5_142347_lektsiya--dinamika-tverdogo-tela.html

Динамика твердого тела — задачи по физике с решениями

1.5. Динамика твердого тела

Бесплатные решения задач из сборника Игоря Евгеньевича Иродова «Задачи по общей физике». Full texts of problems from this section in English on page Dynamics of a Solid Body.

1.234. Тонкий однородный стержень АВ массы m = 1,0 кг движется поступательно с ускорением w = 2,0 м/с2 под действием двух антипараллельных сил F1…

1.236. К точке с радиус-вектором r1 = ai приложена сила F1 = Аj, а к точке с r2 = bj — сила F2 = Bi. Здесь оба радиус-вектора…

1.238. Найти момент инерции: а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и…

1.239. Вычислить момент инерции: а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина b = 2,0 мм и радиус…

1.240. Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: I1 + I2 = I3, где…

1.241. Однородный диск радиуса R = 20 см имеет круглый вырез, как показано на рис. 1.54. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска m = 7,3 кг. Найти момент…

1.242. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей…

1.243. На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m (рис. 1.55). В момент t = 0 система пришла…

1.245. Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы m и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый…

1.246. В установке (рис. 1.56) известны масса однородного сплошного цилиндра m, его радиус R и массы тел m1 и m2. Скольжения нити и трения…

1.247. В системе (рис. 1.57) известны массы тел m1 и m2, коэффициент трения k между телом m1 и горизонтальной плоскостью, а также…

1.248. Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω0 и поместили затем в угол (рис. 1.58). Коэффициент трения…

1.249. Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости ω и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться…

1.250. Маховик с начальной угловой скоростью ω0 начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню…

1.251. Однородный сплошной цилиндр радиуса R и массы M может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси O (рис. 1.59). На цилиндр в один ряд намотан…

1.252. Однородный шар массы m и радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти: а) значения коэффициента…

1.253. Однородный цилиндр массы m = 8,0 кг и радиуса R = 1,3 см (рис. 1.60) в момент t = 0 начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой…

1.255. На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано…

1.256. Однородный сплошной цилиндр массы m лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально…

1.257. На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы m. Ее момент инерции относительно собственной оси I = βmR2, где β…

1.258. Установка (рис. 1.64) состоит из двух одинаковых сплошных однородных цилиндров каждый массы m, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти натяжение…

1.259. В системе (рис. 1.65) известны масса m груза А, масса M блока В, момент инерции I последнего относительно его оси и радиусы блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо…

1.261. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней однородный шар массы m2. К доске приложили постоянную горизонтальную…

1.262. Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью ω0, затем его положили боковой…

1.264. Сплошной однородный цилиндр радиуса R = 15 см катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол α =…

1.270. Конический маятник — тонкий однородный стержень длины l и массы m — вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (верхний конец…

1.272. Гладкий однородный стержень АВ массы M и длины l свободно вращается с угловой скоростью ω0 в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной…

1.273. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы m = 5,0 кг и длины l = 90 см. По одному из концов стержня произвели удар в горизонтальном…

1.274. Однородная тонкая квадратная пластинка со стороной l и массы M может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее…

1.275. Вертикально расположенный однородный стержень массы M и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально…

1.276. Горизонтально расположенный однородный диск массы M и радиуса R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск…

1.277. Человек массы m1 стоит на краю горизонтального однородного диска массы m2 и радиуса R, который может свободно вращаться вокруг неподвижной…

1.278. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I1…

1.279. На гладкой горизонтальной плоскости лежат небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины l, масса которого в η раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили…

1.280. На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси 00' (рис. 1.72), установлен мотор М и уравновешивающий противовес…

1.281. Горизонтально расположенный однородный стержень AB массы m = 1,40 кг и длины l0 = 100 см вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной…

1.283. Волчок массы m = 0,50 кг, ось которого наклонена под углом ϑ = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка…

1.286. Однородный шар массы m = 5,0 кг и радиуса R = 6,0 см вращается с угловой скоростью ω = 1250 рад/с вокруг горизонтальной оси, проходящей через его…

1.288. Корабль движется со скоростью v = 36 км/ч по дуге окружности радиуса R = 200 м. Найти момент гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны…

1.289. Локомотив приводится в движение турбиной, ось которой параллельна осям колес. Направление вращения турбины совпадает с направлением вращения колес. Момент…

Источник: http://exir.ru/1/dinamika_tverdogo_tela.htm

Глава 5 динамика твердого тела 5. 1 момент

1.5. Динамика твердого тела

Глава 5 динамика твердого тела 5. 1 момент инерции. Момент импульса частицы. Момент силы. Уравнение моментов. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси 1

Момент инерции твердого тела p Моментом инерции твердого тела относительно оси Z называется величина: Здесь mi – масса i-й частицы тела; Ri – расстояние от этой частицы до оси Z. Поскольку любое реальное твердое тело плотности и объемом V есть совокупность бесконечно большого числа частиц, то 2

Физический смысл и свойства момента инерции Момент инерции I характеризует распределение массы тела по его объему.

p Эта величина представляет собой количественную меру инертности твердого тела по отношению к любым попыткам изменить угловую скорость твердого тела.

p p Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции его частей, рассчитанных относительно той же оси. 3

Моменты инерции некоторых симметричных твердых тел Форма тела Материальная точка массой m Положение оси вращения Проходит на расстоянии r от точки Момент инерции I m.

R 2 Проходит через середину стержня перпендикулярно его оси (1/12)ml 2 Проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси (1/3)ml 2 Однородный диск (сплошной цилиндр) радиусом R и массой m Проходит перпендикулярно плоскости диска (совпадает с осью цилиндра) (1/2)m.

R 2 Однородный диск радиусом R и массой m Проходит вдоль диаметра диска (1/4)m. R 2 Однородный тонкостенный полый цилиндр (труба, обруч) радиусом R и массой m Совпадает с осью цилиндра (проходит перпендикулярно плоскости обруча) m. R 2 Однородный шар радиусом R и массой m Проходит через центр шара (2/5)m.

R 2 Тонкая прямоугольная пластина массой m со сторонами a и b Проходит перпендикулярно пластине через точку пересечения диагоналей Однородный тонкий стержень длиной l и массой m (1/12)m(a 2 + b 2) 4

Момент импульса частицы относительно неподвижной точки p p Пусть частица A движется со скоростью v. Положение частицы в пространстве зададим радиусомвектором r, проведенным из неподвижной точки O.

Моментом импульса частицы относительно неподвижной точки O называется вектор L: (где p = mv – импульс частицы). Угол – угол между векторами p и r; lp – кратчайшее расстояние от точки O до линии, вдоль которой направлен вектор p (плечо импульса).

Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы p и r.

Момент импульса частицы относительно неподвижной оси p Моментом импульса Lz частицы относительно неподвижной оси Z называется проекция на эту ось момента импульса L частицы, вычисленная относительно неподвижной точки оси Z. p Момент импульса Lz относительно неподвижной оси является скалярной величиной Значение Lz не зависит от выбора точки O на оси Z. p

Связь между угловой скоростью вращения твердого тела и моментом импульса p Таким образом, с учетом определения момента инерции, проекция на ось Z момента импульса тела равна: p Проекция момента импульса тела Lz на ось Z не зависит от положения точки O на этой оси (поскольку I и z также не зависят от положения точки O). 7

Момент силы p p p Пусть к частице A приложена сила F. Моментом силы F относительно неподвижной точки O называется вектор, равный: Здесь – угол между векторами r и F, h = rsin — плечо силы – кратчайшее расстояния между линией действия силы F и точной O. Вектор M перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы F и r.

Момент силы относительно неподвижной оси p Моментом силы Mz относительно неподвижной оси Z называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки O на оси Z. p Величина Mz является скалярной и не зависит от выбора точки O на оси Z.

Уравнение моментов p Найдем производную по времени момента импульса L: p Производная: p Тогда

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси p Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z.

Обозначим через L момент импульса тела относительно произвольной точки O оси Z, а через M – сумму моментов всех приложенных к нему внешних сил.

p Для твердого тела как системы материальных точек справедливо уравнение моментов: p Перепишем его в проекции на ось Z: 11

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси p Поскольку, как было показано выше, проекция на ось Z момента импульса тела равна Lz = I z, то подставляя это выражение в уравнение моментов, получим уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси: p Здесь I – момент инерции твердого тела относительно оси Z, z = d z/dt – проекция на ось Z вектора углового ускорения тела, Mz – проекция на ось Z момента всех внешних сил. 12

Пример использования уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси p Пример. Однородный цилиндр массы m и радиуса R может вращаться с трением вокруг неподвижной оси Z, совпадающей с его осью симметрии.

На цилиндр намотана тонкая нерастяжимая невесомая нить, за которую начинают тянуть с постоянной силой F.

Найти угловые скорость и ускорение цилиндра, если во время вращения на цилиндр действует постоянный момент силы трения Mтр. 13

Пример использования уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси p Направим ось Z от нас в плоскость чертежа и запишем уравнение динамики вращения твердого тела: p Тогда угловое ускорение цилиндра: p Угловая скорость цилиндра: 14

ГЛАВА 5 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 5. 2 Теорема Гюйгенса – Штейнера 15

Связь между моментами инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проводит через центр масс p Найдем связь между моментами инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. p Пусть ось ZC проходит через центр масс тела, а ось Z параллельна ей и находится на расстоянии b; обозначим b – перпендикулярный к обеим осям вектор, проведенный от Z к ZC. 16

Связь между моментами инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проводит через центр масс p Мысленно разделим тело на частицы массами mi; к каждой частице проведем радиусы-векторы ri и ri , перпендикулярные осям ZC и Z. Учтем в дальнейшем, что ri = ri + b. p Момент инерции относительно оси Z: p 17

Связь между моментами инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проводит через центр масс p Поскольку центр масс C лежит на оси ZC тела, то, очевидно, r. С = 0.

Тогда: p Это равенство выражает теорема Гюйгенса – Штейнера о параллельном переносе оси момента инерции: момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния b между осями. 18

Примеры использования теоремы Гюйгенса — Штейнера p Пример 1. Зная момент инерции тонкого стержня массы m и длины l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (центр масс) I = (1/12)ml 2, найдем момент инерции стержня относительно параллельной оси, проходящей через один из концов стержня: 19

Примеры использования теоремы Гюйгенса — Штейнера p Пример 2. Зная момент инерции однородного шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр (центр масс) I = (2/5)m. R 2, найдем момент инерции шара относительно оси, касательной к поверхности шара: 20

ГЛАВА 5 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 5. 3 Кинетическая энергия и работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси 21

Кинетическая энергия твердого тела p p p Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью . Разделим мысленно тело на частицы массами mi.

Траекторией каждой из частиц является окружность с центром на оси вращения, лежащая в перпендикулярной к оси вращения плоскости. Обозначим скорость каждой из частиц vi = Ri.

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий составляющих его частиц: 22

Кинетическая энергия твердого тела p Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: p Здесь I – момент инерции тела относительно оси вращения. 23

Работа внешней силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси p Пусть на вращающееся вокруг неподвижной оси Z твердое тело действует внешняя сила F, проекция на ось Z момента M которой равна Mz.

Найдем выражение для работы A силы, снова рассматривая твердое тело как систему частиц.

p По теореме о кинетической энергии элементарная работа A всех сил, действующих на частицы, равна бесконечно малому приращению кинетической энергии d системы: p Примем без доказательства, что элементарная работа всех внутренних сил равна нулю. 24

Работа внешней силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси p Тогда теорема о кинетической энергии применительно к твердому телу звучит так: работа всех приложенных к твердому телу внешних сил равна приращению его кинетической энергии: p Согласно уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси: 25

Работа внешней силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси p Тогда элементарное приращение кинетической энергии твердого тела: p Здесь – угловая координата, d – угол, на который поворачивается тело за бесконечно малый промежуток времени dt. Таким образом, p 26

ГЛАВА 5 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 5. 4 Закон сохранения момента импульса системы частиц 27

Закон сохранения момента импульса системы частиц p Из уравнения моментов вытекает закон сохранения импульса системы частиц: момент импульса L замкнутой системы частиц с течением времени не изменяется (т. е.

сохраняется). p Действительно, если система замкнута, т. е. внешние силы отсутствуют, то: p Однако, в некоторых случаях момент импульса незамкнутой системы частиц может сохраняться. Рассмотрим эти случаи.

Частные случаи закона сохранения момента импульса незамкнутой системы частиц p 1. Если система не замкнута, но моменты внешних сил, вообще говоря, отличны от нуля, но при этом сумма моментов внешних сила равна нулю, то момент импульса системы сохраняется:

Частные случаи закона сохранения момента импульса незамкнутой системы частиц p Пример. Летевшая горизонтально пуля со скоростью v 0 массой m застревает в небольшом деревянном шаре массой M, подвешенном на вертикальном стержне, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса O.

p На пулю и шар действуют внешние силы mg, Mg и N (сила N в момент удара пули может быть очень большой).

Однако, если за время удара стержень не успевает значительно отклониться, то моменты всех внешних сил относительно точки O равны нулю (линии действия этих сил проходят через точку O), то момент импульса системы сохраняется:

Частные случаи закона сохранения момента импульса незамкнутой системы частиц p 2. Если проекция на некоторую неподвижную ось Z момента всех внешних сил равна нулю, то в проекции на ось Z момент импульса Lz сохраняется:

Частные случаи закона сохранения момента импульса незамкнутой системы частиц p p p Пример. Подвешенный на нити шарик вращается с постоянной скоростью в горизонтальной плоскости по окружности. В этом случае проекция на проходящую через точку подвеса O вертикальную ось Z момента импульса шарика сохраняется в процессе движения.

Действительно, на шарик действуют: сила натяжения нити T (не создающая момента, т. к. линия ее действия проходит через точку O); сила тяжести, момент которой M = [r mg] в проекции на ось Z равен нулю (см. рисунок). Поэтому Lz = const.

Вектор L имеет постоянную длину и вращается в пространстве вместе с шариком, описывая поверхность кругового конуса, в то время как его проекция на ось Z остается постоянной.

Частные случаи закона сохранения момента импульса незамкнутой системы частиц p 3. Момент импульса системы приблизительно сохраняется, если момент Mвнеш ограниченной по модулю внешней силы действует в течение короткого промежутка времени t (т. е. t 0):

Источник: https://present5.com/glava-5-dinamika-tverdogo-tela-5-1-moment/

Динамика твердого тела

1.5. Динамика твердого тела

Динамика твердоготела. Поступательное и вращательноедвижения твердого тела. Момент сил.Момент инерции. Моменты инерции телправильной геометрической формы.Уравнение движения твердого тела.Кинетическая энергия твердого тела,которое вращается вокруг оси. Центрмасс, центр инерции, центр тяжести.Основной закон движения вращательногодвижения. Момент импульса. Законсохранения момента импульса

Досих пор мы рассматривали движения тел,которые можно было представить какматериальные точки. Теперь перейдем кизучению движения таких тел, которыеимеют существенную протяженность.

Твердое тело– это неизменяемая система материальныхточек, при любых движениях которойвзаимные расстояния между частямисистемы остаются неизменными.

Такимобразом, твердое тело является абсолютнотвердым, то есть недеформируемым.

Виды движениятвердого тела.

Различают пятьвидов движения твердого тела:

  1. поступательное – движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, будет перемещаться параллельно самой себе;

  2. вращательное вокруг неподвижной оси – движение, при котором траектории материальных точек тела представляют собой окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения;

  3. плоское движение;

  4. движение вокруг неподвижной точки;

  5. свободное движение.

Первые два видадвижения являются основными. Остальныевиды движения твердого тела можнопредставить как совокупностьпоступательного движения и вращательногодвижения вокруг неподвижной оси.

При поступательномдвижении все точки тела получают заодин и тот же промежуток времени равныепо величине и направлению перемещения,вследствие чего скорости и ускорениявсех точек в каждый момент времениоказываются одинаковыми. Поэтомудостаточно определить движение однойиз точек тела для того, чтобы охарактеризоватьполностью движение всего тела.

Для описаниявращательного движения нужно задатьположение в пространстве оси вращенияи угловую скорость тела в каждый моментвремени. Кинематику вращательно движениямы уже изучили. Для динамическогоописания вращательного движения твердоготела необходимо ввести новые понятия:момент силы, момент импульса, моментинерции и получить закон вращательногодвижения.

Моментом силы ,относительно точки О называется векторное

произведениерадиуса-вектора точки приложения силы относительноточки О на силу(см.рис):

(7.1)

Точка,относительно которой рассматриваетсямомент, называется полюсом или началом.Из определения момента, на основаниисвойства векторного произведения, длясуммы сил можно написать

(7.2)

Точку приложениясилы можно переносить вдоль линии еедействия, момент силы при этом менятьсяне будет.

Еслинекоторая материальная точка имеетимпульс и ее положение относительно точки Озадано радиус-вектором,то моментомимпульса называют векторное произведениерадиус-вектораотносительно точки О на импульсматериальной точки:

(7.3)

Найдем связь междувведенными величинами. Продифференцируемпо времени момент импульса:

(7.4)

Таккак ,а,то (7.4) можно переписать в виде

(7.5)

Первоеслагаемое в правой части равно нулю,т.к. параллельно,авторое слагаемое представляет собоймомент силы. Тогда

(7.6)

Этоуравнение называется уравнениеммоментов(закон вращательного движения), согласнокоторому производнаяпо времени момента импульса материальнойточки относительно неподвижного началаравна моменту силы, действующей на этотело относительно того же начала.

Сравнивая с основнымзаконом динамики материальной точки:

видим, что в динамикетвердого тела аналогом силы являетсямомент силы, а аналогом импульса являетсямомент импульса.

Обобщим полученноесоотношение (7.6) на случай произвольнойсистемы материальных точек.

Моментом импульсасистемы материальных точек относительнонекоторого начала называется векторнаясумма импульсов материальных точек,входящих в систему, относительно тогоже начала:

Аналогично длямоментов сил:

Подв этом соотношении следует пониматьмомент всех сил как внутренних, так ивнешних. Однако, используя третий законНьютона можно показать, что моментывнутренних сил попарно компенсируются.Таким образом, для системы материальныхточек, будем иметь:

(7.7)

то есть производнаяпо времени от момента импульса системыматериальных точек относительнонеподвижного начала равна геометрическойсумме моментов всех внешних силотносительно того же начала.

Изуравнения (7.7) видно, что если ,то.Если момент внешних сил относительнонеподвижного начала О равен нулю, томомент импульса системы относительнотого же начала остается постоянным вовремени.Этоутверждение называется закономсохранения момента импульса.

Это может быть втрех случаях:

(системазамкнута)

коллинеарный(плечо силы равно нулю)

(радиус-векторточки приложения силы равен нулю).

В отличие от законасохранения импульса, закон сохранениямомента импульса может выполняться ив некоторых незамкнутых системах тел.

Уравнение моментовпри вращении тела вокруг неподвижнойоси

Рассмотримвращательное движение твердого телавокруг неподвижной оси (см.рис.). Пустьматериальная точка вращается поокружности, тогда момент импульсаотносительно оси вращения и следовательно.

Выразимлинейную скорость через угловую и подставим в выражение для моментаимпульса:

Если вокруг оси Овращается система материальных точекс одной и той же угловой скоростью, тосуммарный момент импульса будет иметьвид:

(7.8)

где.

Величина,равная сумме произведений элементарныхмасс материальных точек на квадратырасстояний их до оси вращенияназывается моментоминерциисистемы относительно этой оси.

Вслучае сплошного тела, момент инерцииотносительно заданной оси равен интегралупо всей массе тела от произведенияэлементарной массы на квадрат ее расстояния до оси вращения:

Подставим в (7.8),получим, что момент импульса относительнооси вращения равен произведению моментаинерции тела относительно этой оси наугловую скорость вращения тела:

(7.9)

Сравниваяс определением импульса тела ,видим, что в динамике твердого телааналогом массы является момент инерции.При вращательном движении момент инерциихарактеризует инертные свойства тела.

Подставим (7.9) вуравнение моментов в проекции на ось иполучим основное уравнение вращательногодвижения вокруг неподвижной оси:

(7.10)

М– момент внешних сил относительно осивращения. Если рассматривается вращениетвердого тела или системы материальныхточек с неизменной конфигурацией вокругнеподвижной оси, момент инерции Iостается неизменным и уравнение (7.10)принимает вид:

Учитывая,что угловое ускорение, запишем:

(7.11)

Произведениемомента инерции твердого тела относительнонеподвижной оси вращения на угловоеускорение равно моменту внешних силотносительно той же оси.

Уравнение (7.11)представляет собой уравнение моментовпри вращении твердого тела вокругнеподвижной оси. Оно является аналогомвторого закона Ньютона в классическоймеханике:

Еслимомент сил относительно оси вращенияравен нулю, тогда согласно ,Отсюда(7.12)

Равенство(7.12) представляет собой закон сохранениямомента импульса при вращении телавокруг неподвижной оси: произведениемомента инерции тела относительно осивращения на угловую скорость вращенияпостоянно, если момент сил относительнооси вращения равен нулю. Это выражениеаналогично закону сохранения импульсапри поступательном движении тела: .

Источник: https://studfile.net/preview/5921851/page:7/

Biz-books
Добавить комментарий