1.2 — Динамика материальной точки и поступательного движения тела. Работа и мощность

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

1.2 - Динамика материальной точки и поступательного движения тела. Работа и мощность

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Первый закон Ньютона: всякаяматериальная точка (тело) сохраняетсостояние покоя или равномерногопрямолинейного движения до тех пор,пока воздействие со стороны других телне заставит ее изменить это состояние.Стремление тела сохранять состояниепокоя или равномерного прямолинейногодвижения называется инертностью.Поэтому первый закон Ньютона называюттакже законом инерции.

Первый закон Ньютона выполняетсяне во всякой системе отсчета, а тесистемы, по отношению к которым онвыполняется, называются инерциальнымисистемами отсчета.

Масса тела — физическаявеличина, являющаяся одной из основныххарактеристик материи, определяющаяее инерционные (инертная масса) игравитационные (гравитационная масса)свойства. В настоящее время можно считатьдоказанным, что инертная и гравитационнаямассы равны друг другу (с точностью, неменьшей 10–12 их значения).

Итак, сила — это векторнаявеличина, являющаяся мерой механическоговоздействия на тело со стороны другихтел или полей, в результате котороготело приобретает ускорение или изменяетсвою форму и размеры.

Второйзакон Ньютона

Второй закон Ньютона — основнойзакон динамики поступательного движения— от­вечает на вопрос, как изменяетсямеханическое движение материальнойточки (тела) под действием приложенныхк ней сил.

а ~ F = const). (6.1)

а ~ 1/т (F =const). (6.2)

а = kF/m. (6.3)

В СИ коэффициент пропорциональностиk= 1. Тогда

или

(6.4)

(6.5)

Векторная величина

(6.6)

численно равная произведениюмассы материальной точки на ее скоростьи имеющая направление скорости, называетсяимпульсом (количеством движения)этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Выражение (6.7) называется уравнениемдвижения материальной точки.

Единица силы в СИ — ньютон(Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщаетускорение 1 м/с2 в направлениидействия силы:

1 Н = 1 кгм/с2.

Второй закон Ньютона справедливтолько в инерциальных системах отсчета.Первый закон Ньютона можно получить извторого.

В механике большое значениеимеет принцип независимости действиясил: если на материальную точкудействует одновременно несколько сил,то каждая из этих сил сообщает материальнойточке ускорение согласно второму законуНьютона, как будто других сил не было.

Третийзакон Ньютона

Взаимодействие между материальнымиточками (телами) определяется третьимзако­ном Ньютона.

F12= – F21, (7.1)

Третий закон Ньютона позволяетосуществить переход от динамики отдельнойматериальной точки к динамике системыматериальных точек.

Силытрения

В меха­нике мы будем рассматриватьразличные силы: трения, упругости,тяготения.

Силы трения, которыепрепятствуют скольжению соприкасающихсятел друг относительно друга.

Внешним трением называетсятрение, возникающее в плоскости касаниядвух соприкасающихся тел при ихотносительном перемещении.

В зависимости от характера ихотносительного движения говорят отрении скольжения, качения иливерчения.

Внутренним трением называетсятрение между частями одного и того жетела, например между различными слоямижидкости или газа.

Если тела скользятотносительно друг друга и разделеныпрослойкой вязкой жидкости (смазки), тотрение происходит в слое смазки.

В такомслучае говорят о гидродинамическомтрении (слой смазки достаточно толстый)и граничном трении (толщина смазоч­нойпрослойки 0,1 мкм именьше).

Сила трения скольжения Fтрпропорциональна силе N нормальногодавления, с которой одно тело действуетна другое:

Fтр= fN,

где f—коэффициент трения скольжения, зависящийот свойств соприкасающихся поверхностей.

В пре­дельном случае (началоскольжения тела) F=Fтр.или Psin0 = fN = fPcos0,откуда

f=tg0.

Для гладких поверхностейопределенную роль начинает игратьмежмолекулярное притяжение. Для нихприменяется закон трения скольжения

Fтр= fист(N + Sp0),

где р0 добавочноедавление, обусловленное силамимежмолекулярного притяжения, которыебыстро уменьшаются с увеличениемрасстояния между частицами; S пло­щадь контакта между телами; fист — истинныйкоэффициент трения скольжения.

Радикальным способом уменьшениясилы трения является замена тренияскольже­ния трением качения (шариковыеи роликовые подшипники и т. д.). Силатрения качения определяется по закону,установленному Кулоном:

Fтр=fкN/r, (8.1)

где r — радиускатящегося тела; fк— коэффициент трения качения, имеющийразмер­ность dimfк=L. Из (8.1) следует, что силатрения качения обратно пропорциональнарадиусу катящегося тела.

Законсохранения импульса. Центр масс

Совокуп­ность материальныхточек (тел), рассматриваемых как единоецелое, называется механическойсистемой. Силы взаимодействия междуматериальными точками механичес­койсистемы называются — внутренними.Силы, с которыми на материальные точкисистемы действуют внешние тела, называютсявнешними.

Механическая система тел,на которую не действуют внешние силы,называется замкнутой (илиизолированной). Если мы имееммеханическую систему, состоящую измногих тел, то, согласно третьему законуНьютона, силы, действующие между этимителами, будут равны и проти­воположнонаправлены, т. е.

геометрическая суммавнутренних сил равна нулю.

Запишем второй закон Ньютонадля каждого из n телмеханической системы:

Складывая почленно эти уравнения,получаем

Но так как геометрическая суммавнутренних сил механической системыпо третьему закону Ньютона равна нулю,то

или

(9.1)

где — импульс системы. Таким образом,производная по времени от им­пульсамеханической системы равна геометрическойсумме внешних сил, действующих насистему.

В случае отсутствия внешних сил(рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и являетсязаконом сохранения импульса: импульсзамкнутой системы сохраняется, т. е. неизменяется с течением времени.

Эксперименты доказывают, что онвыпол­няется и для замкнутых системмикрочастиц (они подчиняются законамквантовой механики). Этот закон носитуниверсальный характер, т. е. законсохранения импуль­са — фундаментальныйзакон природы.

Закон сохранения импульсаявляется следствием определенногосвойства симмет­рии пространства —его однородности. Однородностьпространства заключается в том, чтопри параллельном переносе в пространствезамкнутой системы тел как целого еефизические свойства и законы движенияне изменяются, иными словами, не зависятот выбора положения начала координатинерциальной системы отсчета.

Центром масс (или центроминерции) системы материальных точекназывается воображаемая точка С,положение которой характеризуетраспределение массы этой системы. Еера­диус-вектор равен

где miи ri— соответственно масса и радиус-векторi-й материальной точки;n — число материальныхточек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi= mivi, a есть импульс р системы, можнонаписать

(9.2)

т. е. импульс системы равенпроизведению массы системы на скоростьее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение(9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движетсякак материальная точка, в которойсосредоточена масса всей системы и накоторую действует сила, равнаягеометрической сумме всех внешних сил,приложенных к системе. Выражение (9.3)представляет собой закон движенияцентра масс.

Источник: https://works.doklad.ru/view/FtHip5bIZJg.html

Реферат: Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

1.2 - Динамика материальной точки и поступательного движения тела. Работа и мощность

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальнымисистемами отсчета .

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10–12 их значения).

Итак, сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

а ~ F = const) . (6.1)

а ~ 1/т (F = const) . (6.2)

а = kF/m. (6.3)

В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

или

(6.4)

(6.5)

Векторная величина

(6.6)

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг×м/с2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона .

F12 = – F21 , (7.1)

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек.

Силы трения

В меха­нике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Силы трения , которые препятствуют скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга.

Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

В зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа.

Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки.

В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазоч­ной прослойки »0,1 мкм и меньше).

Сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

Fтр = fN ,

где f — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

В пре­дельном случае (начало скольжения тела) F =F тр . или P sin a0 = fN = fP cos a0 , откуда

f= tga0 .

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

Fтр = fист (N + Sp0 ) ,

где р 0 добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S — пло­щадь контакта между телами; f ист — истинный коэффициент трения скольжения.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольже­ния трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

Fтр =fк N/r , (8.1)

где r — радиус катящегося тела; f к — коэффициент трения качения, имеющий размер­ность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Закон сохранения импульса. Центр масс

Совокуп­ность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой . Силы взаимодействия между материальными точками механичес­кой системы называются — внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними .

Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной ). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и проти­воположно направлены, т. е.

геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(9.1)

где — импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Эксперименты доказывают, что он выпол­няется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импуль­са — фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симмет­рии пространства — его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n — число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = mi vi , a есть импульс р системы, можно написать

(9.2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

Уравнение движения тела переменной массы

Если в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, а скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где u — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что dm dv — малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt , поэтому

или

(10.1)

Второе слагаемое в правой части (10.1) называют реактивной силой Fp.

Уравнение движения тела переменной массы которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).

(10.2)

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относитель­но ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в на­чальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m 0 , то С = u ln(m 0 ). Следовательно,

v = u ln (m 0 /m ). (10.3)

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m 0 ; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Работа и энергия

Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С раз­личными формами движения материи связывают различные формы энергии: механи­ческую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движе­ния материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в дру­гих — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).

Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы .

(11.1)

Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

где a — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; Fs проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

(11.2)

. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и a=const, то получим

где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости движе­ния v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н × м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности :

(11.3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение dr получаем

рис 14

Так как то dA = mv d v=mvdv= dT, откуда

(12.1)

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их вза­имным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными , а силы, действующие в них, — консервативными . Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной ; ее примером является сила трения.

(12.2)

(12.3)

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точ­ностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физи­ческих законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам

или в векторном виде

(12.4)

где

(12.5)

(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона* или набла-оператором:

(12.6)

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

(12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П0 =0.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!).

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где Fx уп p проекция силы упругости на ось х ; kкоэффициент упругости (для пружины — жесткость ), а знак минус указывает, что Fx уп p направлена в сторону, противоположную деформации x .

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе уп­ругости и противоположно ей направлена, т. е.

Элементарная работа dA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и вза­имодействия:

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему материальных точек массами m 1 , m 2 ,…, mn , движущихся со скоростями v1 , v2 ,…, vn . Пусть , ,…, — равнодействующие внутренних консер­вативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F1 , F2 , …

, Fn — равнодейст­вующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f1 , f2 ,

, fn . При v

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-292572.html

Biz-books
Добавить комментарий