§4. Механика жидкостей и газов

МЕХА́НИКА ЖИ́ДКОСТИ И ГА́ЗА

§4. Механика жидкостей и газов

Авторы: А. Н. Голубятников

МЕХА́НИКА ЖИ́ДКОСТИ И ГА́ЗА (ги­дро­аэро­ме­ха­ни­ка), раз­дел ме­ха­ни­ки, по­свя­щён­ный изу­че­нию рав­но­ве­сия и дви­же­ния жид­ких и га­зо­об­раз­ных сред, их взаи­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду со­бой и с твёр­ды­ми те­ла­ми. М. ж. и г.

вклю­ча­ет в се­бя гид­ро­ста­ти­ку, гид­ро­ди­на­ми­ку, аэ­ро­ста­ти­ку, аэ­ро­ди­на­ми­ку, га­зо­вую ди­на­ми­ку. М. ж. и г. ис­поль­зу­ет эле­мен­ты тер­мо­ди­на­ми­ки, тес­но свя­за­на со мно­ги­ми др. раз­де­ла­ми фи­зи­ки и хи­мии.

История развития

На­ча­ло при­ме­не­ния прин­ци­пов М. ж. и г. мож­но от­не­сти ко вре­ме­ни соз­да­ния пер­вых гид­ро­тех­нич.

со­ору­же­ний (ко­лод­цев, ка­на­лов, пло­тин, во­дя­ных мель­ниц) и пла­ваю­щих транс­порт­ных средств (пло­тов, ло­док, ко­раб­лей), ко­то­рые поя­ви­лись ещё в дои­сто­рич. эпо­ху. Не сфор­му­ли­ро­ван­ные в яв­ном ви­де за­ко­ны М. ж. и г.

ис­поль­зо­ва­лись в та­ких уст­рой­ст­вах, как вес­ло, па­рус, руль. Раз­ви­тие охо­ты и во­ен. де­ла вы­зва­ло по­яв­ле­ние ле­таю­щих средств по­ра­же­ния (стре­ла, диск, бу­ме­ранг) и ме­ха­низ­мов их ме­та­ния (лук, пра­ща).

Мас­со­вое из­го­тов­ле­ние по­доб­ных уст­ройств тре­бо­ва­ло вы­яс­не­ния ме­ха­низ­ма их дей­ст­вия и ко­ли­че­ст­вен­но­го опи­са­ния яв­ле­ний, обес­пе­чи­ваю­щих их оп­ти­маль­ное ис­поль­зо­ва­ние. Это при­ве­ло в ко­неч­ном счё­те к соз­да­нию М. ж. и г. как нау­ки.

Пер­вым учё­ным, внёс­шим су­ще­ст­вен­ный вклад в соз­да­ние М. ж. и г., был Ар­хи­мед, ко­то­рый от­крыл осн. за­кон гид­ро­ста­ти­ки: оп­ре­де­лил ве­ли­чи­ну и на­прав­ле­ние дей­ст­вия вы­тал­ки­ваю­щей си­лы. Тру­ды Ар­хи­ме­да по­слу­жи­ли ос­но­вой для соз­да­ния це­ло­го ря­да но­вых гид­рав­лич. ап­па­ра­тов (порш­не­во­го на­со­са, си­фо­на, во­до­подъ­ём­но­го вин­та и др.).

Сле­дую­щий зна­чит. этап раз­ви­тия М. ж. и г. на­чал­ся в эпо­ху Воз­ро­ж­де­ния. Пер­вые на­уч. идеи в об­лас­ти аэ­ро­ди­на­ми­ки свя­зы­ва­ют с име­нем Ле­о­нар­до да Вин­чи.

На­блю­дая за по­лё­том птиц, он раз­де­лил си­лу, дей­ст­вую­щую на дви­жу­щее­ся в воз­ду­хе те­ло, на две со­став­ляю­щие: си­лу со­про­тив­ле­ния и подъ­ём­ную си­лу.

Ле­о­нар­до да Вин­чи ка­че­ст­вен­но свя­зал эти си­лы с уп­лот­не­ни­ем воз­ду­ха пе­ред кры­лом и под ним, опи­сал два ти­па по­лё­тов (ма­шу­щий и пла­ни­рую­щий). Он так­же раз­ра­ба­ты­вал идеи ле­тат. ап­па­ра­тов.

В 16–17 вв. гид­ро­ста­ти­ка Ар­хи­ме­да по­лу­чи­ла раз­ви­тие в ра­бо­тах С. Сте­ви­на (прин­цип от­вер­де­ва­ния для изу­че­ния ус­ло­вия рав­но­ве­сия тя­жё­лой жид­ко­сти, 1586), Г.

 Га­ли­лея (за­кон рав­ных мо­мен­тов сил как ус­ло­вие рав­но­ве­сия пла­вающе­го те­ла) и Б. Пас­ка­ля (за­кон из­ме­не­ния ста­тич. дав­ле­ния в жид­ко­стях и га­зах, опубл. в 1663; прин­цип дей­ст­вия гид­рав­лич. прес­са).

Га­ли­лей изу­чал так­же дви­же­ние те­ла в сре­де и, ис­сле­дуя ко­ле­ба­ния ма­ят­ни­ков, ус­та­но­вил ли­ней­ную за­ви­си­мость си­лы со­про­тив­ле­ния сре­ды от ско­ро­сти. Х.

 Гюй­генс ус­та­но­вил бо­лее точ­ную (квад­ра­тич­ную) за­ви­симость этой си­лы от ве­ли­чи­ны ско­ро­сти (ко­эф­фи­ци­ен­ты в этой за­ви­си­мо­сти в тех­нич. при­ло­же­ни­ях оп­ре­де­ля­ют­ся экс­пе­ри­мен­таль­но).

И. Нью­тон счи­тал при­чи­ной воз­ник­но­ве­ния подъ­ём­ной си­лы и си­лы со­про­тив­ле­ния уда­ры час­тиц воз­ду­ха о ло­бо­вую часть те­ла. Он так­же ввёл по­ня­тие си­лы тре­ния, свя­зан­ной с от­но­сит. дви­же­ни­ем воз­ду­ха вдоль по­верх­но­сти те­ла. С совр.

точ­ки зре­ния мо­де­ли­ро­ва­ние об­те­ка­ния те­ла по Нью­то­ну со­от­вет­ст­ву­ет ги­пер­зву­ко­во­му те­че­нию га­за. Ус­та­но­вив за­ко­ны ме­ха­ни­ки дис­крет­ных сис­тем ма­те­ри­аль­ных то­чек, Нью­тон от­крыл путь для ма­те­ма­тич.

мо­де­ли­ро­ва­ния дви­же­ния жид­ко­стей и га­зов, рас­смат­ри­вае­мых как кон­ти­ну­ум, или сплош­ная сре­да (см. Ме­ха­ни­ка сплош­ной сре­ды).

В 18 в. ра­бо­ты по гид­ро­ста­ти­ке бы­ли до­пол­не­ны тру­да­ми Л. Эй­ле­ра, в ре­зуль­та­те че­го поя­ви­лась тео­рия гид­ро­ста­тич. ус­той­чи­во­сти пла­ваю­ще­го те­ла. Так­же в 18 в. за­ло­же­ны ос­но­вы гид­ро­ди­на­ми­ки. Сам тер­мин «гид­ро­ди­на­ми­ка» вве­дён Д. Бер­нул­ли в 1738.

Пер­вой пол­ной ма­те­ма­тич. мо­де­лью гид­ро­ди­на­ми­ки бы­ла сис­те­ма урав­не­ний дви­же­ния иде­аль­ной (не­вяз­кой) жид­ко­сти, вы­ве­ден­ная Эй­ле­ром в 1755. По­лу­чен­ное ра­нее Бер­нул­ли урав­не­ние сле­до­ва­ло из урав­не­ний Эй­ле­ра как ин­те­грал при ус­та­но­вив­шем­ся дви­же­нии.

Хо­тя мо­дель Эй­ле­ра хо­ро­шо опи­сы­ва­ла мн. дви­же­ния жид­ко­стей и га­зов, она не учи­ты­ва­ла вяз­ко­го тре­ния ме­ж­ду слоя­ми жид­ко­сти, что при­во­ди­ло к от­сут­ст­вию си­лы, дей­ст­ву­ю­щей на те­ло при без­от­рыв­ном ста­цио­нар­ном об­те­ка­нии (Эй­ле­ра – Д’Алам­бе­ра па­ра­докс).

Мо­дель вяз­кой жид­ко­сти, обоб­щаю­щая урав­не­ния Эй­ле­ра, пред­ло­же­на в 1821 Л. На­вье и ис­сле­до­ва­на Дж. Сто­ксом (см. На­вье – Сто­кса урав­не­ния). При опи­са­нии про­цес­са рас­про­стра­не­ния зву­ка (напр., при соз­да­нии муз. ин­ст­ру­мен­тов) не­об­хо­ди­мо бы­ло учи­ты­вать так­же сжи­мае­мость сре­ды.

С соз­да­ни­ем уст­ройств, ра­бо­таю­щих на си­ле сжа­то­го га­за (арт. ору­дия, ру­жья, па­ро­вые ма­ши­ны и тур­би­ны), в рам­ках М. ж. и г. на­ча­ли рас­смат­ри­вать и те­п­ло­вые не­ли­ней­ные яв­ле­ния. За­да­ча о раз­го­не сна­ря­да в ство­ле, ре­шён­ная Ж. Ла­гран­жем на ру­бе­же 18–19 вв.

, ста­ла пер­вой ти­пич­ной за­да­чей га­зо­вой ди­на­ми­ки. Ис­сле­до­ва­ние не­ли­ней­ных урав­не­ний од­но­мер­ных вол­но­вых дви­же­ний иде­аль­но­го га­за про­вёл Б. Ри­ман, ко­то­рый ука­зал на воз­ник­но­ве­ние удар­ных волн как на ти­пич­ное яв­ле­ние.

Воз­ник­но­ве­ние удар­ных волн при дви­же­нии сна­ря­да со сверх­зву­ко­вой ско­ро­стью экс­пе­ри­мен­таль­но об­на­ру­жил Э. Мах (1881).

Аэ­ро­ди­на­ми­ка по­лу­чи­ла зна­чит. раз­ви­тие толь­ко в нач. 20 в. бла­го­да­ря ра­бо­там Н. Е. Жу­ков­ско­го и С. А. Ча­п­лы­ги­на.

Им уда­лось пра­виль­но по­нять при­ро­ду подъ­ём­ной си­лы кры­ла са­мо­лё­та и эф­фек­тив­но вы­чис­лить (в рам­ках мо­де­ли иде­аль­ной не­сжи­мае­мой жид­ко­сти) эту си­лу, а так­же си­лу тя­ги ло­па­сти вин­та, что да­ло су­ще­ст­вен­ный тол­чок к раз­ви­тию доз­ву­ко­вой авиа­ции и соз­да­нию бы­ст­ро­ход­ных су­дов.

Математические модели

Пер­вой про­стей­шей гид­ро­ди­на­мич.

мо­де­лью яв­ля­ет­ся сис­те­ма урав­не­ний, со­стоя­щая из урав­не­ний дви­же­ния иде­аль­ной (не­вяз­кой) жид­ко­сти и урав­не­ния не­раз­рыв­но­сти: $$\frac{dv_i}{dt}+\frac{1}{ρ}\frac{\partial p}{\partial x_i}=F_i, \frac{dρ}{dt}+ρ\sum_{i=1}3\frac{\partial v_i}{\partial x_i}=0, \qquad(1)$$ где пол­ная про­из­вод­ная $d/dt=\partial/\partial t+\sum_{i=1}3 v_i \partial/\partial x_i$, $x_i$– де­кар­то­вы простран­ст­вен­ные ко­ор­ди­на­ты ($i=1, 2, 3$), $t$ – вре­мя, $v_i$ – ком­по­нен­ты ско­ро­сти сре­ды; $F_i$ – си­ла, рас­счи­тан­ная на еди­ни­цу мас­сы, $ρ$ – плот­ность жид­ко­сти, $p$ – дав­ле­ние. Эта сис­те­ма урав­не­ний вы­ве­де­на Л. Эй­ле­ром на ос­но­ва­нии за­ко­нов Нью­то­на, Пас­ка­ля и за­ко­на со­хра­не­ния мас­сы.

Для то­го что­бы сис­те­ма урав­не­ний (1) бы­ла замк­ну­той, не­об­хо­ди­мо при­влечь за­ко­ны тер­мо­ди­на­ми­ки или к.-л. до­пол­нит. ус­ло­вия, свя­зы­ваю­щие плот­ность и дав­ле­ние. Напр.

, плот­ность од­но­род­ной не­сжи­мае­мой жид­ко­сти по­сто­ян­на, и вто­рое урав­не­ние да­ёт ус­ло­вие со­хра­не­ния объ­ё­ма жид­кой час­ти­цы при дви­жении: $\sum_{i=1}3 \partial v_i / \partial x_i=0$. Ес­ли при этом сила име­ет по­тен­ци­ал $U$ (т. е.

$F_i=\partial U/ \partial x_i$), то при ус­та­но­вив­шем­ся дви­же­нии сре­ды ин­те­грал урав­не­ний Эй­ле­ра вдоль ли­нии то­ка при­об­ре­та­ет вид $v2/2+p/ρ –U=const$, на­зы­вае­мый урав­не­ни­ем Бер­нул­ли.

Ес­ли под $F$ по­ни­мать си­лу тя­жести, то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид $v2/2+p/ρ+gz=const$ (здесь $z$ – вер­ти­каль­ная ко­ор­ди­на­та).

При адиа­ба­тич. дви­же­нии жид­ко­сти (т. е. без при­то­ка те­п­ла и в от­сут­ст­вие дис­си­па­ции энер­гии, обу­слов­лен­ной вяз­ко­стью) в дан­ной мо­де­ли счи­та­ет­ся вер­ным сле­дую­щее ус­ло­вие: $$\frac{dp}{dt}=a2 (ρ, p)\frac{dρ}{dt},$$ где $a$ – ха­рак­те­ри­сти­ка сре­ды (ско­рость зву­ка), за­дан­ная как функ­ция плот­но­сти и дав­ле­ния.

Важ­ным во­про­сом ин­тег­ри­ро­ва­ния урав­не­ний Эй­ле­ра яв­ля­ет­ся ус­та­нов­ле­ние ус­ло­вий, при ко­то­рых ско­рость мо­жет быть вы­ра­же­на че­рез по­тен­ци­ал $φ(x,t)\text{:} v_i=\partial φ/\partial x_i$. В этом слу­чае за­да­ча сво­дит­ся к оп­ре­де­ле­нию толь­ко од­ной функ­ции $φ(x,t)$.

Для не­сжи­мае­мой жид­ко­сти по­тен­ци­ал $φ$ удов­ле­тво­ря­ет урав­не­нию Ла­п­ла­са: $$\sum_{i=1}3\frac{\partial 2 φ}{\partial x_i2}=0$$ То­гда для дав­ле­ния спра­вед­ли­ва сле­дую­щая фор­му­ла: $$p=f(t)-ρ(\partial φ/\partial t+v2/2-U),$$ где $f(t)$ – про­из­воль­ная функ­ция вре­ме­ни.

Крае­вы­ми ус­ло­вия­ми для $φ$ в за­да­чах об­те­ка­ния тел слу­жат ра­вен­ст­во нор­маль­ных со­став­ляю­щих ско­ро­стей жид­ко­сти и те­ла, а так­же, напр., ус­ло­вие по­сто­ян­ст­ва ско­ро­сти на бес­ко­неч­но­сти.

Ес­ли же часть гра­ни­цы жид­ко­сти яв­ля­ет­ся сво­бод­ной по­верх­но­стью, на ко­то­рой за­да­но дав­ле­ние, то за­да­ча ста­но­вит­ся не­ли­ней­ной.

При рас­смот­ре­нии рас­про­стра­не­ния зву­ка как со­во­куп­но­сти ма­лых воз­му­ще­ний в по­коя­щем­ся га­зе c по­сто­ян­ны­ми дав­ле­ни­ем $p_0$ и плот­но­стью $ρ_0$ (при ус­ло­вии пре­неб­ре­же­ния си­лой тя­же­сти) по­сле ли­неа­ри­за­ции урав­не­ний Эй­ле­ра по­лу­ча­ет­ся вол­но­вое урав­не­ние:  $$\frac{\partial 2 φ}{\partial t2}-a_02 \sum_{i=1}3\frac{\partial 2 φ}{\partial x_i2}=0, p=p_0-ρ_0\frac{\partial φ}{\partial t}.$$ Это урав­не­ние в не­ко­то­ром при­бли­же­нии мо­жет быть ис­поль­зо­ва­но в за­да­чах о дви­же­нии тон­ких тел (стрел, пуль, крыль­ев, фю­зе­ля­жей са­мо­лё­тов, ра­кет и т. п.) как в доз­ву­ко­вом, так и сверх­зву­ко­вом ре­жи­ме.

Мо­дель На­вье – Сто­кса, по­ми­мо дав­ле­ния, учи­ты­ва­ет внутр. вяз­кие на­пря­же­ния, ли­ней­но за­ви­ся­щие от ско­ро­стей де­фор­ма­ции жид­кой час­ти­цы. Вяз­кие на­пря­же­ния мо­гут быть раз­би­ты на объ­ём­ную и сдви­го­вую со­став­ляю­щие. Обыч­но объ­ём­ной вяз­ко­стью для жид­ко­стей и га­зов мож­но пре­неб­речь. В ре­зуль­та­те при по­сто­ян­ном ко­эф.

вяз­ко­сти $μ$ по­лу­ча­ет­ся урав­не­ние: $$ρ\frac{dv_i}{dt}+\frac{\partial p}{\partial x_i}=μ\sum_{j=1}3 \left ( \frac{\partial 2 v_i}{\partial x_j2}+ \frac{1}{3} \frac{\partial 2 v_j}{\partial x_i \partial x_j}  \right ) + ρ F_i. \qquad (2)$$ При этом крае­вое ус­ло­вие на по­верх­но­сти те­ла ме­ня­ет­ся на ус­ло­вие не­пре­рыв­но­сти всех ком­по­нент ско­ро­сти.

Ес­ли жид­кость не­сжи­мае­ма, то вме-сте с ус­ло­ви­ем $\sum3_{j=1}\partial v_j / \partial x_j=0$ уравнения (2) дос­та­точ­но для ре­ше­ния мн. за­дач об­те­ка­ния тел.

Для сжи­мае­мых жид­ко­стей и га­зов не­об­хо­ди­мо так­же при­вле­че­ние урав­не­ния при­то­ка те­п­ла с учётом те­п­ло­про­вод­но­сти и дис­си­па­ции энер­гии, обу­слов­лен­ной вяз­ко­стью сре­ды, в не­ко­то­рых слу­ча­ях – с учё­том хи­мич. ре­ак­ций и из­лу­че­ния на­гре­то­го га­за.

Для со­пос­тав­ле­ния при­ме­ни­мо­сти пе­ре­чис­лен­ных мо­де­лей М. ж. и г.

, в ча­ст­но­сти при ста­цио­нар­ном ха­рак­те­ре те­че­ния, вво­дят­ся два без­раз­мер­ных па­ра­мет­ра: Рей­нольд­са чис­ло $Re=ρVl/μ$ и Ма­ха чис­ло $M=V/a$, где $l$ – ха­рак­тер­ный раз­мер те­ла или со­су­да, $V$ – ха­рак­тер­ная ско­рость по­то­ка. При по­ста­нов­ке экc­пе­риментов фи­зич. мо­де­ли­ро­ва­ния эти ве­ли­чи­ны долж­ны сов­па­дать с их на­тур­ны­ми зна­че­ния­ми.

Мо­дель не­сжи­мае­мой жид­ко­сти при­ме­ни­ма при ма­лых чис­лах $M$. В этом слу­чае при ма­лых зна­че­ни­ях $Re$ вяз­кость су­ще­ст­вен­на во всём по­то­ке, при­чём не­линей­ны­ми чле­на­ми в урав­не­ни­ях мож­но пре­неб­речь (при­бли­же­ние Сто­кса).

Та­кие те­че­ния рас­смат­ри­ва­ет, в част­но­сти, мик­ро­ги­дро­ди­на­ми­ка.

При уме­рен­но боль­ших чис­лах $Re$ вяз­кость су­ще­ст­вен­на толь­ко вбли­зи по­верх­но­сти те­ла (при­бли­же­ние по­гра­нич­но­го слоя Пран­д­т­ля) или в тон­ких сло­ях сдви­га, раз­де­ляю­щих зо­ны от­рыв­ных те­че­ний; вне этих сло­ёв те­че­ние, как пра­ви­ло, по­тен­ци­аль­ное (без­вих­ре­вое) или рав­но­за­вих­рен­ное. В этих ре­жи­мах осу­ще­ст­в­ля­ет­ся ла­ми­нар­ное те­че­ние. При бо́льших зна­че­ни­ях $Re$ (для те­че­ний в тру­бах ок. 2300) ла­ми­нар­ное те­че­ние те­ря­ет ус­той­чи­вость и пре­вра­ща­ет­ся в тур­бу­лент­ное те­че­ние.

Для опи­са­ния ос­ред­нён­ных ха­рак­те­ри­стик те­че­ния О. Рей­нольдс ввёл внутр. тур­бу­лент­ные на­пря­же­ния, для оп­ре­де­ле­ния ко­то­рых тре­бу­ют­ся до­пол­нит. по­строе­ния.

Од­но из них – тео­рия пу­ти пе­ре­ме­ши­ва­ния Пран­дт­ля, ос­но­ван­ная на ана­ло­гии с тео­ри­ей мо­ле­ку­ляр­но­го дви­же­ния га­за.

В це­лом про­бле­ма эф­фек­тив­но­го рас­чё­та тур­бу­лент­ных те­че­ний по­ка ос­та­ёт­ся от­кры­той.

С рос­том $M$ влия­ние сжи­мае­мо­сти воз­рас­та­ет. При $M$ по­ряд­ка еди­ни­цы и бо­лее в по­то­ке га­за, как пра­ви­ло, на­блю­да­ют­ся удар­ные вол­ны.

При $M=3$ их тол­щи­на по­ряд­ка дли­ны сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­кул.

В этом слу­чае вяз­ко­стью и те­п­ло­про­вод­но­стью га­за мож­но пре­неб­речь, за­ме­нив их дей­ст­вие по­верх­но­стя­ми раз­ры­ва, на ко­то­рых со­хра­ня­ют­ся по­то­ки мас­сы, ко­ли­че­ст­ва дви­же­ния и энер­гии.

Современное состояние

На нач. 21 в. в рам­ках М. ж. и г. глу­бо­ко про­ра­бо­тан це­лый ряд тео­рий, опи­сы­ваю­щих разл. про­цес­сы в жид­ко­стях и га­зах. Это тео­рии по­тен­ци­аль­ных и вих­ре­вых те­че­ний, тео­рия кры­ла ко­неч­но­го раз­ма­ха, тео­рия по­верх­но­ст­ных и внутр.

волн и их взаи­мо­дей­ст­вия с твёр­ды­ми те­ла­ми (в ча­ст­но­сти, во­про­сы вол­но­во­го со­про­тив­ле­ния над­вод­ных и под­вод­ных ко­раб­лей), тео­рия пло­ских, осе­сим­мет­рич­ных и вин­то­вых те­че­ний, тео­рия об­те­ка­ния тел со сры­вом струй, тео­рия мед­лен­ных те­че­ний вяз­ких жид­ко­стей и те­че­ний в тру­бах разл.

про­фи­ля, тео­рия смаз­ки и тео­рия по­гра­нич­но­го слоя. Ис­сле­до­ва­на ус­той­чи­вость ла­ми­нар­но­го ре­жи­ма те­чения вяз­кой жид­ко­сти и его пе­ре­ход в тур­булент­ный ре­жим, пред­ло­же­ны разл. схе­мы ос­ред­нён­но­го мо­де­ли­ро­ва­ния тур­бу­лент­ных дви­же­ний. Ре­ше­ны мн.

за­да­чи ус­ко­ре­ния тел сжа­тым га­зом, рас­про­стра­не­ния силь­ных взрыв­ных волн и их воз­дей­ст­вия на пре­пят­ст­вия.

Раз­ви­ты тео­рия те­п­ло- и мас­со­пе­ре­но­са в дви­жу­щей­ся жид­ко­сти, тео­рия фильт­ра­ции жид­ко­стей и га­зов сквозь по­рис­тые сре­ды, тео­рия кон­век­ции, тео­рия дви­же­ния сме­сей жид­ко­стей, га­зов и твёр­дых час­тиц, тео­рия ат­мо­сфер­ных и океа­нич. вих­рей и др. К про­бле­мам, ре­шае­мым М. ж. и г., мож­но от­не­сти так­же за­да­чи дви­же­ния плаз­мы.

На совр. уров­не раз­ви­тия М. ж. и г. при­ме­няе­мые мо­де­ли ста­но­вят­ся всё бо­лее слож­ны­ми, т. к. учи­ты­ва­ют ряд осо­бен­но­стей сре­ды, напр. её элек­трич. про­во­ди­мость, ио­ни­за­цию, по­ля­ри­за­цию и на­маг­ни­чи­ва­ние, а так­же про­ис­хо­дя­щие в сре­де хи­мич. ре­ак­ции и фа­зо­вые пе­ре­хо­ды.

При опи­са­нии ус­ло­вий на гра­ни­цах по­то­ка учи­ты­ва­ет­ся по­верх­но­ст­ное на­тя­же­ние, а так­же те­п­ло- и мас­со­об­мен. Ес­ли дли­на сво­бод­но­го про­бе­га час­тиц га­за пре­вы­ша­ет ха­рак­тер­ный раз­мер за­да­чи (напр.

, при рас­смот­ре­нии га­за в ва­ку­ум­ных при­бо­рах или верх­них сло­ях ат­мо­сфе­ры), не­об­хо­ди­мо ис­поль­зо­вать ме­то­ды тео­рии раз­ре­жен­ных га­зов (см. Ди­на­ми­ка раз­ре­жен­ных га­зов).

Урав­не­ния М. ж. и г. не­ли­ней­ны, что при­во­дит к боль­шим труд­но­стям при ре­ше­нии разл. прак­тич. за­дач. Для ре­ше­ния урав­не­ний М. ж. и г. при­ме­ня­ют­ся ана­ли­тич. ме­то­ды, свя­зан­ные с раз­ло­же­ния­ми в ря­ды по ко­ор­ди­на­там и вре­ме­ни, асим­пто­тич.

ме­то­ды, ис­поль­зую­щие раз­ло­же­ния по ма­ло­му па­ра­мет­ру, а так­же груп­по­вые ме­то­ды, свя­зан­ные с по­строе­ни­ем точ­ных ре­ше­ний. Важ­ной осо­бен­но­стью совр. эта­па раз­ви­тия М. ж. и г. яв­ля­ет­ся соз­да­ние боль­ших па­ке­тов вы­чис­лит. про­грамм, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние тех или иных тех­нич. про­блем.

Про­во­дят­ся мас­штаб­ные чис­лен­ные экс­пе­ри­мен­ты по ма­те­ма­тич. мо­де­ли­ро­ва­нию разл. про­цес­сов.

Боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся экс­пе­рим. во­про­сам М. ж. и г.

, при этом в ис­сле­до­ва­ни­ях ис­поль­зу­ют­ся ме­то­ды как на­тур­ных ис­пы­та­ний, так и пря­мо­го или ана­ло­го­во­го мо­де­ли­ро­ва­ния, ос­но­ван­ные на при­ме­не­нии ме­то­дов по­до­бия и раз­мер­но­сти.

Для изу­че­ния те­че­ний и мо­де­ли­ро­ва­ния про­блем об­те­ка­ния и раз­го­на тел применяются спец. гид­ро­ди­на­мич. и аэ­ро­ди­на­мич. тру­бы, от­кры­тые ка­на­лы и бас­сей­ны, мно­го­сту­пен­ча­тые бал­ли­стич. ус­та­нов­ки и др. уст­рой­ст­ва.

В Рос­сии на­уч. ис­сле­до­ва­ния в об­лас­ти М. ж. и г. про­во­дят­ся в ву­зах Мо­ск­вы (МГУ, МАИ, Моск. фи­зи­ко-тех­нич. ин-т), С.-Пе­тер­бур­га (С.-Пе­терб. гос. ун-т, С.-Пе­терб. гос. ун-т гра­ж­дан­ской авиа­ции, С.-Пе­терб. гос. мор­ской тех­нич. ун-т), Но­во­си­бир­ска, Том­ска, Крас­но­яр­ска, Ка­за­ни и др. Тео­ре­тич. и экс­пе­рим.

ис­сле­до­ва­ния в этой об­лас­ти ве­дут­ся так­же в ЦАГИ (см. Аэ­ро­гид­ро­ди­на­ми­че­ский ин­сти­тут), Гид­ро­ди­на­ми­ки ин­сти­ту­те, Авиа­ци­он­но­го мо­то­ро­строе­ния ин­сти­ту­те, Про­блем ме­ха­ни­ки ин­сти­ту­те, Те­п­ло­фи­зи­ки ин­сти­ту­те, НИИ ме­ха­ни­ки МГУ, Ин-те тео­ре­тич.

и при­клад­ной ме­ха­ни­ки СО РАН, Ин-те ав­то­ма­ти­ки и про­цес­сов управ­ле­ния ДВО РАН и др.

Ре­зуль­та­ты ис­сле­до­ва­ний в об­лас­ти М. ж. и г. пуб­ли­ку­ют­ся в жур­на­лах: «Док­ла­ды РАН» (се­рии «Ма­те­ма­ти­ка», «Фи­зи­ка»), «Из­вес­тия РАН» (се­рия «Ме­ха­ни­ка жид­ко­сти и га­за»), «При­клад­ная ма­те­ма­ти­ка и ме­ха­ни­ка», «При­клад­ная ме­ха­ни­ка и тех­ническая фи­зи­ка», «Те­п­ло­фи­зи­ка и аэ­ро­ме­ха­ни­ка», «Фи­зи­ка го­ре­ния и взры­ва» и др.

При­ме­не­ние. Прак­тич. при­ло­же­ния совр. М. ж. и г. чрез­вы­чай­но раз­но­об­раз­ны.

Она ис­поль­зу­ет­ся при про­ек­ти­ро­ва­нии и соз­да­нии ко­раб­лей, са­мо­лё­тов и ра­кет, кон­ст­руи­ро­ва­нии дви­га­те­лей; рас­чё­тах тру­бо­про­во­дов и на­со­сов, га­зо­вых и гид­ро­тур­бин, во­до­слив­ных пло­тин; при изу­че­нии мор.

и воз­душ­ных те­че­ний; про­гно­зе по­го­ды и рас­чё­тах мас­со- и те­п­ло­об­ме­на в ат­мо­сфе­ре; при изу­че­нии фильт­ра­ции грун­то­вых вод, неф­ти и га­за и ор­га­ни­за­ции их до­бы­чи; во мно­гих тех­но­ло­гич. про­цес­сах на­но- и мик­ро­про­из­вод­ст­ва, пи­ще­вой, мед., ме­тал­лур­гич. и хи­мич. пром-сти.

Боль­шое зна­че­ние име­ет при­ло­же­ние ме­то­дов М. ж. и г. к объ­яс­не­нию и ис­поль­зо­ва­нию при­род­ных яв­ле­ний, свя­зан­ных, напр., с дви­же­ни­ем тек­то­нич.

плит и извержением вул­ка­нов, дви­же­ни­ем ла­вин и муть­е­вых по­то­ков, с ме­ха­низ­ма­ми пла­ва­ния рыб и по­лё­та птиц, кро­во­об­ра­ще­ни­ем и ды­ха­ни­ем. М. ж. и г. опи­сы­ва­ет про­цес­сы са­мых разл.

мас­шта­бов – от столк­но­ве­ний эле­мен­тар­ных час­тиц и те­че­ний кван­то­вых жид­ко­стей до строе­ния звёзд и эво­лю­ции Все­лен­ной.

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/2210004

Лекция 4. Тема:Механика жидкостей и газов

§4. Механика жидкостей и газов

Тема:Механика жидкостей и газов

Вопросы:1) Гидростатическое давление. Закон Паскаля. Закон

Архимеда

2) Стационарное течение. Условие неразрывности струи.

3) Уравнение Бернулли.

4) Внутреннее трение в жидкостях.

5) Движение тел в жидкостях и газах

1. В отличие от твердых тел жидкости и газы не сохраняют свою форму, а всегда принимают форму сосуда, в котором находятся. Однако они обладают упругостью и в состоянии равновесия давят на ограничивающую их поверхность.

Давление на данном участке поверхности – это отношение силы, действующей на данный участок, к площади этого участка . Единица измерения давления [p]= Н/м² = Па (паскаль).

В жидкостях и газах давление передается во все стороны и силы давления перпендикулярны к ограничивающей поверхности при любой ее ориентации (рис.4.1).

Рис.4.1

Силы давления, создаваемые гирей, равномерно распределены по поверхности соприкосновения, однако на нижнюю часть сосуда дополнительно давит сила тяжести самой жидкости.

В 17 веке Блез Паскаль установил, что при действии лишь поверхностных сил давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Это можно показать теоретически с помощью рис.4.2.

Рис.4.2

Выделим мысленно внутри жидкости цилиндр с осью АВ. Выделенный объем находится в покое, хотя на него тоже действуют силы давления со стороны остальной жидкости (создаются воздействием поршня).

Для равновесия необходимо, чтобы силы давления на основания цилиндра были равны, значит давления в точках А и В одинаковые.

Таким же образом можно рассмотреть точки В и С, С и D и показать, что во всех этих точках давление одинаково.

Закон Паскаля позволяет объяснить действие гидравлического пресса (рис.4.3)

Рис.4.3

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разного диаметра, соединенных трубкой и снабженных поршнями. Пространство под поршнями заполняется жидкостью.

Пусть к малому поршню приложена сила F1 , определим, какую силу F2 надо приложить ко второму поршню, чтобы сохранить равновесие. Можно в данном случае пренебречь давлением силы тяжести жидкости.

Давление под первым поршнем , давление под вторым поршнем . Эти давления должны быть одинаковы: = , значит

,

т.е. сила F2 во столько раз больше силы F1, во сколько раз площадь второго поршня больше площади первого. Таким образом, при помощи гидравлического пресса малой силой можно уравновесить большую силу.

Рассмотрим теперь равновесие жидкости под действием вилы тяжести самой жидкости.

В открытом сосуде на поверхность действует атмосферное давление, одинаковое на всей открытой поверхности. Это поверхность равного давления, поэтому она находится на одном уровне (поверхность уровня). В сообщающихся сосудах все свободные поверхности принадлежат одной и той же поверхности уровня, поэтому находятся в одной плоскости (на одной высоте) (рис.4.4).

Рис.4.4

В глубине жидкости давление растет, т.к. к атмосферному давлению добавляется сила тяжести жидкости. Выделим мысленно тонкий вертикальный цилиндр в жидкости (рис.4.5) и рассмотрим условия его равновесия.

Рис.4.5

Равнодействующая сил, действующих на боковую поверхность цилиндра, равна нулю.

Вдоль вертикали действуют три силы: сила давления на верхнее основание, равная pАS и направленная вниз, сила давления на верхнее основание, равная pВS и направленная вверх, а также сила тяжести жидкости в объеме цилиндра mg, направленная вниз. Массу жидкости в объеме цилиндра можно представить как m = ρV = ρSh, где ρ – плотность жидкости, а V – объем цилиндра.

Условие равновесия: pАS + ρgSh = pВS. Отсюда получается pВ – pА = ρgh. На поверхности жидкости давление столба жидкости равно нулю. Таким образом, гидростатическое давление на глубине h равно

p = ρgh.

Распределение давления по глубине зависит только от плотности жидкости и расстояния от верхнего уровня жидкости, но не зависит от формы сосуда (рис.4.6).

Рис.4.6

Из условия равновесия жидкости следует, что на тело, погруженное в жидкость, снизу действует большая сила давления, чем сверху. Этим объясняется плавание тел.

Рассмотрим в жидкости тело, имеющее форму параллелепипеда (рис.4.7). Силы, действующие на боковые грани, взаимно компенсируются. Силы, действующие на верхнее и нижнее основания равны соответственно

F1 = p1S = ρghS; F2 = p2S = ρg(h + H)S

Равнодействующая этих сил направлена вверх и равна

F = F2 – F1 = ρg(h + H)S – ρghS = ρgHS,

где HS = V объем тела, а ρ – плотность жидкости.

Рис.4.7

В результате получаем, что на тело действует направленная вверх сила F = ρg V.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная силе тяжести вытесненной этим телом жидкости.

Выталкивающая сила зависит от плотности жидкости. Так, в соленой воде плавать легче, чем в пресной. Если плотность тела больше, чем плотность жидкости, то тело тонет и наоборот, тела с меньшей плотностью выталкиваются на поверхность.

2. Рассматривая движение жидкостей и газов, мы не учитываем их атомного строения, т.е. вещество рассматривается как сплошная среда. Жидкости и газы сами не имеют определенной формы и принимают форму того сосуда, который заполняют.

В отличие от газов, жидкости обладают малой сжимаемостью, однако в потоках газов изменениями их объема часто можно пренебречь и законы движения потоков жидкостей и газов оказываются одинаковыми.

Рассмотрим эти законы на примере потоков жидкостей.

Жидкости, в которых отсутствуют силы трения, называются идеальными. Движение идеальной жидкости можно описать скоростью, с которой частицы жидкости проходят через каждую точку пространства, с помощью линий тока.

Линии тока – это такие линии, проведенные в движущейся жидкости, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц жидкости в этих точках (рис.4.8).

Рис.4.8

Густота линий тока, т.е. число линий, пересекающих перпендикулярную к ним единичную площадку, принимается пропорциональной величине скорости жидкости в данной точке. Поэтому картина линий тока позволяет судить как о направлении, так и о величине вектора скорости в разных точках потока жидкости.

Если картина линий тока остается неизменной во времени, то течение жидкости установившееся или стационарное. Стационарным называется такое течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одинаковым значением скорости. Линии тока при установившемся течении совпадают с траекториями частиц.

Стационарное течение газа или воды по трубам, каналам и рекам представляет собой довольно сложную картину. Анализ стационарного потока упрощается, если мысленно разбить текущую жидкость на тонкие трубки тока. Такая трубка тока образована поверхностью, проведенной через несколько линий тока, т.е. ее стенки образованы траекториями частиц.

Рассмотрим трубку тока переменного сечения (рис.4.9).

Рис.4.9

Обозначим площади поперечного сечения на концах трубки тока S1 и S2 (площадки S1 и S2 перпендикулярны к направлению движения потока). Через любое сечение за единицу времени в стационарном потоке проходит одинаковый объем жидкости, значит V1 = V2.

За время Δt через S1 пройдут все частицы, находящиеся в момент начала отсчета времени на расстоянии v1 Δt, значит пройдет объем V1 = S1v1Δt. Через сечение S2 пройдет объем жидкости V2 = S2v2Δt. Из равенства этих объемов следует: S1v1Δt = S2v2Δt, т.е.

S1v1 = S2v2 =const.

Условие неразрывности струи: произведение скорости частиц на площадь поперечного сечения в любом месте потока имеет одинаковое значение. Значит, там, где поток сужается, скорость жидкости увеличивается, а в местах расширения потока скорость уменьшается (рис.4.10).

Рис.4.10

3. Изменение скорости частиц жидкости может быть вызвано только изменением давления вдоль потока. В широкой части давление возрастает, впереди давление больше и жидкость тормозится.

Выделим в потоке трубку тока переменного сечения, концы ее находятся на разной высоте от уровня, который принимается за нулевой (рис.4.11).

Рис.4.11

Выделим в жидкости малый объем ΔV1 на высоте h1. Через промежуток времени Δt выделенный объем ΔV2 окажется на высоте h2. Из-за неразрывности струи ΔV1 = ΔV2 = ΔV. Масса выделенного объема равна

m = ρΔV, где ρ – плотность жидкости (плотностью называется масса единицы объема вещества, кг/м³).

В начальный момент времени полная энергия выделенного объема жидкости равна Е1 = Екин + Епот ; . Через время Δt полная энергия выделенного объема станет равной . Работа сил давления, приложенного к сечениям S1 и S2 равна A = p1 S1 Δl1 – p2 S2 Δl2 = (p1 – p2) ΔV. Изменение энергии идет на совершение этой работы:

— = (p1 – p2) ΔV.

Это выражение можно сократить на ΔV и после переноса получим

, т.е в установившемся потоке вдоль линии тока величины скорости, высоты и давления связаны соотношением, которое носит название уравнения Бернулли: .

Здесь — динамическое давление в потоке, — весовое давление, р –статическое давление. Если рассмотреть горизонтальный поток переменного сечения, то в нем будет отсутствовать весовое давление и уравнение Бернулли примет вид: . Уравнение показывает, что в тех точках, где скорость жидкости больше, давление меньше и наоборот.

4. В реальных жидкостях всегда присутствует внутреннее трение, на преодоление которого тратится энергия и которое затормаживает движение.

Рассмотрим две горизонтальные пластины в жидкости (рис.4.12), нижняя пластина закреплена с помощью пружины, а верхняя равномерно перемещается под действием внешней силы F, уравновешивающей силу трения.

Рис.4.12

Частицы жидкости, прилипшие к верхней пластине, движутся вместе с ней.

В результате хаотического теплового движения часть молекул из этого слоя переходят в соседний слой жидкости и передают ему импульс направленного движения (молекулы соседнего слоя получают движение в том же направлении, но с меньшей скоростью).

Так передается движение от слоя к слою и получают импульс частицы, прилипшие к нижней пластине и сама пластина, пружина растягивается. Значит, со стороны жидкости на пластины действует сила трения, которую на основании опыта можно представить формулой:

,

где S – площадь пластин, — градиент скорости, η – коэффициент внутреннего трения (вязкость) жидкости, зависящий от температуры и природы вещества. У жидкостей вязкость при нагревании уменьшается, а у газов увеличивается.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/8_60652_lektsiya-.html

Механика жидкостей и газов

§4. Механика жидкостей и газов

4.1. Найти скорость v течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t= 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа m = 0,51 кг. Плотность газа р = 7,5 кг/м3. Диаметр трубы D= 2 см.

Решение:

4.2. В дне цилиндрического сосуда диаметром D= 0,5 м име круглое отверстие диаметром d= 1см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты hэтого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h= 0,2 м.

Решение:

4.3. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на рас h1 от дна сосуда и на расстоянии h2от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии l от сосуда ( по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если: a) h1= 25 см, h2=16см ; б) h1 =16 см, h2 = 25 см?

Решение:

4.4. Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосферой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда. Кран К находится на расстоянии h2= 2 см от дна сосуда. Найти скорость v вытекания воды из крана в случае, если расстояние между нижним концом трубки и дном сосуда: а) h1 = 2 см; б) h1 =7,5 см; в) h1 =10 см.

Решение:

4.5. Цилиндрической бак высотой h= 1 м наполнен до краев водой.

За какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S2поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h= 1 м от отверстия.

Решение:

4.6. В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды V1= 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр dотверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне h =8,3 см?

Решение:

4.7. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски р = 0,8 • 103 кг/м3.

Решение:

4.8. По горизонтальный трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубах а и bравна dh = 10 см. Диаметры трубок а и bодинаковы. Найти скорость v течения жидкости в трубе АВ.

Решение:

4.9. Воздух продувается через трубку АВ. За единицу времени через трубку АВ протекает объем воздуха V1= 5 л/мин.

Площадь поперечного сечения широкой части трубки АВ равна S1 = 2 см2, а узкой ее части и трубки abcравна S2= 0,5 см2.

Найти разность уровней dhводы, налитой в трубку abc. Плотность воздуха р = 1,32 кг/м3.

Решение:

4.10. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жид, плотность р1 которой в 4 раза больше плоскости мате шарика. Во сколько раз сила трения Fтр , действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик?

Решение:

4.11. Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d= 0,3 мм, если динамическая вязкость воз n= 1,2-10-5 Па*с?

Решение:

4.12. Стальной шарик диаметром d = 1мм падает с посто скоростью v = 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость nкасторо масла.

Решение:

4.13. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d1 =3 мм и d2= 1 мм опустили в бак с глицерином высотой h= 1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина n= 1,47 Па*с.

Решение:

4.14. Пробковый шарик радиусом r = 5 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кинематическую вязкости касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v = 3,5 см/с.

Решение:

4.15. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус r= 1 мм которого и длина l = 2 см.

В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого n= 1,2Па*с. Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты hэтого уровня над капилляром.

Найти значение этой скорости при h= 26 см.

Решение:

4.16. В боковую поверхность сосуда вставлен горизон капилляр, внутренний радиус которого r= 1 мм и длина l = 1,5 см. В сосуд налит глицерин, динамическая вязкость которого n= 1,0Па*с. Уровень глицерина в сосуде поддержи постоянным на высоте h = 0,18м выше капилляра. Какое время потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина V = 5 см3?

Решение:

4.17. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте h1= 5 см от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра r =1 мм и длина l = 1 см.

В сосуд налито машинное масло, плотность которого р = 0,9 • 103 кг/м3 и динамическая вязкость n = 0,5 Па*с. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте h250 см выше капилляра.

На каком расстоянии Lот конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол?

Решение:

4.18. Стальной шарик падает в широком сосуде, напол   трансформаторным   маслом,   плотность   которого р — 0,9 • 103 кг/ m3 и динамическая вязкость n= 0,8Па*с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса Re< 0,5 (если при вычислении Reв качестве величины Dвзять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра Dшарика.

Решение:

4.19. Считая, что ламинарность движения жидкости (или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Rе

Источник: https://studyport.ru/zadachi/6-volkenshtejn/5-mehanika-zhidkostej-i-gazov

Московский государственный университет печати

§4. Механика жидкостей и газов

Рис. 20 Рис. 19 Рис. 19 Рис. 21 Рис. 21 Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25 Рис. 25

4.

ЛЕКЦИЯ 4. Механика жидкостей и газов

Статика — раздел механики, изучающий условия, при которых тело покоится при наличии внешних воздействий. Статика, как наука, возникла в глубокой древности и развивалась под влиянием практических нужд человечества, связанных со строительством различных сооружений, мостов, кораблей.

Тело находится в равновесии в некоторой системе отсчета, если в этой системе отсчета оно покоится.

Например, книжная полка, висящая на стене в комнате, находится в равновесии относительно инерциальной системы отсчета, связанной с комнатой. Стул, стоящий на вращающейся сцене театра, находится в равновесии относительно неинерциальной системы отсчета, связанной со сценой.

Статика — частный случай динамики, когда все скорости равны нулю. Поэтому все условия, при которых наступает равновесие тела, могут быть получены из законов динамики, т.е. законов Ньютона.

Определим понятие равнодействующей силы. Сила характеризуется точкой приложения к телу, направлением в пространстве и численным значением, что дает основание считать силу векторной величиной.

В математике мы имеем дело со свободными векторами, их можно переносить в пространстве параллельно. Но результат действия физической силы зависит от точки ее приложения.

Операция нахождения равнодействующей силы называется сложением сил.

Точку приложения силы можно переносить по линии ее действия в любую точку твердого тела и две силы и , приложенные в одной точке тела и направленные под углом друг к другу, оказывают на тело такое же воздействие, как и одна сила F, найденная как их векторная сумма F = + , по правилу параллелограмма, и приложенная в той же точке (рис. 20 ).

Не всякую систему сил можно привести к равнодействующей. Пара сил является наиболее простым примером системы сил, не имеющей равнодействующей (рис. 19 ).

Парой сил называются две равные по модулю и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, рис. 19 .

Равновесие материальной точки.

Условием равновесия материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета будет равенство нулю суммы всех сил, действующих на материальную точку:

Поскольку все силы приложены в одной точке, то их можно сложить с использованием правила параллелограмма. Получим равнодействующую . Тогда условием равновесия материальной точки

будет равенство нулю равнодействующей силы: = 0.

Векторное равенство (4.1) можно записать в проекциях на любую ось в пространстве, например,

т.е. при равновесии материальной точки сумма проекций на соответствующую ось всех сил равна нулю.

Условие (4.1) является необходимым, но недостаточным условием равновесия. При этом условии, как следует из второго закона Ньютона, точка может не только покоиться, но и двигаться прямолинейно и равномерно.

Равновесие тела с закрепленной осью вращения в плоском случае.

Пусть твердое тело может только поворачиваться вокруг неподвижной фиксированной оси О. На рис. 21 ось О перпендикулярна плоскости рисунка.

Рассмотрим плоский случай, т.е. случай, когда все силы, действующие на тело, лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Количественной величиной, отвечающей за равновесие тела и характеризующей способность отдельной силы вращать тело, является не сама сила, а величина, равная произведению модуля силы на расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

На рис. 21 — плечо силы , — плечо силы , — плечо силы .

Момент силы — произведение модуля силы на плечо .

Момент силы, вращающий тело против часовой стрелки, считают положительным, а момент, вращающий тело по часовой стрелке, — отрицательным.

На рис. 21

Твердое тело с закрепленной осью вращения находится в равновесии в некоторой инерциальной системе отсчета, если алгебраическая сумма моментов относительно этой оси всех действующих на тело внешних сил равна нулю: .

Сформулированное условие равновесия является необходимым, но недостаточным. Действительно, при равенстве нулю суммы моментов действующих на тело сил, тело может не только покоиться, но и равномерно вращаться.

В наиболее общем случае условие равновесия твердого тела:

    1) векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю

    2) алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, рана нулю

Одной из особенностей вращательного движения тела вокруг неподвижной оси является зависимость вращения не непосредственно от величины приложенной силы, а от момента этой силы относительно оси вращения.

И даже при очень малом значении модуля силы момент силы может иметь большую величину, если плечо силы достаточно велико. Эта особенность лежит основе работы рычага — одного из древнейших орудий труда человека.

Схематически любой рычаг можно представить как тонкий стержень, который может вращаться вокруг неподвижной оси, перпендикулярной стержню и проходящей не через его центр.

Точка О стержня, через которую проходит ось вращения, делит стержень на неравные отрезки длиной и . Стержень расположен горизонтально, и к концам стержня приложены две силы и . Если стержень достаточно легкий, то действием силы тяжести можно пренебречь.

Из условия равновесия стержня:

Моменты сил и относительно оси вращения входят в уравнение с разными знаками в соответствии с правилом винта: в одном случае сила стремится повернуть стержень по часовой стрелке, а в другом — против. Получаем условие равновесия в виде:

Из него следует, что как бы ни была велика, например, сила ее всегда можно уравновесить малой силой , если выбрать плечо достаточно большим по сравнению с .

4.2.

Давление. Закон Паскаля

Отличительной особенностью жидкостей и газов является их текучесть, что проявляется в способности принимать форму сосудов. В жидкости нет сил, препятствующих сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоев жидкости относительно других.

Этим объясняется текучесть и то, что одни слои жидкости могут действовать на неподвижные относительно них другие слои только перпендикулярно поверхности соприкосновения слоев, а также перпендикулярность действия сил давления со стороны жидкости на стенки и дно сосуда.

Характеристикой такого взаимодействия служит давление.

Давление — физическая величина, равная отношению силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности:

P = F/S.

Давление — величина скалярная по определению. Величина давления в данной точке жидкости (или газа) не зависит от ориентировки плоской поверхности, что следует из свойства текучести жидкости.

Пусть жидкость (или газ) заключена в замкнутый сосуд, рис. 23 .

Закон Паскаля: Давление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на ее границе, например, поршнем, передается без изменения во все точки жидкости.

Давление, которое появляется в жидкости из-за поля тяжести, называется гидростатическим. В жидкости на глубине H, считая от поверхности жидкости, гидростатическое давление Р равно:

— плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.

Закон сообщающихся сосудов: если в открытые сообщающиеся сосуды налита одна и та же жидкость, ее уровень во всех сосудах одинаков.

Полное давление в жидкости складывается из давления на поверхности жидкости (обычно это атмосферное давление) и гидростатического.

Атмосферное давление обусловлено весом воздушного столба. Действует на все тела, находящиеся вблизи поверхности Земли. Нормальное атмосферное давление равно 101 кПа ( 760 мм рт.ст). Атмосферное давление уменьшается с увеличением высоты.

На поверхность твердого тела, опущенного в жидкость (или газ), действуют силы давления. Эти силы увеличиваются с глубиной погружения и на нижнюю часть тела будет действовать со стороны жидкости большая сила, чем на верхнюю. Появляется так называемая выталкивающая сила, называемая силой Архимеда.

Выталкивающая сила — это сумма всех сил, действующих на поверхность погруженного в жидкость тела, со стороны жидкости (рис. 24 ).

Закон Архимеда: выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему направлена

— плотность жидкости, V — объем погруженной части тела (равный объему вытесненной жидкости).

Тело плавает, если сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

4.4.

Движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

В механике жидкости и газы рассматриваются как некоторые непрерывные (сплошные) среды, характерными особенностями которых являются их текучесть, отсутствие собственной формы. Это, естественно, сказывается и на их поведении.

Части жидкости или газа, двигаясь друг относительно друга, испытывают силы трения и давления. Если действием трения (его часто называют внутренним) можно пренебречь, то жидкость или газ называют идеальным. На любой участок такой жидкости или газа могут действовать только силы нормальные их поверхностям.

Введем понятие линии тока как кривой, касательная к которой в каждой точке указывает направление скорости частиц жидкости в этой точке. (Ясно, что так определенная линия тока есть просто траектория частицы жидкости.). Трубкой тока называется область пространства, ограниченная линиями тока.

Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью жидкости в каком либо месте, давлением жидкости в этом месте и высотой этого места в случае стационарного потока, т.е. такого потока, в котором за любые равные промежутки времени через любое сечение трубки тока протекает одинаковое количество жидкости.

Для вывода этого уравнения рассмотрим жидкость, движущуюся по трубе переменного сечения (рис. 25, а ). Жидкость втекает со скоростью через сечение находящееся на высоте над уровнем земли, давление в этом месте равно .

Через сечение площадью , находящееся на высоте , жидкость вытекает из трубы со скоростью , давление на выходе равно .

За бесконечно малый промежуток времени через левое сечение втекает масса жидкости , за это же время через правое сечение вытечет такая же масса жидкости .

Таким образом, мы получаем для идеальной жидкости на основании закона сохранения вещества простое соотношение между скоростью течения жидкости и площадью сечения (уравнение неразрывности):

При перемещении массы жидкости по трубе силы внешнего давления совершают работу. Сила давления, действующая на левое сечение, равна и она перемещает жидкость на расстояние . Аналогично для правого сечения: сила совершает работу против силы давления и перемещает жидкость на расстояние . Полная работа сил давления при таком перемещении равна

Эта работа затрачена на увеличение кинетической энергии массы жидкости , скорость которой изменилась от до и на изменение ее потенциальной энергии в поле силы тяжести при переходе с уровня на . В соответствии с законом изменения энергии

Разделим обе части равенства на объем и учтем, что плотность жидкости равна , а из уравнения неразрывности струи . В результате получим уравнение:

Перенесем все слагаемые, характеризующие жидкость в первом сечении, в левую часть, тогда

Таким образом, для стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

Уравнение (4.2) называется уравнением Бернулли в честь швейцарского математика и механика, оно позволяет находить неизвестные параметры в любом месте течения, если определены начальные параметры v, P, h.

В левой части этого уравнения фигурируют следующие физические величины: Р — давление в выбранном сечении, — кинетическая энергия единицы объема жидкости около этого сечения, — потенциальная энергия единицы объема жидкости около сечения, v — скорость жидкости относительно стенок сосуда.

Так как все слагаемые уравнения (4.2) имеют размерность давления, то уравнение Бернулли часто формулируют иначе. Давление Р называют статическим напором, величину называют гидравлическим напором, а величину — скоростным или динамическим напором. Следовательно, полный напор в движущейся жидкости, складывающийся из статического, гидравлического и динамического напоров, остается постоянным.

Рассмотрим следствия, предсказываемые этим уравнением, и сравним их с экспериментом.

    1. Если жидкость неподвижна, то из (4.2) должно получиться обычное соотношение между глубиной и давлением:

    2. Если — давление наверху в жидкости (атмосферное давление), a () — глубина h, отсчитываемая от поверхности жидкости, то получается формула — давление в жидкости на глубине h :

    3. Если отбросить член, соответствующий потенциальной энергии, то получается соотношение между давлением и скоростью вдоль линий тока для жидкости, текущей горизонтально. Где скорость велика, там мало давление:

Когда жидкость вытекает из отверстия вблизи дна сосуда, линии тока сходятся, как показано на рис. 25, б . Площадь поперечного сечения выходящей струи меньше, чем площадь отверстия. Воспользуемся уравнением Бернулли для определения скорости струи при выходе из отверстия (верхний уровень жидкости находится на высоте h относительно отверстия):

Оба давления равны атмосферному . Верхний уровень жидкости перемещается очень медленно по сравнению со скоростью струи . Если предположить, что скорость приблизительно равна нулю, то уравнение получится в виде:

откуда скорость вытекания жидкости

Работами Бернулли были заложены основы науки о движении жидкостей, которая сейчас представляет собой самостоятельную науку гидродинамику.

Контрольные вопросы и задачи

1. Сравните, используя уравнение Бернулли, скорость течения жидкости и давление, если жидкость течет по горизонтальному каналу.

2. Что такое идеальная жидкость?

3. Как определяется давление идеальной жидкости?

4. Как определить давление в жидкости на глубине h?

5. В чем заключается закон Паскаля?

6. Сформулируйте закон Архимеда.

7. В чем заключается физический смысл потока вектора скорости идеальной жидкости?

8. На основании каких физических понятий и законов можно получить уравнение Бернулли?

9. Какую силу давления испытывает боковая стенка сосуда длиной 2 м, если угол ее наклона составляет 30°, а высота столба воды в сосуде 10 м? ( Па)

10. В прямоугольном бассейне со сторонами 10 и 5 м глубина воды составляет 1,5 м. Какова сила давления воды на дно и на каждую стенку?

Источник: http://www.hi-edu.ru/e-books/xbook787/01/part-005.htm

Biz-books
Добавить комментарий