§3. Вращательное движение твердых тел

�.�. ���������

§3. Вращательное движение твердых тел
      ��� ��� ����������, ������������ ��������� ��������� �������� ���� ������ ����������� ��� ���������� ����� ��� ��������, ��� ������� ��� ����� ���� �������� � ����������, ���������������� � ����������� ������, ���������� ���� ��������, � ��������� ����������, ������ ������� ����� �� ���� ���.

      ���������� ������� ����, ������� ��������� ������ ����������� ��� (���. 1.6). ����� ��������� ����� ����� ���� ����� ��������� ���������� ������ ��������, ������ ������� ����� �� ��� ��������. ����� ��������� ����� �������� �� ���������� ������� R.

�� ��������� ����� ���������� ������� Δt ������� ����� Δφ.

      ������� ��������� �������� ���������� ������, �������� ������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� ������� � ������������ ����� ��� �������� �� ������� ������� �����:

                                                                                   (1.18)

      ������� ��������� ������� �������� ������ � ������� (���/�).

      ����� �������, ������ ω ���������� ����������� � �������� ��������. ���� ω=const, �� �������� ���������� �����������.

      ������� �������� ����� ���� ������� � �������� ��������� υ ������������ ����� . ����� �� ����� Δt ����� �������� �� ���� ���������� ����� ���� Δs. ����� �������� �������� ����� ����� �����:

                   (1.19)

      ��� ����������� �������� ��� ����� ���������������� �������� �������� � ��������, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π:
      ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� �������� �� ����������, � ������� ������� ���������� �������� ��������:
������
      ��� �������������� �������������� �������� ���� �������� ������� �������� ���������. ������� ���������� ���������� ��������� ��������, ������ ������ ����������� ������� �������� �� �������:

                                                                                                             (1.20)

      ��� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ �������� ��������� ��������� ����� ��� �������� � ������� ������� ������� �������� (���. 1.7); ��� ���������� �������� ������ ε ��������� � �� �� �������, ��� � ω (dω/dt > 0), � � ��������������� ������� ��� ����������� �������� (dω/dt < 0).

      ������� �������������� � ���������� ������������ ��������� ����� A ������������ ���� ����� ������� �������� � ������� ���������:

                   (1.21)

                                           (1.22)

      � ������ ���������������� �������� ����� �� ���������� (ε=const):
��� ω0 — ��������� ������� ��������.       �������������� � ������������ �������� �������� ���� �������� ���� ����������� ������ ��� ��������. � ����� ������ �������� �������� ���� ����� ���� ������ �������. ������ � ������������� �������� ������������, ��� ����� ������� �������� �������� ���� ����� ����������� ��� ������������ ��������������� � ������������� ��������.       �������������� ��������� ��������������� � ������������� �������� ������� � ����. 1.1.

������� 1.1

       ������� ������

  • ����� ������, ������� ������� �������������� ������������� �������� � �������, ���������� ��� ���������� ��� ��������, ���������� ���������. ������������ �������� (�������� �������-�������) ������� ������ �������� ���������������� ���, �������� ������� ���� �� ��������� �� ��������� ����� � �������.
  • ���������� � ������ ��������, ��������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ������������ ������, �������� ��� �������� �����������.
  • � �������� ��� �������� �������� ��� � ����������� �� ������� ���������� ����� ������������ ��������� ���������� ������: ������������ �����, ��������� ������� ����, ��������� ������� ����, ��������� ��������� ����.
  • �������� ��� ���������� � ������������ � �� �������. ������� ��� �������� �������� ������������ ����� ���� �����, � ����� ������ ������������ ��� ����� ���������� � � ����� ������� ������� ��� ��������� �� ��� ���� ���������. ������������ ���� �������, ��������� � ��� ������� ��������� � ������������������ ����� ����� ����� ���������� �������� �������.
  • ������ Δr=r-r0, ����������� �� ���������� ��������� ���������� ����� � ��������� �� � ������ ������ ������� ���������� �������� �����������. �����, ����������� ���������� ������������ ������ (�����) ������������ ��������� ������� ������� ���������� ����������� ��������. � ����������� �� ����� ���������� ��������� �������������������������� ��������. ����� ������� ����������, ����������� ������������ ������ �� ������ ���������� �������, ���������� ������ ����.
  • �������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������� ������������� �������� �������� � ��� ����������� � ������ ������ �������. ���������� �������� ������������ ������ ����������� �������-������� ���������� ����� �� �������: ������ ���������� �������� ��������� �� ����������� � ���������� � ������� ��������. ������ ���������� �������� ������������ ����� ����� ������ ����������� ����� �� ���� �� �������:
  • ��������� � ��������� ���������� �������� ��� �������������� �������������� ��������. ��� ���������� �������� ��������� �������� �� ������ � �����������. ���������� ��������� — ��������� ��������, ������ ������ ����������� �������� �� �������:�������������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� �������� (���������� �� ����������� � ���������� ��������):���������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� ����������� (���������� � ������ �������� ����������):������ ��������� ��� ������������� �������� � �������������� ����� �������������� � ���������� ������������:
  • ��������� ��������, ������������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� �������, ���������� ������� ���������: ������ ω ��������� ����� ��� �������� �� ������� ������� �����.
  • ��� ����������� �������� �����, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π, ���������� �������� ��������:������� �������� � ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� ��� �������� �� ���������� � ������� �������:
  • ������� ��������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������������ ������ ����������� ������� �������� �� �������: ��� ���������� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ ε ����������� �������ω, ��� ����������� � ���������������� ���.
  • ����� ����� ��������� (����� ���� s, ����������� ������ �� ���������� ������� R, �������� �������� v, �������������� ��������� , ���������� ��������� an) � �������� ���������������� (���� �������� φ, ������� �������� ω, ������� ��������� ε) ���������� ���������� ���������:

      ������� ��� ������������ � ����������

  1. ��� �������� ��������� �������� ��������? ������ ��������� ��������?
  2. ��� ����� ���������� ������? ����� ���������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������� ������������ ��������?
  3. ��� ������������ ����� ������� �������? ��� ���������� �������� �����������?
  4. ����� �������� ���������� ��������������? ������������?
  5. ��� ������������� �������� � ���������? ����� ����������� ������� �������� � �������� ���������, ���������� �������� � ����������� ���������.
  6. ��������� ��������� ���������� �������� ����, ���������� ������������� �� ��������� v0 � ��������� ������. ������������� ������� �� ���������.
  7. ��� ������������� �������������� � ���������� ������������ ���������? ������ �� ������?
  8. ��� ����� ���������������� �������� � ����������� �� �������������� � ���������� ������������ ���������?
  9. ��� ���������� ������� ��������� � ������� ����������? ��� ������������ �� �����������?
  10. ������ ��������� ������� ����� ����� �������� � ������� �������������� ��������?

      ������� ������� �����

      ������ 1. ����������� �������������� �������, ���������� ����, ��� ������� ���� ������� � ���������, ���� ������������ ������ ������� ���� ����� 1/4 ��������� ��� ������ (���. 1.8).

      ����: h = 1/4s.
      �����: α.
�������       ������������ ��������� �������� ���� v0x = v0cosα, v0y = v0sinα;
      �����: α=450.

      ������ 2. ���� ��������� ������ ����������� ��� �� ������, ����������� �������� φ = 10 + 20t — 2t2. ����� �������� ������� ��������� �����, ����������� �� ���������� 0,1 � �� ��� �������� ��� ������� ������� t=4 � (���. 1.9).

      ����: φ = 10 + 20t — 2t2; R=0,1 �; t=4 �.
      �����: a.

�������

      �����: � = 1,65 �/�2.

      ������ ��� ���������������� �������

  1. �������� ���� ������������ ����� ����������� ���������� �����������: x1 = 20 + 2t — 4t2x2 = 2 + 2t + 0,5t2. � ����� ������ ������� �������� ���� ����� ����� �����������? ���� ����� �������� � ��������� ����� � ���� ������?
  2. � ������ 1000 � ������ ���� ��� ��������� ��������. ������������ � ������ 1100 � ������ ������ ���� � ��������� ��������� ���������. ��� ���� ��������� ����� � ���� � ��� �� ������ �������. ����������� �������������� �������, ����� ��������� �������� ������� ����.
  3. ������������ ������� ������ ����� ���� �� ��������� 10 �/�, ����� �������� ���� �� ��������� 6 �/� � ���������� ����� ���� �� ��������� 2 �/�. ���� ����� ������� �������� �������������?
  4. ��� ������� �� ��������� 10 �/� �� ����� 400 � ���������. �� �������� ������������� �������, �����: �) �� ����� ������ ���������� ���? �) �� ����� ���������� �� ����� �������� ��� ������ �� �����? �) ������� ������� ��� ����� � ��������?
  5. ������, ��������� �������������, ���� �� ����� ����� 0,5 � �� ���������� 5 � �� ����������� �� ����� ��������. �� �������� ������������� �������, ����������: �) � ����� ������ ������ ������? �) ���� ����� ��������� �������� �����? �) � ����� ��������� ������ ���� �� �����? �) ����� ���� ���������� ���������� ����� � ���������� � ����� ��� ������� �� �����?
  6. ������ �������� R=0,1 � ��������� ���, ��� ����������� ������� �������� �� ������� �������� ���������� ω = 2At + 5Bt4, ��� =2 ���/�2 � �=1 ���/�5. ���������� ������ ��������� ����� ����� ������ ����� t=1 � ����� ������ �������� � ����� ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  7. ������� �������� ������ ��� ���������������� �������� �� t=1 ��� ����������� �� 300 �� 180 ��/���. ����������: �) ������� ��������� ������; �) ����� ������ ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  8. ���� �������� R=10 �� ��������� ������ ����������� ��� ���, ��� ����������� ���� �������� ������� ����� �� ������� �������� ���������� φ = A + Bt + Ct2 + Dt3 ( = 1 ���/�, = 1 ���/�2, D = 1 ���/�3). ���������� ��� ����� �� ����� ������ � ����� ������ ������� ����� ������ ��������: �) �������������� ���������; �) ���������� ���������; �) ������ ���������.
  9. ������, �������� ��������������, �������� ������� �������� 20 ���/� ����� 10 �������� ����� ������ ��������. ����� ������� ��������� ������.
  10. ������, �������� ��������������, ������ 1 ��� ����� ������ �������� ����������� ��������, ��������������� ������� 720 ��/���. ����� ������� ��������� ������ � ����� �������� �� ��� ������.

Источник: http://csfm.volgatech.net/elearning/Nurgaliev/text/1.3.html

Вращательное движение твердого тела

§3. Вращательное движение твердых тел

Смотрите также решения задач по теме «Вращательное движение» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими at и an.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины: φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек2).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f' (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f'' (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φоб.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφоб и φоб = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела).

Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, at и an, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
at = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
an = ω2R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ0 + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ0=0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося телаω = φ/tможно выразить и так:ω = 2π/T,

где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.

Задача 161. Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16 рад/сек. Определить, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения.

Задача 162. Вал, диаметр которого 0,06 м, вращается равномерно и делает 1200 об/мин. Определить скорость и ускорение точек вала на его поверхности (рис. 206)…

Задача 163. Дисковая пила 1 имеет диаметр 600 мм. На валу пилы насажен шкив 2 диаметром 300 мм, а шкив соединен бесконечным ремнем со шкивом двигателя 3…

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ0 + ω0t + εt2/2и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,

(2) ω = ω0 + εt

представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ0, ω0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ0 + (ω + ω0)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ0 + (ω2 — ω02)/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ0=0 и ω0=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω2/(2ε).

Задача 167. Маховик, вращающийся с угловой скоростью n0=90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает…

Задача 168. Вал, вращающийся равноускоренно из состояния покоя, в первые 12 сек совершает 95,5 оборота. С каким угловым ускорением вращается вал и какую…

Задача 169. Колесо, вращающееся со скоростью 1500 об/мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 сек останавливается. Определить угловое…

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.

Задача 173. Вращение вала в течение первых 20 сек происходит согласно уравнению φ = 0,8t3. Определить угловую скорость вала в конце 20-й секунды;…

Источник: http://exir.ru/termeh/vraschatelnoe_dvizhenie_tverdogo_tela.htm

Лекция 3. Вращательное движение твердого тела. Статика

§3. Вращательное движение твердых тел

До сих пор мы рассматривали любой движущийся объект как материальную точку, то есть пренебрегали его формой и размерами. Для поступательного движения это вполне оправдано. Если же речь идет, к примеру, о вращении тела вокруг своей оси или об условиях равновесия тела, то такое предположение недопустимо.

Твердым телом будем считать совокупность материальных точек, не смещающихся относительно друг друга. То есть тело, не поддающееся деформациям и сохраняющее форму.

Конечно, в природе абсолютно твердых недеформируемых тел не бывает. Любое тело подвержено бóльшим или меньшим деформациям, возникающим вследствие приложения сил.

Мы будем рассматривать такие тела, величина деформации которых много меньше их размеров.

Прежде, чем приступить к описанию вращательного движения сделаем

два важных замечания.

1. Угловую скорость можно представить в векторном виде. Направление находится по правилу буравчика.

Если тело вращается вокруг оси Z против часовой стрелки (буравчик вывинчивается), угловая скорость направлена вверх, по оси Z (проекция положительная), рис. 3.1, а).

Если тело вращается вокруг оси Z по часовой стрелке (буравчик ввинчивается), угловая скорость направлена вниз, против оси Z (проекция отрицательная), рис. 3.1, б).

Угловое ускорение тоже можно представить в виде вектора: если тело раскручивается, угловое ускорение направлено по угловой скорости, а если

тормозит – против.
2. Векторное произведение векторов a и b – это вектор cr, такой, что
crа) его длина с = absinα;
rб) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b :
brcr b ;
αcr Pl(ar,b) , то есть cr ar,
в) направлен по правилу буравчика, который делает кратчайший
arповорот от arк br.rr
Рис. 3.2
Одно из обозначений векторного произведения c=[a b] , а
схематичное изображение показано на рис. 3.2.
r rrr
Свойства: 1) [a b] = −[b a] ; 2) если a || b , то [a b] = 0 .
18
Пусть к балке длины r приложена сила F, как показано наA
рис. 3.3. Тогда момент силы относительно точки ОαF
M = F·|OA| = Frsinα,Or
где |OA| – расстояние от точки О до линии действия силы или
плечо силы. Это хорошо известное из школы определение мо-Рис. 3.3
мента силы.

Более точное определение: момент силы F относительно точки О – это

вектор, равный векторному произведению радиус-вектора rиз точки О в точку
приложения силы и этой силы:
M =[rrF],(3.1)

см. рис. 3.4.

По величине M = Fr sin α. Из этой формулы следует размерность момента силы [M] = H·м.

ZαZ
r
FM
rα
OO
YY
XXF

Рис. 3.4

Аналогично определяется момент импульса.

Момент импульса материальной точки относительно точки О – это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r материальной точки и импульса pr этой точки:

r rrr(3.2)
L =[r p] = m[r υ],

см. рис. 3.5.

По величине L = mυr sin α. Из этой формулы следует размерность момента импульса [L] = кг·м2/с.

ZZ
rυ
OυOα
rmYY
XLr
Рис. 3.5X
Пусть точка О неподвижна. Возьмем производную момента импульса по
времени:drr rrdpr
dLrr rrrrrr
=p+r=[υp] +[rF]=[rF] = M .
dtdt
dt

Это уравнение моментов для одной материальной точки.

19

Дляr rтвердого тела (системы материальных точек), к которому приложены силы F1, F2 ,… (рис. 3.6) уравнение моментов аналогичное:

dLr(3.3)
dt= M ,
rr rr r
] +… – суммарный момент всех сил относительно точки О.
где M =[r1F1] +[r2 F2

Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов всех сил относительно этой точки.

Z rF1Уравнение моментов похоже на второй закон Ньютона,
где вместо импульса – момент импульса, а вместо силы – мо-
r1rr2Fмент силы. С помощью уравнения моментов можно описать
O2любое вращательное движение, даже самое сложное, напри-
Yмер, вращение гироскопов1, применяющихся для определения
X
отклонений корпусов кораблей, торпед, самолетов, ракет,
Рис. 3.6спутников и т.д.

3.2. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Это уравнение можно назвать вторым законом Ньютона для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать только случай плоского вращательного движения, когда силы, приложенные к телу (а также и скорости всех точек вращающегося тела), лежат в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

В предыдущем параграфе мы говорили о моментах относительно точки.

ZЗдесь нам понадобятся моменты относительно оси. Момент
rсилы относительно оси – есть проекция на эту ось момента
ωсилы относительно какой-либо точки на оси. То есть берем
удобную точку на оси, находим момент силы относительно
dLнее и проектируем его на ось. Аналогично для момента им-
rпульса: момент импульса относительно оси – есть проекция
rr
υна эту ось момента импульса относительно какой-либо точки
на оси.
dm
Пусть твердое тело произвольной формы вращается
Рис. 3.7вокруг неподвижной оси Z под действием нескольких каса-
тельных сил F1, F2,… с угловой скоростью ω (рис. 3.7). Вы-

делим в теле бесконечно малую частицу массы dm, движущуюся со скоростью υ по окружности радиуса r. Тогда момент импульса этой частицы относительно оси Z

dL = dmυr = dmωr2.

Чтобы найти момент импульса всего тела нужно сложить моменты импульса всех частиц, то есть взять интеграл от полученного выражения. Учиты-

1 Гироскоп представляет собой быстро вращающийся диск, закрепленный в специальном подвесе. Ось вращения диска сохраняет ориентацию при поворотах гироскопа.

20

вая, что все частицы, составляющие тело, вращаются с одной угловой скоростью ω, получим

L = ∫dL = ω∫r 2dm .

Интеграл ∫r2dm называется моментом инерции тела относительно оси вра-

щения. Момент инерции зависит от массы, размеров и формы тела, а также от оси, вокруг которой вращается тело,

Как пользоваться этой формулой, увидим в дальнейшем.

Поэтому момент импульса твердого тела определяется следующим обра-

зом:
L = Jω,(3.5)
Из уравнения моментов (3.3) в проекциях на ось Z
dLz= M z ,
dt
опуская индексы и подставляя выражение (3.5), получим
d(Jω) = M ,
dt
и если момент инерции постоянный, J = const,
J= Jε = M(3.6)
dt
Это основное уравнение (закон) динамики вращательногодвижения

твердого тела. Закон формулируется следующим образом: произведение момента инерции тела J относительно оси вращения на угловое ускорение равно суммарному моменту M всех внешних сил относительно той же оси.

Например, на вращение тела, изображенного на рис. 3.8, влияют две силы: F1 и F2. Их моменты относительно оси Z соответственно M1 = F1r1 и M2 = F2r2.

Тогда полный момент сил относительно оси ZZ
М = M1 – M2 = F1r1 – F2r2.
Обратим внимание, что суммирование моментов
идет с учетом знаков, см. определение момента силы от-r1
носительно оси. Правило достаточно простое и следует изF1
векторного произведения: если сила действует по направ-
лению вращения (раскручивает тело), то ее момент берет-r2
ся с «плюсом», а если против вращения (тормозит) – с
«минусом». Как и в случае прямолинейного движения,F2
тормозящее действие на вращающиеся тела тоже оказы-Рис. 3.8
вают силы трения.

Уравнение (3.6) похоже на второй закон Ньютона (2.1), где вместо массы – момент инерции, вместо ускорения – угловое ускорение, вместо силы – момент силы. То есть параметры, характеризующие поступательное движение, меняются на соответствующие параметры вращательного движения. Так, обычная масса служит мерой инертности тела при поступательном движении, а

21

Источник: https://studfile.net/preview/2466099/page:6/

3 Вращательное движение твёрдого тела

§3. Вращательное движение твердых тел

Лекция № 3

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

План

1.     Абсолютное твёрдое тело. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями вращающегося твёрдого тела.

2.     Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

3.     Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера. Свободные оси.

4.     Момент силы. Момент импульса.

5.     Уравнение моментов. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

6.     Гироскопы. Гироскопический эффект.

1.Абсолютно твёрдое тело. Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Введём понятие угловой скорости и углового ускорения. Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной в данной системе отсчёта оси  и за время  совершает бесконечно малый поворот (рис. 3.1).

Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причём так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора .

Рис. 3.1

Из рис. 3.1 следует, что . Вектор  как бесконечно малую величину можно считать по модулю равным соответствующей дуге окружности , его направление соответствует правилу правого винта по отношению к векторам  и

         Разделим обе части на :

         .                                               (*)

Производная угла поворота по времени называется угловой скоростью.

Вектор  совпадает по направлению с вектором . Изменение вектора  со временем характеризуют вектором углового ускорения:

         Из выражения * получаем связь линейной  и угловой скоростей:

                                                (**)

То есть скорость  любой точки А твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , равна векторному произведению  на радиус-вектор  точки А относительно произвольной точки на оси вращения.

         Если выбрать в качестве точки отсчёта для радиус-вектора центр окружности вращения (точка О), при неизменном радиусе окружности  выражение (**) можно записать в скалярном виде:

Продифференцируем это выражение по времени: , отсюда получаем связь тангенциального и углового ускорений:

         Нормальное ускорение можно представить как

         Модуль полного ускорения:

         2.Момент инерции тела. Определим кинетическую энергию вращения твёрдого тела (рис. 3.2). Разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки (). Обозначим массу i-го элемента , а скорость этого элемента .

Кинетическая энергия этого элемента

.

Просуммировав кинетическую энергию всех элементов, получим кинетическую энергию вращательного движения тела:

         .

         Линейная скорость  связана с угловой скоростью вращения тела  (постоянна для всех точек тела).

.

Определение. Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси вращения:

Определение. Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси z называется сумма моментов инерций материальных точек относительно данной оси.

В соответствии с этими определениями:

(Сравните с выражением для кинетической энергии поступательного движения , очевидно соответствие ).

Физический смысл момента инерции. Момент инерции во вращательном движении играет такую же роль, как масса при поступательном движении, характеризует меру инертности тела при вращательном движении.

Чем больше момент инерции тела, тем труднее при прочих равных условиях привести его во вращательное движение.

Момент инерции определяется не только массой, но и тем, как эта масса распределена относительно оси вращения.

Соотношение  является приближённым, причём тем более точным, чем меньше элементарные массы . Задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию.

(Интегрирование ведётся по всей массе тела ).

3. Вычисление моментов инерции. 1. Кольцо (полый цилиндр)             (рис. 3.3). В случае достаточно тонких стенок вся масса сосредоточена на расстоянии  от центра.

Относительно оси, проходящей через центр кольца:

,

.

2. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Дано: радиус диска, масса диска.

Найти: момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска.

Разобьём диск (рис. 3.4) на кольца с радиусом , толщиной . По определению момента инерции . Пусть поверхностная плотность диска , тогда масса кольца , где площадь кольца, . Интегрируя по радиусу, находим момент инерции диска:

=,

3. Тонкий однородный стержень

Дано: масса стержня, длина стержня.

Найти:  (момент инерции относительно оси ОО, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему) (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Ввиду одномерного характера задачи выражение  можно заменить на , где , тогда .

Теорема Штейнера (без вывода)

Постановка задачи. Известен момент инерции произвольного тела массой  относительно оси, проходящей через его центр тяжести  (рис. 3.6). Требуется найти, каков момент инерции  относительно какой-либо оси , параллельной первой и находящейся на расстоянии  от неё.

Теорема. Момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела С и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями a:

.

Пример применения теоремы Штейнера.

Требуется найти момент инерции тонкого однородного стержня массой  и длиной  относительно перпендикулярной к нему оси , проходящей через центр стержня (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Решение:

Воспользуемся полученным ранее выражением для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец:

. Используя теорему Штейнера, получаем:

 отсюда .

Свободные оси

Определение. Ось вращения тела, положение которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной.

Можно доказать, что в любом теле существует три взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела.

Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней. Вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим (экстремальными) моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение вокруг оси со средним моментом – неустойчивым.

Этот факт является достаточно важным при проектировании конструкций с вращающимися частями.

4.Момент силы. Пусть О – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы. Обозначим  радиус-вектор, проведённый из этой точки к точке приложения силы  (Рис. 3.8).

Рис. 3.8

Определение. Моментом силы  относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на силу :

Раскрывая векторное произведение, получим  где  плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы).

В соответствии с определением векторного произведения вектор  направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы  и  в соответствии с правилом правого винта (буравчика).

Определение. Момент силы относительно оси , проходящей через точку О, есть проекция на эту ось вектора момента силы  относительно точки, лежащей на этой же оси.

 как проекция на ось является скалярной величиной.

Момент импульса

Пусть материальная точка массой  движется со скоростью  относительно точки О, а радиус-вектор этой материальной точки, проведённый из точки О (рис. 3.9).

Определение. Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора  на вектор импульса :

Направление  перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы  и , в соответствии с правилом правого винта, например момент импульса электрона, двигающегося по круговой орбите в боровской модели атома.

Свяжем момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью. Пусть радиус-вектор  некоторой частицы массой лежит в плоскости рис. 3.10, скорость  перпендикулярна ей («от нас»), частица движется по окружности радиусом .

Модуль момента импульса . Линейную скорость  можно связать с угловой  относительно оси  как , тогда . Проекция вектора  на ось вращения равна

 . Как видно из рис. 3.10, , т.е.

Для системы материальных точек (твёрдого тела) выражение связи ,  и  формально такое, как и для материальной точки:

Но под  здесь подразумевается сумма моментов инерции материальных точек системы:

Можно показать (см., например, в [1]), что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, суммарный момент импульса тела . Он направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и , т.е.

(Для несимметричного тела в общем случае  не совпадает по направлению с вектором ).

         5.Уравнение моментов. В дальнейших преобразованиях условимся для упрощения записи индекс 0 у ,  и других величин не писать, но подразумевать, что он есть.

         Продифференцируем выражение для момента импульса материальной точки: . .

Учтём, что , а .

         Рассмотрим первое слагаемое (см. в лекции № 1 «Векторное произведение»).

= (так как угол между  и  равен нулю).

         Второе слагаемое в выражении для

 (по определению момента силы).

          В результате получаем:

Уравнение моментов (оно связывает момент импульса с моментом силы).

         Производная по времени момента импульса материальной точки относительно точки О равна моменту действующей силы относительно точки О.

Уравнение моментов для твёрдого тела

         Рассмотрим систему частиц, на которую действуют как внутренние, так внешние силы. Моментом импульса  системы относительно точки О называется сумма моментов импульса  отдельных частиц . Дифференцирование по времени даёт, что

.                                                   

Для каждой из частиц можно написать уравнение моментов

,

где момент внутренних сил, а  момент внешних сил, действующих на -ю частицу.  (по 3-му закону Ньютона, так как внутренние силы образуют пары, равные по величине, противоположные по направлению и действующие вдоль одной прямой, т.е. образуют равные по величине и противоположно направленные моменты сил).

Получаем

         Обозначим =, получаем окончательно

Производная по времени от момента импульса механической системы относительно некоторой точки О равна суммарному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к системе (уравнение моментов).

Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела

относительно неподвижной оси

         В проекции на ось  предыдущее уравнение запишется:

а так как , то , если , то . Так как проекция углового ускорения на ось , то получим уравнение динамики вращательного движения относительно оси Z и сравним с уравнением динамики для поступательного движения (2-й закон Ньютона).

Соответствие очевидно:

Поступательное движениеВращательное движение

Замечание: если вокруг оси  вращается однородное симметричное тело, то , и тогда очевидно:

(Угловое ускорение  совпадает по направлению с вектором момента силы).

            6.Гироскопы (от греч. круг, смотрю, наблюдаю).

Гироскопом называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.

Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка (рис. 3.11). Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) – т.е. его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причём чем больше скорость  вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии ().

Из уравнения моментов следует:

Приращение  совпадает по направлению с моментом внешних сил, относительно точки О. Момент силы тяжести , как видно из рис. 3.11, перпендикулярен моменту импульса, т.е. , следовательно, приращение момента импульса . В результате вектор  (и ось волчка) будут поворачиваться вместе с вектором  вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора .

         Найдём связь между ,  и :

          или в векторном виде , сравнивая с , получаем уравнение для угловой скорости прецессии.

Из уравнения видно, что момент силы определяет угловую скорость прецессии, а не ускорение. Это означает, что мгновенное устранение момента  приводит к мгновенному исчезновению и прецессии, т.е. прецессия не обладает инерцией.

Гироскопический эффект

         Рассмотрим эффект, возникающий при вынужденном вращении оси гироскопа. Пусть ось гироскопа укреплена в -образной подставке, которую мы будем поворачивать вокруг оси  (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Если момент импульса гироскопа  направлен вправо, то при таком повороте за время  вектор  получит приращение вектор, направленный перпендикулярно . Согласно уравнению  это означает, что на гироскоп действует момент силы , совпадающий по направлению с вектором .

Момент  обусловлен возникновением пары сил , действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось гироскопа, в свою очередь, в соответствии с 3-им законом Ньютона будет действовать на подставку с силами . Эти силы называются гироскопическими. Они создают гироскопический момент .

Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом.

Замечание: в узком смысле гироскопическим эффектом иногда называют движение волчка не в сторону действия силы, а перпендикулярно к ней.

         Примеры возникновения гироскопического эффекта: гироскопическое давление на подшипники у роторов турбин, компрессоров на кораблях, самолётах при поворотах, виражах.

         Гироскопы являются основными узлами в гирокомпасах, в которых используется свойство гироскопов с тремя степенями свободы: его ось стремится устойчиво сохранить в мировом пространстве приданное ей первоначальное направление. Если ось направить на какую-либо звезду, то при любых перемещениях прибора и случайных толчках она будет указывать на эту звезду.

Вопросы для самоконтроля

1.  Какое движение называется вращательным?

2.  Как определяют угловую скорость и угловое ускорение?

3.  Что является мерой инертности при вращательном движении?

4.  Дайте определение момента инерции материальной точки и момента инерции твёрдого тела.

5.  Как вычисляют моменты инерции для сплошного цилиндра и тонкого стержня?

6.  Сформулируйте теорему Штейнера.

7.  Что называется свободной осью? Какие оси называют главными осями инерции?

8.  Дайте определения момента силы и момента импульса материальной точки относительно некоторой точки.

9.  Как связан момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью?

10.  Выведите уравнение моментов.

11.  Запишите уравнение динамики вращательного движения относительно оси .

12.  Что называется гироскопом?

13.  Что такое прецессия? От чего зависит скорость прецессии?

14.  Что называется гироскопическим эффектом?

Источник: https://studizba.com/lectures/73-fizika/1077-fizika-mehanika/19807-3-vraschatelnoe-dvizhenie-tverdogo-tela.html

Biz-books
Добавить комментарий